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福建省漳州市詔安縣2024年初中數(shù)學(xué)畢業(yè)考試模擬沖刺卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書寫的答案無效;在草稿紙、試題卷上答題無效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1.如圖,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,若AD=3,BE=1,則DE=()A.1 B.2 C.3 D.42.若代數(shù)式有意義,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A.x≠1 B.x≥0 C.x≠0 D.x≥0且x≠13.半徑為3的圓中,一條弦長(zhǎng)為4,則圓心到這條弦的距離是()A.3 B.4 C. D.4.點(diǎn)P(4,﹣3)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)所在的象限是()A.第四象限 B.第三象限 C.第二象限 D.第一象限5.如圖,函數(shù)y=的圖象記為c1,它與x軸交于點(diǎn)O和點(diǎn)A1;將c1繞點(diǎn)A1旋轉(zhuǎn)180°得c2,交x軸于點(diǎn)A2;將c2繞點(diǎn)A2旋轉(zhuǎn)180°得c3,交x軸于點(diǎn)A3…如此進(jìn)行下去,若點(diǎn)P(103,m)在圖象上,那么m的值是()A.﹣2 B.2 C.﹣3 D.46.如圖,已知菱形ABCD,∠B=60°,AB=4,則以AC為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng)為()A.16 B.12 C.24 D.187.某射擊運(yùn)動(dòng)員練習(xí)射擊,5次成績(jī)分別是:8、9、7、8、x(單位:環(huán)).下列說法中正確的是()A.若這5次成績(jī)的中位數(shù)為8,則x=8B.若這5次成績(jī)的眾數(shù)是8,則x=8C.若這5次成績(jī)的方差為8,則x=8D.若這5次成績(jī)的平均成績(jī)是8,則x=88.小亮家與姥姥家相距24km,小亮8:00從家出發(fā),騎自行車去姥姥家.媽媽8:30從家出發(fā),乘車沿相同路線去姥姥家.在同一直角坐標(biāo)系中,小亮和媽媽的行進(jìn)路程s(km)與時(shí)間t(h)的函數(shù)圖象如圖所示.根據(jù)圖象得出下列結(jié)論,其中錯(cuò)誤的是()A.小亮騎自行車的平均速度是12km/hB.媽媽比小亮提前0.5h到達(dá)姥姥家C.媽媽在距家12km處追上小亮D.9:30媽媽追上小亮9.如圖所示是放置在正方形網(wǎng)格中的一個(gè),則的值為()A. B. C. D.10.如圖,在?ABCD中,BF平分∠ABC,交AD于點(diǎn)F,CE平分∠BCD,交AD于點(diǎn)E,若AB=6,EF=2,則BC的長(zhǎng)為()A.8 B.10 C.12 D.1411.如圖,在⊙O中,AE是直徑,半徑OC垂直于弦AB于D,連接BE,若AB=2,CD=1,則BE的長(zhǎng)是A.5 B.6 C.7 D.812.圖(1)是一個(gè)長(zhǎng)為2m,寬為2n(m>n)的長(zhǎng)方形,用剪刀沿圖中虛線(對(duì)稱軸)剪開,把它分成四塊形狀和大小都一樣的小長(zhǎng)方形,然后按圖(2)那樣拼成一個(gè)正方形,則中間空的部分的面積是()A.2mn B.(m+n)2 C.(m-n)2 D.m2-n2二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13.計(jì)算tan260°﹣2sin30°﹣cos45°的結(jié)果為_____.14.如圖,在同一平面內(nèi),將邊長(zhǎng)相等的正三角形和正六邊形的一條邊重合并疊在一起,則∠1的度數(shù)為_____.15.如圖是“已知一條直角邊和斜邊作直角三角形”的尺規(guī)作圖過程已知:線段a、b,求作:.使得斜邊AB=b,AC=a作法:如圖.(1)作射線AP,截取線段AB=b;(2)以AB為直徑,作⊙O;(3)以點(diǎn)A為圓心,a的長(zhǎng)為半徑作弧交⊙O于點(diǎn)C;(4)連接AC、CB.即為所求作的直角三角形.請(qǐng)回答:該尺規(guī)作圖的依據(jù)是______.16.圓錐的底面半徑為3,母線長(zhǎng)為5,該圓錐的側(cè)面積為_______.17.