高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)壓軸題專題19 立體幾何與空間向量（選填壓軸題）（教師版）

專題19立體幾何與空間向量（選填壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u①空間幾何體表面積和體積 1②外接球問題 7③內(nèi)切球問題 15④動(dòng)點(diǎn)問題 23更多資料添加微信號(hào)：DEM2008淘寶搜索店鋪：優(yōu)尖升教育網(wǎng)址：①空間幾何體表面積和體積1．（2023·山西運(yùn)城·山西省運(yùn)城中學(xué)校?？级＃╋L(fēng)箏又稱為“紙鳶”，由中國(guó)古代勞動(dòng)人民發(fā)明于距今2000多年的東周春秋時(shí)期，相傳墨翟以木頭制成木鳥，研制三年而成，是人類最早的風(fēng)箏起源.如圖，是某高一年上級(jí)學(xué)生制作的一個(gè)風(fēng)箏模型的多面體SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，四邊形SKIPIF1<0為矩形，且SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，多面體SKIPIF1<0的體積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】在SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0為矩形，可得SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以多面體SKIPIF1<0的體積為：SKIPIF1<0.故選：B.

2．（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）“辛普森（Simpson）公式”給出了求幾何體體積的一種估算方法：幾何體的體積V等于其上底面的面積S、中截面（過高的中點(diǎn)且平行于底面的截面）的面積SKIPIF1<0的4倍、下底面的面積SKIPIF1<0之和乘以高h(yuǎn)的六分之一，即SKIPIF1<0.我們把所有頂點(diǎn)都在兩個(gè)平行平面內(nèi)的多面體稱為擬柱體.在這兩個(gè)平行平面內(nèi)的面叫作擬柱體的底面，其余各面叫作擬柱體的側(cè)面.中國(guó)古代名詞“芻童”（原來是草堆的意思）就是指上下底面皆為矩形的擬柱體.已知某“芻童”尺寸如圖所示，且體積為SKIPIF1<0，則它的高為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．4【答案】D【詳解】上底面SKIPIF1<0，下底面SKIPIF1<0，所以中截面是過高的中點(diǎn)，且平行于底面的截面，其中SKIPIF1<0分別是對(duì)應(yīng)棱上的中點(diǎn)，如圖所示，根據(jù)中位線定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故選：D.

3．（2023·黑龍江齊齊哈爾·齊齊哈爾市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？既＃┛萍际且粋€(gè)國(guó)家強(qiáng)盛之根，創(chuàng)新是一個(gè)民族進(jìn)步之魂，科技創(chuàng)新鑄就國(guó)之重器，極目一號(hào)（如圖1）是中國(guó)科學(xué)院空天信息研究院自主研發(fā)的系留浮空器．2022年5月，“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇成功完成10次升空大氣科學(xué)觀測(cè)，最高升空至9050米，超過珠穆朗瑪峰，創(chuàng)造了浮空艇大氣科學(xué)觀測(cè)海拔最高的世界紀(jì)錄，彰顯了中國(guó)的實(shí)力．“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇長(zhǎng)55米，高19米，若將它近似看作一個(gè)半球、一個(gè)圓柱和一個(gè)圓臺(tái)的組合體，正視圖如圖2所示，則“極目一號(hào)”Ⅲ型浮空艇的表面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由圖2得半球、圓柱底面和圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為SKIPIF1<0，而圓臺(tái)一個(gè)底面的半徑為SKIPIF1<0，圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：A．4．（2023·甘肅張掖·高臺(tái)縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）仿鈞玫瑰紫釉盤是收藏于北京故宮博物院的一件明代宣德年間產(chǎn)的瓷器．該盤盤口微撇，弧腹，圈足．足底切削整齊．通體施玫瑰紫釉，釉面棕眼密集，美不勝收．仿鈞玫瑰紫釉盤的形狀可近似看成是圓臺(tái)和圓柱的組合體，其口徑為15.5cm，足徑為9.2cm，頂部到底部的高為4.1cm，底部圓柱高為0.7cm，則該仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺(tái)部分的側(cè)面積約為（

