布爾代數(shù)基礎

關于布爾代數(shù)基礎第2章布爾代數(shù)基礎

概述

研究數(shù)字系統(tǒng)中邏輯電路設計和分析的數(shù)學工具是布爾代數(shù)。

布爾代數(shù)是由邏輯變量集K(A、B、C、…)，常量“0”、“1”以及“與”、“或”、“非”3種基本邏輯運算構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)。

邏輯變量集K是布爾代數(shù)中變量的集合，它可以用任何字母表示，每個變量的取值只能為常量“0”或“1”。

在數(shù)字系統(tǒng)中使用布爾變量表示開關電路的輸入或輸出。這些變量的每一個取值是“0”或“1”兩個不相同的值。“0”可以代表低電壓，“1”可以代表高電壓。F(False)和T(True)也可以用于表示“0”或“1”。

布爾代數(shù)把矛盾的一方假設為“1”，另一方假設為“0”，使之數(shù)學化。

這樣可以使用布爾代數(shù)中的公理和定理對物理現(xiàn)象作數(shù)學演算，達到邏輯推理的目的。第2頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

概述

幸運的是，在數(shù)字系統(tǒng)中采用的是“0”和“1”兩個不同的值。因此布爾代數(shù)可以用來作為分析和設計邏輯電路的數(shù)學工具。

從應用的角度，布爾代數(shù)應用于邏輯電路領域稱其為邏輯代數(shù)。

本章介紹邏輯代數(shù)的基本理論和運算方法，其中包括邏輯代數(shù)基本概念，邏輯函數(shù)的定義，邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則，小項與大項的概念以及使用小項和大項表達邏輯函數(shù)的標準形式。

在此基礎上，介紹應用邏輯代數(shù)法和卡諾圖法化簡邏輯函數(shù)的原理與方法。第3頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎2.1.1邏輯代數(shù)的基本概念

邏輯代數(shù)包含邏輯變量集K(A、B、C、…)，每個變量的取值只可能為常量“0”或“1”。這里的“0”和“1”沒有量的概念，是用來表達矛盾雙方，是一種形式上的符號。

邏輯代數(shù)中邏輯變量之間是邏輯關系。邏輯關系用邏輯運算符表示。使用邏輯運算符連接邏輯變量及常量“0”或“1”構(gòu)成邏輯代數(shù)表達式。

采用邏輯代數(shù)表示邏輯電路的輸入與輸出之間的邏輯關系，稱邏輯函數(shù)。這種電路稱數(shù)字邏輯電路。

邏輯函數(shù)除了使用邏輯代數(shù)表示以外，還可以使用一種稱為“真值表”的表格表示。第4頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎

真值表是由輸入變量所有可能取值的組合與這些組合值對應的輸出變量的值構(gòu)成的表格。真值表分為左、右兩個部分。

左邊部分每一列是輸入變量的名字。右邊部分的每一列是輸出變量的名字。左邊部分是輸入變量所有的取值的組合。

如果一個邏輯函數(shù)有n個變量，則輸入變量所有的取值有2n個組合。右邊部分是把左邊每一行輸入變量的取值帶到邏輯函數(shù)中去運算，把運算的結(jié)果“0”或者“1”填進來。這樣就完成了把邏輯函數(shù)用真值表表示。

邏輯函數(shù)有的比較簡單，有的相當復雜。但是它們都是由“與”、“或”、“非”三種最基本的邏輯運算構(gòu)成。下面分別介紹這三種邏輯運算符、邏輯表達式、邏輯函數(shù)和邏輯函數(shù)符號。第5頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎1.邏輯函數(shù)符號

如前所述，邏輯函數(shù)是由“與”、“或”、“非”三種最基本的邏輯運算構(gòu)成。為了象表示電阻、電容和三極管一樣，用圖形化的方式表示不同的邏輯函數(shù)，美國國家標準學會(theAmericanNationalStandardsInstitute,ANSI)和美國電氣與電子工程師協(xié)會(theInstituteofElectricalandElectronicEngineers,IEEE)在1984年制定了一個邏輯函數(shù)符號標準。如圖2-1所示。第6頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎圖2-2是IEEE標準的“與”、“或”、“非”、“與非”、“或非”、“異或”、“異或非(同或)”邏輯函數(shù)符號。第7頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎

2．“與”運算

“與”運算的運算符是“·”、“*”、“∧”或是空。在本書中使用“”表示“與”運算符。“與”運算的定義如表2-1所示。F=AB是“與”運算邏輯函數(shù)?！癆B”稱為F的“與”運算表達式。

3．“或”運算

“或”運算的運算符是“+”、“∨”。本書中使用“+”表示“或”運算符。“或”運算的定義如表2-2所示。F=A+B是“或”運算邏輯函數(shù)?！癆+B”稱為F的“或”運算表達式。

