2017年高考試題-數(shù)學(xué)（江蘇卷）解析版

絕密★啟用前

2017年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試（江蘇卷）

數(shù)學(xué)I

【試卷點(diǎn)評(píng)】

【命題特點(diǎn)】

2017年江蘇高考數(shù)學(xué)試卷，在保持穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，進(jìn)行適度的改革和創(chuàng)新，對(duì)數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意

識(shí)的要求比以往有所提高。2017年江蘇數(shù)學(xué)試卷在“穩(wěn)中求進(jìn)”中具體知識(shí)點(diǎn)有變化。

1.體現(xiàn)新課標(biāo)理念，實(shí)現(xiàn)平穩(wěn)過(guò)渡。試卷緊扣江蘇考試大綱，新增內(nèi)容的考查主要是對(duì)基本概念、基

本公式、基本運(yùn)算的考查，難度不大。對(duì)傳統(tǒng)內(nèi)容的考查在保持平穩(wěn)的基礎(chǔ)上進(jìn)行了適度創(chuàng)新。如第7題

首次考查幾何概型概率問(wèn)題。

2.關(guān)注通性通法。試卷淡化了特殊的技巧，全面考查通性通法，體現(xiàn)了以知識(shí)為載體，以方法為依托,

以能力考查為目的的命題要求。如第17題解析幾何考查兩直線交點(diǎn)以及點(diǎn)在曲線上。第20題以極值為載

體考查根與系數(shù)關(guān)系、三次方程因式分解。第19題以新定義形式多層次考查等差數(shù)列定義。

3.體現(xiàn)數(shù)學(xué)應(yīng)用，關(guān)注社會(huì)生活。第10題以實(shí)際生活中運(yùn)費(fèi)、存儲(chǔ)費(fèi)用為背景的基本不等式求最值問(wèn)

題，第18題以常見(jiàn)的正四棱柱和正四棱臺(tái)為背景的解三角形問(wèn)題，體現(xiàn)試卷設(shè)計(jì)問(wèn)題背景的公平性，對(duì)推

動(dòng)數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)注身邊的數(shù)學(xué)起到良好的導(dǎo)向。

4.附加題部分，前四道選做題對(duì)知識(shí)點(diǎn)的考查單一，方法清晰，學(xué)生入手較易。兩道必做題一改常規(guī)，既

考查空間向量在立體幾何中應(yīng)用，又考查概率分布與期望值，既考查運(yùn)算能力，又考查思維能力。

【試卷解析】

參考公式：

柱體的體積V=S/z,其中S是柱體的底面積，力是柱體的高.

球體積公式丫=皿，其中R是球的半徑.

3

一、填空題:本大題共14小題，每小題5分,共計(jì)70分.請(qǐng)把答案填寫(xiě)在答題卡相應(yīng)位置上.

1.已知集合人={1,2},8=伍,02+3},若AB則實(shí)數(shù)a的值為▲.

【答案】1

【解析】由題意leB，顯然『+323,所以a=l,此時(shí)/+3=4,滿足題意，故答案為1.

【考點(diǎn)】元素的互異性

【名師點(diǎn)睛】(1)認(rèn)清元素的屬性，解決集合問(wèn)題時(shí)，認(rèn)清集合中元素的屬性(是點(diǎn)集、數(shù)集或其他情形)和

化簡(jiǎn)集合是正確求解的兩個(gè)先決條件.

(2)注意元素的互異性.在解決含參數(shù)的集合問(wèn)題時(shí)，要注意檢驗(yàn)集合中元素的互異性，否則很可能會(huì)因?yàn)?/p>

不滿足“互異性”而導(dǎo)致解題錯(cuò)誤.

(3)防范空集.在解決有關(guān)A8=0,AqB等集合問(wèn)題時(shí)，往往忽略空集的情況，一定先考慮。是否成立,

以防漏解.

2.已知復(fù)數(shù)z=(l+i)(l+2i),其中i是虛數(shù)單位，則z的模是▲.

【答案】歷

【解析】|z|=|(l+f)(l+2J)|=|1+/||1+2f|=-72x75=^0,故答案為而.

【考點(diǎn)】復(fù)數(shù)的模

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算，要切實(shí)掌握其運(yùn)算技巧和常規(guī)思路，如

(a+bi)(c+di)-(ac-bd)+(ad+bc)i,(a,b,c.deR).其次要熟悉復(fù)數(shù)相關(guān)基本概念，如復(fù)數(shù)

。+4R)的實(shí)部為。、虛部為。、模為Ja?+少2、對(duì)應(yīng)點(diǎn)為(a,))、共輒為。一瓦.

3.某工廠生產(chǎn)甲、乙、丙、丁四種不同型號(hào)的產(chǎn)品，產(chǎn)量分別為200,400,300,100件.為檢驗(yàn)產(chǎn)品的質(zhì)量，現(xiàn)用

分層抽樣的方法從以上所有的產(chǎn)品中抽取60件進(jìn)行檢驗(yàn).則應(yīng)從丙種型號(hào)的產(chǎn)品中抽取▲件.

