第05章 重點突破訓(xùn)練：相交線平行線類型題舉例-簡單數(shù)學(xué)之2020-2021學(xué)年七年級下冊同步講練（解析版）（人教版）

第05章重點突破訓(xùn)練：相交線平行線類型題舉例典例體系（本專題70題56頁）考點1：相交線所成的角典例：（2021·江蘇揚州市·七年級期末）如圖，直線AB、CD相交于點O，OE平分∠BOD，OF⊥CD，垂足為O，若∠BOF=38°．（1）求∠AOC的度數(shù)；（2）過點O作射線OG，使∠GOE=∠BOF，求∠FOG的度數(shù)．【答案】（1）52°；（2）圖見解析，26°或102°【詳解】（1）∵OF⊥CD，∠BOF＝38°，∴∠BOD＝90°?38°＝52°，∴∠AOC＝52°；（2）由（1）知：∠BOD＝52°，∵OE平分∠BOD，∴∠BOE=26°，此時∠GOE=∠BOF=38°，分兩種情況：如圖：此時∠FOG=∠BOF+∠BOE-∠GOE=38°+26°-38°=26°；如圖：此時∠FOG=∠BOF+∠BOE+∠GOE=38°+26°+38°=102°；綜上：∠FOG的度數(shù)為26°或102°.方法或規(guī)律點撥本題考查了對頂角，角平分線定義，角的有關(guān)定義的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的計算能力，并注意數(shù)形結(jié)合．鞏固練習(xí)1．（2021·山東濟南市·七年級期末）如圖，直線m和n相交于點O，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．140° D．150°【答案】C【詳解】解：直線m和n相交于點O，若∠1=40°，則∠2的度數(shù)為180°-∠1=140°，故選：C．2．（2021·湖北隨州市·七年級期末）如圖，直線，交于點，射線平分，如果，那么等于（）A．38° B．37° C．36° D．52°【答案】A【詳解】解：∵∴∠AOC=180°?104°=76°∵OM

平分∠AOC∴∠MOC==38°故選：A3．（2021·廣西桂林市·七年級期末）按語句畫圖：點在直線上，也在直線上，但不在直線上，直線，，兩兩相交正確的是（）A．B．C．D．【答案】A【詳解】解：A．符合條件，B．不符合點P不在直線c上；C．不符合點P在直線a上；D．不符合直線a、b、c兩兩相交；故選：A．4．（2021·浙江溫州市·七年級期末）如圖，直線AB，CD相交于點O，AO平分，且，則的度數(shù)是________．

【答案】【詳解】∵，，∴，∵AO平分，∴,∴∠DOB=,故答案為：．5．（2021·浙江溫州市·七年級期末）如圖，直線AB與直線CD相交于點O，射線OE在內(nèi)部，OA平分．（1）當(dāng)時，寫出圖中所有與互補的角．（2）當(dāng)時，求的度數(shù)．【答案】（1）、、；（2）36°．【詳解】解：（1）∵，∴，∵OA平分，∴，∴，∴，∴與互補的角有、、；（2）根據(jù)題意，∵，又∵，∴，∵OA平分，∴，∴；6．（2021·浙江湖州市·七年級期末）如圖，已知直線與相交于點為的角平分線．（1）求的度數(shù)；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）；（2）【詳解】解：（1），∴，∵，；（2）∵直線與相交于點O，，∴，為的角平分線，，．7．（2021·浙江寧波市·七年級期末）如圖，已知直線，相交于點，平分，平分．若，求：（1）的度數(shù)；（2）的度數(shù)．【答案】（1）40°；（2）150°【詳解】（1）∵直線，相交于點，∴，∵，∴，∵平分，∴．（2）∵，∴，∵平分，∴，∵，∴．7．（2021·重慶長壽區(qū)·七年級期末）如圖，直線、相交于點，平分，平分，．（1）求的度數(shù)；（2）求的度數(shù)．【答案】（1）30°，（2）45°．