計(jì)算:()0﹣=_____.18.方程的根為_____.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19.(6分)某車間的甲、乙兩名工人分別同時(shí)生產(chǎn)只同一型號(hào)的零件,他們生產(chǎn)的零件(只)與生產(chǎn)時(shí)間(分)的函數(shù)關(guān)系的圖象如圖所示.根據(jù)圖象提供的信息解答下列問題:(1)甲每分鐘生產(chǎn)零件_______只;乙在提高生產(chǎn)速度之前已生產(chǎn)了零件_______只;(2)若乙提高速度后,乙的生產(chǎn)速度是甲的倍,請(qǐng)分別求出甲、乙兩人生產(chǎn)全過程中,生產(chǎn)的零件(只)與生產(chǎn)時(shí)間(分)的函數(shù)關(guān)系式;(3)當(dāng)兩人生產(chǎn)零件的只數(shù)相等時(shí),求生產(chǎn)的時(shí)間;并求出此時(shí)甲工人還有多少只零件沒有生產(chǎn).20.(6分)如圖所示,△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,EC的延長(zhǎng)線交BD于點(diǎn)P.(1)把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到圖1,BD,CE的關(guān)系是(選填“相等”或“不相等”);簡(jiǎn)要說明理由;(2)若AB=3,AD=5,把△ABC繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn),當(dāng)∠EAC=90°時(shí),在圖2中作出旋轉(zhuǎn)后的圖形,PD=,簡(jiǎn)要說明計(jì)算過程;(3)在(2)的條件下寫出旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最小值為,最大值為.21.(6分)圖1和圖2中,優(yōu)弧紙片所在⊙O的半徑為2,AB=2,點(diǎn)P為優(yōu)弧上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A,B重合),將圖形沿BP折疊,得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′.發(fā)現(xiàn):(1)點(diǎn)O到弦AB的距離是,當(dāng)BP經(jīng)過點(diǎn)O時(shí),∠ABA′=;(2)當(dāng)BA′與⊙O相切時(shí),如圖2,求折痕的長(zhǎng).拓展:把上圖中的優(yōu)弧紙片沿直徑MN剪裁,得到半圓形紙片,點(diǎn)P(不與點(diǎn)M,N重合)為半圓上一點(diǎn),將圓形沿NP折疊,分別得到點(diǎn)M,O的對(duì)稱點(diǎn)A′,O′,設(shè)∠MNP=α.(1)當(dāng)α=15°時(shí),過點(diǎn)A′作A′C∥MN,如圖3,判斷A′C與半圓O的位置關(guān)系,并說明理由;(2)如圖4,當(dāng)α=°時(shí),NA′與半圓O相切,當(dāng)α=°時(shí),點(diǎn)O′落在上.(3)當(dāng)線段NO′與半圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)N時(shí),直接寫出β的取值范圍.22.(8分)如圖,在圖中求作⊙P,使⊙P滿足以線段MN為弦且圓心P到∠AOB兩邊的距離相等.(要求:尺規(guī)作圖,不寫作法,保留作圖痕跡,并把作圖痕跡用黑色簽字筆加黑)23.(8分)向陽(yáng)中學(xué)校園內(nèi)有一條林萌道叫“勤學(xué)路”,道路兩邊有如圖所示的路燈(在鉛垂面內(nèi)的示意圖),燈柱BC的高為10米,燈柱BC與燈桿AB的夾角為120°.路燈采用錐形燈罩,在地面上的照射區(qū)域DE的長(zhǎng)為13.3米,從D、E兩處測(cè)得路燈A的仰角分別為α和45°,且tanα=1.求燈桿AB的長(zhǎng)度.24.(10分)為了傳承中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化,市教育局決定開展“經(jīng)典誦讀進(jìn)校園”活動(dòng),某校團(tuán)委組織八年級(jí)100名學(xué)生進(jìn)行“經(jīng)典誦讀”選拔賽,賽后對(duì)全體參賽學(xué)生的成績(jī)進(jìn)行整理,得到下列不完整的統(tǒng)計(jì)圖表.