【答案】18

【解析】所求人數(shù)為60x上竺＜-=18,故答案為18.

10000

【考點(diǎn)】分層抽樣

【名師點(diǎn)睛】在分層抽樣的過(guò)程中，為了保證每個(gè)個(gè)體被抽到的可能性是相同的，這就要求各層所抽取的

個(gè)體數(shù)與該層所包含的個(gè)體數(shù)之比等于樣本容量與總體的個(gè)體數(shù)之比，即m：Ni=n:N.

4.右圖是一個(gè)算法流程圖，若輸入x的值為測(cè)輸出的v的值是▲.

(第4題)

【答案】-2

【解析】由題意y=2+log2+=—2,故答案為一2.

【考點(diǎn)】循環(huán)結(jié)構(gòu)流程圖

【名師點(diǎn)睛】算法與流程圖的考查，側(cè)重于對(duì)流程圖循環(huán)結(jié)構(gòu)的考查.先明晰算法及流程圖的相關(guān)概念，包

括選擇結(jié)構(gòu)、循環(huán)結(jié)構(gòu)、偽代碼，其次要重視循環(huán)起點(diǎn)條件、循環(huán)次數(shù)、循環(huán)終止條件，更要通過(guò)循環(huán)規(guī)

律，明確流程圖研究的數(shù)學(xué)問(wèn)題，是求和還是求項(xiàng).

5.若tan(?則tana=▲.

46

7

【答案】-

5

,我、711,

口Rtan(a-—)+tan——+1

【解析】tana=tan[(a--)+-]=-------±-------±-=J故答案為-.

44,，冗、兀、\《V

1—tan((Z——)tan—1_—-

【考點(diǎn)】?jī)山呛驼泄?/p>

【名師點(diǎn)睛】三角函數(shù)求值的三種類(lèi)型

(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù).

(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異.

①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；

②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的.

(3)給值求角：實(shí)質(zhì)是轉(zhuǎn)化為“給值求值”，先求角的某一函數(shù)值，再求角的范圍，確定角.

6.如圖，在圓柱。,。2內(nèi)有一個(gè)球O,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱。,。2的體積為匕，球。的

0

（第6題）

3

【答案】-

2

【解析】設(shè)球半徑為r,則上V^=與乃產(chǎn)_x2—r3故答案為士3.

匕4+22

3

【考點(diǎn)】圓柱體積

【名師點(diǎn)睛】空間幾何體體積問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略

（1）若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解.（2）若所

給定的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解.

7.記函數(shù)/（x）=A/6+X-X2的定義域?yàn)镈.在區(qū)間［-4,5］上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則的概率是▲.

【答案】-

【解析】由6+X-/20,即/-x-6S0,得一2SxW3,根據(jù)幾何概型的概率計(jì)算公式得xe。的概

【考點(diǎn)】?jī)汉胃判透怕?/p>

【名師點(diǎn)睛】（1）當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)殚L(zhǎng)度、面積、體積等時(shí)，應(yīng)考慮使用幾何概型求解.

（2）利用幾何概型求概率時(shí)，關(guān)鍵是試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域和事件發(fā)生的區(qū)域的尋找，有時(shí)需要設(shè)出

變量，在坐標(biāo)系中表示所需要的區(qū)域.

（3）幾何概型有兩個(gè)特點(diǎn)：一是無(wú)限性，二是等可能性.基本事件可以抽象為點(diǎn)，盡管這些點(diǎn)是無(wú)限的，

但它們所占據(jù)的區(qū)域都是有限的，因此可用“比例解法”求解幾何概型的概率.

8.在平面直角坐標(biāo)系X。），中,雙曲線5-丁=1的右準(zhǔn)線與它的兩條漸近線分別交于點(diǎn)己。,其焦點(diǎn)是

耳心，則四邊形片PF2Q的面積是▲.

【答案】

【解析】右準(zhǔn)線方程為》=焉=等，漸近線為廣邛X,則哨黑曙），。筆，甯）,

耳（加0）,齷（曬：0）,則5=2曬、*="T

【考點(diǎn)】雙曲線漸近線

72

【名師點(diǎn)睛】1.已知雙曲線方程［-二=1求漸近線：廠y

0=>y=±-x

ab/一立a

2.已知漸近線y=?ra:設(shè)雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程加2/一,2=丸

3,雙曲線焦點(diǎn)到漸近線距離為人，垂足為對(duì)應(yīng)準(zhǔn)線與漸近線的交點(diǎn).

9.等比數(shù)列區(qū)｝的各項(xiàng)均為實(shí)數(shù)，其前〃項(xiàng)的和為S”,已知53Ts6號(hào)，則做=_A

【答案】32

【解析】當(dāng)4=1時(shí)，顯然不符學(xué)合題意：

4(1"=7

,764，解得，1，則

當(dāng)qwl時(shí)，，44=,X2,=32.

