中考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)14 圓與正多邊形（老師版）

專題14圓與正多邊形

選擇題

1.（2022?浙江嘉興?中考真題）如圖，在回。中，0BOC=130°,點(diǎn)A在8AC上，則回BAC的度

數(shù)為（）

A.55°B.65°C.75°D.130°

【答案】B

【分析】利用圓周角直接可得答案.

【詳解】解：團(tuán)BOC=130。，點(diǎn)A在8AC上，\?BACBOC65?,故選B

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理的應(yīng)用，掌握"同圓或等圓中，同弧所對(duì)的圓周角是它所

對(duì)的圓心角的一半”是解本題的關(guān)鍵.本

2.（2022?山東濱州?中考真題）如圖，在。中，弦48,8相交于點(diǎn)P,若

ZA=48°,ZAPD=80°,則D8的大小為（）

A.32°B.42°C.52°D.62°

【答案】A

【分析】根據(jù)三角形的外角的性質(zhì)可得NC+NA=NAPD,求得NC=32。，再根據(jù)同弧所對(duì)

的圓周角相等，即可得到答案.

【詳解】.NC+NA=NA叨，ZA=48°,ZAP￡>=80°,

;.NC=32。.?./8=/。=32°故選：A.

【點(diǎn)睛】本題考查/圓周角定理及三角形的外角的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

3.（2022?江蘇連云港?中考真題）如圖，有一個(gè)半徑為2的圓形時(shí)鐘，其中每個(gè)刻度間的弧

長均相等，過9點(diǎn)和11點(diǎn)的位置作一條線段，則鐘面中陰影部分的面積為（）

A.）^B.|萬一右

c.31-26D.—7r->/3

33

【答案】B

【分析】陰影部分的面積等于扇形面積減去三角形面積，分別求出扇形面積和等邊三角形的

面積即可.

【詳解】解：如圖，過點(diǎn)0C作。。_1_人8于點(diǎn)D

360°

?.?ZAOB=2x------=60°,

12

；?AOAB是等邊三角形，

/.ZAOD=ZBOD=300OA=OB=AB=2AD=BD=-AB=1,

9f2

.??。。力?一心=G，

陰影部分的面積為60?"x2--Lx2xg=2%一小,故選：B.

36023

【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積、等邊三角形的面積計(jì)算方法，掌握扇形面積、等邊三角形的

面積的計(jì)算方法是正確解答的關(guān)鍵.

4.（2022?湖北武漢?中考真題）如圖，在四邊形材料A8CD中，AD//BC,ZA=9（）。，AD=9cm,

AB=20cm,BC=24cm.現(xiàn)用此材料截出一個(gè)面積最大的圓形模板，則此圓的半徑是（)

A.-j^-cmB.8cmC.6&cmD.10cm

【答案】B

【分析】如圖所示，延長8A交CO延長線于E,當(dāng)這個(gè)圓為鼬CE的內(nèi)切圓時(shí)，此圓的面積

最大,據(jù)止匕求解即可.本號(hào)姿料全就來謖于箓信公眾弓：數(shù)學(xué)第六感

【詳解】解：如圖所示，延長BA交CO延長線于E,當(dāng)這個(gè)圓為E1BCE的內(nèi)切圓時(shí)，此圓的

面積最大，

^AD//BC,回&4。=90°,

EEEADEBEBC,0B=9O°,

EAADEA_9

團(tuán)---=---,即

EBBCEA+20-24

團(tuán)E4=12cm,

0EB=32cm,

0EC=4EB2+BC2=40cm，

設(shè)這個(gè)圓的圓心為O，與EB,BC,EC分別相切于凡G,H,

?OF=OG=OH,

回SAEBC=S&EOB+S&COB+S&EOC>

S-EBBC^-EBOF+-BCOG+-ECOH,

2222

團(tuán)24x32=(24+32+40)-O尸，

0OF=8cm,

回此圓的半徑為8cm,

故選B.

E

卜

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)切圓半徑與三角形三邊的關(guān)系，勾股定理，正確作出輔助

線是解題的關(guān)鍵.

5.（2022?湖北宜昌?中考真題）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于O,連接。8,OD,BD,若

ZC=110°,則NO3D=（）

A.15°B.20°C.25°D.30°

【答案】B

【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出NA，根據(jù)圓周角定理可得N8OD，再根據(jù)08=8

計(jì)算即可.本

【詳解】自四邊形ABC。內(nèi)接于；O,

0ZA-18O°-ZBC￡>=7OO,

由圓周角定理得，NBOD=2NA=140。，

@OB=OD

0NOBD=NODB=故-"加"=2Qo

2

故選：B.

【點(diǎn)睛】此題考查圓周角定理和圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題

的關(guān)鍵.

