考研數(shù)學(xué)二(二次型)模擬試卷20(題后含答案及解析)

考研數(shù)學(xué)二（二次型）模擬試卷20(題后含答案及解析)題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。1．下列二次型中是正定二次型的是()A．f1=(x1一x2)2+(x2一x3)2+(x3一x1)2。B．f2=(x1+x2)2+(x2一x3)2+(x3+x1)2。C．f3=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3一x4)2+(x4一x1)2。D．f4=(x1+x2)2+(x2+x3)2+(x3+x4)2+(x4一x1)2。正確答案：D解析：f=xTAx正定對(duì)任意的x≠0，均有xTAx＞0；反之，若存在x≠0，使得f=xTAx≤0則f或A不正定。A選項(xiàng)因f1(1，1，1)=0，故不正定。B選項(xiàng)因f2(一1，1，1)=0，故不正定。C選項(xiàng)因f3(1，一1，1，1)=0，故不正定。由排除法，故選D。知識(shí)模塊：二次型2．關(guān)于二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32+2x1x2+2x1x3+2x2x3，下列說(shuō)法正確的是()A．是正定的。B．其矩陣可逆。C．其秩為1。D．其秩為2。正確答案：C解析：二次型的矩陣所以r(A)=1，選項(xiàng)A、B、D都不正確。故選C。知識(shí)模塊：二次型3．n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A正定的充分必要條件是()A．二次型xTAx的負(fù)慣性指數(shù)為零。B．存在可逆矩陣P使P—1AP=E。C．存在n階矩陣C使A=C—1C。D．A的伴隨矩陣A*與E合同。正確答案：D解析：選項(xiàng)A是必要不充分條件。這是因?yàn)閞(A)=p+q≤n，當(dāng)q=0時(shí)，有r(A)=p≤n。此時(shí)有可能p＜n，故二次型xTAx不一定是正定二次型。因此矩陣A不一定是正定矩陣。例如f(x1，x2，x3)=x12+5x32。選項(xiàng)B是充分不必要條件。這是因?yàn)镻—1AP=E表示A與E相似，即A的特征值全是1，此時(shí)A是正定的。但只要A的特征值全大于零就可保證A正定，因此特征值全是1是不必要的。選項(xiàng)C中的矩陣C沒(méi)有可逆的條件，因此對(duì)于A=CTC不能說(shuō)A與E合同，即沒(méi)有A是正定矩陣的結(jié)論。例如顯然矩陣A不正定。關(guān)于選項(xiàng)D，由于A正定A—1正定A*正定A*與E合同，所以D項(xiàng)是充分必要條件。故選D。知識(shí)模塊：二次型4．已知實(shí)二二次型f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2正定，矩陣A=(aij)3×3，則()A．A是正定矩陣。B．A是可逆矩陣。C．A是不可逆矩陣。D．以上結(jié)論都不對(duì)。正確答案：B解析：f=(a11x1+a12x2+a13x3)2+(a21x1+a22x2+a23x3)2+(a31x1+a32x2+a33x3)2=xTATAx=(Ax)T(Ax)。因?yàn)閷?shí)二次型f正定，所以對(duì)任意x≠0，f＞0的充要條件是Ax≠0，即齊次線(xiàn)性方程組Ax=0只有零解，故A是可逆矩陣。故選B。知識(shí)模塊：二次型5．設(shè)f=xTAx，g=xTBx是兩個(gè)n元正定二次型，則下列未必是正定二次型的是()A．xT(A+B)x。B．xTA—1。C．xTB—1x。D．xTABx。正確答案：D解析：因?yàn)閒是正定二次型，A是n階正定陣，所以A的n個(gè)特征值λ1，λ2，…，λn都大于零。設(shè)Apj=λjpj，則A—1pj=，A—1的n個(gè)特征值(j=l，2，…，n)必都大于零，這說(shuō)明A—1為正定陣，xTA—1x為正定二定型。同理，xTB—1x為正定二次型，對(duì)任意n維非零列向量x都有xT(A+B)x=xTAx+xTBx＞0，這說(shuō)明xT(A+B)x為正定二次型。由于兩個(gè)同階對(duì)稱(chēng)陣的乘積未必為對(duì)稱(chēng)陣，所以xTABx未必為正定二次型。故選D。知識(shí)模塊：二次型6．設(shè)A，B均為n階正定矩陣，下列各矩陣中不一定是正定矩陣的是()A．A—1+B—1。B．AB。C．A*+B*。D．2A+3B。正確答案：B解析：A，B為正定矩陣，則A—1，B—1仍是正定矩陣，故A—1+B—1也是正定矩陣。類(lèi)似地，選項(xiàng)C、D中的矩陣均為正定矩陣。故選B。事實(shí)上，由于(AB)T=BTAT=BA，但AB=BA不一定成立，故AB不一定是正定矩陣。知識(shí)模塊：二次型7．下列條件不能保證n階實(shí)對(duì)稱(chēng)陣A正定的是()A．A—1正定。B．A沒(méi)有負(fù)的特征值。C．A的正慣性指數(shù)等于n。D．A合同于單位矩陣。正確答案：B解析：A—1正定表明存在可逆矩陣C，使CTA—1C=E，兩邊求逆得到C—1A(CT)—1=C—1A(C—1)T=E，即A合同于E，A正定，因此不應(yīng)選A。D選項(xiàng)是A正定的定義，也不正確。C選項(xiàng)表明A的正慣性指數(shù)等于n，故A是正定陣。由排除法，故選B。事實(shí)上，一個(gè)矩陣沒(méi)有負(fù)的特征值，但可能有零特征值，而正定陣的特征值必須全是正數(shù)。知識(shí)模塊：二次型填空題8．二次型f(x1，x2，x3)=(x1+2x2+a3x3)(x1+5x2+b3x3)的合同規(guī)范形為_(kāi)_____。正確答案：z12—z22解析：令則=3，所以該線(xiàn)性變換是非退化的，則原二次型與變換之后的二次型f=y1y2是合同的，故有相同的合同規(guī)范形。