請(qǐng)根據(jù)所給信息,解答以下問題:
表中___;____請(qǐng)計(jì)算扇形統(tǒng)計(jì)圖中B組對(duì)應(yīng)扇形的圓心角的度數(shù);
已知有四名同學(xué)均取得98分的最好成績(jī),其中包括來自同一班級(jí)的甲、乙兩名同學(xué),學(xué)校將從這四名同學(xué)中隨機(jī)選出兩名參加市級(jí)比賽,請(qǐng)用列表法或畫樹狀圖法求甲、乙兩名同學(xué)都被選中的概率.25.(10分)先化簡(jiǎn)代數(shù)式,再?gòu)末?,0,3中選擇一個(gè)合適的a的值代入求值.26.(12分).27.(12分)先化簡(jiǎn),再求值:,其中滿足.
參考答案一、選擇題(本大題共12個(gè)小題,每小題4分,共48分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的.)1、B【解析】
根據(jù)余角的性質(zhì),可得∠DCA與∠CBE的關(guān)系,根據(jù)AAS可得△ACD與△CBE的關(guān)系,根據(jù)全等三角形的性質(zhì),可得AD與CE的關(guān)系,根據(jù)線段的和差,可得答案.【詳解】∴∠ADC=∠BEC=90°.∵∠BCE+∠CBE=90°,∠BCE+∠CAD=90°,∠DCA=∠CBE,在△ACD和△CBE中,,∴△ACD≌△CBE(AAS),∴CE=AD=3,CD=BE=1,DE=CE?CD=3?1=2,故答案選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì),解題的關(guān)鍵是熟練的掌握全等三角形的判定與性質(zhì).2、D【解析】試題分析:∵代數(shù)式有意義,∴,解得x≥0且x≠1.故選D.考點(diǎn):二次根式,分式有意義的條件.3、C【解析】如圖所示:過點(diǎn)O作OD⊥AB于點(diǎn)D,∵OB=3,AB=4,OD⊥AB,∴BD=AB=×4=2,在Rt△BOD中,OD=.故選C.4、C【解析】
由題意得點(diǎn)P的坐標(biāo)為(﹣4,3),根據(jù)象限內(nèi)點(diǎn)的符號(hào)特點(diǎn)可得點(diǎn)P1的所在象限.【詳解】∵設(shè)P(4,﹣3)關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)是點(diǎn)P1,∴點(diǎn)P1的坐標(biāo)為(﹣4,3),∴點(diǎn)P1在第二象限.故選C【點(diǎn)睛】本題主要考查了兩點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,這兩點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)均互為相反數(shù);符號(hào)為(﹣,+)的點(diǎn)在第二象限.5、C【解析】
求出與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo),觀察圖形可知第奇數(shù)號(hào)拋物線都在x軸上方,然后求出到拋物線平移的距離,再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加表示出拋物線的解析式,然后把點(diǎn)P的坐標(biāo)代入計(jì)算即可得解.【詳解】令,則=0,解得,,由圖可知,拋物線在x軸下方,相當(dāng)于拋物線向右平移4×(26?1)=100個(gè)單位得到得到,再將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)180°得,此時(shí)的解析式為y=(x?100)(x?100?4)=(x?100)(x?104),在第26段拋物線上,m=(103?100)(103?104)=?3.故答案是:C.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二次函數(shù)圖象與幾何變換,解題關(guān)鍵是根據(jù)題意得到p點(diǎn)所在函數(shù)表達(dá)式.6、A【解析】