）（參考數(shù)據(jù)：π的值取3，SKIPIF1<0）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】方法1：設(shè)該圓臺(tái)的母線長(zhǎng)為l，高為h，兩底面圓的半徑分別為R，r（其中SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故圓臺(tái)部分的側(cè)面積為SKIPIF1<0．

故選：D方法2（估算法）：若按底面直徑為15.5cm，高為3.4cm的圓柱估算圓臺(tái)部分的側(cè)面積得SKIPIF1<0，易知圓臺(tái)的側(cè)面積應(yīng)大于所估算的圓柱的側(cè)面積，故此仿鈞玫瑰紫釉盤圓臺(tái)部分的側(cè)面積大于SKIPIF1<0，對(duì)照各選項(xiàng)可知只有D符合．故選：D5．（2023·河北·校聯(lián)考三模）已知四面體SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則該四面體體積的最大值為．【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時(shí)，該四面體體積取得最大值，最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

6．（2023·四川遂寧·射洪中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）已知正三棱柱SKIPIF1<0所有頂點(diǎn)都在球O上，若球O的體積為SKIPIF1<0，則該正三棱柱體積的最大值為.【答案】8【詳解】設(shè)正三棱柱SKIPIF1<0的上，下底面的中心分別為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，根據(jù)對(duì)稱性可得，線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0即為正三棱柱SKIPIF1<0的外接球的球心，線段SKIPIF1<0為該外接球的半徑，設(shè)SKIPIF1<0，由已知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，設(shè)正三棱柱SKIPIF1<0的底面邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，設(shè)線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，所以正三棱柱SKIPIF1<0的體積SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，舍去，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最大值，最大值為SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，三棱柱SKIPIF1<0的體積最大，最大體積為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

7．（2023·海南·海南華僑中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則該三棱錐體積的最大值為；【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖所示，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0的高，設(shè)為SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在直角SKIPIF1<0中，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0的體積為：SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，即SKIPIF1<0時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積取得最大值，最大值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.8．（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級(jí)中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知圓柱外接球的表面積為SKIPIF1<0，則該圓柱表面積的最大值為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為SKIPIF1<0、高為SKIPIF1<0，球的半徑為SKIPIF1<0，由題知，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由圓柱的軸截面知，SKIPIF1<0，如圖

所以該圓柱的表面積為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0即SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0②外接球問題1．（2023·江西南昌·南昌市八一中學(xué)校考三模）已知四棱錐SKIPIF1<0的底面SKIPIF1<0是矩形，高為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則四棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】如圖，在矩形SKIPIF1<0中，連接對(duì)角線SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0，則點(diǎn)SKIPIF1<0為矩形SKIPIF1<0的外接圓圓心，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0的外接圓圓心為SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0共線.因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0的外接圓半徑為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.根據(jù)球的性質(zhì)，可得點(diǎn)SKIPIF1<0為四棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以四棱錐SKIPIF1<0的外接球的表面積為SKIPIF1<0.

故選：C2．（2023·黑龍江大慶·統(tǒng)考二模）如圖，邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0的正方形ABCD所在平面與矩形ABEF所在的平面垂直，SKIPIF1<0，N為AF的中點(diǎn)，SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】由SKIPIF1<0可知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面ABEF，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABEF，SKIPIF1<0平面ABEF，所以SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，同理可得得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.所以MC為外接球直徑，在Rt△MBC中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，故外接球表面積為SKIPIF1<0．故選：A．3．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)SKIPIF1<0是圓柱上底面圓周上一動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0是圓柱下底面圓的內(nèi)接三角形，已知在SKIPIF1<0中，內(nèi)角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的對(duì)邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，三棱錐SKIPIF1<0的體積最大值為SKIPIF1<0，則該三棱錐外接球的表面積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，等號(hào)成立，所以，SKIPIF1<0，設(shè)圓柱的高為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，