【詳解】解：（1）∵，∠AOD+∠BOD＝180°，∴∠BOD＝×180°＝60°，∵OE平分∠BOD，∴∠DOE＝∠BOE=∠BOD＝×60°＝30°；（2）∠COE＝∠COD﹣∠DOE＝180°﹣30°＝150°，∵OF平分∠COE，∴∠EOF＝∠COE＝×150°＝75°，由（1）得，∠BOE＝30°，∴∠BOF＝∠EOF-∠BOE＝75°-30°＝45°．8．（2021·四川宜賓市·七年級期末）如圖，點是直線上的一點，，平分，于點．（1）求的度數(shù)；（2）試說明平分．【答案】（1）；（2）見解析【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，∴；（2）證明：∵，，∴，∵，平分，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴平分．9．（2021·湖北鄂州市·七年級期末）如圖，點在直線上，與互補，平分．（1）若，則的度數(shù)為；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）15°；（2）76°【詳解】解：（1）點在直線上，，，與互補，，平分，，；故答案為：；（2）點在直線上，與互補，與互補，，平分，，設(shè)為，可得：，解得：，．10．（2021·江蘇泰州市·七年級期末）如圖，已知直線，相交于點，與互余．（1）若，求的度數(shù)；（2）若，求的度數(shù)．【答案】（1）58°；（2）120°【詳解】解（1）因為與是對頂角，所以，因為與互余，所以，所以；（2）因為，所以，因為，所以，，又，，所以．11．（2021·廣東東莞市·七年級期末）如圖為直線上一點，，平分，．（1）求的度數(shù)；（2）試判斷是否平分，并說明理由；（3）的余角是．【答案】（1）155°；（2）平分，理由見解析；（3）和【詳解】解：（1）因為，平分，所以，所以．（2）平分．理由如下：因為，，所以，由（1）得∠BOD=155°，所以，所以，所以平分．（3）因為，∠COD=∠AOD，∠COE+∠COD=90°，所以∠BOE+∠COD=90°，∠BOE+∠AOD=90°，所以的余角是和．考點2：在生活中應(yīng)用平行線性質(zhì)和判定典例：（2020·江蘇泰興市實驗初級中學(xué)七年級月考）某段鐵路兩旁安置了兩座可旋轉(zhuǎn)探照燈，主道路是平行，即PQ∥MN．如圖所示，燈A射線從AM開始順時針旋轉(zhuǎn)至AN便立即回轉(zhuǎn)，燈B射線從BP開始順時針旋轉(zhuǎn)至BQ便立即回轉(zhuǎn)，兩燈不停交叉照射巡視．若燈A轉(zhuǎn)動的速度是每秒2度，燈B轉(zhuǎn)動的速度是每秒1度．若燈B射線先轉(zhuǎn)動30秒，燈A射線才開始轉(zhuǎn)動，在燈B射線到達BQ之前，A燈轉(zhuǎn)動_________秒，兩燈的光束互相平行．【答案】30或110【詳解】解：設(shè)燈轉(zhuǎn)動t秒，兩燈的光束互相平行，即AC∥BD，①當(dāng)0＜t≤90時，如圖1所示：∵PQ∥MN，則∠PBD＝∠BDA，∵AC∥BD，則∠CAM＝∠BDA，∴∠PBD＝∠CAM有題意可知：2t＝30＋t解得：t＝30，②當(dāng)90＜t＜150時，如圖2所示：∵PQ∥MN，則∠PBD＋∠BDA＝180°，∵AC∥BD，則∠CAN＝∠BDA，∴∠PBD＋∠CAN＝180°，∴30＋t＋（2t－180）＝180解得：t＝110綜上所述，當(dāng)t＝30秒或t＝110秒時，兩燈的光束互相平行．故答案為：30或110方法或規(guī)律點撥本題主要考查補角、角的運算、平行線的性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的性質(zhì)，注意分兩種情況談?wù)摚柟叹毩?xí)1．（2021·山西朔州市·七年級期末）一艘船停留在海面上，如果從船上看燈塔位于北偏東30°，那么從燈塔看船上位于燈塔的（）A．北偏東30° B．北偏東60° C．南偏西30° D．南偏西60°【答案】C【詳解】解：設(shè)此船位于海面上的C處，燈塔位于D處，

