人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 數(shù)據(jù)的分析 知識(shí)講解

數(shù)據(jù)的分析

【學(xué)習(xí)目標(biāo)】

1.了解加權(quán)平均數(shù)的意義和求法，會(huì)求實(shí)際問題中一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)，體會(huì)用樣本平均數(shù)

估計(jì)總體平均數(shù)的思想.

2.了解中位數(shù)和眾數(shù)的意義，掌握它們的求法.進(jìn)一步理解平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)所代表

的不同的數(shù)據(jù)特征.

3.了解極差和方差的意義和求法，體會(huì)它們刻畫數(shù)據(jù)波動(dòng)的不同特征.體會(huì)用樣本方差估

計(jì)總體方差的思想，掌握分析數(shù)據(jù)的思想和方法.

4.從事收集、整理、描述和分析數(shù)據(jù)得出結(jié)論的統(tǒng)計(jì)活動(dòng)，經(jīng)歷數(shù)據(jù)處理的基本過程，體

驗(yàn)統(tǒng)計(jì)與生活的聯(lián)系，感受統(tǒng)計(jì)在生活和生產(chǎn)中的作用，養(yǎng)成用數(shù)據(jù)說話的習(xí)慣和實(shí)事

求是的科學(xué)態(tài)度.

【要點(diǎn)梳理】

【高清課堂數(shù)據(jù)的分析知識(shí)要點(diǎn)】

要點(diǎn)一、算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)平均數(shù)

一般地，對(duì)于〃個(gè)數(shù)X］、％、工3、…X”，我們把工(內(nèi)+為2+X3+…叫做這〃個(gè)數(shù)的

算術(shù)平均數(shù)，簡稱平均數(shù)，記作了.計(jì)算公式為元=,(%+々+*3+…+%)?

n

要點(diǎn)詮釋：平均數(shù)表示一組數(shù)據(jù)的“平均水平”，反映了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢.

(1)當(dāng)一組數(shù)據(jù)較大時(shí)，并且這些數(shù)據(jù)都在某一常數(shù)。附近上、下波動(dòng)時(shí)，

一般選用簡化計(jì)算公式元”.其中x為新數(shù)據(jù)的平均數(shù)，a為取

定的接近這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)的較“整”的數(shù).

(2)平均數(shù)的大小與一組數(shù)據(jù)里的每個(gè)數(shù)據(jù)均有關(guān)系，其中任一數(shù)據(jù)的變動(dòng)

都會(huì)相應(yīng)引起平均數(shù)的變動(dòng).所以平均數(shù)容易受到個(gè)別特殊值的影響.

若〃個(gè)數(shù)%、々、…的權(quán)分別是嗎、卬2、…、%，則"必+蒞＞+…叫做

嗎+W2+—+Wn

這〃個(gè)數(shù)的加權(quán)平均數(shù).

要點(diǎn)詮釋：(1)相同數(shù)據(jù)項(xiàng)的個(gè)數(shù)叫叫做權(quán)，明越大，表示X,的個(gè)數(shù)越多，“權(quán)”就

越重.數(shù)據(jù)的權(quán)能夠反映數(shù)據(jù)的相對(duì)“重要程度”.

(2)加權(quán)平均數(shù)實(shí)際上是算術(shù)平均數(shù)的另一種表現(xiàn)形式，是平均數(shù)的簡便運(yùn)

算.

要點(diǎn)二、中位數(shù)和眾數(shù)

1.中位數(shù)的概念：將一組數(shù)據(jù)按照由小到大(或由大到小)的順序排列，如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是

奇數(shù)，則處于中間位置的數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)；如果數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù)是偶

數(shù)，則中間兩個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)稱為這組數(shù)據(jù)的中位數(shù).

要點(diǎn)詮釋：(1)一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)是唯一的：一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)不一定出現(xiàn)在這組數(shù)

據(jù)中.

(2)由一組數(shù)據(jù)的中位數(shù)可以知道中位數(shù)以上和以下數(shù)據(jù)各占一半.

2.眾數(shù)的概念：一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)稱為這組數(shù)據(jù)的眾數(shù).

要點(diǎn)詮釋：(1)一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)一定出現(xiàn)在這組數(shù)據(jù)中；一組數(shù)據(jù)的眾數(shù)可能不止一

個(gè)；如果所有數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù)都一樣，那么這組數(shù)據(jù)就沒有眾數(shù).