%(1-/)=63

4=2

\-q

【考點(diǎn)】等比數(shù)列通項(xiàng)

【名師點(diǎn)睛】在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，有兩個(gè)處理思路，一是利用基本量，將多元問(wèn)題簡(jiǎn)化為

一元問(wèn)題,雖有一定量的運(yùn)算,但思路簡(jiǎn)潔，目標(biāo)明確;二是利用等差、等比數(shù)列的性質(zhì)，性質(zhì)是兩種數(shù)列基本

規(guī)律的深刻體現(xiàn)，是解決等差、等比數(shù)列問(wèn)題既快捷又方便的工具，應(yīng)有意識(shí)地去應(yīng)用.但在應(yīng)用性質(zhì)時(shí)要

注意性質(zhì)的前提條件，有時(shí)需要進(jìn)行適當(dāng)變形.在解決等差、等比數(shù)列的運(yùn)算問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常采用“巧用性

質(zhì)、整體考慮、減少運(yùn)算量”的方法.

10.某公司一年購(gòu)買(mǎi)某種貨物600噸，每次購(gòu)買(mǎi)x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使

一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)之和最小，則x的值是▲.

【答案】30

【解析】總費(fèi)用4x+儂*6=4（x+期）*4*2師=240,當(dāng)且僅當(dāng)》=期，即x=30時(shí)等號(hào)成立.

XXX

【考點(diǎn)】基本不等式求最值

【名師點(diǎn)睛】在利用基本不等式求最值時(shí)，要特別注意“拆、拼、湊”等技巧，使其滿足基本不等式中

“正”(即條件要求中字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)取得的條件)的條

件才能應(yīng)用，否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤.

II.已知函數(shù)/(x)=x3-2x+e*q,其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若/(。-1)+/(2/)W0,則實(shí)數(shù)〃的取值范

圍是▲.

【答案】［—1」］

2

【解析】因?yàn)橐粁)=-x3+2x+［-eX=-/(x),所以函數(shù)/(x)是奇函數(shù)，

eA

因?yàn)槭?力=3/—2+e*+e-x23/-2+入七彳>0,所以數(shù)/(x)在R上單調(diào)遞增，

又f(a-l)+/(2/)W0,即FQa：)S『(l一a),所以2a七l-a,即2『+a-l?0,

解得故實(shí)數(shù)a的取值范圍為［-L。.

【考點(diǎn)】利用函數(shù)性質(zhì)解不等式

【名師點(diǎn)睛】解函數(shù)不等式：首先根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)把不等式轉(zhuǎn)化為/(g(x))>/(用(X))的形式，然后根據(jù)函

數(shù)的單調(diào)性去掉“f”，轉(zhuǎn)化為具體的不等式(組)，此時(shí)要注意g(x)與做X)的取值應(yīng)在外層函數(shù)的定義

域內(nèi)

12.如圖，在同一個(gè)平面內(nèi)，向量。A,08,OC的模分別為1,1,0,。4與0(7的夾角為&,且tana=7,OB與

0C的夾角為45°.若OC=mOA+nOB(m,neR),則機(jī)+〃=▲.

【答案】3

【解析】由tana=7可得sina=^2,cosa=—,根據(jù)向量的分解,

1010

V2V2n-

“L---VI+ITI—"\12,c

〃cos450+/〃cosa=J22105n+/n=1057

易得，，即＜L，即＜，即得加=一,九=一

nsin450-msin6Z=007V2[5n-7m=044

---n------m=0

I210

所以m+〃=3.

【考點(diǎn)】向量表示

【名師點(diǎn)睛】(D向量的坐標(biāo)運(yùn)算將向量與代數(shù)有機(jī)結(jié)合起來(lái)，這就為向量和函數(shù)、方程、不等式的結(jié)合提

供了前提，運(yùn)用向量的有關(guān)知識(shí)可以解決某些函數(shù)、方程、不等式問(wèn)題.

(2)以向量為載體求相關(guān)變量的取值范圍，是向量與函數(shù)、不等式、三角函數(shù)等相結(jié)合的一類(lèi)綜合問(wèn)題.通

過(guò)向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解不等式或求函數(shù)值域，是解決這類(lèi)問(wèn)題的一般方法.

(3)向量的兩個(gè)作用：①載體作用：關(guān)鍵是利用向量的意義、作用脫去“向量外衣”，轉(zhuǎn)化為我們熟悉的數(shù)

學(xué)問(wèn)題；②工具作用：利用向量可解決一些垂直、平行、夾角與距離問(wèn)題.

13.在平面直角坐標(biāo)系X。)，中,A(-12,0),8(0,6),點(diǎn)尸在圓。Y+丁=50上若如.W20,則點(diǎn)。的橫坐

標(biāo)的取值范圍是▲.

【答案】[-5>/2,1]

【解析】設(shè)P(”)，由易得2x-j+540，由「\，可得月：《〈或

,r+y*=50[y=-5

由2x-j+5so得P點(diǎn)在圓左邊弧岔上,結(jié)合限制條件，可得點(diǎn)P橫

坐標(biāo)的取值范圍為[-5妤」.