4．“非”運算

“非”運算的運算符是“”或“”，本書中使用“”表示“非”運算符?！胺恰边\算的定義如表2-3所示。F=A是“非”運算邏輯函數(shù)。A是“非”運算的邏輯表達式。在邏輯函數(shù)中，A稱為反變量，A稱為原變量。第8頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎

5．“異或”運算

“異或”運算的運算符是“⊕”。“異或”運算的定義如表2-4所示。F=A⊕B是“異或”運算邏輯函數(shù)。

“異或”運算邏輯函數(shù)還可以用F=AB+AB表示。

6．“同或”運算

“同或”運算的運算符是“⊙”。“同或”運算的定義如表2-5所示。F=A⊙B是“同或”運算邏輯函數(shù)?！巴颉边\算邏輯函數(shù)還可以用F=AB+AB表示。 “異或”運算表達式與“同或”運算表達式有如下關系：

A⊕B＝A⊙B，A⊙B＝A⊕B第9頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎2.1.2邏輯函數(shù)第10頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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根據(jù)上面邏輯函數(shù)的定義，對于某一個具體的邏輯電路，輸出變量F的值取決于由輸入變量A1,A2,…，An構(gòu)成的2n個組合的取值。

另外，輸出邏輯變量F的值還取決于邏輯電路的結(jié)構(gòu)。

也就是，輸出邏輯變量F的值取決于輸入變量A1A2，…An的取值、邏輯電路的結(jié)構(gòu)以及邏輯電路使用的門電路類型。

邏輯函數(shù)的定義說明一個邏輯電路能夠用一個邏輯函數(shù)F=f(A1,A2,…，An)表示，即一個邏輯電路對應一個邏輯函數(shù)。

討論邏輯函數(shù)也就是討論這個邏輯函數(shù)對應的邏輯電路。

邏輯函數(shù)的定義實現(xiàn)了將一個具體的邏輯電路采用抽象的邏輯函數(shù)表示，這樣可以使用數(shù)學工具來研究邏輯電路。第11頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎

在數(shù)字邏輯中使用邏輯函數(shù)研究邏輯電路從兩個方面進行：

一方面是在對某一個具體的邏輯電路進行分析，使用邏輯函數(shù)寫出它的表達式，分析邏輯函數(shù)即分析相應的邏輯電路；

另一方面是使用邏輯函數(shù)進行邏輯電路的設計。

邏輯電路的設計要求一般是用文字表述的。根據(jù)文字表述，使用設計方法進行邏輯電路設計，得到的是按要求設計的邏輯電路的邏輯函數(shù)。最后根據(jù)邏輯函數(shù)畫出按要求設計的邏輯電路。

因此，邏輯函數(shù)是邏輯電路分析和設計的重要數(shù)學工具。第12頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎

2.1.3邏輯代數(shù)的公理、定理和規(guī)則

邏輯代數(shù)系統(tǒng)有它的公理系統(tǒng)，公理系統(tǒng)不需要證明。邏輯代數(shù)系統(tǒng)的公理為邏輯代數(shù)的定理提供證明的依據(jù)。公理和定理也為邏輯代數(shù)證明提供演繹的數(shù)學基礎。1、公理系統(tǒng)公理1

0-1律

對于任意的邏輯變量A，有

A+0=A A?1=A A+1=1 A?0=0公理2 互補律

對于任意的邏輯變量A，存在唯一的A,使得

A+A=1 AA=0公理3 交換律

對于任意的邏輯變量A和B，有

A+B=B+A AB=BA第13頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎公理4 結(jié)合律

對于任意的邏輯變量A、B和C，有

(A+B)+C=A+(B+C)(AB)C=A(BC)公理5 分配律

對于任意的邏輯變量A、B和C，有

A+(BC)=(A+B)(A+C)

A(B+C)=AB+AC2、基本定理 根據(jù)邏輯代數(shù)的公理，推導出邏輯代數(shù)的基本定理。 定理1 0+0=0 1+0=1

0+1=1 1+1=1

0·0=0 1·0=0

0·1=0 1·1=1第14頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第15頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第17頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第18頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎3、邏輯代數(shù)的重要規(guī)則：

邏輯代數(shù)有三條重要規(guī)則，它們是代入規(guī)則、反演規(guī)則和對偶規(guī)則。這三條規(guī)則常常使用在邏輯表達式的運算和變換中。1)邏輯函數(shù)的相等

如果兩個邏輯函數(shù)：

F1=f1(A1,A2,…，An),

F2=f2(A1,A2,…,An)

對于邏輯變量A1，A2，……An的任何一組取值，分別代入到邏輯函數(shù)F1、F2中去。邏輯函數(shù)F1、F2如果都同時為“0”或者同時為“1”，則稱邏輯函數(shù)F1與F2相等。2）代入規(guī)則