(2)眾數(shù)是一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據(jù)而不是數(shù)據(jù)出現(xiàn)的次數(shù).

要點(diǎn)三、平均數(shù)、中位數(shù)與眾數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)都是用來描述數(shù)據(jù)集中趨勢的量，其中以平均數(shù)最為重要.

區(qū)別：平均數(shù)的大小與每一個(gè)數(shù)據(jù)都有關(guān)，任何一個(gè)數(shù)的波動(dòng)都會(huì)引起平均數(shù)的波動(dòng)，

當(dāng)一組數(shù)據(jù)中有個(gè)別數(shù)據(jù)太高或太低，用平均數(shù)來描述整體趨勢則不合適，用中位數(shù)或眾數(shù)

則較合適.中位數(shù)與數(shù)據(jù)排列位置有關(guān)，個(gè)別數(shù)據(jù)的波動(dòng)對(duì)中位數(shù)沒影響；眾數(shù)主要研究各

數(shù)據(jù)出現(xiàn)的頻數(shù)，當(dāng)一組數(shù)據(jù)中不少數(shù)據(jù)多次重復(fù)出現(xiàn)時(shí)，可用眾數(shù)來描述.

要點(diǎn)四、極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差

用一組數(shù)據(jù)中的最大值減去最小值所得的差來反映這組數(shù)據(jù)的變化范圍，用這種方法

得到的差稱為極差，極差=最大值一最小值.

要點(diǎn)詮釋：極差是最簡單的一種度量數(shù)據(jù)波動(dòng)情況的量，它受極端值的影響較大.一組

數(shù)據(jù)極差越小，這組數(shù)據(jù)就越穩(wěn)定.

方差是反映一組數(shù)據(jù)的整體波動(dòng)大小的特征的量.方差/的計(jì)算公式是：

—

S~=一—X）"+（X2—X）-+…+（X”X）~]

n~

要點(diǎn)詮釋：（1）方差反映的是一組數(shù)據(jù)偏離平均值的情況.方差越大，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大;

方差越小，數(shù)據(jù)的波動(dòng)越小.

（2）一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)都加上（或減去）同一個(gè)常數(shù)，所得的一組新數(shù)據(jù)

的方差不變.

（3）一組數(shù)據(jù)的每一個(gè)數(shù)據(jù)都變?yōu)樵瓉淼淖蟊?，則所得的一組新數(shù)據(jù)的方差

變?yōu)樵瓉淼亩?

方差的算術(shù)平方根叫做這組數(shù)據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)差，用符號(hào)s表示，即:

S=—X）?+（亦2-X）？+???+（q-X）4

;標(biāo)準(zhǔn)差的數(shù)量單位與原數(shù)據(jù)-一致.

要點(diǎn)五、極差、方差和標(biāo)準(zhǔn)差的聯(lián)系與區(qū)別

聯(lián)系：極差與方差、標(biāo)準(zhǔn)差都是表示一組數(shù)據(jù)離散程度的特征數(shù).

區(qū)別：極差表示一組數(shù)據(jù)波動(dòng)范圍的大小，它受極端數(shù)據(jù)的影響較大；方差反映了一組

數(shù)據(jù)與其平均值的離散程度的大小.方差越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則穩(wěn)定性越好.所以

一般情況下只求一組數(shù)據(jù)的波動(dòng)范圍時(shí)用極差，在考慮到這組數(shù)據(jù)的穩(wěn)定性時(shí)用方差.

要點(diǎn)六、用樣本估計(jì)總體

在考察總體的平均水平或方差時(shí)，往往都是通過抽取樣本，用樣本的平均水平或方差近

似估計(jì)得到總體的平均水平或方差.

要點(diǎn)詮釋：（1）如果總體數(shù)量太多，或者從總體中抽取個(gè)體的試驗(yàn)帶有破壞性，都應(yīng)該

抽取樣本.取樣必須具有盡可能大的代表性.

（2）用樣本估計(jì)總體時(shí)，樣本容量越大，樣本對(duì)總體的估計(jì)也越精確.樣本

容量的確定既要考慮問題本身的需要，又要考慮實(shí)現(xiàn)的可能性所付出的

代價(jià).