6.（2022?四川德陽?中考真題）如圖，點(diǎn)E是；ABC的內(nèi)心，AE的延長線和ABC的外接圓

相交于點(diǎn)。，與BC相交于點(diǎn)G,則下列結(jié)論：①N8AD=NC4D；②若NBAC=60。，則

ZB￡C=120°；③若點(diǎn)G為8c的中點(diǎn)，貝ljN3GQ=90。；@BD=DE.其中一定正確的個(gè)

數(shù)是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【分析】根據(jù)點(diǎn)E是AABC的內(nèi)心，可得NBAL>=NC4￡>,故①正確；連接BE,CE,可得

EMBC+EMCB=2(回CBE+回BCE),從而得到EIC8E+E)8CE=60°,進(jìn)而得到I3BEC=12O°,故②正確；

ZBAD=ZCAD,得出BD=C￡)，再由點(diǎn)G為8c的中點(diǎn)，則N8GD=90。成立，故③正確；

根據(jù)點(diǎn)E是A5c的內(nèi)心和三角形的外角的性質(zhì)，可得N8EO=g(NBAC+NA8C),再由圓

周角定理可得NOBE=g(N8AC+N48C),從而得到團(tuán)。8E=E)8ED,故④正確；即可求解.

【詳解】解：團(tuán)點(diǎn)E是*ABC的內(nèi)心，

ABAD=ACAD,故①正確；如圖，連接8E,CE,

回點(diǎn)E是ABC的內(nèi)心，0EMBC=20CBE,EMCB=20BCE,

QSABC+QACB=2(^CBE+QBCE),

回回BAC=60°,E]l2LABC+EL4CB=120o,

^CBE+^BCE=60°,008EC=12O°,故②正確；

團(tuán)點(diǎn)E是ABC的內(nèi)心，0ZBA￡>=ZG4D,?BD=CD，

國點(diǎn)G為BC的中點(diǎn)，團(tuán)線段4)經(jīng)過圓心。，ISNBG￡>=90°成立，故③正確；

回點(diǎn)E是ABC的內(nèi)心，0NBAD=NCAD=gZBAC,ZABE=NCBE=|NA8C,

SSBED^BAD+SABE,0ZBED=^(ZBAC+ZABC),

0l2CBD=aC4D,^DBE=^CBE+^CBD=SCBE^CAD,

0ZD/?￡=1（Za4C+ZABC）,^EDBE=^BED,國BD=DE，故④正確；

團(tuán)正確的有4個(gè).故選：D

【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形的內(nèi)心問題，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和等知識(shí)，熟練掌

握三角形的內(nèi)心問題，圓周角定理，三角形的內(nèi)角和等知識(shí)是解題的關(guān)鍵.

7.（2022?湖南株洲?中考真題）如圖所示，等邊ABC的頂點(diǎn)A在回O上，邊AB、AC與團(tuán)O

分別交于點(diǎn)。、E,點(diǎn)F是劣弧QE上一點(diǎn)，且與。、E不重合，連接。尸、EF,則SEE

的度數(shù)為（）

A.115°B.118°C.120°D.125°

【答案】C

【分析】根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得乙4=60。，再根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)即可求得答

案.

【詳解】解：.&ABC是等邊三角形，

.?.ZA=60°,ADFE=180°-ZA=120°,故選C.

【點(diǎn)睛】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)及圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)

角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵.

8.（2022?甘肅武威?中考真題）大自然中有許多小動(dòng)物都是"小數(shù)學(xué)家"，如圖1,蜜蜂的蜂

巢結(jié)構(gòu)非常精巧、實(shí)用而且節(jié)省材料，多名學(xué)者通過觀測(cè)研究發(fā)現(xiàn)：蜂巢巢房的橫截面大都

是正六邊形.如圖2,一個(gè)巢房的橫截面為正六邊形ABCDEF，若對(duì)角線AD的長約為8mm,

則正六邊形A8CDE尸的邊長為（）

圖1圖2

A.2mmB.20mmC.26mmD.4mm

【答案】D

【分析】如圖，連接CF與AD交于點(diǎn)。，易證回C。。為等邊三角形，從而CD=OC=OD=gAD,

即可得到答案.

（詳解】連接CF與AD交于點(diǎn)O,^ABCDEF為正六邊形，

36001

國COD=-------=60°,CO=DO,AO=DO=-AD=4mm,

62

EEC。。為等邊三角形，I3CD=CO=DO=4mm,

即正六邊形A8CDE"的邊長為4mm,故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了正多邊形與圓的性質(zhì)，正確把握正六邊形的中心角、半徑與邊長的關(guān)系

是解題的關(guān)鍵.本弓堂以全先來建于徑常公眾弓：敗學(xué)第六首

9.（2022?湖南邵陽?中考真題）如圖，田。是等邊ZkABC的外接圓,若A8=3,則回。的半徑是

-O

B

A.-B.C.D.一

222

【答案】C

【分析】作直徑AD,連接CD,如圖，利用等邊三角形的性質(zhì)得到姐=60。，關(guān)鍵圓周角定理

得到m8=90。，回。=團(tuán)8=60。，然后利用含30度的宜角三角形三邊的關(guān)系求解.

