1.1.2 空間向量的數(shù)量積運算-【課件】2023-2024學年高二數(shù)學人教版

1.1.2空間向量的數(shù)量積運算新知探究

空間向量夾角定義新知探究

新知探究

不能.向量沒有除法

例題講解

答案：×，×，×，×，×.例題講解

例題講解

為什么？小結運算律空間向量的數(shù)量積運算夾角數(shù)量積常見題型

垂直模長夾角

由于任意兩個空間向量都可以通過平移轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的向量，這樣任意兩個空間向量的夾角和數(shù)量積，都可以像平面向量來定義.

空間向量的夾角1定義

已知兩個非零向量a、b,在空間任取一點O，作=a,=b,則∠AOB叫做向量a,b的夾角，記作<a,b>.

空間向量夾角的范圍：[0,].π

如果<a,b>=，那么向量a、b互相垂直，記作a?b.說明練一練

如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'.則（1）與的夾角大小為

;（2）與的夾角大小為

;（3）與的夾角大小為

.90°135°60°

空間任意兩個非零向量a和b，則|a||b|cos

叫做a與b的數(shù)量積，記作a?b，即

a?b=|a||b|cos

空間向量的數(shù)量積2

特別地，零向量與任意向量的數(shù)量積為0.

a⊥b

a?b=0

a?a=|a||a|cos0=|a|2練一練

如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'邊長為1，則

(1)=

；(2)

=

.??01

空間向量的投影向量3abc

將空間向量a平移到與向量b共起點后，可作出a在b上的投影，進而得到投影向量c(如圖1）.顯然c=|a|cos<a,b>;

同理可以作出a在直線l上的投影向量(如圖2）

alcacABB'A'

分別過空間向量a的起點A和終點B向平面α作垂線，垂足分別為A'、B',得到a在平面α上的投影向量c(如圖3）.

圖1圖2圖3練一練

如圖，已知正方體ABCD-A'B'C'D'邊長為1，則

(1)在直線AB上的投影向量為

；(2)在平面BCC’B’上的投影向量為

.(3)在上投影向量的長度為

.

空間向量數(shù)量積的運算律4

空間向量的數(shù)量積滿足如下的運算律：

(λa)?b=λ(a?b),λ∈R；

a?b=b?a(交換律)；

a?(b+c)=a?b+a?c(分配律).

對于空間向量a，b，c，判斷下列命題是否正確：

（1）若a≠0，則對于任意非零向量b，有a?b≠0;（2）若a≠0，且a?b=a?c，則b=c;（3）對于任意空間向量a，b，c，都有(a?b)?c=a?(b?c).練一練(1)錯誤！當a⊥b時也有a?b=0成立；(2)錯誤！只要a⊥(b-c)，就有a?b=a?c成立；(3)錯誤！(a?b)?c=λc

，a?(b?c)=μa(λ,

μ∈R)知識篇素養(yǎng)篇思維篇1.1.2空間向量的數(shù)量積

問題分析方法總結核心素養(yǎng)之

邏輯推理

+數(shù)學運算

因為p⊥q，所以p?q=0，即(3a-b)(λa+17b)=3λa2-17b2+(51-λ)ab=12λ-425-5(51-λ)=17λ-680=0得λ=40

將兩個向量垂直這一條件轉(zhuǎn)化為它們的數(shù)量積為0，也就把求值問題轉(zhuǎn)化為解方程問題.1.2.正三棱臺ABC-A'B'C'中，AB=4,A'B'=AA'=BB'=2,求.

問題方法核心素養(yǎng)之

邏輯推理

+數(shù)據(jù)分析

幾何體中向量的有關運算，往往先選擇一組基底將目標向量表示出來，再根據(jù)基向量的條件和運算法則求解.分析第一步，用不共面的一組向量表示：，；第二步，由已知條件知：兩兩夾角均為60°.從而可得

==-23.

問題分析方法核心素養(yǎng)之

數(shù)學建模

+邏輯推理要證l⊥α，即證l垂直于內(nèi)的任意一條直線.設g為內(nèi)任意一條直線，分別在l、m、n、g上任取一非零向量l、m、n、g；存在唯一實數(shù)對(x,y)使g=xm+yn,則l?g=xl?m+yl?n=0,所以l⊥α選擇基底并構建數(shù)量積模型是解決問題的關鍵.先將幾何關系先轉(zhuǎn)化為向量運算結果，再回到幾何中去.B知識篇素養(yǎng)篇思維篇1.1.2空間向量的數(shù)量積

1.正方體ABCD-A'B'C'D'邊長為1，M、N分別是對角線

DA'、AC上的動點.(1)試用線性表示;(2)求MN長度的最小值.

數(shù)學思想之

函數(shù)思想

+主元思想問題解答(1)====(2)==

(0≤λ,μ≤1)1.正方體ABCD-A'B'C'D'邊長為1，M、N分別是對角線

DA'、AC上的動點.(1)試用線性表示;(2)求MN長度的最小值.

數(shù)學思想之

函數(shù)思想

+主元思想問題方法總結（1）要用一組基向量表示目標向量，先將目標向量表示成首尾相連的若干向量的和，再用基向量一一表示相關向量，最后合并同類項即可.

（2）含有兩個變量的二次多項式求最值，可選一變量作為主元配方，再將含另一變量的二次式配方，根據(jù)完全平方式的非負性可得最值.

2.已知P是邊長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'內(nèi)部(含表面)

的動點，滿足條件：，求點P軌跡的長度.數(shù)學思想之

轉(zhuǎn)化與化歸+交軌思想問題分析由向量AP的長度知點P在球面上，又由兩向量數(shù)量積為1知向量AP在向量AC’上的投影長為，即過點P作直線AC’垂線時，垂足H為線段AC’的三等分點(靠近點A).結合已知數(shù)據(jù)知點P的軌跡為圓，結合平面圖即可求其長度.2.已知P是邊長為1的正方體ABCD-A'B'C'D'內(nèi)部(含表面)

的動點，滿足條件：，求點P軌跡的長度.

數(shù)學思想之

轉(zhuǎn)化與化歸+交軌思想問題分析方法總結分析空間問題時，先將符號語言翻譯成圖形語言、將立體語言翻譯成平面語言，再結合已知數(shù)據(jù)分析判斷.求解本題時用到了交軌法.由圖知P的軌跡半徑為PH=

,軌跡長為.課堂小結一、本節(jié)課學習的新知識：空間向量的夾角空間向量的數(shù)量積空間向量數(shù)量積的運算律用空間向量數(shù)量積求幾何量用空間向量數(shù)量積證明幾何命題課堂小結二、本節(jié)課提升的核心素養(yǎng)：邏輯推理數(shù)學運算數(shù)學建模數(shù)據(jù)分析課堂小結三、本節(jié)課訓練的數(shù)學思想方法：函數(shù)思想交軌思想主元思想