欠約束繩牽引并聯(lián)機(jī)器人運(yùn)動(dòng)學(xué)與控制研究進(jìn)展

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引言

繩牽引并聯(lián)機(jī)器人（Cable-DrivenParallelRobot，CDPR）是一種采用繩索代替?zhèn)鹘y(tǒng)剛性桿來控制末端執(zhí)行器位姿的一種新型機(jī)器人，具有結(jié)構(gòu)簡單、慣性小、運(yùn)動(dòng)空間較大、剛度較大以及動(dòng)態(tài)性能良好等優(yōu)點(diǎn)，是傳統(tǒng)“硬式支撐”串聯(lián)支撐機(jī)器人無法比擬的。在工程實(shí)踐中，這種新型的并聯(lián)支撐機(jī)器人非常適用于吊車、機(jī)械加工、天文望遠(yuǎn)鏡等領(lǐng)域，已經(jīng)逐漸成為國內(nèi)外研究的一大熱點(diǎn)，廣泛應(yīng)用于航空、工業(yè)和軍事等領(lǐng)域。根據(jù)牽引繩索數(shù)目m和并聯(lián)機(jī)器人自由度數(shù)目n之間的關(guān)系，CDPR可以分為三種類型：欠約束CDPR（m<n+1）、完全約束CDPR（m=n+1）以及冗余約束CDPR（m>n+1）。截至目前，國內(nèi)外已經(jīng)有大量研究團(tuán)隊(duì)針對(duì)完全約束的CDPR開展了細(xì)致的研究并取得了一批矚目的成果。本文主要針對(duì)欠約束CDPR，數(shù)量有限的CDPR減少了受控的自由度，降低了整個(gè)系統(tǒng)的復(fù)雜性以及繩間相互干擾的可能性，可應(yīng)用于多種工程實(shí)踐，如貨物運(yùn)輸、醫(yī)療康復(fù)（如圖1所示）、風(fēng)洞試驗(yàn)（如圖2所示），因此對(duì)欠約束CDPR的研究具有重大意義。圖1繩驅(qū)動(dòng)康復(fù)機(jī)器人圖2雙索懸掛支撐系統(tǒng)示意圖欠約束CDPR由于其繩索不完全約束，即使在繩長給定不變的情況下，末端執(zhí)行器依然可以運(yùn)動(dòng)，即動(dòng)平臺(tái)放開了一定的自由度。換句話說，欠約束類型的機(jī)構(gòu)釋放了一部分自由度。當(dāng)給定動(dòng)平臺(tái)期望軌跡指令或者通過主動(dòng)控制，如控制飛行器模型舵面等方式，可以實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)特定方向上的自由運(yùn)動(dòng)或者強(qiáng)迫+自由運(yùn)動(dòng)。這對(duì)于患者進(jìn)行主動(dòng)康復(fù)，或在風(fēng)洞虛擬飛行試驗(yàn)中研究飛行器模型的氣動(dòng)、運(yùn)動(dòng)和控制之間的耦合關(guān)系等提供了支持。以風(fēng)洞試驗(yàn)需求為例，在某些特定的情況下，需要研究飛行器模型在受迫+自由運(yùn)動(dòng)下的響應(yīng)情況，例如模型在做俯仰振蕩時(shí)的滾轉(zhuǎn)和偏航角運(yùn)動(dòng)，從而更深層次地研究飛行器模型的氣動(dòng)特性，這對(duì)于掌握模型位姿之間的耦合關(guān)系和設(shè)計(jì)飛行控制律具有非常重要的意義，故這種情況下需要采用欠約束類型的支撐方式。將欠約束CDPR做上述應(yīng)用時(shí)，需要重點(diǎn)關(guān)注欠約束系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析和運(yùn)動(dòng)控制兩個(gè)核心問題。本文首先簡要描述欠約束CDPR的運(yùn)動(dòng)特性，指出運(yùn)動(dòng)學(xué)求解算法和運(yùn)動(dòng)控制律設(shè)計(jì)這兩類關(guān)鍵問題。其次，分別闡述欠約束CDPR系統(tǒng)幾何學(xué)與靜力學(xué)之間的耦合求解方法現(xiàn)狀以及運(yùn)動(dòng)控制研究現(xiàn)狀。最后，對(duì)欠約束繩牽引并聯(lián)機(jī)器人未來的研究方向進(jìn)行展望。2

