2023-2024學(xué)年人教A版必修第二冊 立體幾何初步微專題球的切接問題 學(xué)案

微專題2球的切、接問題與球有關(guān)的內(nèi)切、外接問題是立體幾何的一個重點，也是各類考試命題的熱點．題型以選擇題或填空題為主，解答這類問題的基本思路是以幾何體的有關(guān)幾何元素與球的半徑之間的關(guān)系為切入點，構(gòu)建球心組成勾股定理求解．類型1球與柱體的外接球【例1】設(shè)三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，所有棱長都為a，頂點在一個球面上，則該球的表面積為()A．πa2B．73πa2C．113πa2D．5π[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型2球與錐體的外接球【例2】(1)若三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，且三條側(cè)棱長分別為1，2，3，則其外接球的表面積是(2)球的一個內(nèi)接圓錐滿足：球心到該圓錐底面的距離是球半徑的一半，則該圓錐的體積和此球體積的比值為________．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型3球與臺體的外接球【例3】(2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱臺的高為1，上、下底面邊長分別為33和43，其頂點都在同一球面上，則該球的表面積為()A．100π B．128πC．144π D．192π[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________類型4球與幾何體的內(nèi)切問題【例4】(1)若與球外切的圓臺的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A．4π(r＋R)2 B．4πr2R2C．4πRr D．π(R＋r)2(2)(2020·全國Ⅲ卷)已知圓錐的底面半徑為1，母線長為3，則該圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為________．(3)已知三棱錐P-ABC，若PA，PB，PC兩兩垂直，且PA＝2，PB＝PC＝1，則三棱錐P-ABC的內(nèi)切球的表面積為________．[嘗試解答]__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________微專題2球的切、接問題例1B[如圖所示，設(shè)O1，O分別為上、下底面的中心，連接OO1，則球心O2為OO1的中點，連接AO并延長交BC于D點，連接AO2．∵AD＝32a，AO＝23AD＝33a，OO2＝a2，∴AO22＝13a2＋14a2＝712a2例2(1)6π(2)932或332[(1)根據(jù)題意可知，該三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，∴把這個三棱錐可以補成一個同一頂點處三條棱長分別為1，設(shè)其外接球的半徑為R，則有(2R)2＝12＋(2)2＋(3)2＝6．∴R2＝32故其外接球的表面積S＝4πR2＝6π．(2)①當(dāng)圓錐頂點與底面在球心兩側(cè)時，如圖所示，設(shè)球半徑為r，則球心到該圓錐底面的距離是r2，于是圓錐的底面半徑為r2-r22＝3r2，高為3r2．該圓錐的體積為13×π×3r2∴該圓錐的體積和此球體積的比值為38πr②同理，當(dāng)圓錐頂點與底面在球心同側(cè)時，該圓錐的體積和此球體積的比值為332例3A[由題意，得正三棱臺上、下底面的外接圓的半徑分別為23×32×33＝3，23×32×43＝4．設(shè)該棱臺上、下底面的外接圓的圓心分別為O1，O2，則O1O2＝1，其外接球的球心O在直線O1O2上．設(shè)球O的半徑為R，當(dāng)球心O在線段O1O2上時，R2＝32+OO12＝42＋(1－OO1)2，解得OO1＝4(舍去)；當(dāng)球心O不在線段O1O2上時，R2＝42+OO22＝3例4(1)C(2)23π(3)π4[(1)如圖，BE＝BO2＝AE＝AO1＝R，又OE⊥AB且BO⊥OA，∴△AEO∽△OEB，∴OE2＝AE·BE＝rR，∴球的表面積為4πOE2＝4πrR．(2)法一：如圖，在圓錐的軸截面ABC中，CD⊥AB，BD＝1，BC＝3，圓O內(nèi)切于△ABC，E為切點，連接OE，則OE⊥BC．在Rt△BCD中，CD＝BC2-BD2＝22．易知BE＝BD＝1，則CE＝2．設(shè)圓錐的內(nèi)切球半徑為R，則OC＝22－R，在Rt△COE中，OC2－OE2＝CE2，即(22－R)2－R2＝4，所以R＝22，圓錐內(nèi)半徑最大的球的體積為法二：如圖，記圓錐的軸截面為△ABC，其中AC＝BC＝3，AB＝2，CD⊥AB，在Rt△BCD中，CD＝BC2-BD2＝22，則S△ABC＝22．設(shè)△ABC的內(nèi)切圓O的半徑為R，則R＝2×S△ABC3