人教版高中數(shù)學(xué)《圓錐曲線和方程》全部教案

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過對橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法

解決兒何問題的能力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對各種知識的綜合運(yùn)用能力.

二、教材分析

1.重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較.）

2.難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

（解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說明.）

3.疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因.

（解決辦法：分三種情況說明動點(diǎn)的軌跡.）

三、活動設(shè)計(jì)

提問、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答.

四、教學(xué)過程

（一）橢圓概念的引入

前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪?位同學(xué)回答：

問題1：什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪兒個

步驟必不可少？

對上述問題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正.這樣便于學(xué)生溫故而知新,

在已有知識基礎(chǔ)上去探求新知識.

同哽2：當(dāng)，>附.扃與戈力=/理司解方程叫？

3a>08tfi[x）=aaOG/E（x）-瞋抱?+0=0==a.

提出這一問題以便說明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個同解變形.

問題3：圓的兒何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的

探索？

一般學(xué)生能回答：”平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”.對同學(xué)提出的

軌跡命題如：

“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.”

“到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.”

“到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡."

教師要加以肯定，以鼓勵同學(xué)們的探索精神.

比如說，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動點(diǎn)軌跡

是什么呢？這時教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：

取一條一定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(diǎn)（如圖2-13）,當(dāng)

繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，

就可以畫出一個橢圓.

教師進(jìn)一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學(xué)說：“立體幾何中圓的直觀

圖.”有的同學(xué)說：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等……

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)Fl、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢

圓.這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距.

學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)Fl、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在

演示中要從兩個方面加以強(qiáng)調(diào)：

⑴將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)

生認(rèn)識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”.

⑵這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|,

則是線段F1F2；若常數(shù)V|F1F2],則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上

限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”.

（二）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

1.標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無

所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程.

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設(shè)點(diǎn)；（2）點(diǎn)的

集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟.

⑴建系設(shè)點(diǎn)

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量（距離、直線

斜率等）的表達(dá)式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學(xué)生認(rèn)識到下列選取

方法是恰當(dāng)?shù)?

以兩定點(diǎn)Fl、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐

標(biāo)系（如圖2T4）.設(shè)|F1F2|=2C（C>0）,M（x,y）為橢圓上任意一點(diǎn)，則有F1（T,

0）,F2（c,0）.

⑵點(diǎn)的集合

由定義不難得出橢圓集合為:

P={MIIMFl|+|MF2|=2a}.

⑶代數(shù)方程

1a

V|MFJ=#.+了+7,|砥|=J(K-c)+y,

特掂1J(x+c)a+yJ+&*-了+阿=2a.

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教

師巡視，適當(dāng)給予提示：

①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明.整

理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

②為使方程對稱和諧而引入b,同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要

講.由2a>2c可得a'W>0.令a'?<?=2則得方程f+g=l

(a>b>0).

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略.

因此，方程"+g=l(a>b>。即軸錦Uffl的標(biāo)描方科它表

示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,焦點(diǎn)是Fl(-c,0)、F2(c,0).這里C2=a2-b2.

2.兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較(引導(dǎo)學(xué)生歸納)

《心*營=l(a>b>Q)?^a在*±^?留，3隅(f

0)、F2(c,0),這里c2=a2-b2；

ab

-0、F2(0,c),這里C2=a2+b2,只須將(1)方程的x、y互換即可得到.

教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，：a2>b2,.?.可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在

哪一個坐標(biāo)軸上.

（三）例題與練習(xí)

例題平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8,寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的

軌跡的方程.

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程.

解：這個軌跡是?個橢圓，兩個定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用Fl、F2表示.取過點(diǎn)F1和F2的

直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.

?/2a=10,2c=8.

a=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9./.b=3

因此，這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

請大家再想一想，焦點(diǎn)Fl、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

戰(zhàn)為奉，軌跡方程是什么形即E?今+（”

練習(xí)1寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

a=4,C=VB,焦點(diǎn)在盤上.

由學(xué)生口等，方程為（+-=1.

練習(xí)2下列各組兩個橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是

[]

xy—x，

c.彳+彳=1與干+尹=

D.7+卜1與n一+六—=1，（m＞嘰

由學(xué)生口答，答案為D.

（四）小結(jié)

1.定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fl、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）

的點(diǎn)的軌跡.

2.林造.廳程?尸+*=ig>b>0)或4+聲g>b>0)?

3.圖形如圖2-15、2-16.

4.焦點(diǎn):Fl(-c,0),F2(C,0).Fl(0,-c),F2(0,c).

五、布置作業(yè)

1.如圖2T7,在橢圓上的點(diǎn)中,A1與焦點(diǎn)F1的距離最小,|A1F1|=2,A2

Fl的距離最大，|A2F1|=14,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.*1上一點(diǎn)4）與焦點(diǎn)的距肉.