因?yàn)槿忮F的SKIPIF1<0體積的最大值為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，圓柱底面圓半徑SKIPIF1<0，設(shè)三棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑為SKIPIF1<0，則該三棱錐的外接球和圓柱的外接球?yàn)橥粋€(gè)球，則SKIPIF1<0，因此，三棱錐外接球的表面積為SKIPIF1<0.故選：B.4．（2023·海南·海南中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0的面積為8，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積的最小值為（

）

A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，依題意，由于SKIPIF1<0是SKIPIF1<0斜邊SKIPIF1<0的中線，故SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0為三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心，設(shè)該外接球半徑為SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由勾股定理，SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，由基本不等式，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取得最小值SKIPIF1<0，于是外接球的表面積的最小值為SKIPIF1<0.故選：A

5．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為邊SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的中點(diǎn)，其中SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0沿著SKIPIF1<0翻折至SKIPIF1<0的位置，則當(dāng)四棱錐SKIPIF1<0的體積最大時(shí)，四棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積為.

【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，且SKIPIF1<0，設(shè)等邊三角形SKIPIF1<0的外接圓圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)等腰梯形SKIPIF1<0的外接圓圓心為SKIPIF1<0，半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0與SKIPIF1<0重合，SKIPIF1<0，依題意可知，當(dāng)四棱錐SKIPIF1<0的體積最大時(shí)，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.設(shè)得四棱錐SKIPIF1<0外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以外接球的半徑為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

6．（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，正三角形ABC中，D，E分別為邊AB，AC的中點(diǎn)，其中SKIPIF1<0，把SKIPIF1<0沿著DE翻折至SKIPIF1<0的位置，得到四棱錐SKIPIF1<0，則當(dāng)四棱錐SKIPIF1<0的體積最大時(shí)，四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心到平面SKIPIF1<0的距離為.

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】

由題意可知，當(dāng)平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0時(shí)，四棱錐SKIPIF1<0的體積最大，如圖所示，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0的外接圓的圓心SKIPIF1<0位于SKIPIF1<0且靠近點(diǎn)SKIPIF1<0的三等分點(diǎn)處，設(shè)SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為四邊形SKIPIF1<0的外接圓的圓心，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，過SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的垂線，則兩垂線的交點(diǎn)即為四棱錐SKIPIF1<0的外接球的球心SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則四邊形SKIPIF1<0為矩形，所以SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.設(shè)四棱錐SKIPIF1<0的外接球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0外接圓的圓心在SKIPIF1<0上，令其半徑為SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，設(shè)四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故四棱錐SKIPIF1<0外接球的球心到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<07．（2023·陜西商洛·鎮(zhèn)安中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為等邊三角形，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0外接球的表面積的最小值為.【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取正三角形SKIPIF1<0的外心為SKIPIF1<0，設(shè)四面體SKIPIF1<0的外接球球心為SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0截球所得截面為大圓，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0又底面外接圓的半徑SKIPIF1<0，所以三棱錐外接球的半徑SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0有最小值SKIPIF1<0，所以三棱錐外接球的表面積的最小值為SKIPIF1<0.

故答案為：SKIPIF1<08．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知三棱錐SKIPIF1<0中，Q為BC中點(diǎn)，SKIPIF1<0，側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，則過點(diǎn)Q的平面截該三棱錐外接球所得截面面積的取值范圍為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】連接SKIPIF1<0,由SKIPIF1<0,可知：SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是等邊三角形,設(shè)三棱錐SKIPIF1<0外接球的球心為SKIPIF1<0,所以球心SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0和平面SKIPIF1<0的射影是SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的中心SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是等邊三角形,SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn),所以SKIPIF1<0,又因?yàn)閭?cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0,側(cè)面SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0側(cè)面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0,而SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0,因此SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是矩形,應(yīng)為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為4的等邊三角形,所以兩個(gè)等邊三角形的高SKIPIF1<0,在矩形SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0,設(shè)過點(diǎn)SKIPIF1<0的平面為SKIPIF1<0,當(dāng)SKIPIF1<0時(shí),此時(shí)所得截面的面積最小,該截面為圓形,可得SKIPIF1<0,因此圓SKIPIF1<0的半徑為SKIPIF1<0,所以此時(shí)面積為SKIPIF1<0,當(dāng)點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心的大圓上時(shí),此時(shí)截面的面積最大,面積為:SKIPIF1<0,所以截面的面積范圍為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.

