2023-2024學年人教A版必修第二冊 分層隨機抽樣 學案

9.1.2分層隨機抽樣學習任務1．通過實例，了解分層隨機抽樣的特點和適用范圍．(數學抽象)2．了解分層隨機抽樣的必要性，掌握各層樣本量比例分配的方法．(數據分析)3．結合具體實例，掌握分層隨機抽樣的樣本均值．(數學運算)假設某地區(qū)有高中生2400人，初中生10900人，小學生11000人．此地區(qū)教育部門為了了解本地區(qū)中小學生的近視情況及其形成原因，要從本地區(qū)的中小學生中抽取1%的學生進行調查．你認為應當怎樣抽取樣本才合理？知識點1分層隨機抽樣的相關概念1．分層隨機抽樣的定義：一般地，按一個或多個變量把總體劃分成若干個子總體，每個個體屬于且僅屬于一個子總體，在每個子總體中獨立地進行簡單隨機抽樣，再把所有子總體中抽取的樣本合在一起作為總樣本，這樣的抽樣方法稱為分層隨機抽樣，每一個子總體稱為層．2．比例分配：在分層隨機抽樣中，如果每層樣本量都與層的大小成比例，那么稱這種樣本量的分配方式為比例分配．知識點2分層隨機抽樣中的總體平均數與樣本平均數1．在分層隨機抽樣中，如果總體分為2層，兩層包含的個體數分別為M，N，兩層抽取的樣本量分別為m，n，兩層的樣本平均數分別為x，y，兩層的總體平均數分別為X，Y，則樣本平均數w＝mm+2．在比例分配的分層隨機抽樣中，我們可以直接用樣本平均數w估計總體平均數W.即MM分層隨機抽樣適合于什么樣的總體？思考[提示]當總體是由差異明顯的幾部分組成時，用分層隨機抽樣.1．某校有高一學生400人，高二學生380人，高三學生220人，現教育局督導組擬采用分層隨機抽樣的方法抽取50名學生進行問卷調查，則高一學生應抽取________人．20[高一學生應抽取50×2．為了解我國13歲男孩的平均身高，從北方抽取了300個男孩，平均身高為1.60m；從南方抽取了200個男孩，平均身高為1.50m．由此可估計我國13歲男孩的平均身高為________m．1.56[這500名13歲男孩的平均身高是1.6×300+類型1對分層隨機抽樣概念的理解【例1】(1)某政府機關在編人員共100人，其中副處級以上干部10人，一般干部70人，工人20人，上級部門為了了解該機關對政府機構改革的意見，要從中抽取20人，則下列方法最合適的是()A．抽簽法 B．隨機數法C．簡單隨機抽樣法 D．分層隨機抽樣法(2)分層隨機抽樣又稱類型抽樣，即將相似的個體歸入一類(層)，然后每類抽取若干個個體構成樣本，所以分層隨機抽樣為保證每個個體等可能抽樣，必須進行()A．每層等可能抽樣B．每層可以不等可能抽樣C．所有層按同一抽樣比等可能抽樣D．所有層抽取的個體數量相同(1)D(2)C[(1)總體由差異明顯的三部分構成，應選用分層隨機抽樣法．(2)保證每個個體等可能的被抽取是三種基本抽樣方式的共同特征，為了保證這一點，分層隨機抽樣時必須在所有層都按同一抽樣比等可能抽?。甝使用分層隨機抽樣的前提分層隨機抽樣的使用前提條件是總體可以分層、層與層之間有明顯區(qū)別，而層內個體間差異較?。甗跟進訓練]1．下列問題中，最適合用分層隨機抽樣抽取樣本的是()A．從10名同學中抽取3人參加座談會B．某社區(qū)有500個家庭，其中高收入的家庭125戶，中等收入的家庭280戶，低收入的家庭95戶，為了了解生活購買力的某項指標，要從中抽取一個容量為100戶的樣本C．從1000名工人中，抽取100人調查上班途中所用時間D．從生產流水線上，抽取樣本檢查產品質量B[A中總體所含個體無差異且個數較少，適合用簡單隨機抽樣；C和D中總體所含個體無差異且個數較多，不適合用分層隨機抽樣；B中總體所含個體差異明顯，適合用分層隨機抽樣．]類型2分層隨機抽樣的應用【例2】某學校有在職人員160人，其中行政人員有16人，教師有112人，后勤人員有32人．教育部門為了了解在職人員對學校機構改革的意見，要從中抽取一個容量為20的樣本，請利用分層隨機抽樣的方法抽取，寫出抽樣過程．