【詳解】解：作直徑AD,連接8,如圖，

0L48C為等邊三角形，006=60",

射。為直徑，0EACD=9O。，

00D=S]B=6O°,貝岫DAC=30°,13cA。，

EMD2=CD2MC2,即AD2=（g/W產(chǎn)+32,MD=2百，

回。4=。8=；4。=6故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的外接圓與外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分

線的交點(diǎn)，叫做三角形的外心.也考查了等邊三角形的性質(zhì)、圓周角定理和含30度的直角

三角形三邊的關(guān)系.

10.（2022?四川眉山?中考真題）如圖是不倒翁的主視圖，不倒翁的圓形臉恰好與帽子邊沿Q4,

戶8分別相切于點(diǎn)A,B,不倒翁的鼻尖正好是圓心O,若NQ48=28。，則Z4P8的度數(shù)為

A.28°B.50°C.56°D.62°

【答案】C

【分析】連。8,由4。=。8得，00/48=0084=28°,&4。8=180°-2團(tuán)。43=124°；因?yàn)樾　B分

別相切于點(diǎn)A、8,則回OAP=taOBP=90°,利用四邊形內(nèi)角和即可求出MP8.

【詳解】連接。8,本號(hào)密緝?nèi)瞾碓从诠傂殴姽簲?shù)學(xué)第六惠

B0A=0B,

03。48=回。班=28°,

00408=124",

回外、PB切00于A、8,

0O40R4,0PSAB,

EBOAP+回。8P=180°,

回附。8+蜘。8=180°；

03/38=56。.故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)，三角形和四邊形的內(nèi)角和定理，切線長定理，等腰三角形的

性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造等腰三角形解決問題.

11.（2022?浙江湖州?中考真題）在每個(gè)小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個(gè)小正方形

的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).如圖，在6x6的正方形網(wǎng)格圖形A8C。中，M,N分別是AB,BC上的格

點(diǎn)，BM=4,BN=2.若點(diǎn)P是這個(gè)網(wǎng)格圖形中的格點(diǎn)，連接PM,PN,則所有滿足

=45。的回PMN中，邊PM的長的最大值是（）

A.4&B.6C.2MD.3石

【答案】C

【分析】根據(jù)同弧所對(duì)的圓周角等于所對(duì)圓心角的一半，過點(diǎn)M、N作以點(diǎn)。為圓心，

國MON=90。的圓，則點(diǎn)P在所作的圓上，觀察圓。所經(jīng)過的格點(diǎn)，找出到點(diǎn)M距離最大的

點(diǎn)即可求出.

【詳解】作線段MN中點(diǎn)Q,作MN的垂直平分線。Q,并使。Q=3MN,以。為圓心，0M

為半徑作圓，如圖，

因?yàn)?Q為MN垂直平分線且OQ=gMN,所以O(shè)Q=MQ=NQ,

03OMQ=EIONQ=45°,

mMON=90°,

所以弦MN所對(duì)的圓。的圓周角為45°,

所以點(diǎn)P在圓。上，PM為圓。的弦，

通過圖像可知，當(dāng)點(diǎn)P在P位置時(shí)，恰好過格點(diǎn)且經(jīng)過圓心。，

所以此時(shí)PM最大，等于圓。的直徑，

0BM=4,BN=2,

^MN=yj22+42=245-

0MQ=OQ=,

00M=可。=區(qū)后=回,

0P'M=2OM=2x/10,故選C.

【點(diǎn)睛】此題考查了圓的相關(guān)知識(shí)，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角相等、直徑是圓上最大的弦，

會(huì)靈活用已知圓心角和弦作圓是解題的關(guān)鍵.

12.（2022?四川遂寧?中考真題）如圖，圓錐底面圓半徑為7cm,高為24cm,則它側(cè)面展開

圖的面積是（）

p

A

24

7

Bo

175兀1175兀、

A.cm2B.cm2C.1757ccm2D.350兀cm2

32

【答案】C

【分析】先利用勾股定理計(jì)算出4>25cm,由于圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的

弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長，則可根據(jù)扇形的面積公式計(jì)算出

圓錐的側(cè)面積.本

【詳解】解：在用△AOC中，AC=772+242=25cm,

團(tuán)它側(cè)面展開圖的面積是gx2;rx7x25=175;rcm2.故選：C

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的計(jì)算，理解圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長等于圓

錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長是解題的關(guān)鍵.

13.(2022?陜西?中考真題)如圖，A8C內(nèi)接于?O,NC=46。，連接。4,則N0A8=()

C.54°D.67°

【答案】A

【分析】連接。B,由213c=蜘。8,求出0AOB,再根據(jù)。4=。8即可求出EIOA8.

【詳解】連接。8,如圖,

o

甌C=46°,

西4O8=2E1C=92°,

fflO4B+0OB4=18Oo-92o=88°,

團(tuán)04二08,

00OAB二團(tuán)084

^\0AB=^0BA=yx88°=44°,故選：A.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，根據(jù)圓周角定理的出蜘。8=2回C=92。是解答本題的關(guān)

鍵.本

14.（2022?浙江寧波?中考真題）已知圓錐的底面半徑為4cm,母線長為6cm,則圓錐的側(cè)

面積為（）

A.36兀cm?B.24兀cm?C.1bircm2D.127tcm2

【答案】B

（分析】利用圓錐側(cè)面積計(jì)算公式計(jì)算即可：%|=乃"；

【詳解】5御=萬八/=萬?4-6=24萬￡7?2,故選兒

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面積的計(jì)算公式，比較簡單，直接代入公式計(jì)算即可.

