第四章-線性方程組習(xí)題及答案

第四章線性方程組1．設(shè)齊次方程組有非零解，求及其通解.解：因?yàn)榇朔匠探M有非零解，故系數(shù)矩陣的行列式為零.所以，，即（1）當(dāng)時(shí)，對(duì)此方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行行變換原方程組等價(jià)于,即.取，得為方程組的基礎(chǔ)解系.則方程組的通解為.（2）當(dāng)時(shí)，原方程組等價(jià)于取，得為方程組的基礎(chǔ)解系.故通解為.2．解齊次方程組（1）（2）（3）（4）（1）解：對(duì)此線性方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換原方程組等價(jià)于即取，得為原方程組的基礎(chǔ)解系.故通解為.（2）解：對(duì)線性方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換故，所以此方程組只有零解,即.（3）解：對(duì)線性方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換原方程組等價(jià)于取得為方程組的基礎(chǔ)解系.所以，原方程組的通解為.（4）解：對(duì)方程組的系數(shù)矩陣進(jìn)行初等行變換，原方程組等價(jià)于即取得為方程組的基礎(chǔ)解系.故通解為.3．解非齊次方程組（1）（2）（3）（1）解：對(duì)此方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換因?yàn)樗?，此方程組無(wú)解.（2）解：對(duì)此方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換原方程組等價(jià)于此方程組對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為此方程組的特解為故方程組的通解為.（3）解：對(duì)此方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換原方程組等價(jià)于即此方程組對(duì)應(yīng)導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為特解為故通解為.4．求解非齊次方程組（1）（2）（1）解：對(duì)此非齊次線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換①當(dāng)，或時(shí)，方程組無(wú)解;②當(dāng)且，方程組有無(wú)窮多解;此時(shí)方程組等價(jià)于即取得對(duì)應(yīng)的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系，，，為特解.故通解為，.（2）解：對(duì)方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換①當(dāng)時(shí)，方程組無(wú)解.②當(dāng)，時(shí)，方程組有無(wú)窮多解.此時(shí)，原方程組等價(jià)于即則，為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系為方程組的一個(gè)特解，故通解為.③，時(shí)，方程組有無(wú)窮多解此時(shí)，原方程組等價(jià)于即則為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系,為方程組的一個(gè)特解.故方程組的通解為.5．討論方程組的解，并求解解：線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式為令，則或（1）時(shí).線性方程組的增廣矩陣為因?yàn)樗?，此時(shí)方程組無(wú)解;（2）當(dāng)時(shí),方程組等價(jià)于，為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系,為方程組的一個(gè)特解.故通解為.（3）當(dāng)且時(shí)，方程組有唯一解.，，.6．設(shè)，其中是的轉(zhuǎn)置，求解方程.