[解]抽樣過程如下：第一步，確定抽樣比，樣本容量與總體容量的比為20160第二步，確定分別從三類人員中抽取的人數，從行政人員中抽取16×18＝2(人)；從教師中抽取112×18＝14(人)；從后勤人員中抽取32×第三步，采用簡單隨機抽樣的方法，抽取行政人員2人，教師14人，后勤人員4人．第四步，把抽取的個體組合在一起構成所需樣本．1．分層隨機抽樣的相關計算的2個關系(1)樣本容量n(2)總體中某兩層的個體數之比等于樣本中這兩層抽取的個體數之比．2．分層隨機抽樣的步驟第一步，按某種特征將總體分成若干部分(層)；第二步，計算各層所占比例；第三步，計算各層抽取的個體數；第四步，按簡單隨機抽樣從各層抽取樣本；第五步，綜合每層抽樣，組成總樣本．[跟進訓練]2．(1)交通管理部門為了解機動車駕駛員(簡稱駕駛員)對某新法規(guī)的知曉情況，對甲、乙、丙、丁四個社區(qū)做分層隨機抽樣調查，假設四個社區(qū)駕駛員的總人數為N，其中甲社區(qū)有駕駛員96人．若在甲、乙、丙、丁四個社區(qū)抽取駕駛員的人數分別為12，21，25，43，則這四個社區(qū)駕駛員的總人數N為()A．101B．808C．1212D．2012(2)將一個總體分為A，B，C三層，其個體數之比為5∶3∶2．若用分層隨機抽樣方法抽取容量為100的樣本，則應從C中抽取________個個體．(1)B(2)20[(1)因為甲社區(qū)有駕駛員96人，并且在甲社區(qū)抽取的駕駛員的人數為12，所以四個社區(qū)抽取駕駛員的比例為1296＝18(2)∵A，B，C三層個體數之比為5∶3∶2，總體中每個個體被抽到的可能性相等，∴分層隨機抽樣應從C中抽取100×210類型3分層隨機抽樣中的平均數【例3】某校有初中、高中兩個部門，其中初中有學生850人，高中有學生650人，小軍想要進行一個視力調查，對學校按部門進行按比例分配分層隨機抽樣，得到初中生、高中生平均視力分別為1.0，0.8，其中樣本量為60，則在初中部、高中部各抽取多少人？整個學校平均視力是多少？[解]初中部抽取人數為60×850850高中部抽取人數為60×650850學校平均視力為3460×1.0＋2660×0.8≈所以在初中部、高中部各抽取34，26人，學校平均視力約為0.91．樣本的平均數和各層的樣本平均數的關系為：w＝m[跟進訓練]3．通過分層隨機抽樣的方法估測某校高三年級全體學生的身高水平，抽取總樣本量為100，抽取的男生的平均身高為170cm，抽取的女生的平均身高為160cm，估測得到高三全體學生的平均身高為166cm，則抽取總樣本量中男生、女生人數分別為()A．60，40 B．70，30C．80，20 D．90，10A[設抽取的總樣本量中男生、女生人數分別為m,n，則由題意可得m100×1701．某學校為了了解三年級、六年級、九年級這三個年級之間的學生的作業(yè)負擔情況，擬從這三個年級中按人數比例抽取部分學生進行調查，則最合理的抽樣方法是()A．抽簽法 B．簡單隨機抽樣C．分層隨機抽樣 D．隨機數法C[根據年級不同產生差異及按人數比例抽取易知應為分層隨機抽樣．]2．某學校高一年級有300名男生，200名女生，通過分層隨機抽樣的方法調查數學考試成績，抽取總樣本量為50，男生平均成績?yōu)?20分，女生平均成績?yōu)?10分，那么可以推測高一年級學生的數學平均成績約為()A．110分B．115分C．116分D．120分C[由題意可得抽取的50人中，男生為30人，女生為20人，所以樣本平均數w＝3．(多選)某公司生產三種型號的轎車，產量分別為1200輛，6000輛和2000輛，為檢驗該公司的產品質量，公司質監(jiān)部門要抽取46輛進行檢驗，則()A．應采用分層隨機抽樣法抽取B．應采用抽簽法抽取C．三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛D．