射線CA、DB的方向分別為正北方向與正南方向，如圖所示．

∵從船上看燈塔位于北偏東30°，

∴∠ACD=30°．

又∵AC∥BD，∴∠CDB=∠ACD=30°．

即從燈塔看船位于燈塔的南偏西30°．

故選：C．2．（2021·甘肅白銀市·七年級期末）一條船停留在海面上，從船上看燈塔位于北偏東60°方向，那么從燈塔看船位于燈塔的方向（）A．南偏西60° B．西偏南60° C．南偏西30° D．北偏西30°【答案】A【詳解】解：設(shè)此船位于海面上的C處，燈塔位于D處，射線CA、DB的方向分別為正北方向與正南方向，如圖所示：∵從船上看燈塔位于北偏東60°，∴∠ACD＝60°．又∵AC∥BD，∴∠CDB＝∠ACD＝60°．即從燈塔看船位于燈塔的南偏西60°．故選：A．3．（2020·重慶璧山區(qū)·八年級期中）如圖是長方形紙帶，，將紙帶沿折疊成圖，再沿折疊成圖，則圖中的的度數(shù)是（）A．102° B．112° C．120° D．128°【答案】A【詳解】解：∵AD∥BC，∠DEF=26°，

∴∠BFE=∠DEF=26°，

∴∠EFC=154°（圖a），

∴∠BFC=154°-26°=128°（圖b），

∴∠CFE=128°-26°=102°（圖c）．

故選：A．4．（2019·山西九年級專題練習(xí)）某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時有一個發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問題，如圖所示：已知，，，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：如圖，延長交于，，，，又，，故選．5．（2020·河南省實驗中學(xué)）如圖，一條公路修到湖邊時，需拐彎繞道而過，如果第一次拐的角∠A＝120°，第二次拐的角∠B＝160°，第三次拐的角是∠C，這時的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C是（）A．120° B．130° C．140° D．150°【答案】C【詳解】根據(jù)平行線的性質(zhì)可得故答案為：C．6．（2019·山西七年級月考）小林乘車進入車庫時仔細觀察了車庫門口的“曲臂直桿道閘”，并抽象出如圖所示的模型，已知垂直于水平地面．當(dāng)車牌被自動識別后，曲臂直桿道閘的段繞點緩慢向上旋轉(zhuǎn)，段則一直保持水平狀態(tài)上升（即與始終平行），在該過程中始終等于（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】解：過點B作BG∥CD由題意可知：CD∥AE，∠BAE=90°∴BG∥CD∥AE∴∠ABG=180°－∠BAE=90°，=180°∴=∠ABG＋=270°故選D．7．（2021·陜西西安市·八年級期末）一大門的欄桿如圖所示，BA垂直地面AE于點A，CD平行于地面AE，則∠ABC＋∠BCD＝_____．【答案】270°【詳解】過B作BF∥AE，∵CD∥AE，則CD∥BF∥AE，∴∠BCD+∠1=180°，又∵AB⊥AE，∴AB⊥BF，∴∠ABF=90°，∴∠ABC+∠BCD=90°+180°=270°．故答案為：270．8．（2021·山東濰坊市·八年級期末）光線在不同介質(zhì)中傳播速度不同，從一種介質(zhì)斜射進入另一種介質(zhì)時會發(fā)生折射．如圖，水面與水杯下沿平行，光線從水中射向空氣時發(fā)生折射，光線變成，點在射線上，已知，則的度數(shù)是_______．【答案】【詳解】解：∵AB∥CD，∴∠GFB=∠FED=45°．∵∠HFB=20°，∴∠GFH=∠GFB-∠HFB=45°-20°=25°．故答案為：25°9．（2021·全國七年級）如圖，在甲，乙兩地之間修一條筆直的公路，從甲地測得公路的走向是北偏東，若同時開工，則在乙地公路按南偏西___度的走向施工，才能使公路準確接通．【答案】55【詳解】解：如圖：，，即在乙地公路應(yīng)按南偏西55度的走向施工，才能使公路準確接通．故答案為：55．10．（2018·太原師范學(xué)院附屬中學(xué)七年級月考）如圖，要修建一條公路，從村沿北偏東75°方向到村，從村沿北偏西25°方向到村．若要保持公路與的方向一致，則的度數(shù)為______．【答案】80°【詳解】由題意可得：AN∥FB，EC∥BD，故∠NAB=∠FBD=75°，∵∠CBF=25°，∴∠CBD=100°，則∠ECB=180°-100°=80°．故答案為：80°．11．（2014·陜西九年級專題練習(xí)）如圖，∠AOB的兩邊OA、OB均為平面反光鏡，∠AOB＝40°，在射線OB上有一點P，從點P點射出的一束光線經(jīng)OA上的Q點反射后，反射光線QR恰好與OB平行，則∠QPB的度數(shù)是___________【答案】80°【解析】已知反射光線QR恰好與OB平行，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得∠AOB＝∠AQR＝40°，根據(jù)平角的定義可得∠PQR＝100°，再由兩直線平行，同旁內(nèi)角互補互補可得∠QPB=80°.12．（2021·全國七年級）如圖，在、兩處之間要修一條筆直的公路，從地測得公路走向是北偏東，公司要求、兩地同時開工，并保證若干天后公路準確接通．（1）地修公路的走向應(yīng)該是；（2）若公路長12千米，另一條公路長6千米，且的走向是北偏西，試求到公路的距離？【答案】（1）地所修公路的走向是南偏西；（2）12km【詳解】（1）由兩地南北方向平行，根據(jù)內(nèi)錯角相等，可知地所修公路的走向是南偏西．故答案為：南偏西．（2），，地到公路的距離是千米．13．（2020·山東臨沂市·七年級期末）如圖，點是內(nèi)部一點，交于點．請你畫出射線，并且，或的反向延長線交于點．（1）補全圖形；（2）判斷與的數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）見解析；（2）∠AOB與∠MPN相等或互補；證明見解析．【詳解】解：（1）（2）∠AOB與∠MPN相等或互補．證明：如圖1，∵PM∥OA，∴∠AOB＝∠PCB，∵PN∥OB，∴∠MPN＝∠PCB，∴∠AOB＝∠MPN；如圖2，∵PM∥OA，∴∠AOB＝∠PCB，∵PN∥OB，∴∠MPN+∠PCB＝180°，∴∠AOB+∠MPN＝180°．綜上所述，∠AOB與∠MPN相等或互補．14．（2020·銀川九中英才學(xué)校七年級期中）如圖是種躺椅及其簡化結(jié)構(gòu)示意圖，扶手與底座都平行于地面，靠背與支架平行，前支架與后支架分別與交于點和點與交于點，當(dāng)時，人躺著最舒服，求此時扶手與支架的夾角和扶手與靠背的夾角的度數(shù)．【答案】∠AOE=60°，∠ANM=120°【詳解】∵扶手AB與底座CD都平行于地面，

∴AB∥CD，

∴∠ODC=∠BOD=30°，

又∵∠EOF=90°，

∴∠AOE=60°，

∵DM∥OE，

∴∠AND=∠AOE=60°，

∴∠ANM=180°-∠AND=120°．考點3：平行線中的折點問題典例：（2020·寧波市惠貞書院七年級期中）如圖，，設(shè)，那么，，的關(guān)系式______．【答案】【詳解】如圖，過作，過作，∴，∴，，，∵，∴，∴，∴，∴，∴．故答案為：．方法或規(guī)律點撥本題考查了平行線的性質(zhì)，兩直線平行同位角相等，兩直線平行內(nèi)錯角相等，正確理解平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵；1．（2021·渝中區(qū)·重慶巴蜀中學(xué)七年級期末）如圖，，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，過點E作，，，又，，，，故選：D．2．（2020·四川攀枝花市·七年級期末）如圖，某地域的江水經(jīng)過B、C、D三點處拐彎后，水流的方向與原來相同，若∠ABC＝125°，∠BCD＝75°，則∠CDE的度數(shù)為（）A．20° B．25° C．35° D．50°【答案】A【詳解】解：由題意得，AB∥DE，

