2022-2023學(xué)年河南省濮陽(yáng)市統(tǒng)招專(zhuān)升本數(shù)學(xué)自考真題(含答案帶解析)

2022-2023學(xué)年河南省濮陽(yáng)市統(tǒng)招專(zhuān)升本數(shù)

學(xué)自考真題（含答案帶解析）

學(xué)校:班級(jí):姓名:考號(hào):

一、單選題(30題)

1.

若lim八")~；2f±1=_±,WiJ/(T)=

x-*3r-9lo

A.T+1B.1+5

C./r+13D.，才+6

2.

[仙a12—3。31-3a32-3a33

a

如果2]?22023="，則行列式-2a2]-2a么—2^24=()

小2a.。，一“”—a\>—a-

A.-6dB.6d

C.D.一4cl

3.

lim?=

n*J

A.4C.lD.O

54

4.

下列函數(shù)在給定區(qū)間滿足羅爾定理?xiàng)l件的有

A..vB.y=.re-z.[—1

C.yD.y=ln.r2,1—1,1]

5.

1-1—2iosz_

.hm----------()

-2L\

,Tsin口-3)

A.1B.0c.yrD.&

6.

2xy

.極限lim()

-1~

ry+1-

D—A.

A.0B.4C

-T4

下列結(jié)i侖正確f的是()

1

A.limxsin—=1B.limxsin—=1

.r->0XXT8X

L1、n

C.lim1+―=1D.limxsin—=0

In)XT8x

7.

8.

當(dāng)才fo時(shí)，下列無(wú)窮小量中，與.r不等價(jià)的無(wú)窮小量是()

A.ln(x+1)B.arcsine

C.1-cosxD.JI+-1

9.

.下列定積分中等于零的是()

A.r2cos.rdjrB.Jwsirudr

J—1

C.JC+siar)d.rD.J*(.r+)d.r

10.

曲線.v=與±4的漸近線

.r-3

A.僅有水平漸近線B.既有水平又有垂直漸近線

C.僅有垂直漸近線D.既無(wú)水平也無(wú)垂直漸近線

11.

jjdxdy=(

)

A.7?B.3KC.3/D.4兀

12.

.下列廣義積分收斂的是)

A.r叵"B.r4dl'4-00

C.D.cos.zd.r

J2XJ16

13.

設(shè)V=/(x)是由方程號(hào)+必7=。確定的函數(shù)，則立=()

dx

A.-上B.-/C.一皿D.一片里

xy+1xxy

14.

H+①2+13=1，

已知非齊次線性方程組.+24—4不=2,則()

2x\+512-八=3,

必有唯'解

A.

口必定無(wú)解

C有無(wú)窮多組解

D,無(wú)法判定

15.

微分方程,-8/+16?=溫4、的特解形式可設(shè)為y*=()

A.(/ix+B)e4xB.Axe4xC.Ax3e4xD.(Ax3+Bx2)e4x

16.

2012

(—cos/2)d/=)

?￡siru,

A.—cos.r2B.cos(sinj)2cos.r

C..rcosj'2D.cos(sin.r2)

17.

函數(shù)〃工)在工。點(diǎn)連續(xù)是f("在工?？晌⒌?)

A.充分條件而不是必要條件B.必要條件而不是充分條件

C.充分必要條件D.比非充分條件，也不是必要條件

18.

已知函數(shù)./(J)在區(qū)間［0.打(“>0)上連續(xù)./(0)>0.且在(0,a)上恒有/(.r)>0.

設(shè)Si=(/(幻壯乙”

="(0),S］與立的關(guān)系是()

A.5(*B.S]=5,C.5|S?D.不確定

19.

下列極限存在的是()

A.lim中

B.lim--C.lim-D.lim./i―

-r-*-ooXD2’一110X

20.

p1+sinx.

-------7-dx=()

JT1+x

A.--B.-c.--D.-

2244

21.

若直線.y=5x+m是曲線.y=z?+37+2的一條切線，則常數(shù)m=()

A.OB.1C.5D.6

22.