10

3.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

（0群刪經(jīng)過兩點(diǎn)P（-2-，0）.Q（0,-J5）j

（2）長軸是短軸的班，懦回經(jīng)逋素P0,0）＞

（3）意點(diǎn)坐標(biāo)是（-2/，。雨（2小,0）,并且經(jīng)過點(diǎn)P（6,

-邪）.

4.Bj?H#a^-+^-=Ua>b>0).F「凡是AB

是過Fl的直線被橢圓截得的線段長，求AABF2的周長.

作業(yè)答案：

X：,2

L~~+~,?1

6428

3713

2.IM.FJ=y.|M^|=y

2

Xr

-+-

9

/

2

X

-+T-

20

4.由橢圓定義易得，^ABF2的周長為4a.

六、板書設(shè)計(jì)

5X8I

milMi

何JI2

何JI3

危文DVJl

2iVJ2

橢圓及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生理解橢圓的定義，掌握橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)及標(biāo)準(zhǔn)方程.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過對橢圓概念的引入與標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)，培養(yǎng)學(xué)生分析探索能力，增強(qiáng)運(yùn)用坐標(biāo)法

解決兒何問題的能力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

通過對橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)的教學(xué)，可以提高對各種知識的綜合運(yùn)用能力.

二、教材分析

1.重點(diǎn)：橢圓的定義和橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（解決辦法：用模型演示橢圓，再給出橢圓的定義，最后加以強(qiáng)調(diào)；對橢圓

的標(biāo)準(zhǔn)方程單獨(dú)列出加以比較.）

2.難點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

（解決辦法：推導(dǎo)分4步完成，每步重點(diǎn)講解，關(guān)鍵步驟加以補(bǔ)充說明.）

3.疑點(diǎn)：橢圓的定義中常數(shù)加以限制的原因.

(解決辦法：分三種情況說明動點(diǎn)的軌跡.)

三、活動設(shè)計(jì)

提問、演示、講授、詳細(xì)講授、演板、分析講解、學(xué)生口答.

四、教學(xué)過程

(一)橢圓概念的引入

前面，大家學(xué)習(xí)了曲線的方程等概念，哪一位同學(xué)回答：

問題1:什么叫做曲線的方程？求曲線方程的一般步驟是什么？其中哪幾個

步驟必不可少？

對上述問題學(xué)生的回答基本正確，否則，教師給予糾正.這樣便于學(xué)生溫故而知新，

在已有知識基礎(chǔ)上去探求新知識.

問題2,當(dāng)4＞四，辰=食與可力=?2是同解方程嗎？

當(dāng)=a'O(^(x)-aX#(x)+a)=0Q5/ECx)=a.

提出這一問題以便說明標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)中一個同解變形.

問題3：圓的兒何特征是什么？你能否可類似地提出一些軌跡命題作廣泛的

探索？

一般學(xué)生能回答：“平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓”.對同學(xué)提出的

軌跡命題如：

“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.”

“到兩定點(diǎn)距離平方差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡.”

“到兩定點(diǎn)距離之差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡."

教師要加以肯定，以鼓勵同學(xué)們的探索精神.

比如說，若同學(xué)們提出了“到兩定點(diǎn)距離之和等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡”，那么動點(diǎn)軌跡

是什么呢？這時教師示范引導(dǎo)學(xué)生繪圖：

取一條一定長的細(xì)繩，把它的兩端固定在畫圖板上的F1和F2兩點(diǎn)（如圖2-13）,當(dāng)

繩長大于F1和F2的距離時，用鉛筆尖把繩子拉緊，使筆尖在圖板上慢慢移動，

就可以畫出一個橢圓.

教師進(jìn)一步追問：“橢圓，在哪些地方見過？”有的同學(xué)說：“立體幾何中圓的直觀

圖.”有的同學(xué)說：“人造衛(wèi)星運(yùn)行軌道”等……

在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括橢圓的定義：

平面內(nèi)到兩定點(diǎn)Fl、F2的距離之和等于常數(shù)（大于|F1F21）的點(diǎn)的軌跡叫做橢

圓.這兩個定點(diǎn)叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做焦距.

學(xué)生開始只強(qiáng)調(diào)主要幾何特征——到兩定點(diǎn)Fl、F2的距離之和等于常數(shù)、教師在

演示中要從兩個方面加以強(qiáng)調(diào)：

⑴將穿有鉛筆的細(xì)線拉到圖板平面外，得到的不是橢圓，而是橢球形，使學(xué)

生認(rèn)識到需加限制條件：“在平面內(nèi)”.

⑵這里的常數(shù)有什么限制嗎？教師邊演示邊提示學(xué)生注意：若常數(shù)=|F1F2|,

則是線段F1F2；若常數(shù)V|F1F2|,則軌跡不存在；若要軌跡是橢圓，還必須加上

限制條件：“此常數(shù)大于|F1F2|”.