欠約束CDPR運(yùn)動(dòng)描述

以四繩驅(qū)動(dòng)欠約束CDPR為例，如圖3所示的結(jié)構(gòu)示意圖，其中Bi(i=1，2，…，4）表示支撐框架上驅(qū)動(dòng)繩索的引出點(diǎn)，Pi(i=1，2，…，4）表示繩索在動(dòng)平臺(tái)（以飛機(jī)模型為例）上的牽引點(diǎn)，動(dòng)平臺(tái)在四根繩索的驅(qū)動(dòng)下實(shí)現(xiàn)運(yùn)動(dòng)。

圖3欠約束CDPR結(jié)構(gòu)示意圖為方便建立欠約束CDPR的運(yùn)動(dòng)學(xué)模型，分別在框架和動(dòng)平臺(tái)上建立靜坐標(biāo)系和動(dòng)坐標(biāo)系，則第i根繩的繩長表達(dá)式如式（1）所示：式（1）中，X0是模型質(zhì)心到靜坐標(biāo)系質(zhì)心的坐標(biāo)表示(XP,YP,ZP)T；XP是牽引點(diǎn)相對(duì)于動(dòng)坐標(biāo)系原點(diǎn)O,的向量；R為從動(dòng)坐標(biāo)系到靜坐標(biāo)系的坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的旋轉(zhuǎn)變換矩陣。當(dāng)系統(tǒng)處于靜平衡狀態(tài)時(shí)，滿足力平衡方程如式（2）所示：其中，J為系統(tǒng)的Jacobian矩陣，T為繩拉力矢量，W為廣義外力矢量。系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)是描述末端執(zhí)行器的運(yùn)動(dòng)與其受到的繩拉力和外部力之間的關(guān)系，其建模主要是為了運(yùn)動(dòng)控制的需要，以實(shí)現(xiàn)動(dòng)平臺(tái)的位姿變化。這里忽略繩索的質(zhì)量和彈性等因素，采用Newton-Euler法，建立動(dòng)平臺(tái)的動(dòng)力學(xué)方程，可以表示為矩陣形式：其中，M(X)為慣性矩陣，X為動(dòng)平臺(tái)位姿矢量，Wg為重力矢量，N(X,X)為非線性哥氏離心力矩陣。進(jìn)一步考慮驅(qū)動(dòng)子系統(tǒng)，即可得到系統(tǒng)完整的動(dòng)力學(xué)方程組。欠約束CDPR的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析主要聚焦于其動(dòng)平臺(tái)位姿和繩索長度以及繩拉力之間的關(guān)系。與冗余約束系統(tǒng)不同的是，欠約束系統(tǒng)由于其牽引繩索的數(shù)目小于模型的自由度數(shù)目，導(dǎo)致在分析其機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)學(xué)時(shí)存在一個(gè)難點(diǎn)：即使欠約束系統(tǒng)的各繩長長度給定，在外力作用下，末端動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)依然可以運(yùn)動(dòng)。即末端動(dòng)平臺(tái)的姿態(tài)是由繩索長度和外力大小這兩個(gè)條件共同決定的。因此，欠約束系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)幾何問題與靜力平衡問題需要同時(shí)求解，與此同時(shí)，還需要保證每根繩索的拉力都是正值才可以實(shí)現(xiàn)有效運(yùn)動(dòng)。進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)求解時(shí)，需要根據(jù)式（1）和動(dòng)平臺(tái)的靜力平衡方程式（2），構(gòu)建幾何靜力方程組，進(jìn)而求解運(yùn)動(dòng)學(xué)正/逆解問題。該方程組中一共有m+6個(gè)方程，m為繩索數(shù)量。