若級(jí)數(shù)均發(fā)散，則必有()

!”■=1

noOil

A.X(“，，+〃”)發(fā)散B.Z(a?|+|以)發(fā)散

M=l1

OQ8

C.2(a：+廿)發(fā)散D.￡a〃bn發(fā)散

M=1i?=i

23.

2

.設(shè)之=JCZln(J-+y),則2=()

川

A2”>B2/)2cn2、/y

.r2+/.r2+y.rJ+yj-2+y

24.

.設(shè)/(.r)為連續(xù)函數(shù)?則|1./(.r)d.r=

()

A.[cos.rf(sin.r)d、rB.Jsin</(cos/)d.r

Jo

C.[cos、r/(cos/)dwD.Jsinj*/(sin.r)dj*

25.

「sir?(1-/)__

?黑1Q-l)2(.r+2)()

A-TB--J

c.oD-f

26.

.下列各組角中,可以作為向量的一組方向角的是

7T

A??B號(hào)■.

-f*T637

C.三?K-?--7TD.4,久

43443-

27.

若（）則f（

F'.v=/（X）.j~^d.r=（）

Jy/x

A.—2F（—y/x）+CB.-F（-77）+c

c.-F（A/7）+cD.-JF（-X/7）+C

28.

己知x_2y+siny=0,則-的值為（）

dxx-Q

jaO

A.-1B.0C?1D.一

2

29.

OU

如果級(jí)數(shù)2以收斂，則它的和是（）

M—1

A.+"2+B?lim

C.<mD.以上都不是

i[=i

30.

?點(diǎn)（0.1）是曲線y=<r3+hr2+c的拐點(diǎn)，則（）

A.〃=0,c=1B.b=-1,c=0

C.b=1.c=1D.b=-1,c=1

二、填空題（20題）

當(dāng).co時(shí)<表3M與十是等價(jià)無(wú)窮小.則常數(shù)k=

31.

32.

函數(shù)/（.r，3?,r）=M+y?+sr?在點(diǎn)（1,1.1）處方向?qū)е碌淖畲笾禐?/p>

33.

某車(chē)間有5臺(tái)相互獨(dú)立運(yùn)行的設(shè)備，開(kāi)工率均為9?則恰有2臺(tái)同時(shí)開(kāi)工的概率為

函數(shù)/(.r)=的圖像關(guān)于

34."十1對(duì)稱(chēng)

若=￡">0),則正項(xiàng)級(jí)數(shù)￡〃”的斂散性為

35.…?-i

々4微分方程y=/、?的通解為

Jo.____

37.

設(shè)隨機(jī)變量X?N(2,/)，若P(0<X<4)=0.3,則P(X<0)=,

(3]

2(123)=.

38.U

微分方程sec'Ttanj,d.r+sec2j?tanTd^=0的通解為

39.

設(shè)F(s)=,|則L=

40.('+4)―

41.

設(shè)L是拋物線Y=/上從點(diǎn)A(1.1)到8(1.1)的曲線弧.則"n，ds=

JL

塞級(jí)數(shù)￡生。<P<I)的收斂域?yàn)?/p>

42.,產(chǎn)

43.

ri

不定積分一/,心

2

J1一InJT

44.

過(guò)點(diǎn)（2,1,3）,且與直線二六=Xy=會(huì)垂直的平面方程是

45.

已知曲線y=/+/-2上點(diǎn)M處的切線平行于直線y=51一1,則點(diǎn)M的

坐標(biāo)^

46.

若1-?0時(shí).（1—ar2）+—1與.rsin.r是等價(jià)無(wú)窮小，則a=.

設(shè)T即g,那么啥+g窘

J

設(shè)函數(shù)/(t)=cos/：'dr.則J(J.)=

49.

r3e",x<0,

若函數(shù)=J

在才=0處連續(xù)，則a=__________

|2X+4,才》0

50.

設(shè)曲線巾1,則對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積粒(Lsin=

三、計(jì)算題(15題)

51.