如圖，過點C作CF∥AB，則CF∥DE，

∴∠BCF+∠ABC=180°，

∴∠BCF=180°-125°=55°，

∴∠DCF=75°-55°=20°，

∴∠CDE=∠DCF=20°．

故選：A．3．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）如圖：，，，的度數(shù)為（）A． B． C． D．【答案】D【詳解】如圖，過點C作，，，，，，，故選：D．4．（2020·重慶市萬州第二高級中學(xué)九年級期中）如圖，直線為直角，則等于（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】解：過E作EF∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥EF．∴∠C＝∠FEC，∠BAE＝∠FEA．∵∠C＝40°，∠AEC為直角，∴∠FEC＝40°，∠BAE＝∠AEF＝90°?40°＝50°．∴∠1＝180°?∠BAE＝180°?50°＝130°．故選：B．5．（2021·全國七年級）如圖，已知，，，則____________【答案】【詳解】解：作直線m∥a，n∥b，如圖所示：∵，∴，∴∠1=∠5，∠6=∠7，∠8=∠4，∴∠2-∠5=∠6，∠3-∠8=∠7，∴，，則有，；故答案為45°．6．（2020·上海市民辦立達中學(xué)七年級月考）如圖，AB//CD，則圖中_______________°；【答案】180【詳解】如圖：過點E作EF//CD．∴∠3＝∠FEC∵∠AEF＋∠2＝∠FEC，∴∠2＋∠AEF＝∠3，∴，∵AB//CD，EF//CD，∴EF//AB，∴∠1＋∠AEF＝180°∴．故答案為：180°7．（2021·全國九年級）如圖，AEFC是折線，AB//CD，那么∠1，∠2，∠3，∠4的大小所滿足的關(guān)系式為_______________；【答案】或【詳解】解：過點作，過點作，，，，，，，，或．故答案為：或．考點4：圖形平移性質(zhì)的應(yīng)用典例：（2020·河南鄭州市·鄭州外國語中學(xué)七年級期中）如圖，在中，，把沿著直線BC的方向平移后得到，連接AE，AD，有以下結(jié)論：①；②；③；④.其中正確的結(jié)論有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【詳解】∵△ABC沿著直線BC的方向平移后得到△DEF，∴AB//DE，AC//DF，AD//CF，CF=AD=2.5cm，故①②③正確.∵∠BAC=90°，∴AB⊥AC，∵AB//DE，故④正確.綜上所述：之前的結(jié)論有：①②③④，共4個，故選D.方法或規(guī)律點撥本題考查了圖形的平移，圖形的平移只改變圖形的位置，而不改變圖形的形狀和大小，學(xué)生易混淆圖形的平移與旋轉(zhuǎn)或翻轉(zhuǎn)．鞏固練習(xí)1．（2020·河北石家莊市·九年級其他模擬）某數(shù)學(xué)興趣小組開展動手操作活動，設(shè)計了如圖所示的三種圖形，現(xiàn)計劃用鐵絲按照圖形制作相應(yīng)的造型，則所用鐵絲的長度關(guān)系是（）A．甲種方案所用鐵絲最長 B．乙種方案所用鐵絲最長C．丙種方案所用鐵絲最長 D．三種方案所用鐵絲一樣長:學(xué)*科*網(wǎng)]【答案】D【解析】解：由圖形可得出：甲所用鐵絲的長度為：2a+2b，乙所用鐵絲的長度為：2a+2b，丙所用鐵絲的長度為：2a+2b，故三種方案所用鐵絲一樣長．故選D．2．（2019·浙江臺州市·七年級期末）三個邊長分別為，，，的正方形如圖所示擺放，則陰影部分的周長（）A．只與，有關(guān) B．只與，有關(guān) C．只與，有關(guān) D．與，，有關(guān)【答案】B【詳解】解：陰影部分的周長：故選：B．3．（2021·全國七年級）如圖，長8米寬6米的草坪上有一條彎折的小路（小路進出口的寬度相等，且每段小路均為平行四邊形），小路進出口的寬度均為1米，則綠地的面積為__平方米．【答案】42【詳解】解：由平移的性質(zhì)，得:草坪的長為8﹣1＝7（米），寬為6米，草坪的面積＝7×6＝42（平方米）．故答案為：42．4．（2020·忠縣烏楊初級中學(xué)校七年級月考）如圖,在長方形草地內(nèi)修建了寬為2米的道路,則草地面積為_______米2．【答案】144【詳解】解：由圖形得到了的總長度為20+10-2=28米，所以道路的總面積為28×2=56米2，所以草地面積為20×10-56=144米2．故答案為：1445．（2020·江蘇揚州市·七年級期末）如圖是某公園里一處矩形風(fēng)景欣賞區(qū)ABCD，長AB=50米，寬BC=30米，為方便游人觀賞，公園特意修建了如圖所示的小路（圖中非陰影部分），小路的寬均為1米，那么小明沿著小路的中間出口A到出口B所走的路線（圖中虛線）長為______米．【答案】98【解析】∵利用已知可以得出此圖形可以分為橫向與縱向分析，水平距離等于AB，鉛直距離等于（AD-1）×2，又∵長AB=50米，寬BC=25米，∴小明沿著小路的中間出口A到出口B所走的路線（圖中虛線）長為50+（25-1）×2=98米，故答案為98．6．（2020·莆田擢英中學(xué)七年級月考）如圖是一塊從一個邊長為50cm的正方形材料中剪出的墊片，現(xiàn)測得FG＝5cm，則這個剪出的墊片的周長是________cm.【答案】210【解析】【詳解】如圖所示：這塊墊片的周長為：50×4+FG+NH=200+10=210（cm），故答案為2107．（2020·湖南益陽市·七年級期末）如圖所示，在長方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，將長方形ABCD沿著AB方向平移________cm，才能使平移后的長方形HEFG與原來的長方形ABCD重疊部分的面積為24cm2．【答案】6【詳解】解：設(shè)AE=x，根據(jù)題意列出方程：

