2024屆海南省部分學校高三下學期高考全真模擬卷（六）數(shù)學試題（解析版）

高級中學名校試卷PAGEPAGE2海南省部分學校2024屆高三下學期高考全真模擬卷（六）數(shù)學試題一、選擇題1.已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.故選：D．2.已知集合，，若中恰有兩個元素，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由中恰有兩個元素，可知，故，即．因為，故在上恒成立，故實數(shù)的取值范圍為.故選：D．3.已知，則“”是“的二項展開式中常數(shù)項為60”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗的展開式的通項為．令，得，則的常數(shù)項為，則，∴“”是“的二項展開式中常數(shù)項為60”的充分不必要條件.故選:B．4.如圖，點P，A，B均在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格上，則（）A.－8 B.－4 C.0 D.4〖答案〗A〖解析〗如圖，以點P為坐標原點，建立平面直角坐標系，則：，，，故選:A．5.等差數(shù)列的前項和為，已知，則的前100項中，為整數(shù)的各項之和為（）A.1089 B.1099 C.1156 D.1166〖答案〗C〖解析〗設(shè)等差數(shù)列公差為，由，，，解得：，所以．要使為整數(shù)，則是3的倍數(shù)，又，所以可令．記的前100項中的整數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列為，則，所以的前34項的和.故選：C．6.在一次立體幾何模型的實踐課上，老師要求學生將邊長為4的正方形ABCD沿對角線AC進行翻折，使得D到達的位置，此時平面平面，連接，得到四面體，記四面體的外接球球心為O，則點O到平面的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意作出圖形如圖所示，連接，，則，顯然四面體的外接球球心O為AC的中點．由于平面平面，且交線為,所以,又．設(shè)點O到平面的距離為h，則由，可得，解得，故選:A．7.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的焦點為F，過點F且傾斜角為120°的直線與拋物線C交于A，B兩點，其中點A在第一象限，若，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意得直線，由得設(shè)，則，故，解得，代入（*）式，解得．將代入直線的方程中，解得，故，故選:B．8.若，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，∴時，，在上單調(diào)遞增．∴，即，∴，．設(shè)，則，∴當時，，即在上單調(diào)遞增．∴，，∴，即．綜上，.故選：C．二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.68，60，62，78，70，84，74，46，73，81這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是78B.若一組數(shù)據(jù)的方差為0.2，則的方差為1C.樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系的正負性D.若變量，則〖答案〗CD〖解析〗對于A，這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：46，60，62，68，70，73，74，78，81，又，第8位數(shù)字是78，第9位數(shù)字是81，故這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是，故A錯誤；對于B，的方差為，故B錯誤；對于C，樣本相關(guān)系數(shù)r的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負性，當時，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，當時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)，故C正確；對于D，∵，∴，故D正確，故選：CD10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.直線是函數(shù)的一條對稱軸C.當時，的取值范圍為D.若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗對于A，由圖可知，∴，∴．又，即，∴，∴．∵，∴，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，即，∴，解得－，故C錯誤；對于D，當時,．當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．∵，，，∴要使方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則，故D正確.