（二）橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

1.標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)

由橢圓的定義，可以知道它的基本幾何特征，但對橢圓還具有哪些性質(zhì)，我們還一無

所知，所以需要用坐標(biāo)法先建立橢圓的方程.

如何建立橢圓的方程？根據(jù)求曲線方程的一般步驟，可分：（1）建系設(shè)點(diǎn)；（2）點(diǎn)的

集合；（3）代數(shù)方程；（4）化簡方程等步驟.

⑴建系設(shè)點(diǎn)

建立坐標(biāo)系應(yīng)遵循簡單和優(yōu)化的原則，如使關(guān)鍵點(diǎn)的坐標(biāo)、關(guān)鍵幾何量（距離、直線

斜率等）的表達(dá)式簡單化，注意充分利用圖形的對稱性，使學(xué)生認(rèn)識到下列選取

方法是恰當(dāng)?shù)?

以兩定點(diǎn)Fl、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐

標(biāo)系(如圖2T4).設(shè)|F1F2|=2C(C>0),M(x,y)為橢圓上任意一點(diǎn),則有F1(T,

0),F2(c,0).

⑵點(diǎn)的集合

由定義不難得出橢圓集合為：

P={MIIMFl|+|MF2|=2a}.

⑶代數(shù)方程

|MFj|=J(x+c)l+y2,|M^|=J(x-c)a+y\

存方程J(x+c)a+ya+=2a.

(4)化簡方程

化簡方程可請一個反映比較快、書寫比較規(guī)范的同學(xué)板演，其余同學(xué)在下面完成，教

師巡視，適當(dāng)給予提示：

①原方程要移項(xiàng)平方，否則化簡相當(dāng)復(fù)雜；注意兩次平方的理由詳見問題3說明.整

理后，再平方得(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2)

②為使方程對稱和諧而引入b,同時b還有幾何意義，下節(jié)課還要

講.由2a>2c可得a，-/>0?令/-J=bL方程可■+$■=1

(a>b>0).

關(guān)于證明所得的方程是橢圓方程，因教材中對此要求不高，可從略.

因此方程”舌=3>b>。即痂南幅的標(biāo)推方程.它表

示的橢圓的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是Fl（-c,0）、F2（C,0）.這里C2=a2-b2.

2.兩種標(biāo)準(zhǔn)方程的比較（引導(dǎo)學(xué)生歸納）

在域±^?圖，獻(xiàn)&t（r,

0）、F2（C,0）,這里c2二a2-b2；

⑵5T=i（a>b>0）標(biāo)蕉點(diǎn)在用焦居⑼

-c）>F2（0,c）,這里C2=a2+b2,只須將（1）方程的x、y互換即可得到.

教師指出：在兩種標(biāo)準(zhǔn)方程中，；a2>b2,...可以根據(jù)分母的大小來判定焦點(diǎn)在

哪一個坐標(biāo)軸上.

（三）例題與練習(xí)

例題平面內(nèi)兩定點(diǎn)的距離是8,寫出到這兩定點(diǎn)的距離的和是10的點(diǎn)的

軌跡的方程.

分析：先根據(jù)題意判斷軌跡，再建立直角坐標(biāo)系，采用待定系數(shù)法得出軌跡方程.

解：這個軌跡是一個橢圓，兩個定點(diǎn)是焦點(diǎn)，用Fl、F2表示.取過點(diǎn)F1和F2的

直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸，建立直角坐標(biāo)系.

*/2a=10,2c=8.

Aa=5,c=4,b2=a2-c2=52-45=9./.b=3

因此，這個橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是

請大家再想一想，焦點(diǎn)Fl、F2放在y軸上，線段F1F2的垂直平分

線為“兼遂方程是什么影即E?^+^-=1.

練習(xí)1寫出適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

a=4,C=VB,儂在盤上.

由學(xué)生口答，方程為《+/=】.

練習(xí)2下列各組兩個橢圓中，其焦點(diǎn)相同的是

[]

A.1^-+3=1與^'+^_=卜

4￡4i

B-1+￡=i與父+7=L

由學(xué)生口答，答案為D.

（四）小結(jié)

1.定義：橢圓是平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fl、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）

的點(diǎn)的軌跡.

2.際^方程?5+J=l(a>b>0)或9+3(&>1>>0).

3.圖形如圖2-15、2-16.

4.焦點(diǎn):Fl(-c,0),F2(C,0).Fl(0,-c),F2(0,c).

五、布置作業(yè)

1.如圖2T7,在橢圓上的點(diǎn)中，A1與焦點(diǎn)F1的距離最小，|A1F1|=2,A2

Fl的距離最大，|A2F1|=14,求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.