6（10-x）=24，

解得x=6，

∵A的對應(yīng)點為E，∴平移距離為AE的長，

故向右平移6cm．8．（2020·河北衡水市·七年級期末）如圖，直角△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，則內(nèi)部五個小直角三角形的周長為_____．【答案】12【解析】解：由圖形可以看出：內(nèi)部小三角形直角邊是大三角形直角邊平移得到的，故內(nèi)部五個小直角三角形的周長為AC+BC+AB=12．故答案為12．考點5：平行線性質(zhì)與判定的綜合問題典例：（2020·重慶沙坪壩區(qū)·七年級期末）如圖1，AB∥CD，直線AE分別交AB、CD于點A、E．點F是直線AE上一點，連結(jié)BF，BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，BP與EP交于點P．（1）若點F是線段AE上一點，且BF⊥AE，求∠P的度數(shù)；（2）若點F是直線AE上一動點（點F與點A不重合），請直接寫出∠P與∠AFB之間的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）45°；（2）當(dāng)E點在A點上方時，∠BPE＝∠AFB，當(dāng)E點在A點下方時，∠BPE＝90°﹣∠AFB【詳解】解：（1）過點P作PQ∥AB，過點F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，∴∠ABP+∠CEP＝∠BPQ+∠EPQ＝∠BPE，∠ABF+∠CEF＝∠BFH+∠EFH＝∠BFE，∵BF⊥AE，∴∠ABF+∠CEF＝∠BFE＝90°，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠ABP+∠CEP＝（∠ABF+∠CEF）＝45°，∴∠BPE＝45°；（2）①當(dāng)點F在EA的延長線上時，∠BPE＝∠AFB，理由如下：如備用圖1，過點P作PQ∥AB，過點F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，∴∠CEP﹣∠ABP＝∠EPQ﹣∠BPQ＝∠BPE，∠CEF﹣∠ABF＝∠EFH﹣∠BFH＝∠BFE，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠CEP﹣∠ABP＝（∠CEF﹣∠ABF）＝∠BFE＝∠AFB，∴∠BPE＝∠AFB；②當(dāng)點F在線段AE上（不與A點重合）時，∠BPE＝90°﹣∠AFB；理由如下：如備用圖2，過點P作PQ∥AB，過點F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，∠ABF＝∠BFH，∠CEF＝∠EFH，∴∠ABP+∠CEP＝∠BPQ+∠EPQ＝∠BPE，∠ABF+∠CEF＝∠BFH+∠EFH＝∠BFE，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠ABP+∠CEP＝（∠ABF+∠CEF），∴∠BPE＝∠BFE∴∠BFE＝180°﹣∠AFB，∴∠BPE＝90°﹣∠AFB；③當(dāng)點F在AE的延長線上時，∠BPE＝90°﹣∠AFB，理由如下：如備用圖3，過點P作PQ∥AB，過點F作FH∥AB，∵AB∥CD，∴AB∥CD∥PQ∥FH，∴∠ABP＝∠BPQ，∠CEP＝∠EPQ，180°﹣∠ABF＝∠BFH，∠AEC＝∠EFH，∴∠CEP+∠ABP＝∠EPQ+∠BPQ＝∠BPE，∠BFH﹣∠EFH＝180°﹣∠ABF﹣∠AEC＝∠AFB，∵BP平分∠ABF，EP平分∠AEC，∴∠CEP+∠ABP＝（∠AEC+∠ABF）＝（180°﹣∠AFB），∴∠BPE＝90°﹣∠AFB；綜上，當(dāng)E點在A點上方時，∠BPE＝∠AFB，當(dāng)E點在A點下方時，∠BPE＝90°﹣∠AFB．方法或規(guī)律點撥此題考查平行線的性質(zhì)：兩直線平行內(nèi)錯角相等，兩直線平行同位角相等，兩直線平行同旁內(nèi)角互補，以及角平分線的性質(zhì)，在相交線問題中通常作平行線利用平行線的性質(zhì)解答，將角度轉(zhuǎn)化由此求出答案．解題中運用分類思想解答問題．鞏固練習(xí)1．（2020·黑龍江哈爾濱市·七年級期末）已知：直線分別與直線，交于點，．平分，平分，并且．（1）如圖1，求證：；（2）如圖2，，在不添加任何輔助線的情況下，請直接寫出圖2中四個角，使寫出的每個角的度數(shù)都為．【答案】（1）見解析；（2），，，【詳解】（1）證明：∵，∴．∵平分，平分，∴，．∴．∴．（2）由（1）知ABCD，∴∠AEF+∠CFE=180°，∵∠AEF=2∠CFN=∠CFE，∴∠AEF=∠CFE=90°，∴∠CFN=∠EFN=∠FEM=∠BEM=45°，∠BEG=∠CFH=∠DFE=90°,∴∠AEM=∠GEM=∠HFN=∠DFN=90°+45°=135°，∴度數(shù)為135°的角有：、、、．2．（2020·福建福州市·七年級期末）已知兩條直線l1，l2，l1∥l2，點A，B在直線l1上，點A在點B的左邊，點C，D在直線l2上，且滿足．（1）如圖①，求證：AD∥BC；（2）點M，N在線段CD上，點M在點N的左邊且滿足，且AN平分∠CAD；（Ⅰ）如圖②，當(dāng)時，求∠DAM的度數(shù)；（Ⅱ）如圖③，當(dāng)時，求∠ACD的度數(shù)．【答案】（1）證明見解析；（2）（Ⅰ）；（Ⅱ）．【詳解】（1），，又，，；（2）（Ⅰ），，，，由（1）已得：，，；（Ⅱ）設(shè)，則，平分，，，，，由（1）已得：，，即，解得，，又，．3．（2021·全國七年級）（探究）如圖①，，點E在直線，之間．求證：．（應(yīng)用）如圖②，，點E在直線，之間．若，，，平分，平分，則的大小為_________．【答案】探究：見解析；應(yīng)用：【詳解】探究：過點E作∴，∵，∴．∴，∵，∴．∴．應(yīng)用：，作HP∥AB，∠BAH=∠AHP，∵，∴．∴∠PHF=∠HFD，∵平分，平分，∴∠BAH=∠BAE，∠HFD=∠GFD，∵GF∥CE，∴∠ECD=∠GFD，由（1）知∠BAE+∠ECD=∠AEC=90o，∴∠BAE+∠GFD=90o，∴∠AHF=∠AHP+∠PHF=∠BAH+∠HFD=∠BAE+∠GFD=，∠AHF=．故答案為：45o．4．（2020·山東省青島第五十九中學(xué)八年級期末）已知，，，試解答下列問題：（1）如圖①，則__________，則與的位置關(guān)系為__________（2）如圖②，若點E、F在線段上，且始終保持，．則的度數(shù)等于__________；（3）在第（2）題的條件下，若平行移動到圖③所示①在移動的過程中，與的數(shù)量關(guān)系是否發(fā)生改變，若不改變，求出它們之間的數(shù)量關(guān)系；若改變，請說明理由．②當(dāng)時，求的度數(shù)．【答案】（1）72°，平行；（2）36°；（3）①∠OCB=∠OFB；②∠OCA=54°．【詳解】解：（1）∵BC∥OA，