故選：AD．11.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標方程可表示為，圖形如圖所示．當時，點在這條心形線C上，且，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.D.C上有4個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）〖答案〗ACD〖解析〗依題意，心形線C的直角坐標方程為，過原點,由，可知三點共線，可設(shè)直線，由消去y，得．不妨設(shè)，則．∴，故A正確；，當時，，故B錯誤；設(shè)點在心形線C上，，角以x軸非負半軸為起始邊，則心形線C方程轉(zhuǎn)化為，即，∴，又，∴，故C正確；由，可知．令，則心形線C的方程可化為：，∴，當，或，進而可得或0，當時，方程無整數(shù)解；當時，，故∴C上有4個整點，故D正確，故選:ACD．三、填空題12.已知函數(shù)，過原點作曲線的切線，則切線的斜率為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意得，，設(shè)切點坐標為，則，所以切線的方程為，將點代入，可得，整理得，故，解得，故，即切線的斜率為．故〖答案〗為：.13.設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，點P在C上，若，則的內(nèi)切圓的面積為______．〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)，，則．在中，由余弦定理得，．由，且，可得，即，所以，所以內(nèi)切圓半徑為，所以的內(nèi)切圓的面積為．故〖答案〗為：14.已知數(shù)列是遞減數(shù)列，且，則實數(shù)t的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗∵數(shù)列是遞減數(shù)列，∴，即，化簡得．當時，的值有正有負，∴不恒成立；當時，，，∴不成立；當時，，由題意得，.注意到函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當時，取得最小值，即有，解得，∴實數(shù)t的取值范圍為．故〖答案〗為：.四、解答題15.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求B；（2）若點D在AC上，且，求．解：（1）∵，∴，，∵，∴，由正弦定理得，，∵，，即，由倍角公式得．∵，∴，∴，則有.故．（2）∵，∴，，∴，即，整理得，又由余弦定理，，∴，即，∴．16.2023年杭州亞運會于2023年9月23日至10月8日舉行，亞洲45個國家和地區(qū)的奧委會代表參會．某校想趁此機會帶動學生的鍛煉熱情，準備開設(shè)羽毛球興趣班，在全校范圍內(nèi)采用簡單隨機抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，調(diào)查學生是否喜歡羽毛球運動，經(jīng)統(tǒng)計，得到了如圖所示的等高堆積條形圖．（1）根據(jù)等高堆積條形圖，填寫下列列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，推斷是否可以認為該校學生的性別與是否喜歡羽毛球運動有關(guān)聯(lián)；性別是否喜歡羽毛球運動合計是否男生女生合計（2）已知該校男生與女生人數(shù)相同，將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校學生中隨機抽取30名學生，設(shè)其中喜歡羽毛球運動的學生人數(shù)為X，求取得最大值時的值．附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中．解：（1）由題意，根據(jù)等高堆積條形圖，完成列聯(lián)表如下：性別是否喜歡羽毛球運動合計是否男生7525100女生5545100合計13070200零假設(shè)為：該校學生的性別與是否喜歡羽毛球運動沒有關(guān)聯(lián)．，∴依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即能認為該校學生喜歡羽毛球運動與性別有關(guān)聯(lián)．（2）由列聯(lián)表可知，該校學生喜歡羽毛球運動的頻率為，∴隨機變量，∴．要使取得最大值，則需，解得，∵，∴當時，取得最大值．17.如圖，在四棱柱中，四邊形為菱形，四邊形為矩形，，，，二面角的大小為，分別為BC，的中點.（1）求證：；（2）求直線與平面BCN所成角的正弦值.（1）證明：取AD的中點O，連接OM，ON，AN，DN，四邊形為菱形,，.由棱柱的性質(zhì)可得：四邊形是菱形，邊長為，.又點N為的中點，，且.又四邊形ABCD為矩形，，，，，故即為二面角的平面角，則，所以為等邊三角形，，又在矩形ABCD中，點M為BC的中點，點O為AD的中點，，又，平面MON，平面MON，平面MON，又平面MON，，又，，故.