【考點(diǎn)】直線與圓，線性規(guī)劃

【名師點(diǎn)睛】線性規(guī)劃問(wèn)題，首先明確可行域?qū)?yīng)的是封閉區(qū)域還是開(kāi)放區(qū)域、分界線是實(shí)線還是虛線，

其次確定目標(biāo)函數(shù)的幾何意義，是求橫坐標(biāo)或縱坐標(biāo)、直線的截距、兩點(diǎn)間距離的平方、直線的斜率、還

是點(diǎn)到直線的距離等等，最后結(jié)合圖形確定目標(biāo)函數(shù)最值取法、值域范圍.

14.設(shè)/(x)是定義在R且周期為1的函數(shù)，在區(qū)間[0,1)上,/(外=1*'其中集合

X,x更D,

D=^x\x=一,〃eN*},則方程/(x)-Igx=0的解的個(gè)數(shù)是▲.

【答案】8

【解析】由于/(x)e[O,l),則需考慮lWx<10的情況

在此范圍內(nèi)，xeQ且xeZ時(shí)，設(shè)x=",p,qeN",pN2,且p,q互質(zhì)

P

n*

若IgxcQ,則由lgxe(O,l),可設(shè)lgx=—,m>2，且w互質(zhì)

m

因此10%=幺，貝IJ10",此時(shí)左邊為整數(shù)，右邊非整數(shù)，矛盾，因此IgxeQ

pP

因此Igx不可能與每個(gè)周期內(nèi)xeD對(duì)應(yīng)的部分相等，

只需考慮lgx與每個(gè)周期x任。的部分的交點(diǎn)，

畫(huà)出函數(shù)圖像，圖中交點(diǎn)除外（L0）其他交點(diǎn)橫坐標(biāo)均為無(wú)理數(shù)，屬于每個(gè)周期x任Z）的部分,

且x=l處Qgx）'=―-—=」一＜1,則在x=l附近僅有一個(gè)交點(diǎn)

xlnlOIn10

因此方程解的個(gè)數(shù)為8個(gè).

【考點(diǎn)】函數(shù)與方程

【名師點(diǎn)睛】對(duì)于方程解的個(gè)數(shù)（或函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)）問(wèn)題，可利用函數(shù)的值域或最值，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性、

草圖確定其中參數(shù)范圍.從圖象的最高點(diǎn)、最低點(diǎn)，分析函數(shù)的最值、極值；從圖象的對(duì)稱(chēng)性，分析函

數(shù)的奇偶性；從圖象的走向趨勢(shì)，分析函數(shù)的單調(diào)性、周期性等.

二、解答題：本大題共6小題，共計(jì)90分.請(qǐng)?jiān)诖痤}卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明、

證明過(guò)程或演算步驟.

15.（本小題滿分14分）

如圖，在三棱錐A-BCD中BC1BD,平面平面BCD,點(diǎn)E,F（E與A,D不重合）分別在棱

AD,BD上，且EF1.AD.

求證：（1）EF〃平面ABC；

(2)AD1AC.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】證明：(1)在平面ABO內(nèi)，因?yàn)锳BLAO,EF±AD-所以E/〃AB.

又因?yàn)镋FN平面43C,-13u平面.1BC,所以EF”平面43c.

(2)因?yàn)槠矫?BD1平面BCD,

平面ABD。平面BCD=BD,

SCu平面BCD,BC_BD,

所以平面，

因?yàn)锳Du平面ABD｝所以BC-.ID.

又4514D,=平面43C,￡Cu平面X5C,

所以々1平面數(shù)。，

又因?yàn)?CU平面45C,

所以疝LUC

【考點(diǎn)】線面平行判定定理、線面垂直判定與性質(zhì)定理，面面垂直性質(zhì)定理

【名師點(diǎn)睛】垂直、平行關(guān)系證明中應(yīng)用轉(zhuǎn)化與化歸思想的常見(jiàn)類(lèi)型.

(1)證明線面、面面平行，需轉(zhuǎn)化為證明線線平行.

(2)證明線面垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線線垂直.

⑶證明線線垂直，需轉(zhuǎn)化為證明線面垂直.

16.(本小題滿分14分)

已知向量a=(cosx,sinx),b=(3,-石),xe[0,n].

(1)若a〃8求x的值；

(2)記f(x)=a/,求f(x)的最大值和最小值以及對(duì)應(yīng)的x的值.

【答案】(1)x=—(2)x=0時(shí)，/(x)取得最大值，為3：x=型時(shí)，f(x)取得最小值，為一2百.

66

【解析】解：(1)因?yàn)椤?(cosx,sin%),6=(3,_百),a//b,

所以一6cosx=3sinx-

若cosx=0,貝iJsinx=0,與sin：x+cos?x=l矛盾,故COSXHO.

工曰+后

tanx=-——.

3

57r

又.e[0，m所以工=不.

(2)于(x)=a?b=(cosx,sinx)-(3,->/3)=3cosx-V3sinx=2V3cos(x+—).