由菱形ABCD,∠B=60°,易證得△ABC是等邊三角形,繼而可得AC=AB=4,則可求得以AC為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng).【詳解】解:∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC.∵∠B=60°,∴△ABC是等邊三角形,∴AC=AB=BC=4,∴以AC為邊長(zhǎng)的正方形ACEF的周長(zhǎng)為:4AC=1.故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)以及等邊三角形的判定與性質(zhì).此題難度不大,注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.7、D【解析】
根據(jù)中位數(shù)的定義判斷A;根據(jù)眾數(shù)的定義判斷B;根據(jù)方差的定義判斷C;根據(jù)平均數(shù)的定義判斷D.【詳解】A、若這5次成績(jī)的中位數(shù)為8,則x為任意實(shí)數(shù),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B、若這5次成績(jī)的眾數(shù)是8,則x為不是7與9的任意實(shí)數(shù),故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C、如果x=8,則平均數(shù)為(8+9+7+8+8)=8,方差為[3×(8-8)2+(9-8)2+(7-8)2]=0.4,故本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D、若這5次成績(jī)的平均成績(jī)是8,則(8+9+7+8+x)=8,解得x=8,故本選項(xiàng)正確;
故選D.【點(diǎn)睛】本題考查中位數(shù)、眾數(shù)、平均數(shù)和方差:一般地設(shè)n個(gè)數(shù)據(jù),x1,x2,…xn的平均數(shù)為,則方差,它反映了一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小,方差越大,波動(dòng)性越大,反之也成立.8、D【解析】
根據(jù)函數(shù)圖象可知根據(jù)函數(shù)圖象小亮去姥姥家所用時(shí)間為10﹣8=2小時(shí),進(jìn)而得到小亮騎自行車的平均速度,對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象,得到媽媽到姥姥家所用的時(shí)間,根據(jù)交點(diǎn)坐標(biāo)確定媽媽追上小亮所用時(shí)間,即可解答.【詳解】解:A、根據(jù)函數(shù)圖象小亮去姥姥家所用時(shí)間為10﹣8=2小時(shí),∴小亮騎自行車的平均速度為:24÷2=12(km/h),故正確;B、由圖象可得,媽媽到姥姥家對(duì)應(yīng)的時(shí)間t=9.5,小亮到姥姥家對(duì)應(yīng)的時(shí)間t=10,10﹣9.5=0.5(小時(shí)),∴媽媽比小亮提前0.5小時(shí)到達(dá)姥姥家,故正確;C、由圖象可知,當(dāng)t=9時(shí),媽媽追上小亮,此時(shí)小亮離家的時(shí)間為9﹣8=1小時(shí),∴小亮走的路程為:1×12=12km,∴媽媽在距家12km出追上小亮,故正確;D、由圖象可知,當(dāng)t=9時(shí),媽媽追上小亮,故錯(cuò)誤;故選D.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖像的應(yīng)用,從圖像中讀取關(guān)鍵信息是解題的關(guān)鍵.9、D【解析】
首先過點(diǎn)A向CB引垂線,與CB交于D,表示出BD、AD的長(zhǎng),根據(jù)正切的計(jì)算公式可算出答案.【詳解】解:過點(diǎn)A向CB引垂線,與CB交于D,△ABD是直角三角形,∵BD=4,AD=2,∴tan∠ABC=故選:D.【點(diǎn)睛】此題主要考查了銳角三角函數(shù)的定義,關(guān)鍵是掌握正切:銳角A的對(duì)邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切,記作tanA.10、B【解析】試題分析:根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可知AB=CD,AD∥BC,AD=BC,然后根據(jù)平行線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)可知AB=AF,DE=CD,因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12,解得AD=BC=12-2=10.故選B.點(diǎn)睛:此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì),解題關(guān)鍵是把所求線段轉(zhuǎn)化為題目中已知的線段,根據(jù)等量代換可求解.11、B【解析】