這三種型號的轎車，每一輛被抽到的概率都是相等的ACD[由于總體按型號分為三個子總體，所以應采用分層隨機抽樣法抽取，A正確；設三種型號的轎車依次抽取x輛、y輛、z輛，則有x1200＝所以三種型號的轎車依次抽取6輛、30輛、10輛，故C正確；由分層隨機抽樣的定義可知D正確．]4．某工廠甲、乙、丙三個車間生產了同一種產品，數量分別為120件，80件，60件．為了解它們的產品質量是否存在顯著差異，用比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取了一個容量為n的樣本進行調查，其中從丙車間的產品中抽取了3件，則n等于________．13[∵360＝n120+回顧本節(jié)知識，自主完成以下問題：1．在分層隨機抽樣中，總體容量、樣本容量、各層的個體數、各層抽取的樣本數這四者之間有何關系？[提示]設總體容量為N，樣本容量為n，第i(i＝1，2，…，k)層的個體數為Ni，各層抽取的樣本數為ni，則niN2．簡單隨機抽樣與分層隨機抽樣有何區(qū)別與聯系？[提示]類別共同點各自特點相互聯系適用范圍簡單隨機抽樣抽樣過程中每個個體被抽到的可能性相等從總體中逐個抽取—總體中的個體數較少分層隨機抽樣將總體分成幾層，分層進行抽取在各層抽樣時采用簡單隨機抽樣總體由存在明顯差異的幾部分組成3．如何用分層隨機抽樣中的樣本平均數估計總體平均數？[提示]可以用M×課時分層作業(yè)(三十八)分層隨機抽樣一、選擇題1．要完成下列兩項調查：(1)某社區(qū)有100戶高收入家庭，210戶中等收入家庭，90戶低收入家庭，從中抽取100戶調查有關消費購買力的某項指標；(2)從某中學高二年級的10名體育特長生中抽取3人調查學習情況．應采用的抽樣方法分別是()A．(1)用簡單隨機抽樣，(2)用分層隨機抽樣B．(1)用分層隨機抽樣，(2)用其他抽樣方法C．(1)用分層隨機抽樣，(2)用簡單隨機抽樣D．(1)(2)都用分層隨機抽樣C[(1)中收入差距較大，采用分層隨機抽樣較合適；(2)中總體個數較少，采用簡單隨機抽樣較合適．]2．北京2022年冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”很受歡迎，現工廠決定從20只“冰墩墩”，15只“雪容融”和10個北京2022年冬奧會會徽中，采用按比例分配的分層隨機抽樣的方法，抽取一個容量為n的樣本進行質量檢測，若“冰墩墩”抽取了4只，則n為()A．3B．2C．5D．9D[n203．“互聯網＋”時代，全民閱讀的內涵已然多元化，某校為了解高中學生的閱讀情況，從該校1800名高一學生中，采用分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為200的樣本進行調查，其中女生有88人．則該校高一男生共有()A．1098人 B．1008人C．1000人 D．918人B[設該校高一男生有x人．法一：由題意可得881800-x法二：1800-x18004．某班45名同學都參加了立定跳遠和100米跑兩項體育學業(yè)水平測試，立定跳遠和100米跑合格的人數分別為30和35，兩項都不合格的人數為5．現從這45名同學中按測試是否合格分層(分成兩項都合格、僅立定跳遠合格、僅100米跑合格、兩項都不合格四種)抽出9人進行復測，那么抽出來復測的同學中兩項都合格的有()A．1人B．2人C．5人D．6人C[設這兩項成績均合格的人數為x，則立定跳遠合格但100米跑不合格的人數為30－x，則30－x＋35＋5＝45，得x＝25，即這兩項成績均合格的有25人，則抽出來復測的同學中兩項都合格的有9×25455．(多選)某旅行社分年齡段統(tǒng)計了某景區(qū)5月份的老、中、青旅客的人數比為5∶2∶3，現使用分層隨機抽樣的方法從這些旅客中隨機抽取n名，若青年旅客抽到60人，則下列說法正確的是()A．老年旅客抽到150人B．中年旅客抽到40人C．