（2）解：由（1）可知，，，，平面ADN，平面ADN，平面ADN，又平面ABCD，平面平面ABCD，又平面平面，平面ADN，且，平面ABCD，故OA，OM，ON兩兩相互垂直，以O(shè)為原點，以O(shè)A，OM，ON所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，則，故，，設(shè)平面BCN的法向量，則，取，則，記直線與平面BCN所成角為，則，故直線與平面BCN所成角的正弦值為.18.已知雙曲線的一條漸近線方程為，右焦點為．（1）求C的標準方程；（2）過點F且相互垂直的兩條直線和分別與C交于點A，B和點P，Q，記的中點分別為M，N，求證：直線過定點．解：（1）設(shè)雙曲線C的半焦距為c，根據(jù)題意得，解得，所以C的標準方程為；（2）當直線和斜率均存在時，設(shè)直線的方程為，，，中點，由，消去，得，則，，，故；設(shè)直線的方程為且，，中點，同理可得，因為，所以，，當時，，此時，直線的方程為；當時，，此時直線MN的斜率，直線的方程為，即，此時直線過定點；當直線和其中一條直線的斜率不存在時，所在直線為x軸，也過點，綜上所述，直線過定點.19.已知函數(shù)，且的圖象在處的切線斜率為2．（1）求m；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）若有兩個不等的實根，求證：．（1）解：因為，所以，根據(jù)題意得，解得；（2）解：由（1）可知，，又，所以，故的單調(diào)遞增區(qū)間為R，無單調(diào)遞減區(qū)間（3）證明：由有兩個不等的根，不妨設(shè)，可得，整理得，令，則，故在上單調(diào)遞增，因為，所以，即，那么，結(jié)合（*）式，則，而，可得；下面證明，等價于證明，令，設(shè)，，則在上單調(diào)遞減，所以，即，故，即得證，由不等式的傳遞性知，即.海南省部分學校2024屆高三下學期高考全真模擬卷（六）數(shù)學試題一、選擇題1.已知復數(shù)滿足，則的共軛復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限〖答案〗D〖解析〗∵，∴，∴，在復平面內(nèi)對應的點位于第四象限.故選：D．2.已知集合，，若中恰有兩個元素，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由中恰有兩個元素，可知，故，即．因為，故在上恒成立，故實數(shù)的取值范圍為.故選：D．3.已知，則“”是“的二項展開式中常數(shù)項為60”的（）A.充要條件 B.充分不必要條件C.必要不充分條件 D.既不充分也不必要條件〖答案〗B〖解析〗的展開式的通項為．令，得，則的常數(shù)項為，則，∴“”是“的二項展開式中常數(shù)項為60”的充分不必要條件.故選:B．4.如圖，點P，A，B均在邊長為1的小正方形組成的網(wǎng)格上，則（）A.－8 B.－4 C.0 D.4〖答案〗A〖解析〗如圖，以點P為坐標原點，建立平面直角坐標系，則：，，，故選:A．5.等差數(shù)列的前項和為，已知，則的前100項中，為整數(shù)的各項之和為（）A.1089 B.1099 C.1156 D.1166〖答案〗C〖解析〗設(shè)等差數(shù)列公差為，由，，，解得：，所以．要使為整數(shù)，則是3的倍數(shù)，又，所以可令．記的前100項中的整數(shù)項構(gòu)成的數(shù)列為，則，所以的前34項的和.故選：C．6.在一次立體幾何模型的實踐課上，老師要求學生將邊長為4的正方形ABCD沿對角線AC進行翻折，使得D到達的位置，此時平面平面，連接，得到四面體，記四面體的外接球球心為O，則點O到平面的距離為（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根據(jù)題意作出圖形如圖所示，連接，，則，顯然四面體的外接球球心O為AC的中點．由于平面平面，且交線為,所以,又．設(shè)點O到平面的距離為h，則由，可得，解得，故選:A．7.在平面直角坐標系xOy中，已知拋物線的焦點為F，過點F且傾斜角為120°的直線與拋物線C交于A，B兩點，其中點A在第一象限，若，則的面積為（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗根據(jù)題意得直線，由得設(shè)，則，故，解得，代入（*）式，解得．將代入直線的方程中，解得，故，故選:B．8.若，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗設(shè)，則，∴時，，在上單調(diào)遞增．∴，即，∴，．設(shè)，則，∴當時，，即在上單調(diào)遞增．∴，，∴，即．綜上，.故選：C．二、選擇題9.下列說法正確的是（）A.68，60，62，78，70，84，74，46，73，81這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是78B.若一組數(shù)據(jù)的方差為0.2，則的方差為1C.樣本相關(guān)系數(shù)可以用來判斷成對樣本數(shù)據(jù)相關(guān)關(guān)系的正負性D.