通過數(shù)值考慮欠約束繩CDPR位置和姿態(tài)的變化，其模型的自由度數(shù)目為6，即n=6?？梢钥闯?，耦合方程組中共包括了m+6個(gè)子方程，其中共含有2m+6個(gè)變量，這些變量由動(dòng)平臺(tái)位姿中的6個(gè)變量以及繩長和繩拉力的2m個(gè)變量組成。如果已知其中m個(gè)變量，通過該方程組就可以求出其他變量的有限解集。由此可以定義欠約束運(yùn)動(dòng)學(xué)的兩種問題：已知m根繩長求解未知繩拉力與位姿變量的正幾何靜力問題和已知m個(gè)位姿求解未知繩拉力與繩長變量的逆幾何靜力問題。3

欠約束CDPR運(yùn)動(dòng)學(xué)研究現(xiàn)狀

針對(duì)上述運(yùn)動(dòng)學(xué)問題，近年來，意大利在欠約束CDPR的正/逆幾何靜力學(xué)的求解上做出了較大貢獻(xiàn)。最初，指出欠約束CDPR的運(yùn)動(dòng)學(xué)與靜力學(xué)本質(zhì)上是耦合的，需要同時(shí)求解。提出了一種原始的幾何靜態(tài)模型用來解決欠約束CDPR的正幾何靜力學(xué)問題，創(chuàng)造性地通過依靠Groebner基和Sylvester方程混合消元的方法對(duì)三根繩牽引的并聯(lián)機(jī)器人展開研究，證明了該機(jī)構(gòu)的正幾何靜力學(xué)具有多達(dá)156個(gè)解，但其求解階數(shù)過高，過程復(fù)雜。隨后，采用Dietmaier算法解決了正運(yùn)動(dòng)學(xué)的解中存在復(fù)數(shù)解的問題，并開發(fā)了以遺傳算法和粒子群優(yōu)化為基礎(chǔ)的程序，最大化了實(shí)數(shù)解的數(shù)量，提供了56個(gè)具有實(shí)際物理意義的正幾何靜力學(xué)問題的實(shí)數(shù)解。并進(jìn)一步在原有靜態(tài)幾何模型的基礎(chǔ)上，提出了一種在約束優(yōu)化問題框架內(nèi)評(píng)估靜態(tài)穩(wěn)定性的算法，該算法只依賴于線性代數(shù)方程，能應(yīng)用于普遍的平面和空間體系機(jī)構(gòu)，穩(wěn)定性算法的通用性通過兩繩、三繩和四繩CDPR的算例得到了證明。此外，還分析了四根繩牽引的并聯(lián)機(jī)器人的逆幾何靜力學(xué)問題，分析了移動(dòng)平臺(tái)姿態(tài)或是質(zhì)心位置被確定這兩種實(shí)例，分別用Sylvester方程和基于Groebner基的算法得到逆運(yùn)動(dòng)學(xué)問題的實(shí)數(shù)解。為了得到更具有一般意義下的求解算法，他們研究了n（n≤6）根繩牽引的并聯(lián)機(jī)器人正幾何靜力學(xué)問題，該問題由一組代數(shù)方程建模，找到相應(yīng)的理想中最小階數(shù)的單變量多項(xiàng)式，這個(gè)多項(xiàng)式一方面為尋找正幾何靜力學(xué)復(fù)數(shù)解的解決方案設(shè)置了一個(gè)確切的界限，另一方面提供了一個(gè)基準(zhǔn)來驗(yàn)證Groebner基和Sylvester方程混合消元法的有效性。首次為欠約束CDPR正幾何靜態(tài)優(yōu)化設(shè)計(jì)問題開發(fā)了DGP-solver軟件包，該軟件包的顯著特點(diǎn)是只要以機(jī)構(gòu)的幾何尺寸、繩索長度、外力大小為輸入，便能找到所有正幾何靜態(tài)問題的解，包括其中某些繩索松弛的情況，但該算法沒有包含繩拉力約束等條件，需要進(jìn)一步后處理，才能確定解的有效性。提出基于區(qū)間分析的方法，求解欠約束CDPR正幾何靜力學(xué)問題，區(qū)間分析法保證了這些解可以對(duì)數(shù)值錯(cuò)誤進(jìn)行糾錯(cuò)，即結(jié)合欠約束CDPR的實(shí)際物理意義給出特定的約束條件，例如繩索張力值只能為正。