過(guò)點(diǎn)M(3,0)作曲線丁=ln(i—3)的切線，該切線與此曲線及I軸用成一平面圖形D.

試求平面圖形。繞/軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

52.

已知函數(shù)/(x)的一個(gè)原函數(shù)為cosx+xsinx,求積分J[x+/(x)]/'(刈心.

次di

計(jì)算不定積分7rTT

53.

X]-2X2+x3+x4=1

討論當(dāng)4為何值時(shí)，線性方程組?X}-X2-X3+X4=A

54[X,-4X2+5X3+X4=-2

(1)無(wú)解、有無(wú)窮多解；(2)當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)用基礎(chǔ)解系表示方程組的通解.

55.

計(jì)算I=『yda,其中D是由y—E+1,3=0,y=—j?所闈成的閉區(qū)域.

設(shè)之=ln(/7+J7)?證明/扛+y等=

dx"dyL

若lim”％。=A>0,證明X?！笔諗?

57.

已知;c=/(-/x2+y2,e"),f可微,求登,1rl.

58.dx辦

jsin.rdj'

求極限lim」~；-----

—1)

8

60求得級(jí)數(shù)才（―的和函數(shù).

玉+x2+ax3=1,

已知線性方程組，X)+tzx2+x3=1,

OX]+%2+與=-2.

61.

（1）問(wèn)a為何值時(shí)，方程組有唯一解、無(wú)解、有無(wú)窮多解.

（2）當(dāng)方程組有無(wú)窮多解時(shí)，求出用基礎(chǔ)解系表示的通解.

已知，=(笄).，(#=arctan/,求索L=0

62.

求極限㈣COLZ?(熹7).

63.

求函數(shù)之(1?y)=J?—/+6攵-12》+10的極值.

64.

65.

求函數(shù)/(ay.z)=sin(.ry2Iz)在點(diǎn)P(1.1.-1)處沿方向1=(1J.l)的方向?qū)?shù).

四、證明題（10題）

66.

證明方程x="sini+b(a>OJ;>0)至少有一個(gè)不超過(guò)(a+。)的正根.

證明：豈xe(0,1)時(shí)，(1+x)ln2(l+x)</.

67.

68.

證明：當(dāng)才〉。時(shí)，一,久〉ln(1+JC).

yirr

69.

設(shè)a》〃>0,利用拉格朗日中值定理證明：巴二&In嚀2

70.

設(shè)a>/)>0，〃>1.證明：汕i(a一力<??-/,?〈皿1(。一力.

設(shè)eVaV〃Ve?，證明In2/?—In2a>3(b—a).

71.e-

72.

軀如①上酸,并且肝DM］上的任意［姍皮的酬酊⑺蛹

oWf㈤<1,證明:在［0,1］上至少有一點(diǎn)&使得/(f)=&

證明不等式：當(dāng)①>；時(shí).e?i>2-

73./

證明等式aresin彳+arccos.r=

74.2

75.

設(shè)函數(shù)/Cr)在閉區(qū)間上可導(dǎo)，且f(O)?/(DVO,證明在開(kāi)區(qū)間(0,1)內(nèi)至少存在

一點(diǎn)￡.使得2/(￡)+y'(0=0.

五、應(yīng)用題(10題)

76.

曲線)=〃120),直線z+y=2以及y軸圍成一平面圖形D.試求平面圖形D繞

3,軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

77.

求曲線y=Inw在區(qū)間(2,6)內(nèi)的一點(diǎn)，使該點(diǎn)的切線與直線N=2.1=6以及

y=ln.r所圍成的平面圖形面積最小.

78.

某企業(yè)生產(chǎn)某種產(chǎn)品，其固定成本為3萬(wàn)元，每多生產(chǎn)一百件產(chǎn)品，成本增加2萬(wàn)

元；總收入R(單位：萬(wàn)元)是產(chǎn)量g(單位：百件)的函數(shù)，R(q)=5g-；/，

問(wèn)：當(dāng)產(chǎn)量為何值時(shí)，利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？

平面圖形。由曲線3=石，直線)，=工2及工軸所圍成.