6

因?yàn)楣[0m，所以XHG[—,],

666

從而一1<cos(x+2)K.

7T7T

于是，當(dāng)工+一=一，即尤=0時(shí)，/(%)取到最學(xué).科網(wǎng)大值3；

66

TT517T

當(dāng)工十:二兀，即3=—時(shí)，/(%)取到最小值一2G.

66

【考點(diǎn)】向量共線，數(shù)量積

【名師點(diǎn)睛】(1)向量平行:a//b=>xly2=x2yl，

alIb,b0=>32GR,6f=A/?,BA=AAC=OA=--—OB+'OC

]+丸1+2

(2)向量垂直：a±b<^a-b=0<^>x]x2+y]y2=0,

2

(3)向量加減乘:a±b=(x[±x2,yi±y2)9a=\a^^a-b=]a\-\b\cos<a,b>

17.(本小題滿分14分)

22i

如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓石：+r+斗v=l(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為小F,,離心率為L(zhǎng)

6?-b2

兩準(zhǔn)線之間的距離為8.點(diǎn)尸在橢圓￡上，且位于第一象限，過(guò)點(diǎn)寫(xiě)作直線2耳的垂線人過(guò)點(diǎn)心作直線

PF2的垂線1

(1)求橢圓￡的標(biāo)準(zhǔn)方程；

(2)若直線E的交點(diǎn)。在橢圓E上，求點(diǎn)P的坐標(biāo).

【答案】(1)—+^-=1(2)(―，^)

4377

【解析】解：(1)設(shè)橢圓的半焦距為c

因?yàn)闄E圓E的離心率為二，兩準(zhǔn)線之間的距離為8,所以￡=g,—=8,

2a2c

z2

解得a=2：c=1,于是,=y]a-c=出,

J、

因此橢圓E的標(biāo)準(zhǔn)方程是—+^-=1.

43

(2)由(1)知,耳(-L0),一60).

設(shè)尸(毛)0),因?yàn)辄c(diǎn)尸為第一象限的點(diǎn)，故片>0,及>0.

當(dāng)天=1時(shí)，4與4相交于耳，與題設(shè)不符.

當(dāng)天時(shí)，直線尸耳的斜率為97,直線產(chǎn)E的斜率為弋.

毛+1毛—]

..-%+1%—1

因?yàn)?1尸百，41%,所以直線《的斜率為一一,直線4的斜率為一一

>0>0

從而直線4的方程：，=一六擔(dān)(％+1),①

直線/，的方程：y=-^—'-U-i).?

%

22

l-%l-v

由①②，解得X=—Xo，y=---所以。(一X(),------).

%%

2

1-%

因?yàn)辄c(diǎn)。在橢圓上，由對(duì)稱(chēng)性，得一=土先,即考一y；=1或片+4=L

%

，，

又尸在橢圓E上，故壬+21=1.

43

r，，.r,?t

.<-y；=1廠x：+y；=1

由五+五7'解得％=［：=竺=E+W-l，無(wú)解?

.4343

（4幣3?。?/p>

因此點(diǎn)P的坐標(biāo)為7'7.

【考點(diǎn)】橢圓方程，直線與橢圓位置關(guān)系

【名師點(diǎn)睛】直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，一般轉(zhuǎn)化為直線方程與圓錐曲線方程組成的方程組，利用韋達(dá)

定理或求根公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，要充分利用橢圓和雙曲線的幾何性質(zhì)、點(diǎn)在曲線上則點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程.

18.（本小題滿分16分）

如圖，水平放置的正四棱柱形玻璃容器I和正四棱臺(tái)形玻璃容器II的高均為32cm,容器I的底面對(duì)角線

AC的長(zhǎng)為10近c(diǎn)m,容器［［的兩底面對(duì)角線EG,gG的長(zhǎng)分別為14cm和62cm.分別在容器I和容器

H中注入水，水深均為12cm.現(xiàn)有一根玻璃棒/，其長(zhǎng)度為40cm.（容器厚度、玻璃棒粗細(xì)均忽略不計(jì)）

（1）將/放在容器I中,/的一端置于點(diǎn)A處，另一端置于側(cè)棱CG上,求/沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度；

（2）將/放在容器II中,/的一端置于點(diǎn)E處，另一端置于側(cè)棱GG1上，求/沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度.

容器I容器n

（第18題）

【答案】（1）16（2）20

【解析】解：（1）由正棱柱的定義，CCJ平面ABCD,所以平面AACG，平面ABC。，CC,±AC.

記玻璃棒的另?端落在CG上點(diǎn)M處.

因?yàn)镠C=100143/=40,

所以MC=J4OL（1O丁）：=30,從而sinZJ￡4C=-,

記，處/與水面的焦點(diǎn)為々，過(guò)々作PiOilxC,Q為垂足，

則P1Q1平面ABCD,故凡5=12,

從而AP\=

答：玻璃棒/沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為16cm.