2.求精品3+^=1上一點(diǎn)4)與焦點(diǎn)的距離.

10

3.求適合下列條件的橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：

(0輛網(wǎng)經(jīng)過網(wǎng)點(diǎn)P(-2倔，0).Q(0,V5)J

(2)長軸是短軸的班，帶傅經(jīng)過點(diǎn)P(3.0);

(3)熊點(diǎn)坐標(biāo)是(之五，。用(26.0),并且經(jīng)過點(diǎn)P(逐,

4.已知摘困5+3=1(11>1>>0),4、F*是它的短點(diǎn)，AB

是過Fl的直線被橢圓截得的線段長，求AABF2的周長.

作業(yè)答案:

4.由橢圓定義易得，AABF2的周長為4a.

六、板書設(shè)計(jì)

§181

(-M09IKA

定文txa\

292

(^btt

橢圓的幾何性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)

通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，

并了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

使學(xué)生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)

系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的?些問題，如弦、最值問題等.

二、教材分析

1.重點(diǎn)：橢圓的兒何性質(zhì)及初步運(yùn)用.

（解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進(jìn)行歸納小結(jié).）

2.難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解.

（解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形狀的

影響，最后通過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義.）

3.疑點(diǎn)：橢圓的兒何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，

即不隨坐標(biāo)系的改變而改變.

（解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學(xué)生說明.）

三、活動設(shè)計(jì)

提問、講解、閱讀后重點(diǎn)講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié).

四、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問

1.橢圓的定義是什么？

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

學(xué)生口述，教師板書.

（二）幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是

瞬訓(xùn)幅桿吟一.林國瞄gfifl崛t通。舌=3>

b>0)來研究橢圓的幾何性質(zhì).說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是

與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變.

1.范圍

引導(dǎo)學(xué)生從標(biāo)港方程$+9=1得出不等武$<1,&<1.

即|x|Wa,|y|Wb,這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里

(圖2T8).注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫圖時，就不能取范圍以外的點(diǎn).

2.對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2.

設(shè)問：為什么"把x換成-x,或把y換成-y?,或把x、y同時換成-x、-y時,

方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對稱的”呢？

事實(shí)匕在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲

線上時，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q(-x,y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱.類

似可以證明其他兩個命題.

同時向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對稱、關(guān)于x軸對稱和關(guān)于原點(diǎn)對稱中

的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱.如：如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對稱，

那么它一定關(guān)于y軸對稱.

事實(shí)上，設(shè)P(x,y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)Pl(x,-y)必

在曲線上.又因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以P1關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)P2(-x,y)必在曲

線上.因P(x,y)、P2(-x,y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱.

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心即橢圓中心.

3.頂點(diǎn)

弓恃學(xué)生從1M的標(biāo)通方程擠+昌=份<佗與陋交點(diǎn).

只須令x=0,得y=±b,點(diǎn)B1(O,-b)、B2(0,b)是橢圓和y軸的兩個交點(diǎn);

令y=0,得x=±a,點(diǎn)Al(-a,0)、A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個交點(diǎn).強(qiáng)調(diào)指出：

橢圓有四個頂點(diǎn)Al(-a,0)、A2(a,0)、Bl(0,-b)、B2(0,b).

教師還需指出：

⑴線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和

2b；

⑵a、b的兒何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫圖，只須描

出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形.

4.離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

儂的疑與長軸的匕=E.

a

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義.

先分析橢圓的離心率e的取值范圍：

Va>c>0,I.0<e<l.

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

當(dāng)接近1時.曲斑a,從超小,因此附豳如，

⑵當(dāng)e接近0時，c越接近0,從而b越接近a,因此橢圓接近圓；

(3)當(dāng)e=0時，c=0,a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為x2+y2=a2,圖形

就是圓了.

(三)應(yīng)用

為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識，掌握用描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1.

例1求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐

標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形.

本例前一部分請一個同學(xué)板演，教師予以訂正，估計(jì)不難完成.后一部分由教師講解,

以引起學(xué)生重視，步驟是：

0）列慈將"總為,=*^V25-xa?根&=+^725--

在第TRK蝴圍內(nèi)算出幾個點(diǎn)的坐標(biāo)&y）.

⑵描點(diǎn)作圖.先描點(diǎn)畫出橢圓在第一象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就

可以畫出整個橢圓（圖2-19）.要強(qiáng)調(diào)：利用對稱性可以使計(jì)算量大大減少.

例2點(diǎn)y）與定點(diǎn)F（C,Q）的距離和它般直卑.的

距離的比是常數(shù)率點(diǎn)M的軌跡.

a

本例實(shí)質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準(zhǔn)備的,

同時再一次使學(xué)生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細(xì)講解：

設(shè)d是點(diǎn)M到直線1的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M

p-1

3-2V2cose'

1岬=°|+「'=3-/皿8%+2￡E8

一6一2

一9-8"8-,

將上式化簡，得：（a2~c2）x2+a2y2=a2（a2-c2）.