(1)求此平面圖形的面積；

79(2)求此平面圖形繞了軸旋轉(zhuǎn)一周而成的旋轉(zhuǎn)體體積.

80.

某公司主營(yíng)業(yè)務(wù)是生產(chǎn)自行車(chē),而且產(chǎn)銷(xiāo)平衡，公司的成本函數(shù)C(.r)=40000+2007-

0.002/.收入函數(shù)R(l)=350*—0.收入2,則生產(chǎn)多少輛自行車(chē)時(shí)，公司的利潤(rùn)最大?

81.

某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)月租金定為2000元時(shí).公寓會(huì)全部租出去.當(dāng)月

租金每增加100元時(shí),就會(huì)多一套公寓租不出去,而租出去的公寓每月需花費(fèi)20（）元的維修

費(fèi).試問(wèn)租金定為多少可獲得最大收入？最大收入是多少？

82.

求曲線y=In.r在區(qū)間（2,6）內(nèi)的一點(diǎn),使該點(diǎn)的切線與直線x=2,x-6以及

,y=ln.r所圍成的平面圖形面積最小.

83.

設(shè)平面圖形D由曲線），='和直線y=m=2及/軸圍成.求：

（1）平面圖形D的面積；

（2）這圖形繞I軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.

84.

要求設(shè)計(jì)一個(gè)帳篷,它下部的形狀是高為1m的圓柱體,上部的形狀是母線長(zhǎng)為3m

的圓錐（如圖所示）.試問(wèn)當(dāng)帳篷的頂點(diǎn)。到底面中心（％的距離為多少時(shí)，帳篷的體積最大?

85.

某商品的需求函數(shù)為

Q=25—P?,

求：（1）P=2時(shí)的需求彈性；

（2）在尸=2時(shí),若價(jià)格P上漲1%,總收益的變化情況;

（3）P為何值時(shí),總收益最大.

六、綜合題（2題）

86.

已知曲線y=/（x）通過(guò)點(diǎn)（一1.5）,旦/Q）滿足方程3z/z（x）-8/（x）=12",

試求：

（1）函數(shù)〃工）的表達(dá)式；

（2）曲線y=/（x）的凹凸區(qū)間與拐點(diǎn).

87.

求該曲線及其在點(diǎn)（1.0）和點(diǎn)（一1,0）處的法線所圍成的平面圖形的面積;

參考答案

1.C

【精析】由題可知—2，TTT=0.故八3）=4,因此排除B、D選項(xiàng).再將A、

JT—3

C代入原極限等式.可知C正確.

2.B

［答案］13

-3a31—3a壯—34:；“；la32〃3；S

【精析】-2生?-2a立—2a；(-1)1?2?3〃.((J22

—a”—a-413a”412,3

a12a13

=(-1)?2?3?(—1)C=6/

a?！癕2a：?3

3.D

【精析】lim—=lim(—)"=0.

〃—>8Q"f80

4.A

【精析】B選項(xiàng)中不等于），（D.C選項(xiàng)中.》（一1）不存在,y（l）選

項(xiàng)中函數(shù)在1=0處不連續(xù).A選項(xiàng)中.函數(shù)在［―1.1］連續(xù).在（一1.1）可導(dǎo).y（—1）=

y（l）.符合羅爾定理?xiàng)l件.故應(yīng)選A.

5.D

2X包

lim1一c=lim―立出一=一二=乃.故應(yīng)選D.

T'W）Tc叫「支

6.B

［精析］lim——2——二lim--------包必工王工土12--------

二：］二；（777TT-1）（ZI7TT+1）

_Hm（/a+1+1）

LOay

y-*0

=41

故選B.

7.B

.1

11sm-

【評(píng)注】計(jì)算得正確的結(jié)果：A.limxsin—=0；B.limxsin—=lim--r^=l：

XT。XX-KOXX-*X1

X

8.C

l_x2

【精析】lim-----9^=lim上一=lim^-x=0#1,故應(yīng)選C.

jr-*OJCjr-?OJCx-*0乙

9.C

［答案］C

【精析】根據(jù)奇偶函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的積分性質(zhì)?可以判定C是正確的.故應(yīng)選C.