（如果將“沒(méi)入水中部分冶理解為“水面以上部分冶，則結(jié)果為24cm）

(第18⑴題)(第18(2)題)

(2)如圖，O,。1是正棱臺(tái)的兩底面中心.

由正棱臺(tái)的定義，0。I_1_平面EFGH,所以平面EIEGGI,平面EFG”，O\OLEG.

同理，平面EIEGGI,平面EtBGiHi,O\OLE\G\.

記玻璃棒的另一端落在GGi上點(diǎn)N處.

過(guò)G作GK_LEiG,K為垂足，則GK=OOi=32.

因?yàn)镋G=14,EiGi=62,

62-14i-------------------------------i-----------------------

所以KGi=―=24,從而GG,=JKG：+GK2=V242+322=40.

TT4

設(shè)/EGG、=a,/ENG=(3,則sina=sin(—+NKGG1)=cosNKGG、=—.

兀3

因?yàn)橐唬?＜兀，所以cosa=——.

25

4014八7

在/\ENG中,由正弦定理可得一一=一方，解得sin￡=——.

sinasinp25

兀24

因?yàn)?＜夕＜5，所以cos￡=石.

于是sin/NEG-sin(兀一a—=sin(a+0)=sinacos(3+cosasin/?=—xp(——)x——=—.

記EN與水面的交點(diǎn)為尸2,過(guò)P2作尸20J_EG,。2為垂足，則尸2。2,平面EFGH,故220=12,從而

EP1=—與2—=20.

sinNNEG

答:玻璃棒/沒(méi)入水中部分的長(zhǎng)度為20cm.

(如果將“沒(méi)入水中部分冶理解為“水面以上部分冶，則結(jié)果為20cm)

【考點(diǎn)】正余弦定理

【名師點(diǎn)睛】解三角形問(wèn)題，多為邊和角的求值問(wèn)題，這就需要根據(jù)正、余弦定理結(jié)合已知條件靈活轉(zhuǎn)化

邊和角之間的關(guān)系，從而達(dá)到解決問(wèn)題的目的.其基本步驟是：

第一步：定條件，即確定三角形中的已知和所求，在圖形中標(biāo)出來(lái)，然后確定轉(zhuǎn)化的方向.

第二步：定工具，即根據(jù)條件和所求合理選擇轉(zhuǎn)化的工具，實(shí)施邊角之間的互化.

第三步：求結(jié)果.

19.(本小題滿分16分)

對(duì)于給定的正整數(shù)4,若數(shù)列｛a.｝滿足+an-lc+l++an-\+。"+|+++an+k

=2ka?對(duì)任意正整數(shù)〃(〃>k)總成立，則稱(chēng)數(shù)列｛a?｝是“P(k)數(shù)列”.

(1)證明：等差數(shù)列｛%｝是“P(3)數(shù)列”；

(2)若數(shù)列｛/｝既是“尸(2)數(shù)列”，又是“P(3)數(shù)列”，證明：｛4｝是等差數(shù)列.

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析

【解析】證明：(D因?yàn)椋?｝是等差數(shù)列，設(shè)其公差為目，則a”=ai+(“-l)d,

從而，當(dāng)〃之4時(shí)，a^+a^=ax+(n-k-Y)d+ax+(n+k-Y)d

=2q+2(〃-1)目=2%,k=l;2,3,

所以a-+a一3―=6al2，

因此等差數(shù)列｛%｝是“尸(司數(shù)列”.

<2)數(shù)列｛q｝既是“產(chǎn)⑵數(shù)列”，又是“尸⑶數(shù)列”，因此，

當(dāng)〃23時(shí)，4.2+q_1+%+4+2=4%,①

a

當(dāng)〃24時(shí)，a?_3+a,—+n-i+%+i+4+2+4+3=6%.②

由①知，an_3+a?_2=4?！癬]一（a“+an+l）,③

%+2+4+3=4??+1-（??_（+an）,④

將③④代人②，得4T+%-：=23，其中〃24,

所以色M4M5,…是等差數(shù)列，設(shè)其公差為

在①中，取"=4,則生+生+。5+生=4q,所以%=為-4',

在①中，取〃=3,則/+生+卬+q=4生，所以用=%-2",

所以數(shù)列｛4｝是等差數(shù)列.

【考點(diǎn)】等差數(shù)列定義及通項(xiàng)公式

【名師點(diǎn)睛】證明｛a,,｝為等差數(shù)列的方法：

（1）用定義證明：a“+1—a“=d（d為常數(shù)）：

（2）用等差中項(xiàng)證明：2a田=an+an+2；

（3）通項(xiàng)法：％為〃的一次函數(shù)；

⑷前“項(xiàng)和法：S?=An2+Bn

20.（本小題滿分16分）

己知函數(shù)/（犬）=/+以2+法+i（a>o力eR）有極值，且導(dǎo)函數(shù)（（X）的極值點(diǎn)是f（x）的零點(diǎn).（極值點(diǎn)是

指函數(shù)取極值時(shí)對(duì)應(yīng)的自變量的值）

（1）求b關(guān)于a的函數(shù)關(guān)系式，并寫(xiě)出定義域；

（2）證明：->3a;

（3）若f（x）,/'（x）這兩個(gè)函數(shù)的所有極值之和不小于-g,求a的取值范圍.