為了同時(shí)考慮繩拉力的約束，文獻(xiàn)采用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等方法將其轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)求解。而國內(nèi)研究欠約束繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的內(nèi)容目前還相對(duì)較少。針對(duì)欠約束CDPR的工作空間問題，桑建等針對(duì)一種由六根繩索牽引的欠約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)，提出了一種維數(shù)縮減法進(jìn)行計(jì)算，并利用MATLAB進(jìn)行仿真，根據(jù)工作空間評(píng)價(jià)指標(biāo)得到機(jī)構(gòu)參數(shù)的最佳組合和機(jī)構(gòu)的最大工作空間。則針對(duì)不同約束條件下的CDPR，提出了一種可以用于三種不同情況下的求解其工作空間的算法。鄭亞青和江曉玲指出欠約束CDPR屬于微分平坦化系統(tǒng)，即系統(tǒng)的內(nèi)部變量和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的輸入量都可以通過經(jīng)過平坦化輸出的繩向量和其低階導(dǎo)數(shù)以代數(shù)的形式進(jìn)行表示，并通過3-3（3繩牽引，3自由度）CDPR實(shí)例仿真給出證明，同時(shí)尋找其平坦輸出。鄭亞青和江曉玲進(jìn)行了更為細(xì)致的研究，考慮到繩索自身重力作用，采用懸鏈線方程對(duì)四根繩牽引的6自由度欠約束并聯(lián)機(jī)器人進(jìn)行運(yùn)動(dòng)學(xué)和靜力學(xué)分析后得出該機(jī)構(gòu)的靜剛度矩陣，通過最小二乘支持矢量機(jī)回歸的方法求出該并聯(lián)機(jī)器人在平動(dòng)方向上的靜剛度變化，并通過該方法優(yōu)化系統(tǒng)的機(jī)械結(jié)構(gòu)，從而提高該系統(tǒng)的靜剛度。通過結(jié)合其他算法的優(yōu)勢，通過將最小二乘法和蒙特卡羅算法結(jié)合，提出一種綜合算法，對(duì)多機(jī)器人的欠約束系統(tǒng)進(jìn)行靜平衡工作空間的求解。由上述可知，截止目前，國內(nèi)外學(xué)者們主要針對(duì)于欠約束CDPR正/逆運(yùn)動(dòng)學(xué)的求解以及工作空間的計(jì)算問題，進(jìn)行算法上的改進(jìn)與提高。但目前提出的算法還都較為復(fù)雜或沒有考慮約束條件的影響，因此，結(jié)合其他算法思想，研究一種智能高效的求解算法解決運(yùn)動(dòng)學(xué)問題是非常有必要的。4

欠約束CDPR運(yùn)動(dòng)控制研究現(xiàn)狀

CDPR的控制技術(shù)是確保機(jī)器人系統(tǒng)能夠穩(wěn)定工作的核心技術(shù)之一，采用柔性繩取代剛性桿作為并聯(lián)機(jī)器人的驅(qū)動(dòng)關(guān)節(jié)，使得CDPR相比于傳統(tǒng)的剛性并聯(lián)機(jī)器人在運(yùn)動(dòng)控制方面具有了更多可研究的問題和更大的挑戰(zhàn)。目前針對(duì)CDPR軌跡跟蹤控制的研究已經(jīng)較為成熟，國內(nèi)外學(xué)者針對(duì)其運(yùn)動(dòng)控制方法展開了深入的研究。整體而言，CDPR的控制策略可以分為兩類，即基于繩長或編碼器的連接空間或驅(qū)動(dòng)空間的控制，以及基于末端執(zhí)行器位姿測量的任務(wù)空間的控制，分別屬于半閉環(huán)控制與全閉環(huán)控制，如圖4、圖5所示。圖5全閉環(huán)控制系統(tǒng)已有文獻(xiàn)大多是針對(duì)冗余約束CDPR的研究。