設(shè)aJc2=bL或可化成，號+5=八

這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓.

由此例不難歸納出橢圓的第二定義.

（四）橢圓的第二定義

1.定義

平面內(nèi)點(diǎn)M與一個定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)

e=-（0<e<l）8t,這個點(diǎn)MW軌跡是肺.定點(diǎn)是靦的第孔定直

a

線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率.

2.說明

（1陽于制/營+營=1,儂于期F30）的港線方程是x=

崛iia的對藤性，相應(yīng)于氟行，（.6的凝線方程是c=?二.

C

相應(yīng)于焦點(diǎn)p的淀線方程是y=￡.

c

這時還要講清e的兒何意義是：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離

的比.

（五）小結(jié)

解法研究圖形的性質(zhì)是通過對方程的討論進(jìn)行的，同一曲線由于坐標(biāo)系選取不同，方

程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標(biāo)系的選取無關(guān).前面我們著重分

析了第一個標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì).布置學(xué)生

最后小結(jié)下列表格：

特七r程9w

Htt

5

五、布置作業(yè)

1.求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、

準(zhǔn)線方程：

(I)25x2+4y2-100=0,

(2)x2+4y2-l=0.

2.我國發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個焦

點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面266Km,遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面1826Km,求這顆衛(wèi)星的軌道方程.

3.點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1：2,

求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

吏_

4.的中心1點(diǎn)，一個JR點(diǎn)是(P，離心率e=

的方程.

作業(yè)答案:

1.(l)2a=10.2b=4,2c=2向.e=1—,期(0,*^2l),H

25

點(diǎn)(0,士5)、(42,3,準(zhǔn)線y=土而

⑵2a=2,2b=b2C=7Xe=g,儂(士乎，嘰儂(±L(9.

GM

(p.土茨土

2.選取坐標(biāo)航品7+血7=1

%=哦連是長華軸等于4,短半軸等于2d涮B.

3.

1OIZ

4.頂點(diǎn)(0,2)可能是長軸的端點(diǎn)，也可能是短軸的一個端點(diǎn)，故分兩種情

況求方程：

六、板書設(shè)計(jì)

SU■目的幾何性，

(~?w(ZJfiWSMS的9口文

1.HI1.XX.：

2.2.Ml：

M2

I.CfiM4S

2?

3.

4.

橢圓的幾何性質(zhì)

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)

通過橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的討論，使學(xué)生掌握橢圓的幾何性質(zhì)，能正確地畫出橢圓的圖形，

并了解橢圓的一些實(shí)際應(yīng)用.

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

通過對橢圓的幾何性質(zhì)的教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決實(shí)際問題的能力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

使學(xué)生掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的關(guān)

系概念的理解，這樣才能解決隨之而來的一些問題，如弦、最值問題等.

二、教材分析

1.重點(diǎn)：橢圓的兒何性質(zhì)及初步運(yùn)用.

（解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生利用方程研究曲線的性質(zhì)，最后進(jìn)行歸納小結(jié).）

2.難點(diǎn)：橢圓離心率的概念的理解.

（解決辦法：先介紹橢圓離心率的定義，再分析離心率的大小對橢圓形狀的

影響，最后通過橢圓的第二定義講清離心率e的幾何意義.）

3.疑點(diǎn)：橢圓的兒何性質(zhì)是橢圓自身所具有的性質(zhì)，與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，

即不隨坐標(biāo)系的改變而改變.

（解決辦法：利用方程分析橢圓性質(zhì)之前就先給學(xué)生說明.）

三、活動設(shè)計(jì)

提問、講解、閱讀后重點(diǎn)講解、再講解、演板、講解后歸納、小結(jié).

四、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問

1.橢圓的定義是什么？

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

學(xué)生口述，教師板書.

(二)幾何性質(zhì)

根據(jù)曲線的方程研究曲線的幾何性質(zhì)，并正確地畫出它的圖形，是

解析幾何的基本磔S之一.本節(jié)蝴根據(jù)制I峋標(biāo)1防程營+9=1(￡>

b>0)來研究橢圓的幾何性質(zhì).說明：橢圓自身固有幾何量所具有的性質(zhì)是

與坐標(biāo)系選擇無關(guān)，即不隨坐標(biāo)系的改變而改變.

i.范圍

引導(dǎo)學(xué)生從標(biāo)港方程捺+.=［得出不等式:<1,營<1,

即|x|Wa,|y|Wb,這說明橢圓在直線x=±a和直線y=±b所圍成的矩形里

(圖2-18).注意結(jié)合圖形講解，并指出描點(diǎn)畫圖時，就不能取范圍以外的點(diǎn).