【答案】（1）a>3（2）見(jiàn)解析（3）3<a<6

2

【解析】解：（1）由/（無(wú)）=1+依2+必+1,得（（幻=3/+2融+。=3（》+0）2+人一里.

當(dāng)％=一_|時(shí)，/，（x）有極小值b—會(huì).

因?yàn)槭＃┑臉O值點(diǎn)是/（%）的零點(diǎn).

/-/1cbC4J72/3

所以/(---)=-----1--------F1=0,又。>。，故人=----1--.

327939a

因?yàn)?(x)有極值，故/'(x)=0有實(shí)根，從而人一巴?=’-(27—a3)<0,即。23.

39a

〃=3時(shí)，/'(x)>O(xwT),故/(龍)在R上是增函數(shù)，/(x)沒(méi)有極值;

-a—\lci~—3b—a+J4-3b

。>3時(shí)，/'(x)=0有兩個(gè)相異的實(shí)根玉=——y~,x2=——?dú)鈤—

列表如下

X(一00,XI)(西,尤2)12(x2,+oo)

/'(X)+0-0+

/(?X)極大值極小值

故/(X)的極值點(diǎn)是王,々.

從而。>3,

2

因此b=2qa+±3,定義域?yàn)?+x).

9a

(2)由(D知，-==——+—

y/a9ayfa

2t3,3?二一”

設(shè)g(0=77+->貝Ug'C尸三一r=”「.

9t9f9廣

當(dāng)te(羋什工)時(shí)，g'(r)>0,從而gS在(坐,+M上單調(diào)遞熠一

因?yàn)閍>3,所以小份>36,故g(aC)>gG也)=拒,即二>3

y/a

因此。2>3a.

74/72—6h

(3)由(1)知，/(工)的極值點(diǎn)是藥,工2，且斗+工2=—1〃，尢；+工；=-------

xx

從而f(\)+f(2)=x：+狽；++1+石+ax；+hx2+1

=(3x；+26Kxl+b)+—(3蒼+2ax-y+b)+—+x；)+—b(x、+x2)+2

4/-6ab4ab?八

--------------+2=0

279

，'(x)所有極值之和為Ma),

因?yàn)?'(x)的極值為6—二■=一：才+二，所以〃(。)=一：。-+。，a>3.

j9a9a

因?yàn)椤?3尸-2。—三<0,于是〃3)在(3,+X)上單調(diào)遞；底

9o*

因?yàn)殡p6尸一；,于是a(a)24(6),故a46.

因此a的取值范圍為(3,6］.

【考點(diǎn)】利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性、極值及零點(diǎn)

【名師點(diǎn)睛】涉及函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題、方程解的個(gè)數(shù)問(wèn)題、函數(shù)圖像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題，一般先通過(guò)導(dǎo)數(shù)研究函

數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢(shì)等，再借助函數(shù)的大致圖象判斷零點(diǎn)、方程根、交點(diǎn)的情況，歸

根到底還是研究函數(shù)的性質(zhì)，如單調(diào)性、極值，然后通過(guò)數(shù)形結(jié)合的思想找到解題的思路.

數(shù)學(xué)H

21.【選做題】本題包括A、B、C、D四小題，請(qǐng)選定其中兩題，并在相應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)作答，若多做,

則按作答的前兩小題評(píng)分.解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

A.［選修4一1：幾何證明選講］(本小題滿分10分)

如圖，A8為半圓。的直徑，直線PC切半圓O于點(diǎn)C,APIPC,P為垂足.

求證：(1)ZPAC=ZCAB;

(2)AC2=APAB.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】證明：(1)因?yàn)镻C切半圓。于點(diǎn)C,

所以NPC4=NCBA,

因?yàn)闉榘雸A。的直徑，

所以/月6=90。，

因?yàn)锳P1PC,所以4TPC=90。，

所以NH4C=NC4.

.IPAC

(2)由(1)知△一d尸＞故——?=——,

JCAB

所以AC2=AP/B

【考點(diǎn)】圓性質(zhì)，相似三角形

【名師點(diǎn)睛】1.解決與圓有關(guān)的成比例線段問(wèn)題的兩種思路

（1）直接應(yīng)用相交弦、切割線定理及其推論；（2）當(dāng)比例式（等積式）中的線段分別在兩個(gè)三角形中時(shí)，可轉(zhuǎn)

化為證明三角形相似，一般思路為“相似三角形一比例式f等積式”.在證明中有時(shí)還要借助中間比來(lái)代

換，解題時(shí)應(yīng)靈活把握.

2.應(yīng)用相交弦定理、切割線定理要抓住幾個(gè)關(guān)鍵內(nèi)容：如線段成比例與相似三角形、圓的切線及其性質(zhì)、

與圓有關(guān)的相似三角形等.