根據(jù)垂徑定理求出AD,根據(jù)勾股定理列式求出半徑,根據(jù)三角形中位線定理計(jì)算即可.【詳解】解:∵半徑OC垂直于弦AB,∴AD=DB=AB=在Rt△AOD中,OA2=(OC-CD)2+AD2,即OA2=(OA-1)2+()2,解得,OA=4∴OD=OC-CD=3,∵AO=OE,AD=DB,∴BE=2OD=6故選B【點(diǎn)睛】本題考查的是垂徑定理、勾股定理,掌握垂直于弦的直徑平分這條弦是解題的關(guān)鍵12、C【解析】
解:由題意可得,正方形的邊長(zhǎng)為(m+n),故正方形的面積為(m+n)1.又∵原矩形的面積為4mn,∴中間空的部分的面積=(m+n)1-4mn=(m-n)1.故選C.二、填空題:(本大題共6個(gè)小題,每小題4分,共24分.)13、1【解析】
分別算三角函數(shù),再化簡(jiǎn)即可.【詳解】解:原式=-2×-×=1.【點(diǎn)睛】本題考查掌握簡(jiǎn)單三角函數(shù)值,較基礎(chǔ).14、60°【解析】
先根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出正六邊形每個(gè)內(nèi)角的度數(shù),然后用正六邊形內(nèi)角的度數(shù)減去正三角形內(nèi)角的度數(shù)即可.【詳解】(6-2)×180°÷6=120°,∠1=120°-60°=60°.故答案為:60°.【點(diǎn)睛】題考查了多邊形的內(nèi)角和公式,熟記多邊形的內(nèi)角和公式為(n-2)×180°是解答本題的關(guān)鍵.15、等圓的半徑相等,直徑所對(duì)的圓周角是直角,三角形定義【解析】
根據(jù)圓周角定理可判斷△ABC為直角三角形.【詳解】根據(jù)作圖得AB為直徑,則利用圓周角定理可判斷∠ACB=90°,從而得到△ABC滿足條件.故答案為:等圓的半徑相等,直徑所對(duì)的圓周角是直角,三角形定義.【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣復(fù)雜作圖:復(fù)雜作圖是在五種基本作圖的基礎(chǔ)上進(jìn)行作圖,一般是結(jié)合了幾何圖形的性質(zhì)和基本作圖方法.解決此類題目的關(guān)鍵是熟悉基本幾何圖形的性質(zhì),結(jié)合幾何圖形的基本性質(zhì)把復(fù)雜作圖拆解成基本作圖,逐步操作.也考查了圓周角定理.16、15【解析】試題分析:利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形,這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng),扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形的面積公式求解.圓錐的側(cè)面積=?2π?3?5=15π.故答案為15π.考點(diǎn):圓錐的計(jì)算.17、-1【解析】
本題需要運(yùn)用零次冪的運(yùn)算法則、立方根的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由分析可得:()0﹣=1-2=﹣1.【點(diǎn)睛】熟練運(yùn)用零次冪的運(yùn)算法則、立方根的運(yùn)算法則是本題解題的關(guān)鍵.18、﹣2或﹣7【解析】
把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程即可解決問題.【詳解】?jī)蛇吰椒降玫剑?3+2=25,∴=6,∴(x+11)(2-x)=36,解得x=-2或-7,經(jīng)檢驗(yàn)x=-2或-7都是原方程的解.故答案為-2或-7【點(diǎn)睛】本題考查無理方程,解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)把無理方程轉(zhuǎn)化為整式方程.三、解答題:(本大題共9個(gè)小題,共78分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.19、(1)25,150;(2)y甲=25x(0≤x≤20),;(3)x=14,150【解析】