若變量，則〖答案〗CD〖解析〗對于A，這組數(shù)據(jù)從小到大排列為：46，60，62，68，70，73，74，78，81，又，第8位數(shù)字是78，第9位數(shù)字是81，故這組數(shù)據(jù)的第80百分位數(shù)是，故A錯誤；對于B，的方差為，故B錯誤；對于C，樣本相關(guān)系數(shù)r的符號反映了相關(guān)關(guān)系的正負性，當時，成對樣本數(shù)據(jù)正相關(guān)，當時，成對樣本數(shù)據(jù)負相關(guān)，故C正確；對于D，∵，∴，故D正確，故選：CD10.已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，下列說法正確的是（）A.B.直線是函數(shù)的一條對稱軸C.當時，的取值范圍為D.若方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則的取值范圍為〖答案〗AD〖解析〗對于A，由圖可知，∴，∴．又，即，∴，∴．∵，∴，故A正確；對于B，，故B錯誤；對于C，，即，∴，解得－，故C錯誤；對于D，當時,．當時，單調(diào)遞減；當時，單調(diào)遞增．∵，，，∴要使方程在上有兩個不相等的實數(shù)根，則，故D正確.故選：AD．11.數(shù)學中有許多形狀優(yōu)美、寓意美好的曲線，如星形線、卵形線、蔓葉線等，心形線也是其中一種，因其形狀像心形而得名，其平面直角坐標方程可表示為，圖形如圖所示．當時，點在這條心形線C上，且，則下列說法正確的是（）A.若，則B.若，則C.D.C上有4個整點（橫、縱坐標均為整數(shù)的點）〖答案〗ACD〖解析〗依題意，心形線C的直角坐標方程為，過原點,由，可知三點共線，可設(shè)直線，由消去y，得．不妨設(shè)，則．∴，故A正確；，當時，，故B錯誤；設(shè)點在心形線C上，，角以x軸非負半軸為起始邊，則心形線C方程轉(zhuǎn)化為，即，∴，又，∴，故C正確；由，可知．令，則心形線C的方程可化為：，∴，當，或，進而可得或0，當時，方程無整數(shù)解；當時，，故∴C上有4個整點，故D正確，故選:ACD．三、填空題12.已知函數(shù)，過原點作曲線的切線，則切線的斜率為______．〖答案〗〖解析〗根據(jù)題意得，，設(shè)切點坐標為，則，所以切線的方程為，將點代入，可得，整理得，故，解得，故，即切線的斜率為．故〖答案〗為：.13.設(shè)分別為橢圓的左、右焦點，O為坐標原點，點P在C上，若，則的內(nèi)切圓的面積為______．〖答案〗〖解析〗不妨設(shè)，，則．在中，由余弦定理得，．由，且，可得，即，所以，所以內(nèi)切圓半徑為，所以的內(nèi)切圓的面積為．故〖答案〗為：14.已知數(shù)列是遞減數(shù)列，且，則實數(shù)t的取值范圍為______．〖答案〗〖解析〗∵數(shù)列是遞減數(shù)列，∴，即，化簡得．當時，的值有正有負，∴不恒成立；當時，，，∴不成立；當時，，由題意得，.注意到函數(shù)在上單調(diào)遞增，故當時，取得最小值，即有，解得，∴實數(shù)t的取值范圍為．故〖答案〗為：.四、解答題15.已知的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（1）求B；（2）若點D在AC上，且，求．解：（1）∵，∴，，∵，∴，由正弦定理得，，∵，，即，由倍角公式得．∵，∴，∴，則有.故．（2）∵，∴，，∴，即，整理得，又由余弦定理，，∴，即，∴．16.2023年杭州亞運會于2023年9月23日至10月8日舉行，亞洲45個國家和地區(qū)的奧委會代表參會．某校想趁此機會帶動學生的鍛煉熱情，準備開設(shè)羽毛球興趣班，在全校范圍內(nèi)采用簡單隨機抽樣的方法，分別抽取了男生和女生各100名作為樣本，調(diào)查學生是否喜歡羽毛球運動，經(jīng)統(tǒng)計，得到了如圖所示的等高堆積條形圖．（1）根據(jù)等高堆積條形圖，填寫下列列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗，推斷是否可以認為該校學生的性別與是否喜歡羽毛球運動有關(guān)聯(lián)；性別是否喜歡羽毛球運動合計是否男生女生合計（2）已知該校男生與女生人數(shù)相同，將樣本的頻率視為概率，現(xiàn)從全校學生中隨機抽取30名學生，設(shè)其中喜歡羽毛球運動的學生人數(shù)為X，求取得最大值時的值．附：0.100.050.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828參考公式：，其中．解：（1）由題意，根據(jù)等高堆積條形圖，完成列聯(lián)表如下：性別是否喜歡羽毛球運動合計是否男生7525100女生5545100合計13070200零假設(shè)為：該校學生的性別與是否喜歡羽毛球運動沒有關(guān)聯(lián)．，∴依據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷不成立，即能認為該校學生喜歡羽毛球運動與性別有關(guān)聯(lián)．（2）由列聯(lián)表可知，該校學生喜歡羽毛球運動的頻率為，∴隨機變量，∴．要使取得最大值，則需，解得，∵，∴當時，取得最大值．17.如圖，在四棱柱中，四邊形為菱形，四邊形為矩形，，，，二面角的大小為，分別為BC，的中點.（1）求證：；（2）求直線與平面BCN所成角的正弦值.（1）證明：取AD的中點O，連接OM，ON，AN，DN，四邊形為菱形,，.由棱柱的性質(zhì)可得：四邊形是菱形，邊長為，.又