15.（2022?甘肅武威?中考真題）如圖，一條公路（公路的寬度忽略不計(jì)）的轉(zhuǎn)彎處是一段圓

?。ˋ8），點(diǎn)。是這段弧所在圓的圓心，半徑。4=90m,圓心角408=80。，則這段彎路

（AB）的長度為（）

A.20mnB.30mnC.40mnD.50mn

【答案】C

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和弧長公式，可以計(jì)算出這段彎路（AB）的長度.

【詳解】解：團(tuán)半徑0A=90m,圓心角m。8=80°,

二這段彎路（AB）的長度為：=40萬（m）,故選C

lol）

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確弧長計(jì)算公式/=覆.

1o（）

16.（2022?浙江溫州?中考真題）如圖,A5,AC是O。的兩條弦,ODJ.A3于點(diǎn)D,OELAC

于點(diǎn)E,連結(jié)。B,OC.若NZX迫=130。，則ZBOC的度數(shù)為（）

A.95°B.1（X）°C.105°D.130°

【答案】B

【分析】根據(jù)四邊形的內(nèi)角和等于360。計(jì)算可得姐47=50。，再根據(jù)圓周角定理得到

SBOC=2SBAC,進(jìn)而可以得到答案.

【詳解】解：SOD^AB,OEBAC,

EEWDO=90°,加￡。=90",

EBDOE=130°,

a2BAC=360°-90--90°-130°=50°,

00BOC=20B4C=1OOO,故選：B.

【點(diǎn)睛】本題考查的是圓周角定理，在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等

于這條弧所對(duì)的圓心角的一半.

17.（2022?山東泰安?中考真題）如圖，點(diǎn)/為的A8C內(nèi)心，連接4并延長交一ABC的外接

圓于點(diǎn)。，點(diǎn)E為弦AC的中點(diǎn)，連接CQ,EI,IC,當(dāng)A/=2CD,IC=6,"）=5時(shí)，IE

的長為（）

D

A.5B.4.5C.4D.3.5

【答案】C

【分析】延長ID到M,使DM=ID,連接CM.想辦法求出CM,證明IE是MC/W的中位線即

可解決問題.

【詳解】解：延長/D到使OM=/D,連接CM

^EIAC=SIAB,0/C4=a/Cfi,

00D/C=（3MC+0/CA,0DC/=l3BCD+0/CB,

WDIC=^DCI,

EID/=DC=DM,

03/CM=9O°,

SCM=yjlM2-IC2=8,

a4/=2CD=10,

BAI=IM,

SAE=EC,

0/￡是幽CM的中位線，

0/￡=yCM=4,故選：C.

【點(diǎn)睛】本題考查三角形的內(nèi)心、三角形的外接圓、三角形的中位線定理、直角三角形的判

定、勾股定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造三角形中位線解決問題.

18.（2022?浙江麗水?中考真題）某仿古墻上原有一個(gè)矩形的門洞，現(xiàn)要將它改為一個(gè)圓弧形

的門洞，圓弧所在的圓外接于矩形，如圖.已知矩形的寬為2m,高為2Gm,則改建后門

洞的圓弧長是（)

【答案】c

【分析】利用勾股定理先求得圓弧形的門洞的直徑BC,再利用矩形的性質(zhì)證得ACOD是等

邊三角形，得到NCOE>=60。，進(jìn)而求得門洞的圓弧所對(duì)的圓心角為360。-60。=300。，利用

弧長公式即可求解.

【詳解】如圖，連接AD,BC,交于O點(diǎn)，

SZBDC=90°,

回8c是直徑,

0BC=VCD2+BD2=2?+(2可=4.

團(tuán)四邊形ABQC是矩形,

0OC=OD=—BC=2,

2

回8=2,

0OC=OD=CD,

團(tuán)AC。。是等邊一角形，

0ZCO￡)=6O%

0門洞的圓弧所對(duì)的圓心角為360°一60。=300°,

1/H300°^x*BC300°^x'x4in..

回改建后門洞的圓弧長是2_2_l°Jm),

——7l

故選：c

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式，矩形的性質(zhì)以及勾股定理的應(yīng)用，從實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模

型是解題的關(guān)鍵.

19.（2022?四川成都?中考真題）如圖，正六邊形AB8EF內(nèi)接于回O,若回。的周長等于6乃,

則正六邊形的邊長為（）

A.百B.76C.3D.273

【答案】C

【分析】連接。8,OC,由團(tuán)。的周長等于6兀，可得回。的半徑，又由圓的內(nèi)接多邊形的性質(zhì),

即可求得答案.