解:(1)甲每分鐘生產(chǎn)=25只;提高生產(chǎn)速度之前乙的生產(chǎn)速度==15只/分,故乙在提高生產(chǎn)速度之前已生產(chǎn)了零件:15×10=150只;(2)結(jié)合后圖象可得:甲:y甲=25x(0≤x≤20);乙提速后的速度為50只/分,故乙生產(chǎn)完500只零件還需7分鐘,乙:y乙=15x(0≤x≤10),當(dāng)10<x≤17時(shí),設(shè)y乙=kx+b,把(10,150)、(17,500),代入可得:10k+b=150,17k+b=500,解得:k=50,b=?350,故y乙=50x?350(10≤x≤17).綜上可得:y甲=25x(0≤x≤20);;(3)令y甲=y(tǒng)乙,得25x=50x?350,解得:x=14,此時(shí)y甲=y(tǒng)乙=350只,故甲工人還有150只未生產(chǎn).20、(1)BD,CE的關(guān)系是相等;(2)或;(3)1,1【解析】分析:(1)依據(jù)△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,即可BA=CA,∠BAD=∠CAE,DA=EA,進(jìn)而得到△ABD≌△ACE,可得出BD=CE;(2)分兩種情況:依據(jù)∠PDA=∠AEC,∠PCD=∠ACE,可得△PCD∽△ACE,即可得到=,進(jìn)而得到PD=;依據(jù)∠ABD=∠PBE,∠BAD=∠BPE=90°,可得△BAD∽△BPE,即可得到,進(jìn)而得出PB=,PD=BD+PB=;(3)以A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫圓,當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí),PD的值最小;當(dāng)CE在在⊙A右上方與⊙A相切時(shí),PD的值最大.在Rt△PED中,PD=DE?sin∠PED,因此銳角∠PED的大小直接決定了PD的大?。謨煞N情況進(jìn)行討論,即可得到旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最小值以及最大值.詳解:(1)BD,CE的關(guān)系是相等.理由:∵△ABC和△ADE是有公共頂點(diǎn)的等腰直角三角形,∠BAC=∠DAE=90°,∴BA=CA,∠BAD=∠CAE,DA=EA,∴△ABD≌△ACE,∴BD=CE;故答案為相等.(2)作出旋轉(zhuǎn)后的圖形,若點(diǎn)C在AD上,如圖2所示:∵∠EAC=90°,∴CE=,∵∠PDA=∠AEC,∠PCD=∠ACE,∴△PCD∽△ACE,∴,∴PD=;若點(diǎn)B在AE上,如圖2所示:∵∠BAD=90°,∴Rt△ABD中,BD=,BE=AE﹣AB=2,∵∠ABD=∠PBE,∠BAD=∠BPE=90°,∴△BAD∽△BPE,∴,即,解得PB=,∴PD=BD+PB=+=,故答案為或;(3)如圖3所示,以A為圓心,AC長(zhǎng)為半徑畫圓,當(dāng)CE在⊙A下方與⊙A相切時(shí),PD的值最小;當(dāng)CE在在⊙A右上方與⊙A相切時(shí),PD的值最大.如圖3所示,分兩種情況討論:在Rt△PED中,PD=DE?sin∠PED,因此銳角∠PED的大小直接決定了PD的大小.①當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中△ACB的位置時(shí),在Rt△ACE中,CE==4,在Rt△DAE中,DE=,∵四邊形ACPB是正方形,∴PC=AB=3,∴PE=3+4=1,在Rt△PDE中,PD=,即旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最小值為1;②當(dāng)小三角形旋轉(zhuǎn)到圖中△AB'C'時(shí),可得DP'為最大值,此時(shí),DP'=4+3=1,即旋轉(zhuǎn)過程中線段PD的最大值為1.故答案為1,1.點(diǎn)睛:本題屬于幾何變換綜合題,主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)變換、全等三角形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)、圓的有關(guān)知識(shí),解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用這些知識(shí)解決問題,學(xué)會(huì)分類討論的思想思考問題,學(xué)會(huì)利用圖形的特殊位置解決最值問題.21、發(fā)現(xiàn):(1)1,60°;(2)2;拓展:(1)相切,理由詳見解析;(2)45°;30°;(3)0°<α<30°或45°≤α<90°.【解析】