2.對稱性

先請大家閱讀課本橢圓的幾何性質(zhì)2.

設(shè)問：為什么“把x換成-x,或把y換成-y?,或把x、y同時換成-x、-y時,

方程都不變，所以圖形關(guān)于y軸、x軸或原點(diǎn)對稱的”呢？

事實(shí)上，在曲線的方程里，如果把x換成-x而方程不變，那么當(dāng)點(diǎn)P(x,y)在曲

線上時，點(diǎn)P關(guān)于y軸的對稱點(diǎn)Q(-x,y)也在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱.類

似可以證明其他兩個命題.

同時向?qū)W生指出：如果曲線具有關(guān)于y軸對稱、關(guān)于x軸對稱和關(guān)于原點(diǎn)對稱中

的任意兩種，那么它一定具有另一種對稱.如：如果曲線關(guān)于x軸和原點(diǎn)對稱，

那么它一定關(guān)于y軸對稱.

事實(shí)上，設(shè)P(x,y)在曲線上，因?yàn)榍€關(guān)于x軸對稱，所以點(diǎn)Pl(x,-y)必

在曲線上.又因?yàn)榍€關(guān)于原點(diǎn)對稱，所以P1關(guān)于原點(diǎn)對稱點(diǎn)P2(-x,y)必在曲

線上.因P(x,y)、P2(-x,y)都在曲線上，所以曲線關(guān)于y軸對稱.

最后指出：x軸、y軸是橢圓的對稱軸，原點(diǎn)是橢圓的對稱中心即橢圓中心.

3.頂點(diǎn)

弓管學(xué)生從IBffl黜而昉程>昌=1分析它與南,雅的交點(diǎn).

只須令x=0,得y=±b,點(diǎn)B1(O,-b)、B2(0,b)是橢圓和y軸的兩個交點(diǎn)；

令y=0,得x=±a,點(diǎn)Al(-a,0)A2(a,0)是橢圓和x軸的兩個交點(diǎn).強(qiáng)調(diào)指出：

橢圓有四個頂點(diǎn)Al(-a,0)、A2(a,0)、Bl(0,-b)、B2(0,b).

教師還需指出：

⑴線段A1A2、線段B1B2分別叫橢圓的長軸和短軸，它們的長分別等于2a和

2b；

⑵a、b的兒何意義：a是長半軸的長，b是短半軸的長；

這時，教師可以小結(jié)以下：由橢圓的范圍、對稱性和頂點(diǎn)，再進(jìn)行描點(diǎn)畫圖，只須描

出較少的點(diǎn)，就可以得到較正確的圖形.

4.離心率

教師直接給出橢圓的離心率的定義：

的簸與長軸的比《

等到介紹橢圓的第二定義時，再講清離心率e的幾何意義.

先分析橢圓的離心率e的取值范圍：

Va>c>0,，0<e<l.

再結(jié)合圖形分析離心率的大小對橢圓形狀的影響：

(D當(dāng)最近時.國晚近a,從而因此循晶

⑵當(dāng)e接近0時，c越接近0,從而b越接近a,因此橢圓接近圓;

⑶當(dāng)e=0時，c=0,a=b兩焦點(diǎn)重合，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程成為x2+y2=a2,圖形

就是圓了.

（三）應(yīng)用

為了加深對橢圓的幾何性質(zhì)的認(rèn)識，掌握用描點(diǎn)法畫圖的基本方法，給出如下例1.

例1求橢圓16x2+25y2=400的長軸和短軸的長、離心率、焦點(diǎn)和頂點(diǎn)的坐

標(biāo)，并用描點(diǎn)法畫出它的圖形.

本例前一部分請??個同學(xué)板演，教師予以訂正，估計(jì)不難完成.后一部分由教師講解,

以引起學(xué)生重視，步驟是：

（D列表.將裊《=惻為7=上［后露根據(jù)y=《標(biāo)苫

在第TRK蝴困內(nèi)算出幾個點(diǎn)的坐標(biāo)gy）.

（2）描點(diǎn)作圖.先描點(diǎn)畫出橢圓在第-象限內(nèi)的圖形，再利用橢圓的對稱性就

可以畫出整個橢圓（圖2-19）.要強(qiáng)調(diào)：利用對稱性可以使計(jì)算量大大減少.