解：將代入下式得由得又所以即對(duì)線性方程組的增廣矩陣進(jìn)行初等行變換方程組等價(jià)于，即，為導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系.為方程組的一個(gè)特解.故通解為.7．已知向量組與向量組具有相同的秩，且可由線性表示，求的值.解：因?yàn)榭梢杂删€性表示所以，有解.即因?yàn)樗怨视忠驗(yàn)樗?8．設(shè)向量組討論取可值時(shí)，不能由線性表示.取何值時(shí)，可由唯一線性表示.取何值時(shí)，可由線性表示，且有無(wú)窮多種表示形式.解：是否能由線性表示，也即是非齊次線性方程組是否有解.（1）當(dāng)時(shí)，，則有無(wú)窮多解.也即可由線性表示，并且有無(wú)窮多表示方法.;（2）時(shí)，，故方程組無(wú)解，也即不能由線性表示;（3）時(shí)，，則方程組有唯一解.即可由唯一線性表示..9．設(shè)四階方陣的秩為2，且，其中求非齊次方程組的通解.解：因?yàn)?，故非齊次線性方程組的導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系含有2個(gè)向量又，為對(duì)應(yīng)導(dǎo)出組的2個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量，即是導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系是的一個(gè)解.故的通解為.10．已知方程組（I）的通解為設(shè)方程組（II）為問(wèn)方程組（I）、（II）是否有非零公共解，若有，求其所有公共解.解：由題意，（I）的通解為將的表達(dá)式代入方程組（II）得即所以（I）和（II）有公共解，并且公共解為.11．設(shè)四元齊次方程組（I）為且已知另一四元齊次方程組（II）的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，，（1）求方程組（I）的一個(gè)基礎(chǔ)解系（2）當(dāng)為何值時(shí)，方程組（I）與（II）有非零公共解？在有非零公共解時(shí)，求出全部非零公共解.解：（1）方程組（I）顯然，系數(shù)矩陣的秩為2.對(duì)（I）的系數(shù)陣進(jìn)行初等行變換故方程組（I）與等價(jià)取得為（I）的一個(gè)基礎(chǔ)解系.（2）若（I）、（II）有非零公共解，即存在不全為0的數(shù)，使（*）即有非零解故.所以時(shí)，方程組有非零解此時(shí)即所以為（*）的基礎(chǔ)解系.將表示式代入（*）得（I）、（II）的全部解為（為不同時(shí)為0的常數(shù)）.12．設(shè)，求一秩為2的矩陣，使解：先求的基礎(chǔ)解系故齊次線性方程組等價(jià)于得為的一個(gè)基礎(chǔ)解系令，并且.13．設(shè)，方程組的一個(gè)基礎(chǔ)解系為，求方程組的通解.解：將題中所求通解的線性方程組記為由題意兩邊取轉(zhuǎn)置故的每一列為的解向量.又的基礎(chǔ)解系含有個(gè)向量，所以，，則的行向量組線性無(wú)關(guān).又，所以，的行向量組為的基礎(chǔ)解系.14．已知4階方陣，其中線性無(wú)關(guān)，，如果，求線性方程組的通解.解：因?yàn)榫€性無(wú)關(guān)，又,則.所以，的基礎(chǔ)解系只含有1個(gè)向量.又所以故為的一個(gè)基礎(chǔ)解系.又則所以為的一個(gè)特解故的通解為.15．設(shè)的行向量組是某個(gè)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系.證明的行向量組也是該方程組的基礎(chǔ)解系存在可逆陣，使.解：設(shè)的行向量組是的基礎(chǔ)解系，若的行向量組也是的基礎(chǔ)解系,則的行向量組與的行向量組等價(jià)故存在可逆陣，使得,所以，.反之，若存在可逆陣，使得則，故的行向量組與的行向量組等價(jià).又因?yàn)榈男邢蛄拷M是的基礎(chǔ)解系.所以，的行向量組也是的基礎(chǔ)解系.16.設(shè)的解都是的解，則與同解.證：必要性.若與同解，則與具有相同的解空間,即故,所以.充分性.設(shè)是的基礎(chǔ)解系，，因?yàn)榈慕舛际堑慕?所以，是的個(gè)線性無(wú)關(guān)的解向量.又，所以，的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為因此，為的一個(gè)基礎(chǔ)解系.