山西省臨汾市山西百校聯(lián)考2023-2024學(xué)年高一下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題(含答案)

山西2023~2024高一4月份期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題（測(cè)試時(shí)間：120分鐘卷面總分：150分）★?？荚図樌镒⒁馐马?xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑。如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上。寫(xiě)在本試卷上無(wú)效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．已知向量，，若，則（）A．2 B．3 C．4 D．52．復(fù)數(shù)的虛部為（）A． B．1 C．2 D．3．已知某圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是圓心角為，半徑為3的扇形，則圓錐的高為（）A． B．4 C．3 D．4．已知水平放置的四邊形的斜二測(cè)直觀圖為矩形，且，，則四邊形的面積為（）A． B． C． D．5．已知為關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根，則（）A．8 B．10 C．14 D．166．在三棱錐中，，且，若，則三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．7．是平面上一定點(diǎn)，，，是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，且，若，則（）A．64 B．32 C．24 D．88．如圖，在四邊形中，已知，．若，則面積的最小值為（）A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）A．圓柱的母線和它的軸可以不平行B．底面是正方形的棱柱一定是正四棱柱C．正四面體一定是正三棱錐D．兩個(gè)面平行，其余各面都是梯形的多面體是棱臺(tái)10．下列說(shuō)法正確的是（）A．若，為平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，則可作為平面的一組基底B．若兩個(gè)非零向量，滿足，則與同向C．若向量，滿足是，則D．若向量，滿足，則存在唯一實(shí)數(shù)，使得11．已知復(fù)數(shù)，的實(shí)部分別為，，虛部分別為，，則（）A．的取值范圍為[0，2]B．在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于單位圓上C．若為純虛數(shù)，則D．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12．已知向量，，則向量在向量方向上的投影向量為_(kāi)_____（用坐標(biāo)表示）．13．如圖，以直角梯形直角腰所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓臺(tái)，已知，，，則該圓臺(tái)的表面積為_(kāi)_____．14．定義：．已知，，分別為的三個(gè)內(nèi)角，，所對(duì)的邊，若，且，則的最小值為_(kāi)_____．四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．15．（本小題滿分13分）已知復(fù)數(shù)，，，且是純虛數(shù)．（1）求的值；（2）若復(fù)數(shù)，，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，，，且，，三點(diǎn)共線，求的值．16．（本小題滿分15分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且）．（1）求；（2）若，是線段上的一點(diǎn)，，，求．17．（本小題滿分15分）一個(gè)豎直放置的幾何體的三視圖如圖所示，其俯視圖是等邊三角形．（1）根據(jù)三視圖，求其表面積和體積；（2）若該容器內(nèi)盛有其體積的水，當(dāng)該容器的一個(gè)側(cè)面水平放置時(shí)，求容器內(nèi)水面的高度．（容器壁的厚度忽略不計(jì)）18．（本小題滿分17分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，，邊上的兩條中線，相交于點(diǎn)．（1）令，，用，表示；（2）證明：；（3）若，，，求的余弦值．19．（本小題滿分17分）在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且滿足．（1）求；（2）設(shè)外接圓半徑為，內(nèi)切圓半徑為，求的取值范圍．山西2023~2024高一4月份期中調(diào)研測(cè)試數(shù)學(xué)試題參考答案及多維細(xì)目表題號(hào)123456答案CADDAC題號(hào)7891011答案BBABDABCAB1．【答案】C【解析】，解得．2．【答案】A【解析】由題意可得，由復(fù)數(shù)的基本概念可得其虛部為．3．【答案】D【解析】扇形的圓心角為，半徑為3，根據(jù)弧長(zhǎng)公式可以得到扇形的弧長(zhǎng)為．又扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，圓錐底面圓的半徑為，根據(jù)圓錐的體積公式得到圓錐的高為．4．【答案】D【解析】，，如圖1，取的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以為，軸為軸建立坐標(biāo)系．斜二測(cè)直觀圖為矩形，，，，可得在原圖（圖2）中，平行四邊形中，，平行四邊形的面積為．5．【答案】A【解析】為方程的一個(gè)根，另一個(gè)根為，可得解得故．6．【答案】C【解析】在中，作，垂足為，又，，．為三棱錐的外接球球心，半徑為．三棱錐的外接球的表面積為．7．【答案】B【解析】，，畫(huà)出示意圖可得，，且點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，，，．8．【答案】B【解析】設(shè)，，，四邊形內(nèi)角和為，，在中，由正弦定理，得，解得．在中，由正弦定理，得，解得．．，，當(dāng)，即時(shí)，取最小值．9．【答案】ABD【解析】根據(jù)圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故A錯(cuò)誤；底面是正方形，且側(cè)棱與底面不垂直的棱柱不是正四棱柱，因此底面是正方形的棱柱不一定是正四棱柱，故B錯(cuò)誤；正四面體一定是正三棱錐，故C正確；棱臺(tái)指一個(gè)棱錐被平行于它的底面的一個(gè)平面所截后，截面與底面之間的幾何體，其側(cè)棱延長(zhǎng)線需要交于一點(diǎn)，其上底面與下底面相似，若該多面體上、下底面不相似，則其側(cè)棱延長(zhǎng)線不能交于一點(diǎn)，故D錯(cuò)誤．10．【答案】ABC【解析】由題意知，，設(shè)，不存在使得同時(shí)成立，與不共線，則可作為平面的一組基底，故A正確；設(shè)與的夾角為，，兩邊平方得，，即，，與同向，故B正確；若，則，，即，故C正確；當(dāng)，時(shí)，不存在實(shí)數(shù)，使得，故D錯(cuò)誤．11．【答案】AB【解析】由題意可得，因此的取值范圍是[0，2]，故A正確；易得，故其在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，故B正確；，即，，，，，，故，故C錯(cuò)誤；由選項(xiàng)B可知，在單位圓上，根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義，可以看作單位圓上的點(diǎn)到點(diǎn)的距離，易知，故D錯(cuò)誤．12．【答案】，【解析】依題意得，向量在向量方向上的投影向量為．13．【答案】【解析】，，，，，圓臺(tái)的上底面半徑，下底面半徑，母線，由圓臺(tái)的表面積公式得．14．【答案】2【解析】依題意可得，化簡(jiǎn)得．為的內(nèi)角，，，．15．解：（1）由題意可得，由于復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則解得．（2）由（1）可得，，則點(diǎn)，，，，．，，三點(diǎn)共線，，，．16．解：（1），由正弦定理，得，即，，，．（2）設(shè)，則，，解得，．，由正弦定理，得．．17．解：（1）依題意，可知該幾何體為直三棱柱，底面面積為．表面積為，體積為．（2）該容器內(nèi)的水的體積為．當(dāng)容器水平放置時(shí)，此時(shí)形成底面為等腰梯形的直四棱柱，容器內(nèi)水面的高度即為該梯形的高，設(shè)為．剩余沒(méi)有水的部分為正三棱柱，其底面為正三角形，設(shè)其高為．該正三棱柱的體積為．底面的面積為，邊長(zhǎng)為1，．．該容器內(nèi)水面的高度為．18．解：（1）連接，則平行于且為中位線，．．（2）在中，由余弦定理，得．在中，由