2024屆青海省西寧市高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（理）（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2青海省西寧市2024屆高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（理）一、選擇題1.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部為（）A.i B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗設復數(shù)，，又，可得，解得，所以復數(shù)的虛部為.故選：D.2.設全集，集合，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，又因全集，所以.故選：D.3.已知向量，，，若，則（）A.3 B.-1 C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗由，，又由，可得：，解得.故選：A.4.平面直角坐標系中，角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以.故選：A5.曲線在點處切線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故在點處切線的斜率，因為，故，故選：C.6.記為等差數(shù)列的前n項和，若，則（）A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗D〖解析〗因為為等差數(shù)列的前n項和，，所以.故選：D.7.交通錐，又稱錐形交通路標，如圖1，常用于進行工程、發(fā)生事故時提醒行人或車輛，以保證工程人員及道路使用者的人身安全等．某數(shù)學課外興趣小組對一個去掉底座的圓錐形交通錐筒進行研究，發(fā)現(xiàn)將該交通錐筒放倒在地面上，如圖2，使交通錐筒在地面上繞其頂點滾動，當這個交通錐筒首次轉(zhuǎn)回原位置時，交通錐筒恰好滾動了3周．若交通錐筒近似看成無底的圓錐，將地面近似看成平面，該圓錐的底面半徑為，則該圓錐的側(cè)面積為（交通錐筒的厚度忽略不計）（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解法一：設圓錐的母線長為，則圓錐繞頂點滾動所形成的圓的半徑為，周長為，又圓錐的底面圓半徑，則該圓錐的底面周長為，故由題意，，解得：，所以圓錐的側(cè)面積，故該圓錐的側(cè)面積為．故選：B.解法二：設圓錐的母線長為，則圓錐繞頂點滾動所形成的圓的半徑為，面積為，又圓錐的底面圓半徑，則該圓錐的側(cè)面積為，故由題意，，解得：，所以圓錐的側(cè)面積，故該圓錐的側(cè)面積為．故選：B.8.已知是兩條不同直線，是三個不同平面，則下列說法正確的是（）A.則 B.則C.則 D.則〖答案〗C〖解析〗對于A：因為所以或或與相交，故A錯誤；對于B：因為所以或，故B錯誤；對于C：兩個平面平行，一個平面中的任意一條直線平行于另外一個平面，故C正確；對于D：因為所以或，故D錯誤；故選：C.9.已知，，，則、、大小關系為（

）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即.又因為，所以.故選：D.10.下列命題中的假命題是()A.R B.RC.R D.R〖答案〗C〖解析〗因為，所以選項A、B均為真命題，選項C為假命題；因為在R上的值域可知，所以D為真命題；故選：C.11.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知，函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，若，則，不合題意，故A錯誤；若，由得，不合題意，故B錯誤；若，則，不合題意，故D錯誤；故排除ABD，得C正確.故選：C.12.對滿足的任意正實數(shù)、，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式恒成立，，，且當且僅當，即時取等號，，即解得故實數(shù)的取值范圍是故選：C.二、填空題.13.若“”的一個充分不必要條件是“”，則實數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗因為“”是“”的一個充分不必要條件，所以是的真子集，故，故〖答案〗為：14.已知向量，則的單位向量坐標為____________〖答案〗〖解析〗由已知，，，故〖答案〗為：.15.已知的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，則_______.〖答案〗14或23〖解析〗由題意可得成等差數(shù)列，則，即，即，即，解得或.故〖答案〗為：14或2316.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則面積的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，由余弦定理得，因為，所以，由余弦定理得，則，當且僅當時，等號成立，所以，所以面積的最大值為，故〖答案〗為：.三、解答題17.已知函數(shù)，若該函數(shù)的一個最高點的坐標為，與其相鄰的對稱中心坐標為.（1）求函數(shù)〖解析〗式；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.