圖2-19

例2點(diǎn)幽小y）與定點(diǎn)F（c,0）的距離和它到定直縝.；

距言的比是常致￡（＞。＞0）,率點(diǎn)M的軌跡.

a

本例實(shí)質(zhì)上是橢圓的第二定義，是為以后講解拋物線和圓錐曲線的統(tǒng)一定義做準(zhǔn)備的,

同時再一次使學(xué)生熟悉求曲線方程的一般步驟，因此，要詳細(xì)講解：

設(shè)d是點(diǎn)M到直線1的距離，根據(jù)題意，所求軌跡就是集合P={M

P=------7=......-

3.2acos0

1Mbi”廣五藥寸赤目

6

將上式化簡，得：(a2-c2)x2+a2y2=a2(a2-c2).

iftaa-ca=b\就可［+g=L

這是橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，所以點(diǎn)M的軌跡是橢圓.

由此例不難歸納出橢圓的第二定義.

(四)橢圓的第二定義

1.定義

平面內(nèi)點(diǎn)M與一個定點(diǎn)的距離和它到一定直線的距離的比是常數(shù)

e=^(0<e<l)Bt.這個點(diǎn)M的軌電OHB.定點(diǎn)是M的焦點(diǎn)，定直

線叫做橢圓的準(zhǔn)線，常數(shù)e是橢圓的離心率.

2.說明

樹勘曄鳳稱ft,相叼時F，20)?迪訪=￡

C

St于慌811+3=1,相應(yīng)于焦點(diǎn)R0,3的液線方程是y==,

at>c

相應(yīng)于毓F-p的觸昉程是y=二.

這時還要講清e的兒何意義是：橢圓上一點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離

的比.

(五)小結(jié)

解法研究圖形的性質(zhì)是通過對方程的討論進(jìn)行的，同一曲線由于坐標(biāo)系選取不同，方

程的形式也不同，但是最后得出的性質(zhì)是一樣的，即與坐標(biāo)系的選取無關(guān).前面我們著重分

析了第一個標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì)，類似可以理解第二個標(biāo)準(zhǔn)方程的橢圓的性質(zhì).布置學(xué)生

最后小結(jié)下列表格：

國防催

■*

Mas

?點(diǎn)

五、布置作業(yè)

1.求下列橢圓的長軸和短軸的長、焦距、離心率、各個頂點(diǎn)和焦點(diǎn)坐標(biāo)、

準(zhǔn)線方程：

(l)25x2+4y2To0=0,

(2)x2+4y2-l=0.

2.我國發(fā)射的科學(xué)實(shí)驗(yàn)人造地球衛(wèi)星的運(yùn)行軌道是以地球的中心為一個焦

點(diǎn)的橢圓，近地點(diǎn)距地面266Km,遠(yuǎn)地點(diǎn)距地面1826Km,求這顆衛(wèi)星的軌道方程.

3.點(diǎn)P與一定點(diǎn)F(2,0)的距離和它到一定直線x=8的距離的比是1：2,

求點(diǎn)P的軌跡方程，并說明軌跡是什么圖形.

4.■圖的中心在原點(diǎn)，一個儂是8,2).離心率堂《=,加a

的方程.

作業(yè)答案:

1.(l)2a^W.2b=4,2c=2際，e=2^-,儂(0,士廊,IS

25

A(P,±5)、(*2,6.g7=上而

⑵2a=2,2b=l,2C=73.。=當(dāng)，超(上嘰儂(士L3，

6A

(p.土茨1^^=土余

2."坐#M'p4njT+(7^0T=，

3.1+A=1睚是長豐軸等于％也知得于2耳聊WD.

JQ"

4.頂點(diǎn)(0,2)可能是長軸的端點(diǎn)，也可能是短軸的一個端點(diǎn)，故分兩種情

況求方程：

六、板書設(shè)計(jì)

S1-J■用的幾何性上

LMW

1.9111.JEft：

2.2.H?：

(znRflttAR2

1?(￡>M8

2.

3.

4?

雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程

一、教學(xué)目標(biāo)

（一）知識教學(xué)點(diǎn)

使學(xué)生掌握雙曲線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程，以及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

（二）能力訓(xùn)練點(diǎn)

在與橢圓的類比中獲得雙曲線的知識，從而培養(yǎng)學(xué)生分析、歸納、推理等能力.

（三）學(xué)科滲透點(diǎn)

本次課注意發(fā)揮類比和設(shè)想的作用，與橢圓進(jìn)行類比、設(shè)想，使學(xué)生得到關(guān)于雙曲線

的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程一個比較深刻的認(rèn)識.

二、教材分析

1.重點(diǎn)：雙曲線的定義和雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.

（解決辦法：通過一個簡單實(shí)驗(yàn)得出雙曲線，再通過設(shè)問給出雙曲線的定義;

對于雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程通過比較加深認(rèn)識.）

2.難點(diǎn)：雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo).