【典型例題】

類型一、利用概念求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)

C1、（2015春?東莞期末）一家鞋店在一段時(shí)間內(nèi)銷售了某種女鞋20雙，各種尺碼鞋的

銷售量如表：

鞋魚23.52424.52525.526

人數(shù)3.|4|4|7|1-]1-

（1）求出這些尺碼鞋的平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù).

（2）如果你是老板，去鞋廠進(jìn)貨時(shí)哪個(gè)尺碼的鞋子可以多進(jìn)一些.為什么？

【思路點(diǎn)撥】（1）直接利用平均數(shù)公式求出即可，再利用中位數(shù)以及眾數(shù)的定義得出答案;

（2）利用眾數(shù)的意義得出答案.

【答案與解析】

解：（1）這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是：

X=—（23.5X3+24X4+24.5X4+25X7+25.5+26）

20

=24.55,

中位數(shù)是：24.5,眾數(shù)是25；

（2）去鞋廠進(jìn)貨時(shí)25尺碼型號(hào)的鞋子可以多進(jìn)一些，

原因是這組數(shù)據(jù)中的眾數(shù)是25,故銷售的女鞋中25尺碼型號(hào)的鞋賣的最好.

【總結(jié)升華】此題主要考查了眾數(shù)、中位數(shù)的定義以及平均數(shù)求法，正確掌握中位數(shù)的定義

是解題關(guān)鍵.

舉一反三：

【高清課堂數(shù)據(jù)的分析例8】

【變式】若數(shù)據(jù)3.2,3.4,3.2,X,3.9,3.7的中位數(shù)是3.5,則其眾數(shù)是,平

均數(shù)是.

【答案】3.2；3.5；

解：由題意x±+±34=3.5,x=3.6,所以眾數(shù)是3.2,平均數(shù)是3.5.

2

類型二、利用三數(shù)——平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)解決問題

◎a、某校欲招聘一名數(shù)學(xué)教師，學(xué)校對(duì)甲、乙、丙三位候選人進(jìn)行了三項(xiàng)能力測試，各

項(xiàng)測試成績滿分均為100分，根據(jù)結(jié)果擇優(yōu)錄用.三位候選人的各項(xiàng)測試成績?nèi)缦卤硭荆?/p>

測試成績

測試項(xiàng)目

甲乙丙

教學(xué)能力857373

科研能力707165

組織能力647284

（1）如果根據(jù)三項(xiàng)測試的平均成績，誰將被錄用，說明理由；

（2）根據(jù)實(shí)際需要，學(xué)校將教學(xué)、科研和組織三項(xiàng)能力測試得分按5:3:2的比例確定每

人的成績，誰將被錄用，說明理由.

【思路點(diǎn)撥】（1）運(yùn)用求平均數(shù)公式工（西+々+/+…+Z）即可求出三人的平均成績，比較

n

得出結(jié)果；（2）將三人的成績按比例求出測試成績，比較得出結(jié)果.

【答案與解析】

解：（1）甲的平均成績?yōu)椋海?5+70+64）+3=73,

乙的平均成績?yōu)椋海?3+71+72）+3=72,

丙的平均成績?yōu)椋海?3+65+84）+3=74,

候選人丙將被錄用.

(2)甲的測試成績?yōu)椋?85X5+70X3+64X2)+(5+3+2)=76.3,

乙的測試成績?yōu)椋?73X5+71X3+72X2)+(5+3+2)=72.2,

丙的測試成績?yōu)椋?73X5+65X3+84X2)+(5+3+2)=72.8,

候選人甲將被錄用.

【總結(jié)升華】5、3、2即各個(gè)數(shù)據(jù)的“權(quán)”，反映了各個(gè)數(shù)據(jù)在這組數(shù)據(jù)中的重要程度，按

加權(quán)平均數(shù)來錄用.

舉一反三：

【高清課堂數(shù)據(jù)的分析例101

【變式】小王在八年級(jí)第一學(xué)期的數(shù)學(xué)成績分別為：測驗(yàn)一得89分，測驗(yàn)二得78分，測驗(yàn)

三得85分，期中考試得90分，期末考試得87分，如果按照平時(shí)、期中、期末的

10%、30%、60%量分，那么小王該學(xué)期的總評(píng)成績應(yīng)該為多少？

【答案】

_OQ?*70IOC

解：小王平時(shí)測試的平均成績%=里匚匕史=84(分).

