專(zhuān)題. 解直角三角形-人教版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專(zhuān)項(xiàng)講練

文檔來(lái)源網(wǎng)絡(luò)整理侵權(quán)刪除專(zhuān)題28.9解直角三角形（基礎(chǔ)篇）（專(zhuān)項(xiàng)練習(xí)）一、單選題1．如圖，有一斜坡的長(zhǎng)米，坡角，則斜坡的鉛垂高度為（

）．A． B． C． D．2．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝6，AC＝2，CD⊥AB于D，設(shè)∠ACD＝α，則cosα的值為（）A． B． C． D．3．已知△ABC中，∠B=60°，AB=6，BC=8，則△ABC的面積為（

）A． B．24C． D．4．如圖，中，，點(diǎn)在上，．若，則的長(zhǎng)度為（

）A． B． C． D．5．如圖在一筆直的海岸線(xiàn)l上有相距3km的A，B兩個(gè)觀測(cè)站，B站在A站的正東方向上，從A站測(cè)得船C在北偏東60°的方向上，從B站測(cè)得船C在北偏東30°的方向上，則船C到海岸線(xiàn)l的距離是（

）A．km B．km C．km D．km6．已知直角梯形的一腰長(zhǎng)為18cm，另一腰長(zhǎng)為9cm，則較長(zhǎng)的腰與底所成角為（

）A．120°和60° B．45°和135° C．30°和150° D．90°7．如圖，在四邊形紙片中，，，．將紙片折疊，使點(diǎn)落在邊上的點(diǎn)處，折痕為．若，則的長(zhǎng)為（

）A．5 B． C． D．8．如圖，在△ABC中，AC＝8，∠ABC＝60°，∠C＝45°，AD⊥BC，垂足為D，∠ABC的平分線(xiàn)交AD于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為A． B．2 C． D．39．菱形OABC在平面直角坐標(biāo)系中的位置如圖所示,∠AOC=45°，OC=，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為()A．(,1) B．(1,) C．(+1,1) D．(1,+1)10．如圖是重慶輕軌10號(hào)線(xiàn)龍頭寺公園站入口扶梯建設(shè)示意圖．起初工程師計(jì)劃修建一段坡度為3:2的扶梯，扶梯總長(zhǎng)為米．但這樣坡度大陡，扶梯太長(zhǎng)容易引發(fā)安全事故．工程師修改方案：修建、兩段扶梯，并減緩各扶梯的坡度，其中扶梯和平臺(tái)形成的為135°，從點(diǎn)看點(diǎn)的仰角為36.5°，段扶梯長(zhǎng)米，則段扶梯長(zhǎng)度約為（

）米（參考數(shù)據(jù)：，，）A．43 B．45 C．47 D．49二、填空題11．已知,一個(gè)小球由地面沿著坡度的坡面向上前進(jìn)10cm,則此時(shí)小球距離地面的高度為_(kāi)_____cm．12．如圖，在△中，，,.則邊的長(zhǎng)為_(kāi)__________.13．如圖所示，四邊形ABCD中，∠B＝90°，AB＝2，CD＝8，AC⊥CD，若sin∠ACB＝，則cos∠ADC＝______．14．如果等腰△ABC中，，，那么______．15．如圖，等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，點(diǎn)O分斜邊AB為BO：OA=1：，將△BOC繞C點(diǎn)順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△AQC的位置，則∠AQC=___________．16．如圖，，點(diǎn)P在OA上，PC=PD，若CO=5cm，OD=8cm，則OP的長(zhǎng)是___________．17．如圖，在直角△BAD中，延長(zhǎng)斜邊BD到點(diǎn)C，使DC=BD，連接AC，若tanB=，則tan∠CAD的值________.18．如圖，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=6．折疊該菱形，使點(diǎn)A落在邊BC上的點(diǎn)M處，折痕分別與邊AB，AD交于點(diǎn)E，F(xiàn)．當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，EF的長(zhǎng)為_(kāi)_______；當(dāng)點(diǎn)M的位置變化時(shí)，DF長(zhǎng)的最大值為_(kāi)_______．三、解答題19．如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝5，AC＝12，求∠A的正弦值、余弦值和正切值．20．如圖，從高樓C點(diǎn)測(cè)得地面A，B兩點(diǎn)的俯角分別為、，如果此時(shí)高樓C點(diǎn)的高度CD