B.[選修4—2：矩陣與變換]（本小題滿分10分）

O1--1OO1O

1OrlO2

=B=,

1OO2.

（1）求AB；

（2）若曲線G:*+5=1在矩陣A5對(duì)應(yīng)的變換作用下得到另一曲線，求C的方程.

[0o](2)x2+y2=8

【答案】（1）[1

0110

【解析】解：（1）因?yàn)锳=B=

1002

01002

所以48=]

0210

（2）設(shè)Q（%,%）為曲線G上的任意一點(diǎn)，

它在矩陣48對(duì)應(yīng)的變換作用下變?yōu)槭▁,y）.

0x2%=xx0二y

則o][：，所以彳X

1y.%=5

22

因?yàn)镼（x。,%）在曲線G上，所以"+二=1，

88

22

從而：L+2_=l,即f+y2=8

88

因此曲線G在矩陣AB對(duì)應(yīng)的變換作用下得到曲線G：/+V=8

【考點(diǎn)】矩陣乘法、線性變換

bmpam+bnap+bq

【名師點(diǎn)睛】（1）矩陣乘法注意對(duì)應(yīng)相乘:

dnqcm+dncp+dq

bxab

（2）矩陣變換注意變化前后對(duì)應(yīng)點(diǎn):表示點(diǎn)（x,y）在矩陣變換下變成點(diǎn)（W）

dy.ycd

C.［選修4?4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程］（本小題滿分10分）

x=-8+r

在平面坐標(biāo)系中xOy中，已知直線/的參考方程為t”為參數(shù)）,曲線。的參數(shù)方程為

“=2’二（s為參數(shù)）.設(shè)P為曲線C上的動(dòng)點(diǎn)，求點(diǎn)P到直線/的距離的最小值.

y=2\/2s

【答案】竽

【解析】解：直線/的普通方程為X一2丁+8=0.

因?yàn)辄c(diǎn)P在曲線C上，設(shè)尸（2小鄧”,

2”-40s+8_2（s-0），+4

從而點(diǎn)尸到直線/的的距離d=代一1）：；（-2）：-出

4"

當(dāng)5=時(shí)，也泣=

因此當(dāng)點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（4,4）時(shí)，曲線。上點(diǎn)p到宜線/的距離取到最小值竽.

【考點(diǎn)】參數(shù)方程化普通方程

【名師點(diǎn)睛】1.將參數(shù)方程化為普通方程，消參數(shù)常用代入法、加減消元法、三角恒等變換法.2.把參

數(shù)方程化為普通方程時(shí)，要注意哪一個(gè)量是參數(shù)，并且要注意參數(shù)的取值對(duì)普通方程中x及y的取值范圍

的影響.

D.［選修4-5：不等式選講］（本小題滿分10分）

已知a,b,c,d為實(shí)數(shù),J@La2+b2=4,c2+筋=16,證明ac+bdW8.

【答案】見(jiàn)解析

【解析】證明：由柯西不等式可得：（砒+5+

因?yàn)閍"4-d*=4.c*=16.

所以（ac+bd）*64,

因此ac+bd?8

【考點(diǎn)】柯西不等式

【名師點(diǎn)睛】柯西不等式的一般形式：設(shè)（?2，a?,b\,bi，,,,＞兒為實(shí)數(shù)，則（山+■HFa以加+

2

易HF底）》（”ibi+a262H\-anbn）,當(dāng)且僅當(dāng)%=0或存在一個(gè)數(shù)公使a產(chǎn)物（i=1,2,…,〃）時(shí)，等號(hào)

成立.

【必做題】第22、23題，每小題10分，計(jì)20分.請(qǐng)把答案寫(xiě)在答題卡的指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文

字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.

22.（本小題滿分10分）

如圖，在平行六面體48CD-4B1GD1中，44」平面48。。,且48=4加2,44|=百，

NSW=120。.

（1）求異面直線4B與AG所成角的余弦值；

（2）求二面角B-A\D-A的正弦值.

【答案】（1）-（2）—

74

【解析】解：在平面A8CQ內(nèi)，過(guò)點(diǎn)A作AEJ_A￡）,交8c于點(diǎn)￡

因?yàn)?41一平面.458,

所以4AA\^.AD.

如圖，以｛亞:而:方1｝為正交基底,建立空間直角坐標(biāo)系/乜對(duì)

因?yàn)?3=20=2,441=道>ABAD=120°.

貝ux（o=o,O）,3（相「L0）.z）（0j"）：￡（vi08）：4（0,GGAI檔）.

(1)港=(&「L-e).劉=(粗工兩，

i/V^~7c\(V3,-l->/^)-(>/3A>/3)1

則mcos⑷MG)=k@=-------：---=----------=-7

因此異面直線48與AC所成角的余弦值為-.

7

（2）平面4D4的一個(gè)法向量為AE=（73,0,0）.

設(shè)/n=(x,y,z)為平面BAQ的一個(gè)法向量,

又A3=(6,-1,-揚(yáng),B