∴∠B+∠O=180°，

∵∠B=108°，

∴∠O=72°，

∵∠A=108°，

∴∠O+∠A=180°，

∴OB∥AC，

故答案為：72°，平行；（2）∵∠FOC=∠AOC，，∠BOA=72°，∴，故答案為：36°；（3）①不變，

∵BC∥OA，

∴∠OCB=∠AOC，

又∵∠FOC=∠AOC，

∴∠FOC=∠OCB，

又∵BC∥OA，

∴∠OFB=∠FOA=2∠FOC，

∴∠OFB=2∠OCB，

即∠OCB：∠OFB=1：2．

即∠OCB=∠OFB；②由（1）知：OB∥AC，

∴∠OCA=∠BOC，

由（2）可以設(shè)：∠BOE=∠EOF=α，∠FOC=∠COA=β，

∴∠OCA=∠BOC=2α+β

由（1）知：BC∥OA，

∴∠OEB=∠EOA=α+β+β=α+2β

∵∠OEB=∠OCA

∴2α+β=α+2β

∴α=β

∵∠AOB=72°，

∴α=β=18°

∴∠OCA=2α+β=36°+18°=54°．5．（2020·浙江杭州市·七年級其他模擬）已知：和同一平面內(nèi)的點．（1）如圖1，點在邊上，過作交于，交于．根據(jù)題意，在圖1中補全圖形，請寫出與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖2，點在的延長線上，，．請判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．（3）如圖3，點是外部的一個動點．過作交直線于，交直線于，直接寫出與的數(shù)量關(guān)系，并在圖3中補全圖形．【答案】（1）圖見解析，，理由見解析；（2），理由見解析；（3）圖見解析，或．【詳解】（1）由題意，補全圖形如下：，理由如下：，，，，；（2），理由如下：如圖，延長BA交DF于點O，，，，，；（3）由題意，有以下兩種情況：①如圖3-1，，理由如下：，，，，，由對頂角相等得：，；②如圖3-2，，理由如下：，，，，．6．（2020·惠州市江南學(xué)校八年級期中）已知△ABC中，點D是AC延長線上的一點，過點D作DE∥BC，DG平分∠ADE，BG平分∠ABC，DG與BG交于點G．（1）如圖1，若∠ACB＝90°，∠A＝50°，直接求出∠G的度數(shù)；（2）如圖2，若∠ACB≠90°，試判斷∠G與∠A的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；【答案】(1)25o，（2）結(jié)論是：∠G=∠A，證明見詳解．【詳解】如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝50°，∴∠A+∠ABC=90o,∴∠ABC=90o-∠A=40o，∵BG平分∠ADE，∴∠GBC=∠ABG=∠ABC=20o，由作法DE∥BC，∠CDE+∠DCF=180o，∠DCF=∠ACB＝90°，∴∠CDE=90o,∵DG平分∠ADE，∴∠CDF=∠EDF=45o,由DE∥BC，∴∠BFD=∠EDF=45o,由外角性質(zhì)∠BFD=∠G+∠GBF，∴∠G=∠BFD-∠GBF=45o-20o=25o，（2）如圖，結(jié)論是：∠G=∠A，∵DE∥BC，∴∠CFD=∠FDE，過點C作CH∥DG交BG于H，∠BHC=∠G，∵DG平分∠ADE，∴∠CDF=∠FDE=∠ADE，∴∠ACH=∠CDG，∠HCF=∠CFD=∠FDE，∴∠ACH=∠HCF=∠ACF,∵BG平分∠ABC，∴∠ABG=∠GBF=∠ABC，由外角性質(zhì)∠ACF=∠A+∠ABC，2∠HCF=∠A+2∠HBC①，∠HCF=∠HBC+∠BHC②由②×2-①得，∠BHC=∠A，∠G=∠A．7．（2019·河北保定市·八年級月考）如圖1所示的是北斗七星的位置圖，圖2將北斗七星分別標(biāo)為，，，，，，，并順次首尾連接，若恰好經(jīng)過點，且，．（1）求的度數(shù)．（2）連接，當(dāng)與滿足怎樣的數(shù)量關(guān)系時，，并說明理由．【答案】（1）75°；（2）當(dāng)∠ADE+∠CGF=180°時，BC∥AD．【詳解】解：（1）∵AF∥DE，