發(fā)現(xiàn):(1)利用垂徑定理和勾股定理即可求出點(diǎn)O到AB的距離;利用銳角三角函數(shù)的定義及軸對(duì)稱性就可求出∠ABA′.(2)根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBA′=90°,從而得到∠ABA′=120°,就可求出∠ABP,進(jìn)而求出∠OBP=30°.過點(diǎn)O作OG⊥BP,垂足為G,容易求出OG、BG的長(zhǎng),根據(jù)垂徑定理就可求出折痕的長(zhǎng).拓展:(1)過A'、O作A'H⊥MN于點(diǎn)H,OD⊥A'C于點(diǎn)D.用含30°角的直角三角形的性質(zhì)可得OD=A'H=A'N=MN=2可判定A′C與半圓相切;(2)當(dāng)NA′與半圓相切時(shí),可知ON⊥A′N,則可知α=45°,當(dāng)O′在時(shí),連接MO′,則可知NO′=MN,可求得∠MNO′=60°,可求得α=30°;(3)根據(jù)點(diǎn)A′的位置不同得到線段NO′與半圓O只有一個(gè)公共點(diǎn)N時(shí)α的取值范圍是0°<α<30°或45°≤α<90°.【詳解】發(fā)現(xiàn):(1)過點(diǎn)O作OH⊥AB,垂足為H,如圖1所示,∵⊙O的半徑為2,AB=2,∴OH==在△BOH中,OH=1,BO=2∴∠ABO=30°∵圖形沿BP折疊,得到點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)A′.∴∠OBA′=∠ABO=30°∴∠ABA′=60°(2)過點(diǎn)O作OG⊥BP,垂足為G,如圖2所示.∵BA′與⊙O相切,∴OB⊥A′B.∴∠OBA′=90°.∵∠OBH=30°,∴∠ABA′=120°.∴∠A′BP=∠ABP=60°.∴∠OBP=30°.∴OG=OB=1.∴BG=.∵OG⊥BP,∴BG=PG=.∴BP=2.∴折痕的長(zhǎng)為2拓展:(1)相切.分別過A'、O作A'H⊥MN于點(diǎn)H,OD⊥A'C于點(diǎn)D.如圖3所示,∵A'C∥MN∴四邊形A'HOD是矩形∴A'H=O∵α=15°∴∠A'NH=30∴OD=A'H=A'N=MN=2∴A'C與半圓(2)當(dāng)NA′與半圓O相切時(shí),則ON⊥NA′,∴∠ONA′=2α=90°,∴α=45當(dāng)O′在上時(shí),連接MO′,則可知NO′=MN,∴∠O′MN=0°∴∠MNO′=60°,∴α=30°,故答案為:45°;30°.(3)∵點(diǎn)P,M不重合,∴α>0,由(2)可知當(dāng)α增大到30°時(shí),點(diǎn)O′在半圓上,∴當(dāng)0°<α<30°時(shí)點(diǎn)O′在半圓內(nèi),線段NO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B;當(dāng)α增大到45°時(shí)NA′與半圓相切,即線段NO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B.當(dāng)α繼續(xù)增大時(shí),點(diǎn)P逐漸靠近點(diǎn)N,但是點(diǎn)P,N不重合,∴α<90°,∴當(dāng)45°≤α<90°線段BO′與半圓只有一個(gè)公共點(diǎn)B.綜上所述0°<α<30°或45°≤α<90°.【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理、三角函數(shù)的定義、30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半、翻折問題等知識(shí),正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.22、見解析.【解析】試題分析:先做出∠AOB的角平分線,再求出線段MN的垂直平分線就得到點(diǎn)P.
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