解：（1）由題意可得，，且，則，所以，所以，將點代入，可得，即，解得，且，則，所以（2）由（1）可得，令，，解得，，所以的單調(diào)增區(qū)間為.18.如圖1所示，四邊形ABCD中，，，，，M為AD的中點，N為BC上一點，且．現(xiàn)將四邊形ABNM沿MN翻折，使得AB與EF重合，得到如圖2所示的幾何體MDCNFE，其中．（1）證明：平面FND；（2）若P為FC的中點，求二面角的正弦值．（1）證明：∵四邊形ABCD中，，，，，M為AD的中點，且，∴四邊形ABNM正方形，且邊長為1，∴題圖2中，四邊形EMNF是邊長為1的正方形，故，又，，∴，∴，又，，平面MDCN，平面MDCN，∴平面MDCN，∵平面MDCN，∴，易知，∴，∴，又，平面，平面，∴平面；（2）解：解法一：由（1）知平面MDCN，又，以N為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，∴，，，設平面FND的法向量為，則，令，令，則，∴，設平面PND的法向量為，則，令，則，，∴，∴，∴，∴二面角的正弦值為．解法二：如圖，取NC的中點O，連接PO，則，∴平面MDCN，∵平面MDCN，∴，過O作，垂足為H，連接PH，則就是二面角的平面角，又，，∴，∴，∵平面MDCN，平面FND，∴平面平面MDCN，∴二面角的正弦值為．19.已知等差數(shù)列的前四項和為10，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列通項公式（2）設，求數(shù)列的前項和解：（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意，得，解得或，所以或；（2）當時，，此時；當時，，此時.20.（1）求以為漸近線，且過點的雙曲線的方程；（2）求以雙曲線的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓的方程；（3）橢圓上有兩點，，為坐標原點，若直線，斜率之積為，求證：為定值.（1）解：設雙曲線方程為，將代入，得到，解得，所以雙曲線方程為，（2）解：由（1）知雙曲線的頂點為，焦點為，所以橢圓的頂點為，焦點為，即，又，得到，所以橢圓的方程為.（3）證明：設，，則，由，消得到，所以，故，同理可得，所以為定值.21.已知函數(shù)．（1）當時，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若存在極小值點，且，求的取值范圍．解：（1），當時，，由得或，所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和．（2）．當時，令，得，則當時，，當時，，所以函數(shù)僅有唯一的極小值點，此時，顯然符合題意．當時，令，得或，若，即，則，此時單調(diào)遞增，無極值點，不符合題意；若，即，則當時，，當時，，所以函數(shù)的極小值點，由得，所以；若，即，則當時，，當時，，所以函數(shù)的極小值點，由得．綜上所述，的取值范圍為．22.在直角坐標系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)）.以坐標原點O為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，直線l的極坐標方程為.（1）求直線l直角坐標方程和曲線C的普通方程；（2）已知點，直線l與曲線C交于M，N兩點，求的值.解：（1）將代入，得，所以直線l的直角坐標方程為；由曲線C的參數(shù)方程為，化為，平方相加得曲線C的普通方程為.（2）點在直線l上，則直線l的參數(shù)方程為（其中t為參數(shù)），將l的參數(shù)方程代入曲線C的普通方程，得，設點M對應的參數(shù)為，點N對應的參數(shù)為，則，，顯然，一正一負，因此，所以=.23.設函數(shù)，（1）當時，求不等式的解集；（2）對任意實數(shù)，證明在上恒成立.（1）解：當時，即的解集是下列三個不等式組的解集的并集：①②③解①得：解②得：解③知，適合該不等式組的實數(shù)不存在不等式的解集為（2）證明：由絕對值的三角形不等式，得：又對任意實數(shù)，不等式在上恒成立．青海省西寧市2024屆高三上學期期末聯(lián)考數(shù)學試題（理）一、選擇題1.已知復數(shù)滿足，則復數(shù)的虛部為（）A.i B.1 C. D.〖答案〗D〖解析〗設復數(shù)，，又，可得，解得，所以復數(shù)的虛部為.故選：D.2.設全集，集合，集合，則（）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為，，所以，又因全集，所以.故選：D.3.已知向量，，，若，則（）A.3 B.-1 C.2 D.4〖答案〗A〖解析〗由，，又由，可得：，解得.故選：A.4.平面直角坐標系中，角的終邊經(jīng)過點，則（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因為角的終邊經(jīng)過點，所以，所以.故選：A5.曲線在點處切線的傾斜角為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故在點處切線的斜率，因為，故，故選：C.6.記為等差數(shù)列的前n項和，若，則（）A.28 B.30 C.32 D.36〖答案〗D〖解析〗因為為等差數(shù)列的前n項和，，所以.故選：D.7.交通錐，又稱錐形交通路標，如圖1，常用于進行工程、發(fā)生事故時提醒行人或車輛，以保證工程人員及道路使用者的人身安全等．