【詳解】解：連接。8,0C,

甌。的周長等于6n,

03。的半徑為:3,

00BOC=-x360°=60°,

6

（aos=oc,

ElfflOBC是等邊三角形，0BC=OB=3,

回它的內(nèi)接正六邊形A8CDEF的邊長為3,故選：C.

【點(diǎn)睛】此題考查了正多邊形與圓的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.

20.（2022?四川涼山?中考真題）家具廠利用如圖所示直徑為1米的圓形材料加工成一種扇

形家具部件，已知扇形的圓心角I3BAC=9O。，則扇形部件的面積為（）

A

【分析】連接BC,先根據(jù)圓周角定理可得BC是。。的直徑，從而可得8c=1米，再解直角

三角形可得AB=4C=①米，然后利用扇形的面積公式即可得.

2

【詳解】解：如圖，連接8C

ABAC=90°,..BC是。的直徑，,?.8C=1米，

又?AB=AC,:.ZABC=ZACB=45°,

:.AB=AC=BC-sinZABC=—（米），

2

則扇形部件的面積為9°萬X（）21（米2）,故選：C.

------------——=-7t

3608

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、解直角三角形、扇形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握?qǐng)A周

角定理和扇形的面積公式是解題關(guān)鍵.

二.填空題

21.（2022?江蘇宿遷?中考真題）如圖，在正六邊形4BCDEF中，AB=6,點(diǎn)M在邊AF上，且

AM=2.若經(jīng)過點(diǎn)M的直線/將正六邊形面積平分,則直線/被正六邊形所截的線段長是.

BE

CD

【答案】4幣

【分析】如圖，連接AD,CF,交于點(diǎn)。，作直線M。交CD于“，過。作。甩AF于P,由正

六邊形是軸對(duì)稱圖形可得：SWABC0=SmDEF0,由正六邊形是中心對(duì)稱圖形可得：

S“=S7DOH，SVMOF=S7CH。、OM=OH,可得直線MH平分正六邊形的面積，。為正六邊

形的中心，再利用直角三角形的性質(zhì)可得答案.本

【詳解】解：如圖，連接AD,CF,交于點(diǎn)。，作直線M。交CD于“，過。作。PQAF于P,

由正六邊形是軸對(duì)稱圖形可得：S網(wǎng)邊窗“co=S四邊收郎。，

由正六邊形是中心對(duì)稱圖形可得：SVAOM=S7DOH，SVMOF=SVCHO,OM=OH,

回直線MH平分正六邊形的面積，。為正六邊形的中心，

由正六邊形的性質(zhì)可得：.AOF為等邊三角形，?AFO60?,而AB=6,

\AB=AF=OF=OA=6,AP=FP^3,

\。［:府-3?=3瓜

QAM=2,則〃尸=1,

\OM=J+（3可=2近，

\MH=20M=45/7.

故答案為：4幣.

【點(diǎn)睛】本題考查的是正多邊形與圓的知識(shí)，掌握"正六邊形既是軸對(duì)稱圖形也是中心對(duì)稱

圖形"是解本題的關(guān)鍵.

22.（2022?湖南衡陽?中考真題）如圖，用一個(gè)半徑為6cm的定滑輪拉動(dòng)重物上升，滑輪旋

轉(zhuǎn)了120。，假設(shè)繩索粗細(xì)不計(jì)，且與輪滑之間沒有滑動(dòng)，則重物上升了cm.（結(jié)

果保留乃）

【答案】4笈

【分析】利用題意得到重物上升的高度為定滑輪中120。所對(duì)應(yīng)的弧長，然后根據(jù)弧長公式

計(jì)算即可.

【詳解】解：根據(jù)題意，重物的高度為本

120x4x6

=44(cm).

180

故答案為：44.

n'7T'R

【點(diǎn)睛】本題考查了弧長公式：/=**（弧長為/,圓心角度數(shù)為"，圓的半徑為R）.

18（）

23.（2022?浙江杭州?中考真題）如圖是以點(diǎn)。為圓心，A8為宜徑的圓形紙片，點(diǎn)C在回。

上，將該圓形紙片沿直線C。對(duì)折，點(diǎn)8落在回。上的點(diǎn)。處（不與點(diǎn)人重合），連接CB,

CD,AD.設(shè)CD與直徑AB交于點(diǎn)E.若AD=ED,則姐=________度：空的值等于__________.