9．（2023·河南鄭州·模擬預(yù)測(cè)）在長(zhǎng)方體中SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，AD＝2，M是棱SKIPIF1<0的中點(diǎn)，過點(diǎn)B，M，SKIPIF1<0的平面SKIPIF1<0交棱AD于點(diǎn)N，點(diǎn)P為線段SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)，則三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積的最小值為．【答案】SKIPIF1<0【詳解】設(shè)三棱錐SKIPIF1<0外接球球心為SKIPIF1<0，半徑為R，則SKIPIF1<0在過直角SKIPIF1<0斜邊的中點(diǎn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0垂直的直線上，且滿足SKIPIF1<0.以D為原點(diǎn)，SKIPIF1<0為x軸，SKIPIF1<0為y軸，SKIPIF1<0為z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，設(shè)球心SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0取最小值，最小值為SKIPIF1<0，所以三棱錐SKIPIF1<0外接球表面積的最小值為SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.③內(nèi)切球問題1．（2023春·江蘇淮安·高二?？茧A段練習(xí)）已知三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0垂直平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若該三棱柱存在體積為SKIPIF1<0的內(nèi)切球，則三棱錐SKIPIF1<0體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．4 C．2 D．SKIPIF1<0【答案】B【詳解】設(shè)內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以三棱柱SKIPIF1<0為直三棱柱，即側(cè)棱垂直于底面，且側(cè)棱長(zhǎng)為2，做SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0垂直平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，或SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則三棱錐SKIPIF1<0體積為SKIPIF1<0.故選：B.

2．（2023·福建寧德·校考模擬預(yù)測(cè)）將一個(gè)半徑為2的球削成一個(gè)體積最大的圓錐，則該圓錐的內(nèi)切球的半徑為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】D【詳解】設(shè)圓錐的底面半徑為SKIPIF1<0，則圓錐的高為SKIPIF1<0，所以圓錐的體積SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0），則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，在SKIPIF1<0上遞減，所以當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)，圓錐的體積最大，此時(shí)圓錐的高為SKIPIF1<0，母線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為SKIPIF1<0，圓錐的截面如圖所示,則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0∽SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0,故選：D3．（2023春·江西贛州·高一江西省龍南中學(xué)?？计谀┮阎拿骟w的棱長(zhǎng)為12，先在正四面體內(nèi)放入一個(gè)內(nèi)切球SKIPIF1<0，然后再放入一個(gè)球SKIPIF1<0，使得球SKIPIF1<0與球SKIPIF1<0及正四面體的三個(gè)側(cè)面都相切，則球SKIPIF1<0的體積為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】A【詳解】

如圖，正四面體SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0是底面SKIPIF1<0的中心，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0.則由已知可得，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，球心SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上，球SKIPIF1<0切平面SKIPIF1<0的切點(diǎn)在線段SKIPIF1<0上，分別設(shè)為SKIPIF1<0.則易知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)球SKIPIF1<0的半徑分別為SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，根據(jù)重心定理可知，SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，球SKIPIF1<0的體積為SKIPIF1<0.故選：A.4．（2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）定義：與圓錐的底面和各母線均相切的球，稱為圓錐的內(nèi)切球，此圓錐稱為球的外切圓錐．已知某圓錐的內(nèi)切球半徑等于1，則該圓錐體積的最小值為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【答案】C【詳解】如圖，作出該幾何體的軸截面得到如圖所示的平面圖形，

設(shè)該圓錐的內(nèi)切球球心為SKIPIF1<0，底面圓的圓心為點(diǎn)SKIPIF1<0，底面半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0，法一：由等面積法可得：SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得：SKIPIF1<0，又：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)．法二：如圖：SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)取等號(hào)．故選：C．5．（多選）（2023春·浙江·高二校聯(lián)考期末）已知半徑為1的球內(nèi)切于半徑為SKIPIF1<0，高為SKIPIF1<0的一個(gè)圓錐（球與圓錐的側(cè)面、底面都相切），則下列說法正確的是（