3

,84xl0%+90x30%+87x60%加，,八、

所以-------------------------------=87.6(分).

10%+30%+60%

答：小王該學(xué)期的總評(píng)成績應(yīng)該為87.6分.

【高清課堂數(shù)據(jù)的分析例11】

、下表是七年級(jí)(2)班30名學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績表(已破損).

成績(分)5060708090100

人數(shù)(人)2573

已知該班學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績平均分是76分.

(1)求該班80分和90分的人數(shù)分別是多少？

(2)設(shè)此班30名學(xué)生成績的眾數(shù)為a,中位數(shù)為力，求a+匕的值.

【答案與解析】

解：(1)設(shè)該班得80分的有x人，得90分的有y人.

根據(jù)題意和平均數(shù)的定義，得

2+5+7+x+y+3=30,

76x30=50x2+60x5+70x7+80x+90y+100x3,

x+y=13,x=8,

整理得＜解得

8x+9y=109,[y=5.

即該班得80分的有8人，得90分的有5人.

(2)因?yàn)?0分出現(xiàn)8次且出現(xiàn)次數(shù)最多.所以。=80,第15、16兩個(gè)數(shù)均為80分，所

以6=80,則a+b=80+80=160.

【總結(jié)升華】本題為統(tǒng)計(jì)題，考查平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的意義.解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確理解題

意，建立等量關(guān)系.

舉一反三：

【變式】某教師為了對(duì)學(xué)生零花錢的使用進(jìn)行教育指導(dǎo)，對(duì)全班50名學(xué)生每人一周內(nèi)的零

花錢數(shù)額進(jìn)行了調(diào)查統(tǒng)計(jì)，并繪制了統(tǒng)計(jì)圖表如圖所示的統(tǒng)計(jì)圖.

零花錢數(shù)額(元)5101520

學(xué)生個(gè)數(shù)(個(gè))a15205

(1)求。的值；

(2)求這50名學(xué)生每人一周內(nèi)的零花錢額的眾數(shù)和平均數(shù).

【答案】

解：(1)a=50-15-20-5=10.

(2)眾數(shù)是15.

平均數(shù)為」-(5X10+10X15+15X20+20X5)=12.

50

類型三、極差、方差與標(biāo)準(zhǔn)差

C4、某社區(qū)準(zhǔn)備在甲乙兩位射箭愛好者中選出一人參加集訓(xùn)，兩人各射了5箭，他們的

總成績(單位：環(huán))相同，小宇根據(jù)他們的成績繪制了尚不完整的統(tǒng)計(jì)圖表，并

計(jì)算了甲成績的平均數(shù)和方差(見小宇的作業(yè)).

小宇的作北：

解：福(9+4+T+4+6)=6,

[(9-6)4(4-6)2+(7-6)4(4-6)4(6-6)2]

□

=~(9+4+1+4+0)

5

=3.6.

第1次第2次第3次第4次第5次

甲成績94746

乙成績757a7

(1)a—；"=；

(2)請(qǐng)完成圖中表示乙成績變化情況的折線；

(3)①觀察圖，可看出_____的成績比較穩(wěn)定(填“甲”或“乙”).參照小宇的計(jì)算方

法，計(jì)算乙成績的方差，并驗(yàn)證你的判斷.②請(qǐng)你從平均數(shù)和方差的角度分析，誰將被選中.

【思路點(diǎn)撥】（1）根據(jù)他們的總成績相同，得出。=30—7—7—5—7=4,進(jìn)而得出化=

30+5=6；（2）根據(jù)（1）中所求得出。的值進(jìn)而得出折線圖即可；（3）①觀察圖，即可

得出乙的成績比較穩(wěn)定；②因?yàn)閮扇顺煽兊钠骄剑ㄆ骄鶖?shù)）相同，根據(jù)方差得出乙的成

績比甲穩(wěn)定，所以乙將被選中.

【答案與解析】

解：（1）由題意得：甲的總成績是：9+4+7+4+6=30.