為100米，點(diǎn)A，D，B在同一直線(xiàn)上，求AB兩點(diǎn)的距離．（結(jié)果保留根號(hào)）21．如圖，在菱形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若BE＝，∠C＝60°，求菱形ABCD的面積．22．如圖，在四邊形中，，點(diǎn)在上，，垂足為．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）若平分，求和的長(zhǎng)．23．某校綜合實(shí)踐小組要對(duì)一幢建筑物的高度進(jìn)行測(cè)量.如圖，該小組在一斜坡坡腳處測(cè)得該建筑物頂端的仰角為，沿斜坡向上走到達(dá)處，（即）測(cè)得該建筑物頂端的仰角為.已知斜坡的坡度，請(qǐng)你計(jì)算建筑物的高度（即的長(zhǎng)，結(jié)果保留根號(hào)）.

24．如圖，某攔河壩橫截面原設(shè)計(jì)方案為梯形ABCD，其中AD∥BC，∠ABC=72°，為了提高攔河壩的安全性，現(xiàn)將壩頂寬度水平縮短10m，壩底寬度水平增加4m，使∠EFC=45°，請(qǐng)你計(jì)算這個(gè)攔河大壩的高度．（參考數(shù)據(jù)：sin72°≈，cos72°≈，tan72°）參考答案1．C【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義，結(jié)合題意，即可得到答案．解：結(jié)合題意，得：∴故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角函數(shù)的定義，從而完成求解．2．A【分析】先利用互余的性質(zhì)證出∠ACD＝∠B，然后利用勾股定理求出BC的長(zhǎng)，再求出∠B的余弦，即可得出答案.解：∵CD⊥AB，∴∠A+∠ACD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∴∠B＝∠ACD＝α，在Rt△ABC中，∵，∴cos∠B＝∴cosα＝.故選A【點(diǎn)撥】本題考查了求三角函數(shù)——余弦的值.在圖形中找到α的等角是解題的關(guān)鍵.3．D【分析】畫(huà)出圖形，利用三角函數(shù)求出BC邊上的高，再計(jì)算面積即可.解：根據(jù)題意作△ABC如圖所示，過(guò)A作AD⊥BC于D，∵在Rt△ABD中，∠B=60°，AB=6，∴sin∠B=，∴AD=，∴S△ABC=故選D.【點(diǎn)撥】本題考查特殊角度的三角函數(shù)值的應(yīng)用，熟記特殊角度的三角函數(shù)值是關(guān)鍵.4．C【分析】先根據(jù)，求出AB=5，再根據(jù)勾股定理求出BC=3，然后根據(jù)，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．解：∵∠C=90°，∴，∵，∴AB=5，根據(jù)勾股定理可得BC==3，∵，∴cos∠DBC=cosA=，∴cos∠DBC==，即=∴BD=，故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．5．C【分析】首先由題意可證△ACB是等腰三角形，即可求得BC的長(zhǎng)，然后由在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°，即可求得答案．解：過(guò)C作CD垂直于海岸線(xiàn)l交于D點(diǎn)，根據(jù)題意得∠CAD=90°-60°=30°，∠CBD=90°-30°=60°，∴∠ACB=∠CBD-∠CAD=30°，∴∠CAB=∠ACB，∴BC=AB=3km，在Rt△CBD中，CD=BC×sin60°=3×=(km)，故選擇：C．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰三角形，直角三角形以及特殊角的正弦值，應(yīng)熟練運(yùn)用圖形的性質(zhì)，熟記特殊角的正弦余弦正切值．6．C【分析】作梯形的另一高，得到一個(gè)矩形和一個(gè)直角三角形，根據(jù)矩形的對(duì)邊相等得該高等于9，則直角三角形中，斜邊是18，一條直角邊是9，所以較長(zhǎng)的腰與一底所成的角是30度．根據(jù)平行線(xiàn)的性質(zhì)，得與另一底所成的角是150°．解：作DE⊥BC，∵AD∥BC，AB⊥BC∴四邊形ABED為平行四邊形∴AB=DE=9∴sinC∴∠C=30°∴∠ADC=150°∴較長(zhǎng)的腰與底所成的角為30°或150°故選C．【點(diǎn)撥】考查了三角函數(shù)，解題關(guān)鍵是作直角梯形的另一高，組成了一個(gè)矩形和一個(gè)30°的直角三角形．7．C【分析】過(guò)點(diǎn)A作于H，由折疊知識(shí)得：，再由銳角三角函數(shù)可得，然后根據(jù)，可證得四邊形AHFG是矩形，即可求解．解：過(guò)點(diǎn)A作于H，由折疊知：BF=GF，∠BFE=∠GFE，，，在中，，，，，，，四邊形AHFG是矩形，，．故選：C．【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊變換，解直角三角形，矩形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．8．C【分析】由已知可知△ADC是等腰直角三角形，根據(jù)斜邊AC=8可得AD=4，在Rt△ABD中，由∠B=60°，可得BD==，再由BE平分∠ABC，可得∠EBD=30°，從而可求得DE長(zhǎng)，再根據(jù)AE=AD-DE即可解：∵AD⊥BC，∴△ADC是直角三角形，∵∠C=45°，∴∠DAC=45°，∴AD=DC，∵AC=8，∴AD=4，在Rt△ABD中，∠B=60°，∴BD===，∵BE平分∠ABC，∴∠EBD=30°，∴DE=BD?tan30°==，∴AE=AD-DE=，故選C.【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，熟練掌握直角三角形中邊角之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵.9．