n＝200D．被抽到的老年旅客和中年旅客人數之和超過200BC[因為老、中、青旅客的人數比為5∶2∶3，青年旅客抽到60人，所以60n＝35+中年旅客抽到200×25+2二、填空題6．一支田徑隊有男、女運動員98人，其中男運動員有56人．按男、女比例用分層隨機抽樣的方法，從全體運動員中抽出一個容量為28的樣本，那么應抽取女運動員的人數是________．12[抽取女運動員的人數為98-56987．為了解某地區(qū)對中小學生“雙減”政策的落實情況，現采用分層隨機抽樣的方法從該地區(qū)24所小學，18所初中，12所校外培訓機構中抽取9所進行調查，則應抽取初中________所．3[抽取初中9×18248．某分層隨機抽樣中，有關數據如下：層數樣本量平均數第1層453第2層354此樣本的平均數為________．3.4375[w＝三、解答題9．為了了解全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況，按照分層隨機抽樣的方法，從全區(qū)320名正科級干部和1280名副科級干部中抽取40名科級干部預測全區(qū)科級干部“黨風廉政知識”的學習情況．現將這40名科級干部分為正科級干部組和副科級干部組，利用同一份試卷分別進行預測．經過預測后，兩組各自將預測成績統(tǒng)計分析如下表：分組人數平均成績正科級干部組a80副科級干部組b70(1)求a，b；(2)求這40名科級干部預測成績的平均分x.[解](1)樣本量與總體中的個體數的比為40320則抽取的正科級干部人數a＝320×140副科級干部人數b＝1280×140＝3(2)這40名科級干部預測成績的平均分x＝8010．(多選)某高中3000名學生均已接種某疫苗，現按照高一、高二、高三學生人數的比例用分層隨機抽樣方法，抽取一個容量為150的樣本，并調查他們接種疫苗的情況，所得數據如表：年級高一高二高三只接種第一、二劑疫苗人數504445接種第一、二、三劑疫苗人數0110則下列判斷正確的是()A．該校高一、高二、高三的學生人數比為10∶9∶11B．該校高三學生的人數比高一人數多50C．估計該校高三接種第三劑疫苗的人數為200D．估計該校學生中第三劑疫苗的接種率不足8%ACD[由表可知，該校高一、高二、高三的學生人數比為50∶45∶55，即10∶9∶11，A正確；高三學生人數為3000×55150＝1100人，高一學生人數為3000×50150＝1000人，故高三學生的人數比高一人數多1100－1000＝100人，故B錯誤；高三接種第三劑疫苗的人數約為3000×10150＝200人，C正確；該校學生中第三劑疫苗的接種率約為1111．(多選)在《九章算術》第三章“衰分”中有如下問題：“今有甲持錢五百六十，乙持錢三百五十，丙持錢一百八十，凡三人俱出關，關稅百錢．欲以錢多少衰出之，問各幾何？”其譯文為：今有甲持560錢，乙持350錢，丙持180錢，甲、乙、丙三人一起出關，關稅共100錢，要按照各人持錢多少的比例進行交稅，問三人各應付多少稅？則下列說法正確的是()A．甲應付5141109B．乙應付3224109C．丙應付1656109D．三者中甲付的錢最多，丙付的錢最少ACD[依題意由分層隨機抽樣可知，100560則甲應付10109乙應付10109丙應付1010912．某校共有2000名學生參加跑步和登山比賽，每人都參加且每人只參加其中一項比賽，各年級參加比賽的人數情況如下表：年級高一年級高二年級高三年級跑步人數abc登山人數xyz其中a∶b∶c＝2∶5∶3，全校參加登山的人數占總人數的14A．25B．35C．45D．55C[由題意知，全校參加跑步的人數占總人數的34，高三年級參加跑步的總人數為34×2000×31013．高一和高二兩個年級的同學參加了數學競賽，高一年級有450人，高二年級有350人，通過分層隨機抽樣的方法抽取了160個樣本，得到兩年級的競賽成績的平均分別為8