某數(shù)學課外興趣小組對一個去掉底座的圓錐形交通錐筒進行研究，發(fā)現(xiàn)將該交通錐筒放倒在地面上，如圖2，使交通錐筒在地面上繞其頂點滾動，當這個交通錐筒首次轉(zhuǎn)回原位置時，交通錐筒恰好滾動了3周．若交通錐筒近似看成無底的圓錐，將地面近似看成平面，該圓錐的底面半徑為，則該圓錐的側(cè)面積為（交通錐筒的厚度忽略不計）（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗解法一：設圓錐的母線長為，則圓錐繞頂點滾動所形成的圓的半徑為，周長為，又圓錐的底面圓半徑，則該圓錐的底面周長為，故由題意，，解得：，所以圓錐的側(cè)面積，故該圓錐的側(cè)面積為．故選：B.解法二：設圓錐的母線長為，則圓錐繞頂點滾動所形成的圓的半徑為，面積為，又圓錐的底面圓半徑，則該圓錐的側(cè)面積為，故由題意，，解得：，所以圓錐的側(cè)面積，故該圓錐的側(cè)面積為．故選：B.8.已知是兩條不同直線，是三個不同平面，則下列說法正確的是（）A.則 B.則C.則 D.則〖答案〗C〖解析〗對于A：因為所以或或與相交，故A錯誤；對于B：因為所以或，故B錯誤；對于C：兩個平面平行，一個平面中的任意一條直線平行于另外一個平面，故C正確；對于D：因為所以或，故D錯誤；故選：C.9.已知，，，則、、大小關系為（

）A. B.C. D.〖答案〗D〖解析〗因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，則，即.又因為，所以.故選：D.10.下列命題中的假命題是()A.R B.RC.R D.R〖答案〗C〖解析〗因為，所以選項A、B均為真命題，選項C為假命題；因為在R上的值域可知，所以D為真命題；故選：C.11.我國著名數(shù)學家華羅庚曾說：“數(shù)缺形時少直觀，形缺數(shù)時難入微，數(shù)形結(jié)合百般好，隔裂分家萬事休．”在數(shù)學的學習和研究中，常用函數(shù)的圖象來研究函數(shù)的性質(zhì)，已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．則的〖解析〗式可能是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗由圖可知，函數(shù)是上的奇函數(shù)，且，若，則，不合題意，故A錯誤；若，由得，不合題意，故B錯誤；若，則，不合題意，故D錯誤；故排除ABD，得C正確.故選：C.12.對滿足的任意正實數(shù)、，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗不等式恒成立，，，且當且僅當，即時取等號，，即解得故實數(shù)的取值范圍是故選：C.二、填空題.13.若“”的一個充分不必要條件是“”，則實數(shù)的取值范圍是__________.〖答案〗〖解析〗因為“”是“”的一個充分不必要條件，所以是的真子集，故，故〖答案〗為：14.已知向量，則的單位向量坐標為____________〖答案〗〖解析〗由已知，，，故〖答案〗為：.15.已知的展開式中第9項、第10項、第11項的二項式系數(shù)成等差數(shù)列，則_______.〖答案〗14或23〖解析〗由題意可得成等差數(shù)列，則，即，即，即，解得或.故〖答案〗為：14或2316.在中，內(nèi)角的對邊分別為，若，且，則面積的最大值為__________.〖答案〗〖解析〗因為，所以，由余弦定理得，因為，所以，由余弦定理得，則，當且僅當時，等號成立，所以，所以面積的最大值為，故〖答案〗為：.三、解答題17.已知函數(shù)，若該函數(shù)的一個最高點的坐標為，與其相鄰的對稱中心坐標為.（1）求函數(shù)〖解析〗式；（2）求函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間.解：（1）由題意可得，，且，則，所以，所以，將點代入，可得，即，解得，且，則，所以（2）由（1）可得，令，，解得，，所以的單調(diào)增區(qū)間為.18.如圖1所示，四邊形ABCD中，，，，，M為AD的中點，N為BC上一點，且．現(xiàn)將四邊形ABNM沿MN翻折，使得AB與EF重合，得到如圖2所示的幾何體MDCNFE，其中．（1）證明：平面FND；（2）若P為FC的中點，求二面角的正弦值．（1）證明：∵四邊形ABCD中，，，，，M為AD的中點，且，∴四邊形ABNM正方形，且邊長為1，∴題圖2中，四邊形EMNF是邊長為1的正方形，故，又，，∴，∴，又，，平面MDCN，平面MDCN，∴平面MDCN，∵平面MDCN，∴，易知，∴，∴，又，平面，平面，∴平面；（2）解：解法一：由（1）知平面MDCN，又，以N為坐標原點，建立空間直角坐標系，如圖所示，則，，，，∴，，，設平面FND的法向量為，則，令，令，則，∴，設平面PND的法向量為，則，令，則，，∴，∴，∴，∴二面角的正弦值為．解法二：如圖，取NC的中點O，連接PO，則，∴平面MDCN，∵平面MDCN，∴，過O作，垂足為H，連接PH，則就是二面角的平面角，又，，∴，∴，∵平面MDCN，平面FND，∴平面平面MDCN，∴二面角的正弦值為．19.已知等差數(shù)列的前四項和為10，且成等比數(shù)列（1）求數(shù)列通項公式（2）設，求數(shù)列的前項和解：（1）設等差數(shù)列的公差為，由題意，得，解得或，所以或；（2）當時，，此時；當時，，此時.20.（1）求以為漸近線，且過點的雙曲線的方程；（2）求以雙曲線的頂點為焦點，焦點為頂點的橢圓的方程；（3）橢圓上有兩點，，為坐標原點，若直線，斜率之積為，求證：為定值.（1）解：設雙曲線方程為，將代入，得到，解得，所以雙曲線方程為，（2）解：由（1）知雙曲線的頂點為，焦點為，所以橢圓的頂