）A．SKIPIF1<0 B．圓錐的體積與表面積之比為定值C．圓錐表面積的最小值是SKIPIF1<0 D．當(dāng)圓錐的表面積最小時(shí)，圓錐的頂角為60°【答案】BC【詳解】如圖所示，圓錐的高SKIPIF1<0，底面半徑SKIPIF1<0，母線SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；圓錐的體積SKIPIF1<0，圓錐的表面積SKIPIF1<0，圓錐的體積與表面積之比為SKIPIF1<0，為定值，B選項(xiàng)正確；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，圓錐的表面積SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0時(shí)圓錐表面積有最小值SKIPIF1<0，C選項(xiàng)正確；當(dāng)圓錐的表面積最小時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓錐的頂角不是60°，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：BC6．（2023春·貴州黔西·高二?？茧A段練習(xí)）正三棱錐SKIPIF1<0的三條棱兩兩互相垂直，則該正三棱錐的內(nèi)切球與外接球的半徑之比為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】由題意，正三棱錐SKIPIF1<0可補(bǔ)形稱正方體SKIPIF1<0，如下圖：

則三棱錐SKIPIF1<0的外接球?yàn)檎襟wSKIPIF1<0的外接球，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為SKIPIF1<0，則外接球半徑SKIPIF1<0，在正三棱錐SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0為等邊三角形，由勾股定理可得：SKIPIF1<0，則其面積SKIPIF1<0，故正三棱錐SKIPIF1<0的表面積SKIPIF1<0，其體積SKIPIF1<0，設(shè)三棱錐SKIPIF1<0的內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.故答案為：SKIPIF1<0.7．（2023春·四川成都·高一四川省成都列五中學(xué)校考階段練習(xí)）已知圓錐的底面半徑為2，高為SKIPIF1<0，則該圓錐的內(nèi)切球表面積為.【答案】SKIPIF1<0【詳解】如圖，作出該圓錐與其內(nèi)切球的軸截面圖形，

設(shè)該內(nèi)切球的球心為SKIPIF1<0，內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為切點(diǎn)，所以，SKIPIF1<0，由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，該圓錐的內(nèi)切球表面積為SKIPIF1<0故答案為：SKIPIF1<0.8．（2023·廣西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，有一半徑為單位長(zhǎng)度的球內(nèi)切于圓錐，則當(dāng)圓錐的側(cè)面積取到最小值時(shí)，它的高為．

【答案】SKIPIF1<0/SKIPIF1<0【詳解】如圖所示，設(shè)SKIPIF1<0，半徑SKIPIF1<0，高SKIPIF1<0，球半徑為單位長(zhǎng)度SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以側(cè)面積SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0時(shí)側(cè)面積SKIPIF1<0有最小值．故答案為：SKIPIF1<0.

9．（2023春·遼寧大連·高一統(tǒng)考期末）如圖，在直三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，該三棱柱存在體積為SKIPIF1<0的內(nèi)切球，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0成角相等時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為.

【答案】1SKIPIF1<0【詳解】因?yàn)橹比庵鵖KIPIF1<0的內(nèi)切球的體積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以內(nèi)切球的半徑為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0內(nèi)切圓的半徑為1，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線直線SKIPIF1<0、SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0成角相等時(shí)，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∽SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0四點(diǎn)共圓，且圓心為SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，其半徑為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，如圖，將直三棱柱SKIPIF1<0補(bǔ)成長(zhǎng)方體SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0即為四面體SKIPIF1<0的外接球的球心，

所以四面體SKIPIF1<0的外接球的半徑為SKIPIF1<0，此時(shí)四面體SKIPIF1<0的外接球表面積為SKIPIF1<0.故答案為:1，SKIPIF1<0④動(dòng)點(diǎn)問題1．（2023·寧夏石嘴山·統(tǒng)考一模）圓錐SKIPIF1<0的底面半徑為SKIPIF1<0，母線長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是圓錐SKIPIF1<0的軸截面，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為底面圓周上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（異于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn)），則下列說法正