（解決辦法：引導(dǎo)學(xué)生完成，提醒學(xué)生與橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)類比.）

3.疑點(diǎn)：雙曲線的方程是二次函數(shù)關(guān)系嗎？

（解決辦法：教師可以從引導(dǎo)學(xué)生回憶函數(shù)定義和觀察雙曲線圖形來解決，

同時讓學(xué)生在課外去研究在什么附加條件下，雙曲線方程可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)式.）

三、活動設(shè)計(jì)

提問、實(shí)驗(yàn)、設(shè)問、歸納定義、講解、演板、口答、重點(diǎn)講解、小結(jié).

四、教學(xué)過程

（一）復(fù)習(xí)提問

1.橢圓的定義是什么？（學(xué)生回答，教師板書）

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fl、F2的距離的和等于常數(shù)（大于|F1F2|）的點(diǎn)的軌跡叫做橢

圓.教師要強(qiáng)調(diào)條件：（1）平面內(nèi)；（2）到兩定點(diǎn)Fl、F2的距離的和等于常數(shù)；

⑶常數(shù)2a>|F1F2|.

2.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？（學(xué)生口答，教師板書）

焦點(diǎn)在布的班■標(biāo)漉方程為§+g=l（a>b〉明意點(diǎn)在州

詡情國標(biāo)注方程力9=Ka>b>0）.

ab

（二）雙曲線的概念

把橢圓定義中的“距離的和”改為“距離的差”，那么點(diǎn)的軌跡會怎樣？它的方程是

怎樣的呢？

1.簡單實(shí)驗(yàn)（邊演示、邊說明）

如圖2-23,定點(diǎn)Fl、F2是兩個按釘，MN是一個細(xì)套管，兩條細(xì)繩分別拴在

按釘上且穿過套管，點(diǎn)M移動時，|MFl|-|MF2|是常數(shù)，這樣就畫出曲線的一支;

由IMF2HMFl|是同一常數(shù)，可以畫出另一支.

注意：常數(shù)要小于|F1F2],否則作不出圖形.這樣作出的曲線就叫做雙曲線.

2.設(shè)問

問題1：定點(diǎn)Fl、F2與動點(diǎn)M不在平面上，能否得到雙曲線？

請學(xué)生回答，不能.強(qiáng)調(diào)“在平面內(nèi)”.

問題2：|MF1|與|MF2|哪個大?

請學(xué)生回答，不定：當(dāng)M在雙曲線右支上時，|MF1|>|MF2|；當(dāng)點(diǎn)M在雙曲線

左支上時,|MF1|<|MF2|.

問題3：點(diǎn)M與定點(diǎn)Fl、F2距離的差是否就是|MF1HMF2|?

請學(xué)生回答，不一定,也可以是正確表示為I|MF2|-|MFI||.

問題4：這個常數(shù)是否會大于等于|F1F21?

請學(xué)生回答，應(yīng)小于|F1F2|且大于零.當(dāng)常數(shù)=|F1F2|時，軌跡是以Fl、F2為

端點(diǎn)的兩條射線；當(dāng)常數(shù)>|F1F2|時，無軌跡.

3.定義

在上述基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生概括雙曲線的定義：

平面內(nèi)與兩定點(diǎn)Fl、F2的距離的差的絕對值是常數(shù)(小于IF1F21)的點(diǎn)的軌跡

叫做雙曲線.這兩個定點(diǎn)Fl、F2叫做雙曲線的焦點(diǎn)，兩個焦點(diǎn)之間的距離叫做

焦距.

教師指出：雙曲線的定義可以與橢圓相對照來記憶，不要死記.

(三)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

現(xiàn)在來研究雙曲線的方程.我們可以類似求橢圓的方程的方法來求雙曲線的方程.這

時設(shè)問：求橢圓的方程的一般步驟方法是什么？不要求學(xué)生回答，主要引起學(xué)生思考，隨即

引導(dǎo)學(xué)生給出雙曲線的方程的推導(dǎo).

標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)：

⑴建系設(shè)點(diǎn)

取過焦點(diǎn)Fl、F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸(如圖2-24)

圖2-24

建立直角坐標(biāo)系.

設(shè)M(x,y)為雙曲線上任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c>0),那么Fl、F2

的坐標(biāo)分別是(-c,0)、(c,0).又設(shè)點(diǎn)M與Fl、F2的距離的差的絕對值等于常

數(shù).

⑵點(diǎn)的集合

由定義可知，雙曲線就是集合:

P={MIIMF11-1MF21|=2a}={M|MFI|-1MF2=±2a).

⑶代數(shù)方程

|呼|=加了十9,

?c)a*ya-J①-c)2+.=±2a.

(4)化簡方程(由學(xué)生演板)

將這個方程移項(xiàng)，兩邊平方得：

(x+c)J+尸=4ali+尸+(x-c)J+ya.

化簡得：

2cosa

x-I*------------------

公、sina-cosa

g

ana

y-+----------

f>c=l-HMP]co$a

g{