AD

【分析】由等腰三角形的性質(zhì)得出自以E=MEA,證出回BEC=（D8CE,由折疊的性質(zhì)得出

SECO=^BCO,設(shè)EIECO=iaOC8=ElB=x,證出回BCE=EIECO+ElBCO=2x,0CEB=2x,由三角形內(nèi)角和定

CEBE

理可得出答案；證明aCEO函BEC,由相似三角形的性質(zhì)得力二;二，設(shè)EO=x,EC=OC=OB=a,

EOCE

得出/=x（x+a）,求出。￡=或二1°,證明△BCEaa/ME,由相似三角形的性質(zhì)得出與g=隹，

2ADAE

則可得出答案.本

【詳解】解：^AD=DEf

^\DAE=WEAf

^IDEA^BEC.回。AE=(28CE,

團(tuán)團(tuán)8EC二團(tuán)8CE,

團(tuán)將該圓形紙片沿直線CO對(duì)折，

^ECO=^\BCO,

又回。8二。C,

甌。CBR18,

設(shè)團(tuán)EC。二團(tuán)0C8二團(tuán)8二X,

^\BCE=^\EC0^BC0=2xf

fflCEB=2x,

^BEC+^BCE^B=13Q°,

[3x+2x+2x=180o,

0x=36°,

團(tuán)團(tuán)8二36°；

團(tuán)回EC。二團(tuán)8,^CEO=^CEBf

團(tuán)團(tuán)CEQS團(tuán)8EC,

CEBE

回---=---,

EOCE

BCE2=EO?BE,

設(shè)￡0=x,EC=OC=OB=a,

回。2=x(%+a),

解得，x=@二1。(負(fù)值舍去)，

2

團(tuán)。E=@zlo,

2

^AE=OA-OE=a-a=3-^a,

22

^AED=^\BECf回DAE典BCE,

BCEC

團(tuán)團(tuán)8CE0團(tuán)￡ME,團(tuán)-------,

ADAE

BC_a3+逐r-

回罰一二^―二―?故答案為：36,山｝.

--------a2

【點(diǎn)睛】本題是圓的綜合題，考查了圓周角定理，折疊的性質(zhì)，等腰三角形的判定與性質(zhì),

三角形內(nèi)角和定理，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的

關(guān)鍵.

24.（2022?浙江湖州?中考真題）如圖,已知A8是回。的弦，0406=120",OOSAB,垂足為C,

OC的延長線交回。于點(diǎn)D.若MPD是AQ所對(duì)的圓周角，則MPD的度數(shù)是.

【分析】根據(jù)垂徑定理得出0408=（38。。，進(jìn)而求出04。。=60。，再根據(jù)圓周角定理可得蜘PD=

-SiAOD=30".

【詳解】團(tuán)。?8,OD為直徑，本號(hào)姿料全英來源于給售公眾W：效學(xué)第六雷

^BD=AD-

0EWO6=S）BOD,

00408=120",

配1AOD=60°,

回朝。404。。=30°,

故答案為：30°.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理、垂徑定理等知識(shí)，掌握垂徑定理是解答本題的關(guān)鍵.

25.（2022?云南?中考真題）某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生到教具加工廠制作圓錐，他們制作的

圓錐，母線長為30cm,底面圓的半徑為10cm,這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是.

【答案】120。

【分析】設(shè)這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為。，4鬻=2x11x10,進(jìn)行解答即可得.

180

【詳解】解：設(shè)這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為

迎町=2XTTX10”=12（）。故答案為：120°.

180

【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐側(cè)面展開圖的圓心角，解題的關(guān)鍵是掌握扇形的弧長公式.

26.（2022?浙江寧波?中考真題）如圖，在HBC中，AC=2,BC=4,點(diǎn)。在8c上，以。8為

半徑的圓與AC相切于點(diǎn)4。是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)AACD為直角三角形時(shí)，AD的長為

A

C

BO

【答案】

【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)定理，勾股定理，直角三角形的等面積法解答即可.

【詳解】解：連接。人

①當(dāng)。點(diǎn)與。點(diǎn)重合時(shí)，團(tuán)CA。為90。，設(shè)圓的半徑=r,回。A=r,OC=4-r,

33

MC=4,在RtAAOC中，根據(jù)勾股定理可得：/+4=(4-r)2,解得：r=-,即/?0=40=彳；

22

②當(dāng)如1DC=9O。時(shí)，過點(diǎn)A作AD08c于點(diǎn)。，

11AOAC356

^-AO?AC=-OC?AD,團(tuán)4。=-------,040=-,AC=2,0C=4-r=-,04D=-,

22OC225

綜上所述，A。的長為5或不，故答案為：5或二.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了切線的性質(zhì)和勾股定理，熟練掌握這些性質(zhì)定理是解決本題的關(guān)鍵.

27.(2022?四川自貢?中考真題)一塊圓形玻璃鏡面碎成了幾塊，其中一塊如圖所示，測(cè)得弦

AB長20厘米，弓形高8為2厘米，則鏡面半徑為____________厘米.

【答案】26

【分析】令圓。的半徑為。8=r,則。C=r-2,根據(jù)勾股定理求出。。2+8。2=。82,進(jìn)而求出半

徑.

【詳解】解：如圖，由題意，得。D垂直平分A8,回8c=10厘米，令圓。的半徑為。8=r,則

OC=r-2,

22

在RtI38OC中O（72+8C2=O82,0（r-2）+10=^,解得r=26.故答案為：26.

【點(diǎn)睛】本題考查垂徑定理和勾股定理求線段長，熟練地掌握?qǐng)A的基本性質(zhì)是解決問題的關(guān)

鍵.

28.（2022?浙江溫州?中考真題）若扇形的圓心角為120。，半徑為則它的弧長為

【答案】n

【分析】根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)和弧長公式，可以計(jì)算出該扇形的弧長.