C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)，作軸，先求點(diǎn)坐標(biāo)，然后求得點(diǎn)的坐標(biāo)．解：作軸于點(diǎn)，四邊形是菱形，，，又為等腰直角三角形，，，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，的橫坐標(biāo)為，的縱坐標(biāo)為，則點(diǎn)的坐標(biāo)為，．故選：C．【點(diǎn)撥】本題綜合考查了菱形的性質(zhì)和坐標(biāo)的確定，銳角三角函數(shù)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形的性質(zhì)，綜合性較強(qiáng)．10．B【分析】首先構(gòu)建直角三角形，然后利用三角函數(shù)值得出DG，即可得解.解：作AH⊥EB于H，延長(zhǎng)DC交AH于N，作DG⊥EB于G，如圖所示：∵∠ACD=135°∴∠ACN=45°在Rt△ACN中，AC=，∠ACN=45°∴AN=CN=18在Rt△ABH中，AB=，AH：BH=3:2，設(shè)∴解得或（不符合題意，舍去）∴AH=45∴HN=AH-AN=45-18=27∵四邊形DGHN是矩形∴DG=HN=27在Rt△DEG中，∴故選：B.【點(diǎn)撥】此題主要考查銳角三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握，即可解題.11．．【分析】利用勾股定理及坡度的定義即可得到所求的線(xiàn)段長(zhǎng)．解：如圖，由題意得，，設(shè)由勾股定理得，，即，解得則故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理及坡度的定義，掌握理解坡度的定義是解題關(guān)鍵．12．【分析】過(guò)A作AD⊥BC于D點(diǎn)，根據(jù)，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解題解：過(guò)A作AD⊥BC于D點(diǎn)，∵，AC=2∴CD=在Rt△ACD中由勾股定理得：AD=又∵∠B=30°∴AB=2AD=.【點(diǎn)撥】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理求線(xiàn)段長(zhǎng)度，30°所對(duì)的直角邊是斜邊的一半，靈活聯(lián)合運(yùn)用即可解題.13．【分析】首先在△ABC中，根據(jù)三角函數(shù)值計(jì)算出AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理計(jì)算出AD的長(zhǎng)，然后根據(jù)余弦定義可算出cos∠ADC．解：∵∠B＝90°，sin∠ACB＝，∴＝，∵AB＝2，∴AC＝6，∵AC⊥CD，∴∠ACD＝90°，∴AD＝＝＝10，∴cos∠ADC＝＝．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了解直角三角形，以及勾股定理的應(yīng)用，關(guān)鍵是利用三角函數(shù)值計(jì)算出AC的長(zhǎng)，再利用勾股定理計(jì)算出AD的長(zhǎng)．14．；【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，由于，所以，，根據(jù)勾股定理以及銳角三角函數(shù)的定義可求出的長(zhǎng)度．解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，AB=AC=3，BE=EC=1，BC=2，又∵，∴BD=,，∵，∴，故答案為：.【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形，涉及銳角三角函數(shù)的定義，需要學(xué)生靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)．15．105°．【分析】連接OQ，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△AQC≌△BOC，從而推出∠OAQ=90°，∠OCQ=90°，再根據(jù)特殊直角三角形邊的關(guān)系，分別求出∠AQO與∠OQC的值，可求出結(jié)果．解：連接OQ，∵AC=BC，∠ACB=90°，∴∠BAC=∠B=45°，由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：△AQC≌△BOC，∴AQ=BO，CQ=CO，∠QAC=∠B=45°，∠ACQ=∠BCO，∴∠OAQ=∠BAC+∠CAQ=90°，∠OCQ=∠OCA+∠ACQ=∠OCA+∠BCO=90°，∴∠OQC=45°，∵BO：OA=1：，設(shè)BO=1，OA=，∴AQ=1，則tan∠AQO==，∴∠AQO=60°，∴∠AQC=105°．故答案為105°．16．13cm【分析】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB，利用等腰三角形三線(xiàn)合一的性質(zhì)求得CE的長(zhǎng)，從而就得OE，然后解直角三角形求解即可．解：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OB∵CO=5cm，OD=8cm，∴CD=OD-CO=3又∵PC=PD，PE⊥OB∴CE=∴OE=OC+CE=∴在Rt△POE中，故答案為：13cm．【點(diǎn)撥】本題考查等腰三角形的性質(zhì)及解直角三角形，掌握相關(guān)性質(zhì)正確推理計(jì)算是解題關(guān)鍵．17．解：如圖，延長(zhǎng)AD，過(guò)點(diǎn)C作CE⊥AD，垂足為E，∵tanB=，∴，∴設(shè)AD=5x，則AB=3x，∵∠CDE=∠BDA，∠CED=∠BAD，∴△CDE∽△BDA，∴=，∴CE=，DE=，∴AE=，∴tan∠CAD==，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查三角形函數(shù)，相似等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是恰當(dāng)添加輔助線(xiàn)．18．