國外，針對(duì)動(dòng)態(tài)不確定性的CDPR提出了一種魯棒自適應(yīng)控制器，設(shè)計(jì)了使用傅里葉級(jí)數(shù)展開的基于函數(shù)逼近技術(shù)的自適應(yīng)控制律，可以自適應(yīng)地學(xué)習(xí)機(jī)器人和執(zhí)行器動(dòng)力學(xué)中的不確定項(xiàng)，采用李雅普諾夫理論證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并通過在平面繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人上的仿真證明該控制方法的準(zhǔn)確性。針對(duì)低速工作的大尺寸繩索驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人設(shè)計(jì)了一種模型預(yù)測控制策略，并將其與兩種常用的滑?？刂坪蚉ID+控制方法的性能進(jìn)行比較，仿真表明該控制策略具有更高的外部干擾抑制性能。針對(duì)CDPR提出了一種高性能魯棒控制器，其將滑模控制、PID控制和自適應(yīng)控制方法結(jié)合在一起，在模型不確定性存在的情況下，對(duì)CDPR進(jìn)行軌跡跟蹤控制，并通過仿真和實(shí)驗(yàn)證明該方法可以很好地抑制不確定性對(duì)運(yùn)動(dòng)控制的影響。為減小不確定性對(duì)具有三自由度平移運(yùn)動(dòng)的大型繩驅(qū)動(dòng)機(jī)器人的影響，提出一種雙積分滑?？刂撇呗詠頊p小穩(wěn)態(tài)誤差，并通過數(shù)值仿真模擬證明控制方法的有效性。提出了一種基于視覺的平面繩驅(qū)動(dòng)并聯(lián)機(jī)器人的位置控制的實(shí)現(xiàn)方法，在控制過程中基于視覺反饋來跟蹤末端執(zhí)行器的位置，為提高控制性能，選取自適應(yīng)滑模控制器，自適應(yīng)規(guī)則通過遞歸最小二乘法精確辨識(shí)模型，并通過實(shí)驗(yàn)測試驗(yàn)證了該方法的可行性。針對(duì)滑?？刂瞥Ｒ姷亩墩駟栴}，提出了一種魯棒自適應(yīng)滑?？刂品椒?，該方法結(jié)合了基于增益自適應(yīng)律的SuperTwisting控制器，通過前饋動(dòng)態(tài)反轉(zhuǎn)來減少不連續(xù)控制，從而提高了性能，進(jìn)一步減少抖振。國內(nèi)，仇原鷹等針對(duì)繩牽引攝像機(jī)器人高速運(yùn)動(dòng)情況下的穩(wěn)定問題，設(shè)計(jì)了一種基于末端執(zhí)行器位置空間的PD前饋控制律，并采用李雅普諾夫第二法證明了該控制器的穩(wěn)定性，但最后僅進(jìn)行了數(shù)值仿真，并未進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。唐曉強(qiáng)、王明義等基于繩拉力優(yōu)化后的結(jié)果，提出了一種力/位混合控制策略，對(duì)火箭推力的輸出和低重力下月球車的發(fā)射和著陸過程進(jìn)行模擬。鄭亞青等人針對(duì)繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)在風(fēng)洞試驗(yàn)中的應(yīng)用，設(shè)計(jì)了一種基于繩長空間的控制器來控制飛行器模型的位姿，并采用李雅普諾夫第二法證明了該控制器是穩(wěn)定的。尚偉偉針對(duì)動(dòng)態(tài)運(yùn)動(dòng)過程中各繩索之間的同步運(yùn)動(dòng)問題，在繩長空間基于末端執(zhí)行器的跟蹤誤差與同步誤差設(shè)計(jì)了一種復(fù)合控制器，以實(shí)現(xiàn)各支路間運(yùn)動(dòng)的同步，從而減小末端執(zhí)行器的軌跡跟蹤誤差，并通過在三自由度CDPR上的實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該控制方法的可行性。林麒、王曉光等針對(duì)應(yīng)用在風(fēng)洞試驗(yàn)中的八繩牽引6自由度并聯(lián)支撐系統(tǒng)提出了基于RBF神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)補(bǔ)償?shù)淖赃m應(yīng)控制器和考慮繩彈性變形的自適應(yīng)滑模控制器，采用李雅普諾夫第二法證明了所提出控制器是穩(wěn)定的，并通過仿真結(jié)果說明了控制方法的準(zhǔn)確性。