【詳解】解：回扇形的圓心角為120。，半徑為弓，

倒它的弧長為：120萬*|

------------=/F,

180

故答案為：71

【點(diǎn)睛】本題考查弧長的計(jì)算，解答本題的關(guān)鍵是明確弧長的計(jì)算公式/=覆.

1X。

29.（2022?新疆?中考真題）如圖，回。的半徑為2,點(diǎn)A,B,C都在團(tuán)。上，若4=30。.則

AC的長為（結(jié)果用含有兀的式子表示）

【分析】利用同弧所對(duì)的圓心角是圓周角的2倍得到ZAOC=60°，再利用弧長公式求解即可.

【詳解】NAOC=2NB,ZB=30°...ZAOC=60°,

回。的半徑為2,AC=----------=—兀，故答案為：一萬.

18033

nnr

【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理和弧長公式，即/=—，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.

180

30.（2022?四川瀘州?中考真題）如圖，在RtZXABC中，ZC=90°,AC=6,BC=26,

半徑為1的。在RtZ\A8C內(nèi)平移（?？梢耘c該三角形的邊相切），則點(diǎn)A到。上的點(diǎn)

的距離的最大值為.

【答案】2"+1

【分析】設(shè)直線A。交二。于M點(diǎn)（M在。點(diǎn)右邊），當(dāng)（。與A8、8c相切時(shí)，AM即為點(diǎn)

A到O上的點(diǎn)的最大距離.

【詳解】設(shè)直線4。交CO于M點(diǎn)（M在。點(diǎn)右邊），則點(diǎn)A到。。上的點(diǎn)的距離的最大值

為AM的長度

當(dāng)：O與A8、BC相切時(shí)，AM最長

設(shè)切點(diǎn)分別為D、F,連接。8,如圖本弓資料全紀(jì)來源于營喑公眾弓：敷學(xué)第六感

ACr-I_________

=—=V3,AB=>JAC2+BC2=4X/3

DC

回NB=60°

0。與A8、BC相切

0ZOBD=-ZB=30°

2

0。的半徑為1

SOD=OM=\

QBD=y/3OD=y/3

SAD=AB-DB=3y/3

團(tuán)OA=y/AD2+OD2=7（3>/3）2+l2=2百

^AM=OA+OM=2>/1+1

回點(diǎn)A到。上的點(diǎn)的距離的最大值為2療+1.

【點(diǎn)睛】本題考查切線的性質(zhì)、特殊角度三角函數(shù)值、勾股定理，解題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)A到

O上的點(diǎn)的最大距離的圖形.

31.（2022?浙江嘉興?中考真題）如圖，在廓形4。8中，點(diǎn)C,。在A3上，將CD沿弦8折

疊后恰好與Q4，OB相切于點(diǎn)E,F.已知ZAQ8=120°,04=6,則切的度數(shù)為；

折痕C。的長為______.

D>.-------、

A

OFB

【答案】60。##60度476

【分析】根據(jù)對(duì)稱性作。關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)M,則點(diǎn)。、E、人8都在以M為圓心，半徑為

6的圓上，再結(jié)合切線的性質(zhì)和垂徑定理求解即可.本W(wǎng)要以全就來潺于弦信公眾W：敷學(xué)第六感

【詳解】作。關(guān)于CD的對(duì)稱點(diǎn)M,則0N=MN

連接MD,ME,MF、MO.M0交.CD于N

回將CD沿弦CD折疊

回點(diǎn)。、E、F、B都在以M為圓心，半徑為6的圓上

回將CD沿弦8折疊后恰好與。3相切于點(diǎn)￡,F.

MF^OB

0ZMEO=ZMFO=90°

13ZAOB=120°

回四邊形MEOF中ZEMF=360°-ZAOB-ZMEO-ZMFO=60°

即項(xiàng)的度數(shù)為60。；

0ZMEO=ZMFO=90°,ME=MF

aMEO=MFO(HL)

團(tuán)/EMO=ZFMO=-/FME=30°

2

ME6

團(tuán)OM==46

cosNEMOcos30°

0M7V=2A/3

0MO0DC

QDN=NDM?-MN。=而-色例=2&=gcD

0CD=4^

故答案為：60。；4戈

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理、勾股定理；熟練掌握折疊的性質(zhì)

作出輔助線是解題的關(guān)鍵.本

三.解答題

32.（2022?四川成都?中考真題）如圖，在Rt^ABC中，ZACB=90°,以BC為直徑作回。，

交AB邊于點(diǎn)。，在CD上取一點(diǎn)E,使8E=C￡＞，連接DE,作射線CE交AB邊于點(diǎn)尸.

4

⑴求證：NA=NACF：⑵若AC=8,cosZACF=-,求■及OE的長.