∴∠F+∠E=180°，∵

∴∠F=180°-105°=75°；（2）如圖，當(dāng)∠ADE+∠CGF=180°時，BC∥AD，

∵AF∥DE，

∴∠GAD+∠ADE=180°，∠ADE+∠CGF=180°，

∴∠GAD=∠CGF，

∴BC∥AD．8．（2018·上海七年級零模）已知：AB∥DE．（1）如圖1，點C是夾在AB和DE之間的一點，當(dāng)AC⊥CD時，垂足為點C，你知道∠A+∠D是多少嗎？這一題的解決方法有很多，例如（i）過點C作AB的平行線；（ii）過點C作DE的平行線；（iii）聯(lián)結(jié)AD；（iv）延長AC、DE相交于一點．請你選擇一種方法（可以不選上述四種），并說明理由．（2）如圖2，點C1、C2是夾在AB和DE之間的兩點，請想一想：∠A+∠C1+∠C2++∠D=度，并說明理由．（3）如圖3，隨著AB與CD之間點增加，那么∠A+∠C1+∠C2++…+∠Cn+1+∠D=度．（不必說明理由）【答案】（1）；（2）540，理由見解析；（3）【詳解】（1）如圖1，過點作的平行線，∵，∴，∴，，∴，又∵，∴．（2）如圖2，過作，過作，則∵，∴，∴，，，∴，故答案為：540；（3）如圖3，由（1）（2）可得：，故答案為：．9．（2019·河北唐山市·七年級期中）根據(jù)所給圖形及已知條件，回答下列問題：（1）①如圖1所示，已知直線，，那么根據(jù)_________可得________；②如圖2，在①的條件下，如果平分，則________；③如圖3，在①、②的條件下，如果，則________．（2）嘗試解決下列問題：如圖4，已知，，是的平分線，，求的度數(shù)．【答案】（1）①兩直線平行，內(nèi)錯角相等；68②34③56；（2）21°【詳解】解：（1）①兩直線平行，內(nèi)錯角相等；∠ABC＝68°，故填：68；②∵平分，∴＝34°，故填：34；③∵，∴∠NCM＝90°，∴90°－56°，故填：56；（2）∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCE＝180°，∵∠ABC＝42°，∴∠BCE＝180°－∠ABC＝180°－42°＝138°，∵CN平分∠BCE，∴∠BCN＝∠BCE＝69°，∵CN⊥CM，∴∠MCN＝90°，∴∠BCM＝∠MCN－∠BCN＝90°－69°＝21°．10．（2020·洛陽市第二外國語學(xué)校七年級期中）如圖1，D是△ABC延長線上的一點，CEAB．（1）求證：∠ACD＝∠A+∠B；（2）如圖2，過點A作BC的平行線交CE于點H，CF平分∠ECD，F(xiàn)A平分∠HAD，若∠BAD＝70°，求∠F的度數(shù)．（3）如圖3，AHBD，G為CD上一點，Q為AC上一點，GR平分∠QGD交AH于R，QN平分∠AQG交AH于N，QMGR，猜想∠MQN與∠ACB的關(guān)系，說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2）∠F=55°；（3）∠MQN＝∠ACB；理由見解析．【詳解】解：（1）∵CEAB，∴∠ACE＝∠A，∠ECD＝∠B，∵∠ACD＝∠ACE+∠ECD，∴∠ACD＝∠A+∠B；（2）∵CF平分∠ECD，F(xiàn)A平分∠HAD，∴∠FCD＝∠ECD，∠HAF＝∠HAD，∴∠F＝∠HAD+∠ECD＝（∠HAD+∠ECD），∵CHAB，∴∠ECD＝∠B，∵AHBC，∴∠B+∠HAB＝180°，∵∠BAD＝70°，，∴∠F＝（∠B+∠HAD）＝55°；（3）∠MQN＝∠ACB，理由如下：平分，．平分，．，．∴∠MQN＝∠MQG﹣∠NQG＝180°﹣∠QGR﹣∠NQG＝180°﹣（∠AQG+∠QGD）＝180°﹣（180°﹣∠CQG+180°﹣∠QGC）＝（∠CQG+∠QGC）＝∠ACB．考點6：與平行線、交線有關(guān)的作圖問題典例：（2021·江蘇泰州市·七年級期末）如圖是由相同邊長的小正方形組成的網(wǎng)格圖形，小正方形的邊長為1個單位長度，每個小正方形的頂點都叫做格點，的三個頂點都在格點上，利用網(wǎng)格畫圖．（注：所畫格點、線條用黑色水筆描黑）（1）過點畫的垂線，并標(biāo)出垂線所過格點；（2）過點畫的平行線，并標(biāo)出平行線所過格點；（3）畫出向右平移8個單位長度后的位置；（4）的面積為______．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）見解析；（4）9.5【詳解】解：（1）如圖所示，AP是的垂線；為所求格點；（2）如圖所示，，、為所求格點；（3）如圖所示，為所求；（4）的面積，故答案為：．