【分析】當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，EF垂直平分AB，利用三角函數(shù)即可求得EF的長(zhǎng)；根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，AF=FM,若DF取最大值，則FM取最小值，即為邊AD與BC的距離DG，即可求解.解：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)B重合時(shí)，由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AB，∴AE=EB=AB=3，在Rt△AEF中，∠A=60°，AE=3，tan60°=，∴EF=3；當(dāng)AF長(zhǎng)取得最小值時(shí)，DF長(zhǎng)取得最大值，由折疊的性質(zhì)知EF垂直平分AM，則AF=FM，∴FM⊥BC時(shí)，F(xiàn)M長(zhǎng)取得最小值，此時(shí)DF長(zhǎng)取得最大值，過(guò)點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)C，則四邊形DGMF為矩形，∴FM=DG，在Rt△DGC中，∠C=∠A=60°，DC=AB=6，∴DG=DCsin60°=3，∴DF長(zhǎng)的最大值為AD-AF=AD-FM=AD-DG=6-3，故答案為：3；6-3．【點(diǎn)撥】本題考查了菱形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，解直角三角形，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．19．sinA=，cosA=，tanA=．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義解答即可．解：由勾股定理得，，則，，．【點(diǎn)撥】本題考查解直角三角形，解題的關(guān)鍵是利用勾股定理求出AB的長(zhǎng).20．AB兩點(diǎn)的距離是米．【分析】先根據(jù)從熱氣球C處測(cè)得地面A、B兩點(diǎn)的俯角分別為30°、45°可求出∠BCD與∠ACD的度數(shù)，再由直角三角形的性質(zhì)求出AD與BD的長(zhǎng)，根據(jù)AB=AD+BD即可得出結(jié)論．解：從高樓C點(diǎn)測(cè)得地面A，B兩點(diǎn)的俯角分別為，，，，，米，

是等腰直角三角形，米，在中，米，，，米，

答：AB兩點(diǎn)的距離是米．【點(diǎn)撥】本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用-仰角俯角問(wèn)題，熟知銳角三角函數(shù)的定義是解答此題的關(guān)鍵．21．（1）詳見(jiàn)分析；（2）2．【分析】（1）利用菱形的性質(zhì)，由SAS證明即可；（2）證是等邊三角形，得出BE⊥AD，求出AD即可．解：（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∵點(diǎn)E，F(xiàn)分別是邊AD，AB的中點(diǎn)，∴AF＝AE，在和中，，∴（SAS）；（2）解：連接BD，如圖：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠A＝∠C＝60°，∴是等邊三角形，∵點(diǎn)E是邊AD的中點(diǎn)，∴BE⊥AD，∴∠ABE＝30°，∴AE＝BE＝1，AB＝2AE＝2，∴AD＝AB＝2，∴菱形ABCD的面積＝AD×BE＝2×＝2．【點(diǎn)撥】本題考查的是菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的面積的計(jì)算，掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．22．（1）見(jiàn)詳解；（2），【分析】（1）由題意易得AD∥CE，然后問(wèn)題可求證；（2）由（1）及題意易得EF=CE=AD，然后由