【答案】⑴見解析

(2)8F=5,DE=^

【分析】(1)根據(jù)中，Z4CB=90°,得至Ij04+回B=MCF+?8CF=90°,根據(jù)BE=CO，

得到回8=MCF,推出BARMCF；

(2)根據(jù)MWBCF,EW=EMCF,得至!jAF=CF,BF=CF,推出AF=8F=gAB,根據(jù)

Ar4_________

cosZACF=COSA=—=-,AC=8,得到A8=10,得到8F=5,根據(jù)BC=JAB?-AC」=6，

AD5

得到5訪4=變=3,連接CO,根據(jù)8c是團(tuán)。的直徑，得到I38DC=9O。，推出回8+EIBCD=90。，

AB5

〃/)q1R7

推出兇=回88,得到sinNBC￡>=—=-,推出8。=—,得到￡>F=BF-BO=—，根據(jù)

555

P￡￡)f

aFDER1BCE,團(tuán)8二團(tuán)8CE,得到團(tuán)FDER18,推出。也8C,得到2kFD比△FBC,推出一=——,得

BCBF

至|］?！甓?空2.

25

(1)解：團(tuán)RtZiABC中，ZACB=90°,

團(tuán)M+團(tuán)8=MCF短8CF=90°,

@BE=CD，

幽8二姐CF,

豳A=MCF；

⑵幽8=團(tuán)8。尸，M=MCF

MF=CF,BF=CF,

MF=8F=gAB,

AC4

0cosZ.ACF=cosA=---=—,AC=8,

AB5

M8=10,

@BF=5,

aBC=4AB?-AC?=6,

.人BC3

0sinA=---=-,

AB5

連接CD,團(tuán)8c是團(tuán)。的直徑，

00BDC=9O°,

團(tuán)姐+團(tuán)8co=90°,

能14二團(tuán)BCD,

0sinZBC￡>=—=-,

BC5

5

7

⑦DF=BF-BD=w,

團(tuán)團(tuán)FOE二團(tuán)BCE,姐二團(tuán)BCE,

WFDE=^B,

團(tuán)D由BC,

團(tuán)△FDE121△F8C,

DEDF

團(tuán)---=----,

BCBF

0D￡=tt

【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角，解直角三角形，勾股定理，相似三角形，解決問題的關(guān)鍵

是熟練掌握?qǐng)A周角定理及推論，運(yùn)用勾股定理和正弦余弦解直角三角形，相似三角形的判定

和性質(zhì).

33.(2022?山東濱州?中考真題)如圖，已知CC為O的直徑，直線力與。相切于點(diǎn)A,

直線PD經(jīng)過O上的點(diǎn)8且=連接。P交AB干點(diǎn)M.求證：

D

(1)PO是。的切線；(2)AM2=OMPM

【答案】⑴見解析⑵見解析

【分析】(1)連接OB,由等邊對(duì)等角及直徑所對(duì)的圓周角等于90。即可證明；

(2)根據(jù)宜線以4.。相切于點(diǎn)4得到NQ4P=90。，根據(jù)余角的性質(zhì)得到

ZOAM=ZAPM,繼而證明sQAMAPM,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論.

(1)連接OB,

A

,OA=OB=OC,

??.ZOAB=NOBA,ZOBC=4OCB,

4c為。的直徑，

?,.ZABC=NOBA+NOBC,

?//CBD=/CAB,

:.ZOBA=ZCBD,

NCBD+ZOBC=90°=/OBD,

???P。是「。的切線；

(2).直線力與。相切于點(diǎn)4

\ZOAP=90°.

團(tuán)P。是。的切線，

:.ZAMO=ZAMP=ZOAP=90o.

:.ZOAM+ZPAM=^PAM+ZAPM=90°,

：.ZOAM=ZAPM,

??.OAMAPM,

AMOM

PMAM

???AM?=OMPM.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理，等腰三角

形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵.本

34.（2022?四川瀘州?中考真題）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的。上，CD平分N4C3交；O

于點(diǎn)。，交A8于點(diǎn)E,過點(diǎn)。作。的切線交CO的延長線于點(diǎn)尸.

⑴求證：⑵若AC=2逐，BC=后,求FD的長.

【答案】⑴見解析(2)與

O

【分析】(1)連接。D，由CD平分B4C8,可知AO=8O，得兇。。=加。。=90°,由DF是切

線可知回。。尸=90。=04。。，可證結(jié)論；

(2)過C作CA4EMB于M,已求出CM、BM,0M的值，再證明EIDOFEEIMC。，f#—=—,

ODFD

代入可求.

(1)證明：連接。D,如圖，

國AD=BD，

團(tuán)附。。二團(tuán)8。。=90°,

回DF是團(tuán)。的切線，

0SODF=9O°

團(tuán)團(tuán)00F二團(tuán)8。。，

團(tuán)。甩4B.

(2)解：過C作CMM8于M,如圖，本號(hào)資料全第來源于榻信公眾W：蚊學(xué)第六感

團(tuán)團(tuán)AC8=90°,

M8=^AC'+BC2=J（2⑹2+（府=5.

^-AB.CM=-AC.BC,

22

即-?5.CM」倉必石石，

22

0CM=2,

0BM=yjBC2-CM2=7（V5）2-22=1，

13

SOM=OB-BM=~751