方法或規(guī)律點撥此題主要考查了應(yīng)用設(shè)計與作圖，正確掌握相關(guān)性質(zhì)以及結(jié)合網(wǎng)格畫出對應(yīng)點是解題關(guān)鍵．鞏固練習(xí)1．（2021·江蘇南京市·七年級期末）如圖，所有小正方形的邊長都為1個單位，A、B、C均在格點上．（1）過點A畫線段BC的垂線，垂足為E；（2）過點A畫線段AB的垂線，交線段CB的延長線于點F；（3）線段BE的長度是點到直線的距離；（4）線段AE、BF、AF的大小關(guān)系是．（用“＜”連接）【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）B，AE；（4）AE＜AF＜BF【詳解】(1)如圖所示；(2)如圖所示；(3)∵，∴線段BE的長度是點B到直線AE的距離，故答案是：B，AE；(4)∵AE是直角三角形AEF的直角邊，AF是直角三角形AEF的斜邊，∴，∵BF是直角三角形ABF的斜邊，AF是直角三角形ABF的直角邊，∴，∴，故答案是：．2．（2021·浙江寧波市·七年級期末）如圖，已知同一平面內(nèi)四個點，，，．（1）同時過，，兩點能作幾條直線？作圖并寫出理由；（2）在直線上畫出符合下列條件的點和，并說明理由．①使線段長度最??；②使最?。敬鸢浮浚?）1條，兩點確定一條直線，見解析；（2）①見解析；②見解析【詳解】解：（1）根據(jù)直線的公理：兩點確一條直線，所以同時過，，兩點能作1條直線，如圖所示：直線AC即為所求，答：同時過，，兩點能作1條直線，因為兩點確定一條直線；（2）如圖，①直線外一點與直線上各點連接的所有線段中，垂線段最短，過點D作于點P，則點P即為所求作的點；②兩點之間，線段最短，畫線段BD，交直線AC于點Q，則點Q即為所求作的點3．（2021·江蘇南京市·七年級期末）在如圖，所示的方格紙中不用量角器與三角尺，僅用直尺．（1）經(jīng)過點畫的平行線．（2）過點，畫的垂線．（3）過點，畫的垂線．（4）請直接寫出、的位置關(guān)系．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）平行．【詳解】（1）如圖，直線PQ即為所求．（2）如圖，直線AM即為所求．（3）如圖，直線CN即為所求．（4）∵，，∴故AM與CN的位置關(guān)系為平行．4．（2020·北京七年級期末）如圖，已知直線AB及直線AB外一點P，按下列要求完成畫圖和解答：（1）連接PA，PB，用量角器畫出∠APB的平分線PC，交AB于點C；（2）過點P作PD⊥AB于點D；（3）用刻度尺取AB中點E，連接PE；（4）根據(jù)圖形回答：點P到直線AB的距離是線段的長度．【答案】（1）答案見解析；（2）答案見解析；（3）答案見解析；（4）PD．【詳解】解：(1)、如圖所示；(2)、如圖所示；(3)、如圖所示；(4)、PD．5．（2020·莆田擢英中學(xué)七年級月考）如圖，在正方形網(wǎng)格中有一個△ABC，按要求進行下列作圖（只借助網(wǎng)格，需要寫出結(jié)論）．（1）過點B畫出AC的平行線；（2）畫出三角形ABC向右平移5格，再向上平移2格后的△DEF；（3）若每一個網(wǎng)格的單位長度為a，求三角形ABC的面積．【答案】（1）見解析；（2）見解析；（3）三角形ABC的面積＝3a2．【詳解】（1）如圖，直線BP為所作；（2）如圖，△DEF為所作；（3）三角形ABC的面積3a×2a=3a2．6．（2021·河南新鄉(xiāng)市·七年級期末）畫圖并度量，已知點A是直線l上一點，點M、N是直線l外兩點，畫圖：（1）畫線段，并用刻度尺找出它的中點B；（2）畫直線，交直線l于點C，并用量角器畫出的平分線；（3）畫出點M到直線l的垂線段，并度量點M到直線l的距離為__．（精確到）【答案】（1）見詳解；（2）見詳解；（3）4.0．【詳解】解：（1）如圖，連結(jié)AM，測得AM=4.5cm，在線段AM上畫以A為端點，長為cm的線段AB，點B即是所求線段AM的中點，；（2）如圖，①用直尺過點M、N畫直線MN，②測出，再畫出以點C為頂點，AC為一邊的角，則CD即為所求的的平分線CD；（3）如圖，用三角板畫點M到直線l的垂線段，測得線段MH=4.0cm，故答案為：4.0cm．7．（2020·北京延慶區(qū)·七年級期中）已知：四點A，B，C，D的位置如圖所示，（1）連接AD；（2）畫射線AB與線段DC的延長線交于點E；（3）過點B作BF⊥CD于點F．【答案】（1）圖見解析；（2）圖見解析；（3）圖