10.B

【精析】lim2］+［=0.limT+|=co,

jrX-3x.i/3-3

所以）=0是水平漸近線i=±6■是垂直漸近線，故應(yīng)選B.

【評(píng)注】Jjdx4y=SD=兀?（2兀了一兀?兀2=37.

11.C

12.C

00

【精析】A中「十m—InTd.r=「+3Inidlmr=；1(ln.r)2+=+s,發(fā)散;

J2WJ242

B中L-^,dT=2VxI=+8,發(fā)散；

詈1,_______2

C中ch=2\fx—1=2,收斂；

J1Jx—11

D中cosidw=sin.r■發(fā)散.故本題選C.

J11

A

A【評(píng)注】本題考查的是隱函數(shù)的求導(dǎo).

n13.A

14.B

111：K/I111、111：1>

【精析】(A\b)=-12—4：2->03-3303—3：3，因此

25-1i303-31000；-2

r(A)=2,r(A|b)=3?

r(A)Wr(A\b)=A￥=b無(wú)解.

15.D

16.B

［答案］B

【精析】原式=—［—cos(siiw)2J?(sin.r)'=cos(sin工尸cos.r?應(yīng)選B.

17.B

［答案］B

【解析】八外在4點(diǎn)可微，必可導(dǎo).可導(dǎo)，必連續(xù)，反之不定成立,例y=kl在/=

0連續(xù),但不可導(dǎo).

18.C

由/'(1)>0在(0“?)上恒成立知/(r)在(0.°)嚴(yán)格單調(diào)增加.由題意知.存

在$€(0,。)?使得5i=［=。?/(《)?由于0V&V。?貝I］八。)V/(E)V/(〃)?

J0

又/(0)>0.所以a?/(?)>a/(0)=*?即51>立?本題選C.

19.A

±+±

A項(xiàng)Jim"t'—lim丁=0,極限存在;

B項(xiàng)JimwJ.?=g,極限不存在;

LOZ-1

C項(xiàng)，叫§=8,極限不存在;

極限不存在.

D項(xiàng),lim=limA/jr+-=8

4f8VJC

20.C

【評(píng)注】本題考查積分上限函數(shù)的求導(dǎo)：￡￡^/(/)df=/sa)m'(x)-/?(x)w(x),

粒=0,￡j；/(x)dr=-Aj7(x)dx=-/(x),^￡/(x>=/(/),

—j/(x)dx=f(/)?￡°BX/(/)d/=/(cosx)-(-sinx)?所以只能選C.

21.B

［答案］B

【精析】由題設(shè)可知，切線斜率"y'=2x+3=5.解得1=1.代入曲線方程得y=

6,即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1.6),代人切線方程.y=5工+切，解得m=1.故選B.

22.B

［答案］D

【精析】匹=/?————.2v=故應(yīng)選D.

ay'-v

23.D

24.A

［答案］A

【精析】cos.rf(sin.r)d,z-=/(si】一)d(sinw)/(/)ck.

JoJoJo'

25.A

【精析】lim77梨!三：)右=lim---3m')不=Hm-\".故應(yīng)選A.

?r-1(_r-1)-(H+2)x.1(J--l)z(x+2)/r.r+23

26.D

由于方向角a，3,7必須滿足cos2a+cos2/?+cos2y=1?可以驗(yàn)證只有D

項(xiàng)正確.

27.A

J=-2j/（—AZT）=-2F（—6）+C1，故本題選A.

28.C

C

【評(píng)注】?jī)蛇呁瑫r(shí)對(duì)x求導(dǎo)，得1-2/+COS尸y=0,將x=0,y=0代入得：

=1.

29.C

［答案］C

.B8

【精析】前〃項(xiàng)和s.=?,.若級(jí)數(shù)收斂.則極限limS.存在.即級(jí)數(shù)的和

21產(chǎn)1LXM=|

n

limVu,存在.故選C.

i*=t

30.A

【精析】y—31’+2bx.v，z=61+2b.當(dāng)jr=0時(shí)、$'=2h=0.則〃=0.又曲線過(guò)

點(diǎn)（0.1）.即c=I.本題選A.