二次型f=y1y2的矩陣為，其特征值為，所以原二次型的正、負(fù)慣性指數(shù)均為1，故原二次型的合同標(biāo)準(zhǔn)形為z12—z22。知識(shí)模塊：二次型9．設(shè)f=x12+x22+5x32+2ax1x2一2x1x3+4x2x3為正定二次型，則未知系數(shù)a的范圍是______。正確答案：解析：二次型的矩陣為其各階主子式為因?yàn)閒為正定二次型，所以必有1一a2＞0且一a(5a+4)＞0，因此。故當(dāng)時(shí)，A正定，從而f正定。知識(shí)模塊：二次型10．設(shè)A是三階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣，滿(mǎn)足A3=2A2+5A一6E，且kE+A是正定陣，則k的取值范圍是______。正確答案：k＞2解析：根據(jù)題設(shè)條件，則有A3一2A2一5A+6E=O。設(shè)A有特征值λ，則λ滿(mǎn)足條件λ3一2λ2一5λ+6=0，將其因式分解可得λ3一2λ2一5λ+6=(λ一1)(λ+2)(λ一3)=0，因此可知矩陣A的特征值分別為1，一2，3，故kE+A的特征值分別為k+1，k一2，k+3，且當(dāng)k＞2時(shí)，kE+A的特征值均為正數(shù)。故k＞2。知識(shí)模塊：二次型11．設(shè)α=(1，0，1)T，A=ααT，若B=(kE+A)*是正定矩陣，則k的取值范圍是______。正確答案：k＞0或k＜一2解析：矩陣A=ααT的秩為1，且tr(A)=ααT=2，故矩陣A的特征值是2，0，0，從而矩陣kE+A的特征值是k+2，k，k。矩陣B=(kE+A)*=｜kE+A｜(kE+A)—1的特征值是k2，k(k+2)，k(k+2)。矩陣B正定的充要條件是特征值均大于零，即k2＞0且k(k+2)＞0，解得k＞0或k＜一2。知識(shí)模塊：二次型12．設(shè)A是m×n矩陣，E是n階單位陣，矩陣B=一aE+ATA是正定陣，則a的取值范圍是______。正確答案：a＜0解析：BT=(一aE+ATA)T=一aE+ATA=b，故B是一個(gè)對(duì)稱(chēng)矩陣。B正定的充要條件是對(duì)于任意給定的x≠0，都有xTBx=xT(一aE+ATA)x=一axTx+xTATAx=一axTx+(Ax)TAx＞0，其中(Ax)T(Ax)≥0，xTx＞0，因此a的取值范圍是一a＞0，即a＜0。知識(shí)模塊：二次型解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。13．設(shè)A為m階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣且正定，B為m×n實(shí)矩陣，BT為B的轉(zhuǎn)置矩陣，證明BTAB為正定矩陣的充分必要條件是r(B)=n。正確答案：必要性：設(shè)BTAB為正定矩陣，則r(BTAB)=n，因?yàn)閞(BTAB)≤r(B)≤n，故有r(B)=n。充分性：因(BTAB)T=BTAT(BT)T=BTAB，故BTTAB為實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣。若r(B)=n，則線(xiàn)性方程組Bx=0只有零解，從而對(duì)任意的n維實(shí)列向量x≠0，有Bx≠0。又A為正定矩陣，所以對(duì)于Bx≠0，有(Bx)TA(Bx)＞0。于是當(dāng)x≠0，有xT(BTAB)x=(Bx)TA(Bx)＞0，故BTAB為正定矩陣。涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型設(shè)為正定矩陣，其中A，B分別為m階，n階對(duì)稱(chēng)矩陣，C為m×n矩陣。14．計(jì)算PTDP，其中；正確答案：因?yàn)镻T=，則涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型15．利用上題的結(jié)果判斷矩陣B一CTA—1C是否為正定矩陣，并證明結(jié)論。正確答案：由上一題中結(jié)果知矩陣D與矩陣M=合同，又因D是正定矩陣，所以矩陣M為正定矩陣，從而可知M是對(duì)稱(chēng)矩陣，那么B一CTA—1C是對(duì)稱(chēng)矩陣。對(duì)m維零向量x=(0，0，…，0)T和任意n維非零向量y=(y1，y2，…yn)T，都有即yT(B一CTA—1C)y＞0，依定義，yT(B一CTA—1C)y為正定二次型，所以矩陣B一CTA—1C為正定矩陣。涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2，記16．證明二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為2ααT+ββT；正確答案：f(x1，x2，x3)=2(a1x1+a2x2+a3x3)2+(b1x1+b2x2+b3x3)2所以二次型f對(duì)應(yīng)的矩陣為2ααT+ββT。涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型17．若α，β正交且均為單位向量，證明f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y12+y22。正確答案：設(shè)A=2ααT+ββT，由于｜α｜=1，αTβ=βTα=0，則Aα=(2ααT+ββT)α=2α｜α｜T+ββTα=2α，所以α為矩陣對(duì)應(yīng)特征值λ1=2的特征向量；Aβ=(2ααT+ββT)β=2ααTβ+β｜β｜2=β，所以β為矩陣對(duì)應(yīng)特征值λ2=1的特征向量。而矩陣A的秩r(A)=r(2ααT+ββT)≤r(2ααT)+r(ββT)=2，所以λ3=0也是矩陣的一個(gè)特征值。