則a=30—7—7—5—7=4,&=304-5=6,

故答案為：4,6；

（2）如圖所示：

甲、乙兩人射箭成績折線圖

個(gè)成績環(huán)

10————....甲

235射箭次序

（3）①觀察圖，可看出乙的成績比較穩(wěn)定,

故答案為：乙；

22222

?r=1[(7-6)+(5-6)+(7-6)+(4-6)+(7-6)]=1.6

由于乙＜S2中，所以上述判斷正確.

②因?yàn)閮扇顺煽兊钠骄剑ㄆ骄鶖?shù)）相同，根據(jù)方差得出乙的成績比甲穩(wěn)定，所以乙

將被選中.

【總結(jié)升華】此題主要考查了方差的定義以及折線圖和平均數(shù)的意義，根據(jù)已知得出a的值

進(jìn)而利用方差的意義比較穩(wěn)定性即可.

舉一反三：

【高清課堂數(shù)據(jù)的分析例12】

【變式】某工廠甲、乙兩名工人參加操作技能培訓(xùn).現(xiàn)分別從他們?cè)谂嘤?xùn)期間參加的若干次

測試成績中隨機(jī)抽取8次，數(shù)據(jù)如下（單位：分）

甲9582888193798478

乙8375808090859295

（1）請(qǐng)你計(jì)算這兩組數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù);

（2）現(xiàn)要從中選派一人參加操作技能比賽，從統(tǒng)計(jì)學(xué)的角度考慮，你認(rèn)為選派哪名工人

參加合適?請(qǐng)說明理由.

【答案】

解：春=1(95+82+88+81+93+79+84+78)=85(分)，

7乙=1(83+75+80+80+90+85+92+95)=85(分).

甲、乙兩組數(shù)據(jù)的中位數(shù)分別為83分、84分.

⑵由⑴知焉=顯=85分，所以

襦=」[(95-85)2+(82—85y+???+(78—85)2]=35.5,

8

2

51=1[(83-85)+(75-85)2+…+(95-85)2]=41.

8

①從平均數(shù)看，甲、乙均為85分，平均水平相同；

②從中位數(shù)看，乙的中位數(shù)大于甲，乙的成績好于甲；

③從方差來看，因?yàn)閇甲=嚏乙，＜si,所以甲的成績較穩(wěn)定；

④從數(shù)據(jù)特點(diǎn)看，獲得85分以上(含85分)的次數(shù)，甲有3次，而乙有4次，故乙

的成績好些；

⑤從數(shù)據(jù)的變化趨勢看，乙后幾次的成績均高于甲，且呈上升趨勢，因此乙更具潛力.

綜上分析可知，甲的成績雖然比乙穩(wěn)定，但從中位數(shù)、獲得好成績的次數(shù)及發(fā)展勢頭

等方面分析，乙具有明顯優(yōu)勢，所以應(yīng)派乙參賽更有望取得成績.

類型四、統(tǒng)計(jì)思想

5、(2016?廣陵區(qū)二模)中考體育測試前，某區(qū)教育局為了了解選報(bào)引體向上的初三男

生的成績情況，隨機(jī)抽測了本區(qū)部分選報(bào)引體向上項(xiàng)目的初三男生的成績，并將測試得到的

3個(gè)

請(qǐng)你根據(jù)圖中的信息，解答下列問題：

(1)寫出扇形圖中a=%,并補(bǔ)全條形圖；

(2)在這次抽測中，測試成績的眾數(shù)和中位數(shù)分別是個(gè)、個(gè).

(3)該區(qū)體育中考選報(bào)引體向上的男生共有1800人，如果體育中考引體向上達(dá)6個(gè)以上(含

6個(gè))得滿分，請(qǐng)你估計(jì)該區(qū)體育中考中選報(bào)引體向上的男生能獲得滿分的有多少名？

【思路點(diǎn)撥】(1)用1減去其他天數(shù)所占的百分比即可得到a的值，用360°乘以它所占的

百分比，即可求出該扇形所對(duì)圓心角的度數(shù);

（2）根據(jù)眾數(shù)與中位數(shù)的定義求解即可：

（3）先求出樣本中得滿分的學(xué)生所占的百分比，再乘以1800即可.

【答案與解析】

解：⑴扇形統(tǒng)計(jì)圖中a=l-30%-15%-10%-20%=25幅

設(shè)引體向上6個(gè)的學(xué)生有x人，由題意得

上=2!_,解得x=50.

25%10%