故與同解.17．設(shè)為陣，為陣，證明與同解證：必要性.因?yàn)榕c同解，所以，與有相同的解空間,即因此,故.充分性.設(shè)是的解，.則.所以，的解都是的解.設(shè)是的基礎(chǔ)解系，，則也是的線性無(wú)關(guān)解向量.并且，的基礎(chǔ)解系所含向量的個(gè)數(shù)為所以為的基礎(chǔ)解系，故與同解.18．設(shè)為陣，為陣，證明有解證：必要性.為陣，為陣，，則為陣令，因?yàn)樗怨始淳仃嚨牧邢蛄拷M可以由的列向量組線性表示所以充分性.若，又由有所以故有解.設(shè)解分別為即有解.19．設(shè)為陣，為陣，則與同解證：若與同解，則與同解.又的解一定是的解.由題16，同理，故.反之，若.因?yàn)?，的解都是的?所以，由題16，與同解.又因?yàn)榈慕舛际堑慕?，所以與同解，故，與同解.20．設(shè)，其中，若，則有解.證：因?yàn)樗?，故有?21．設(shè)為陣，，若有解，則.又當(dāng)時(shí)，有解.證：（1）因?yàn)闉殛?，所?故又為陣，故.（2）若，有解，則所以.反之，若.故即所以有解.22．若方陣的行列式為，則的伴隨陣各行成比例.證：因?yàn)?，所?（1）若，則.故的行向量組的秩為1，不妨設(shè)第一行為行向量的極大無(wú)關(guān)組，則剩余行向量均可以由線性表示，故各行成比例.（2）若，則，即，顯然各行成比例.23．設(shè)，則方程組的任意兩解成比例.證：因?yàn)闉殛嚕?，的基礎(chǔ)解系所含向量個(gè)數(shù)為.設(shè)為的一個(gè)基礎(chǔ)解系.則任意解.所以，任意兩解成比例.24．設(shè)，且，則不可逆.證：由于故.所以，是的解.即齊次線性方程組有非零解，故.25．設(shè)為實(shí)矩陣，若對(duì)任意維非零列向量，均有，則證：反證，若則有非零解設(shè)是的一個(gè)非零解，則此與對(duì)任意，矛盾.26．設(shè)為（實(shí)）反對(duì)稱陣，為對(duì)角元全大于0的對(duì)角陣，則，且還有證：（1）反證，若則有非零解，設(shè)為進(jìn)而因?yàn)闉榉磳?duì)稱陣，所以故但所，此為矛盾所以,.（2）令假設(shè).因?yàn)椋?由介值定理存在使得為對(duì)角元全大于的對(duì)角陣.但由第（1）步矛盾.故.27．求出平面上點(diǎn)位于一條直線上的充要條件.證：設(shè)點(diǎn)所共直線為，則關(guān)于的方程組有解，從而矩陣與的秩相等，故，反之，若（1）若，則此點(diǎn)共線.（2）否則，，但故，從而與的秩相等.方程組（未知量為）有解，于是點(diǎn)共線，故平面上點(diǎn)共線的充要條件是即.28．求出平面內(nèi)條直線共點(diǎn)的充分必要條件.證：若平面內(nèi)條直線共點(diǎn)，則線性方程組有解，故矩陣與的秩相等.反之，若矩陣與秩相等，則線性方程組有解，即條直線共點(diǎn).故條直線共點(diǎn)的充要條件是矩陣與的秩相等.29．設(shè)是維實(shí)向量，且線性無(wú)關(guān)，已知是線性方程組的非零解向量，試判斷向量組，的線性相關(guān)性.解：設(shè)有一組數(shù)使得成立，因?yàn)槭蔷€性方程組的解，且，故有即于是，由得，但，故.從而由于向量組線性無(wú)關(guān)，所以有因此，向量組線性無(wú)關(guān).30．已知向量，是方程組的三個(gè)解.求該方程組的通解.解：由已知有是相應(yīng)的齊次方程組的兩個(gè)線性無(wú)關(guān)解.所以，系數(shù)矩陣的秩，（因?yàn)椋?又系數(shù)矩陣有二階子式所以，系數(shù)矩陣的秩.于是，系數(shù)矩陣的秩為2.故齊次方程組的基礎(chǔ)解系包含2個(gè)向量，即是齊次方程組的基礎(chǔ)解系.因此，該方程組的通解為.31．設(shè)是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，向量不是的解，試證向量組線性無(wú)關(guān).證：設(shè)有一組得得（1）由于是齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，向量不是的解，所以不能表為的線性組合，所以因此（1）式變?yōu)橛捎诰€性無(wú)關(guān)，所以，進(jìn)而，故向量組線性無(wú)關(guān).32．已知齊次方程組（I）的解都滿足方程，求和方程組（I）的通解.解：（I）的解都滿足的充要條件