31.16

（21+3”??k<jr]1

【精析】lim=唄（27+37=手1.故￡=16.

1（2+1）,

32.

2再

工）—21=2,八（/，），，）=2y=2.

八（1,3?2）=2z=2,故在點(diǎn)（1.1,1）處的梯度gradf=2i+

<I.I.I）（1.1.1）

2j+2A.故方向?qū)?shù)的最大值為|grad/|=|2i+2j+2k|=+2?+2?=2用.

33.

L答案」C(i1)2(,i3)

12,93

【精析】由題意知.恰有2臺(tái)同時(shí)開(kāi)工的概率為(M).

34.

/、=0()軸)

d

【精析】/(-.r)=-Jr°—=—.r,；=J-―,=/(①).則函數(shù)/'(.r)為偶函

a+11+a?-1

數(shù).故函數(shù)關(guān)于.r=0或.V軸對(duì)稱(chēng).

35.

發(fā)散

OQ8

因?yàn)閘im〃u“=lim牛=為(￡>0),故?〃“與2工具有相同的斂散性?所

fl?OO?*￡?1tE〃

n

oo

以X"M發(fā)散.

1

36.

2e'=e21+C(C為任意常數(shù))

［答案］2e>=產(chǎn)+C(C為任意常數(shù))

【精析】由，=e"'得edy=e2a.從而e>=卷/十即2-=e=+C.其中C為

16j

任意常數(shù).

37.0

【精析】X?N(2,/).則立二？?N(0,l),

a

P(0<X<4)=P/」<Z)=1-20/一2)=0.3,故0(—2)=0.35,

38.

-369〕3r369i

246【精析】2(123)=246

1231123

39.

tanj(any=('(('為任意常數(shù))

I答案1(anmany=C(C為任意常數(shù))

2-2

t精析】由sec.rtanyda-Fseciytan.rdiy=0.

分離變量得=-sec)dv?即---dtarur=――--dtanv.

tanj-tan_ytan、rtanj*

兩邊分別積分得tanjtany=C.C為任意常數(shù).

40.

［答案1y(l-c-1f)

【精析】L-'［F(5)］=1-'

5K(S十n4/

7(「,力>［巖］)

y(l-0-<,)=J(1-e-H).

曲線L的方程為3,=/(-1&z<1),則曲線積分

z2

Qds—fJC?x\/1+(2Z)2cLz=1r3V1-4-4.rdj-=0.

JLJ-1J-1

41.0

42.

E)

E)

【評(píng)注】因?yàn)镽=li=1,又當(dāng)x=l時(shí)，級(jí)數(shù)為

(?+iy

（）發(fā)散，當(dāng)時(shí)，級(jí)數(shù)為

*20<041x=-l（0</;<1）,這是一個(gè)交錯(cuò)級(jí)數(shù),

其通項(xiàng)以單調(diào)減少且lim〃“=O,級(jí)數(shù)收斂，綜上，集級(jí)數(shù)的收斂域?yàn)閇-],?

fl-KO

43.

arcsin(lnjr)+C

【精析】----dx——dlnjr=arcsin(lnj-)+C.

22

xvl-InJC」y/\—lnj;

44.

3JT+2y-z-5=0

【精析】考察平面的點(diǎn)法式方程.

平面與直線三告垂直，可知平面的法向量為｛3,2，—1），于是平面的點(diǎn)

oI-1

法式方程為：3（①一2）+2。-1）一（2-3）=0,即3z+2y-z—5=0.

45.

（2,4）

46.

a=-4

?—?((W1)

【精析】lim-----)'----------=lim—------；------=—^=1,所以“=-4.

，-0asinTr-ox4

47.

0

dTdT\\

【評(píng)注】t+g.7t”?=o?

0詢(xún)+ga震.訶

48.