吳洪濤等針對(duì)具有幾種不確定條件下的繩驅(qū)動(dòng)機(jī)械臂的控制問題，提出并研究了一種基于時(shí)間延遲估計(jì)的連續(xù)分?jǐn)?shù)階非奇異終端滑?？刂破鳎瑫r(shí)間延遲估計(jì)通過特定的時(shí)間延遲信號(hào)適當(dāng)?shù)窒粗獎(jiǎng)恿W(xué)，分?jǐn)?shù)階滑?？刂破鞔_保能夠有限時(shí)間收斂，同時(shí)保證了高精度，最后通過兩自由度的仿真和實(shí)驗(yàn)證明了所提出方案的有效性。而對(duì)欠約束CDPR運(yùn)動(dòng)控制的研究內(nèi)容還相對(duì)較少，其主要原因是針對(duì)欠約束并聯(lián)機(jī)構(gòu)的強(qiáng)迫+自由運(yùn)動(dòng)，控制欠約束CDPR的繩索數(shù)目少于末端執(zhí)行器的自由度數(shù)目，導(dǎo)致了在欠約束機(jī)構(gòu)上采用通過驅(qū)動(dòng)電機(jī)改變繩長來控制模型位姿的方法存在較大的挑戰(zhàn)。對(duì)比了冗余約束和欠約束繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)，提出了基本的動(dòng)力學(xué)方程，討論了欠約束繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的性質(zhì)，利用基本方程，提出了一種基于逆動(dòng)力學(xué)精確線性化的欠約束繩牽引并聯(lián)機(jī)構(gòu)的反饋控制方法，通過數(shù)值仿真和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了所提出方法的有效性。針對(duì)典型的繩牽引并聯(lián)CABLEV機(jī)構(gòu)，提出了平面系統(tǒng)的概念，根據(jù)末端動(dòng)平臺(tái)的期望軌跡及其關(guān)于時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，通過代數(shù)的方法計(jì)算需要的控制力，得出前饋控制項(xiàng)，再通過準(zhǔn)靜態(tài)狀態(tài)反饋法對(duì)系統(tǒng)的非線性動(dòng)力學(xué)進(jìn)行線性化，實(shí)現(xiàn)了該系統(tǒng)漸進(jìn)穩(wěn)定的軌跡跟蹤行為。Sung等針對(duì)欠約束繩牽引機(jī)構(gòu)由于約束不完全導(dǎo)致的末端容易擺動(dòng)的問題，提出了一種基于零振動(dòng)的輸入整形方案，對(duì)控制輸入進(jìn)行整形，從而減少了不必要振蕩的軌跡，并通過仿真和實(shí)驗(yàn)證明了該方法的有效性。針對(duì)繩索牽引的平面欠約束宏-微機(jī)器人，選用一種差分平滑方法實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的點(diǎn)到點(diǎn)的軌跡控制；并提出一個(gè)多目標(biāo)優(yōu)化框架，通過設(shè)計(jì)參數(shù)實(shí)現(xiàn)最小化的系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間和控制力，通過這個(gè)框架能夠很快推斷出參數(shù)設(shè)計(jì)對(duì)系統(tǒng)動(dòng)態(tài)性能的影響。由上述可以看出，雖然文獻(xiàn)針對(duì)欠約束機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)控制展開了研究，但其應(yīng)用一般都在運(yùn)輸類行業(yè)，旨在實(shí)現(xiàn)簡單的運(yùn)動(dòng)軌跡，而且運(yùn)動(dòng)過程中所受到