故f在正交變換下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y12+y22。涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型18．用正交變換將二次型f(x1，x2，x3)=x12一2x22一2x32一4x1x2+4x1x3+8x2x3化為標(biāo)準(zhǔn)形，并給出所施行的正交變換。正確答案：二次型的矩陣為A=，特征多項(xiàng)式為｜λE一A｜==(λ一2)2(λ+7)，矩陣A的特征值為λ1=一7，λ2=λ3=2。由(λiE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=一7和λ2=λ3=2對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(1，2，一2)T，α2=(一2，1，0)T，α3=(2，0，1)T，由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以先將α2，α3正交化，即β2=α2=(一2，1，0)T，β3=α3一再將α1，β2，β3單位化，即那么令Q=(γ1，γ2，γ3)=則二次型xTAx在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為一7y12+2y22+2y32。涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型設(shè)二次型f(x1，x2，x3)=x12+x22+x32一2x1x2—2x1x3+2ax2x3通過(guò)正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形2y12+2y22+by32。19．求常數(shù)a，b及所用的正交變換矩陣Q；正確答案：二次型矩陣及其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣分別為由矩陣B可知矩陣A的特征值為2，2，6。由矩陣A的跡tr(A)=3=2+2+b可得b=一1。由于2是A的二重特征值，而實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A必可相似對(duì)角化，所以矩陣A的對(duì)應(yīng)于特征值2的線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特征向量有兩個(gè)。于是矩陣2E—A的秩為1，而所以a=一1。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=λ2=2和λ3=一1對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(1，0，一1)T，α2=(0，1，一1)T，α3=(1，1，1)T，由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以先將α1，α2正交化，即β1=α1=(1，0，一1)T，再將β1，β2，α1單位化，即則正交變換矩陣Q=(γ1，γ2，γ3)=涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型20．求f在xTx=3下的最大值。正確答案：二次型f=xTAx在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為2y12+2y22—y32。條件xTx=3等價(jià)于yTQTQy=y12+y22+y32=3，此時(shí)f=2y12+2y22一y32=6—3y32的最大值為6，所以f在xTx=3下的最大值是6。涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型已知二二次型f(x1，x2，x3)=4x22一3x32+4x1x2—4x1x3+8x2x3。21．寫(xiě)出二次型f的矩陣表達(dá)式；正確答案：二次型的矩陣為則二次型的矩陣表達(dá)式為f=xTAx。涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型22．用正交變換把二次型f化為標(biāo)準(zhǔn)形，并寫(xiě)出相應(yīng)的正交矩陣。正確答案：矩陣A的特征多項(xiàng)式為｜λE—A｜==(λ一1)(λ一6)(λ+6)，矩陣A的特征值為λ1=1，λ2=6，λ3=一6。由(λiE一A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=1，λ2=6，λ3=一6對(duì)應(yīng)的特征向量分別為α1=(一2，0，1)T，α2=(1，5，2)T，α3=(1，一1，2)T，由于實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的屬于不同特征值的特征向量正交，所以可直接將α1，α2，α3單位化，即則正交變換矩陣Q=(γ1，γ2，γ3)=且二次型xTAx在正交變換x=Qy下的標(biāo)準(zhǔn)形為f=y12+6y22一6y32。涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型設(shè)二二次型f(x1，x2，x3)=3x12+3x22+5x32+4x1x3—4x2x3。23．寫(xiě)出二次型的矩陣表達(dá)式；正確答案：二次型的矩陣為則二次型的矩陣表達(dá)式為f=xTAx。涉及知識(shí)點(diǎn)：二次型24．求正交矩陣P，作變換x=Py將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形。正確答案：矩陣A的特征多項(xiàng)式為｜λE—A｜==(λ一1)(λ一3)(λ一7)，矩陣A的特征值為λi=1，λ2=3，λ3=7。由(λiE—A)x=0(i=1，2，3)解得特征值λ1=1