3/COSJ*'

【精析】fy.r)=(Jcosrdtj'=cos(r3V?3JJ=3,r2COSJ".

49.

[答案16

【精析】因?yàn)閘imf(.r)=lim(2i+3)=葛，

LO+LO+\//

lim/(.r)=lim3e4r=3./(0)=葛，

L(TL0乙

6由連續(xù)的定義知￡?=3?所以a=6.

50.

TC

7T

x=—cosat

t精析】曲線L：.r3+y=亨的參數(shù)方程為a6[O2R,所以

q

y=knSi?na，

'2

)(n丁sin\/x2iy)d5=J(占cosa+1)■ysina)2+(ycosa)2da

2

=(--sinaqya)=7T.

51.

【精析】設(shè)切線與曲線的切點(diǎn)為M。(的In(就―3)),

由于，=—，所以切線方程為

1=與1*0o

y—ln(.r0—3)=-^—r(.r—1,()),

Xo一3

因?yàn)榍芯€經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(3,0),所以將M(3,0)代人上式

得&=e+3,

從而切線方程為y=—3),

e

于是,所求旋轉(zhuǎn)體的體積為

1,3+e

V=—KXI2Xe-K(ln(jr-3))2(JT

3J4

令'=1—3TTPrec-

.....--7r/(Inf)—0-2In/d/

3iJi

=竽一底+2n(八皿]—ldf)=2x(1一a).?

52.

解：/(x)=(cosx+xsmxy=xcosx,

J[x+〃x)lra)dx=J何㈤+Jf(x)df(x)=取刀)-J〃x)dx+1/2(x)

=x2cosx+—x2cos2x-cosx-xsinx+C.

2

53.

原式=)=-y|n(a3+1)+C.

54.

解：⑴對(duì)增廣矩陣（神）進(jìn)行初等行變換

‘1-21-2111、

I—1—11-204-1

-450004-3

當(dāng)；1W3時(shí)，「（1）=2.r（珅）=3,方程組無(wú)解;

當(dāng)2=3時(shí)，，（/）=r（"）=2<〃，方程組有無(wú)窮多解.

’1-2111、’10-3

⑵體）_>01-202->01-2

1°。

1°0oM0a

XI-3/+乙=5演=5+3X3-X4

x2-2x3=2x2=2+2X3

與與是自由未知量，取得特解;7=（5200）r,

導(dǎo)出組為仁3X；”叩言”,與覆是自由未知量,取Q，（：）

得基礎(chǔ)解系4=（3210）r,%=（T00l）r.

rrr

方程組的全部解為：X=（5200）+c,（32I0）+c2（-l00l）.

（其中q與c2為任意常數(shù)）

55.

【精析】畫(huà)出積分區(qū)域,如圖所示,則

I（時(shí)了工他?=（口日產(chǎn)y

56.

11

r匹Iy==____R_*_____萬(wàn)=1

以,2行卜。2萬(wàn)?62

57.

【證明】因lim/a.=A>0,由保號(hào)性TN,當(dāng)”>N時(shí)%>0,而lim/a.=lim牛

<-?00?-?9e—gI

￡

g,6

=A,其中Z與收斂,從而￡4收斂.

11n『t

58.

【精析】設(shè)〃=-Zrr+jr.v=e9,則z=/(u.v),

Xrt1ir

——Kfu十一口Jv?

dzdzyi

—=—?,_、，H——?e、?/——

dy^/x2+y2dv\y

59.

asinj'dr

Msina’?21

原式=limo=lim

LOjr-06/3

60.

【精析】令S(J-)=Z〃("+DJ-"=J-n(w4-1)j-"1=叼(工)，而

M=1n=1

co88

夕(4)=/〃+>)/1=Z(b)"=(Z才川廣

ti—1a=1n=I

oo

22

=??4)〃=(占)”=工e（-1.1）,

(1-J-)

于是S（x）=用（工）=,工￡

(1-X)

61.

解:

awl,-2時(shí)有唯一解，a=l時(shí)無(wú)解，a=-2時(shí)有無(wú)