任何一個含有邏輯變量A的邏輯等式，如果將所有出現(xiàn)邏輯變量A的地方都用一個邏輯函數(shù)F代入，則該邏輯等式仍然成立，這個規(guī)則稱為代入規(guī)則。第19頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第20頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第21頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第22頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第23頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第24頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎2.1.5邏輯函數(shù)的標準形式

在邏輯函數(shù)的“與項”或者“或項”中，有些邏輯變量的個數(shù)與邏輯函數(shù)的變量個數(shù)相同，有些缺少其中的某些變量。另外在“與項”、“或項”中有些邏輯變量全部以原變量出現(xiàn)，有些全部以反變量出現(xiàn)，還有一些以原變量和反變量混合出現(xiàn)。

邏輯函數(shù)的標準形式是在邏輯函數(shù)表達式中全部的“與項”用“小項”組成。邏輯函數(shù)的另一種標準形式是在邏輯函數(shù)中全部的“或項”用“大項”組成。在邏輯電路的分析和設計中，邏輯函數(shù)時常用小項或者大項表示。

另外，邏輯函數(shù)有時也需要用小項或者大項表示。下面分別介紹小項與大項的概念，以及用小項或者大項表示的邏輯函數(shù)，即邏輯函數(shù)的標準形式。第25頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎

1.小項的定義和性質(zhì)

一個有n個變量的邏輯函數(shù)F，它的一個“與項”包含有n個變量，每個變量以原變量或者反變量的形式出現(xiàn)在這個“與項”中，且僅出現(xiàn)一次，則這個“與項”稱為該邏輯函數(shù)F的一個小項。

一個邏輯函數(shù)完全用小項表示，則稱該邏輯函數(shù)是小項標準形式。第26頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第27頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第28頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第29頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第30頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第31頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第32頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎2.1.6邏輯函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換

邏輯函數(shù)表達式的轉(zhuǎn)換是把邏輯函數(shù)表達式的基本形式轉(zhuǎn)換成標準形式。轉(zhuǎn)換方法是采用邏輯代數(shù)方法。在轉(zhuǎn)換中使用邏輯代數(shù)中的公理、定理和規(guī)則。1.“積之和”表達式轉(zhuǎn)換成小項表達式

“積之和”表達式轉(zhuǎn)換成用小項表示的標準形式，首先要將被轉(zhuǎn)換的邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成“積之和”表達式。然后，在“積之和”表達式中使用X=X(Y+Y)，用以擴充被轉(zhuǎn)換表達式中每一個“與項”中缺少的邏輯變量，使得每一個“與項”是小項。式中的X是某個“與項”中已有的邏輯變量，Y是擴充的邏輯變量。在擴充中如果有相同的小項產(chǎn)生出來，進行合并。被轉(zhuǎn)換的表達式就是用小項表示的標準形式。第33頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第34頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎

如果被轉(zhuǎn)換的邏輯函數(shù)是“和之積”表達式，則需要首先把“和之積”表達式轉(zhuǎn)換成“積之和”表達式，然后再使用上述方法進行轉(zhuǎn)換。2.“和之積”表達式轉(zhuǎn)換成大項表達式

“和之積”表達式轉(zhuǎn)換成大項的標準形式，首先要將被轉(zhuǎn)換的邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成“和之積”表達式，然后在“和之積”表達式中使用X=(X+Y)(X+Y)，用以擴充被轉(zhuǎn)換表達式中的每一個“和之積”項中缺少的邏輯變量，使得每一個“和之積”是大項。式中X是某個“和之積”項中已有的變量，Y是擴充的邏輯變量。在擴充中如果有相同大項產(chǎn)生進行合并。被轉(zhuǎn)換的表達式就是用大項表示的標準形式。第35頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第36頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

2.2邏輯函數(shù)的化簡

如前所述，一個邏輯函數(shù)的表達式有不同的形式。由于一個邏輯函數(shù)對應一個邏輯電路，邏輯函數(shù)表達式的形式不同，它們所代表的邏輯電路的結(jié)構(gòu)就不相同，但是在功能上又是相同的。邏輯函數(shù)表達式的形式越簡單，它所對應的邏輯電路就越簡單。這是邏輯電路設計中要考慮的問題。為了減少邏輯電路的復雜性，降低成本，對邏輯函數(shù)表達式存在化簡的問題。邏輯函數(shù)的化簡是去掉表達式中多余的“與項”或者是“或項”，求得最簡的邏輯函數(shù)。所謂最簡的邏輯函數(shù)，一是邏輯函數(shù)表達式中的“與項”、“或項”個數(shù)最少，二是“與項”、“或項”中的邏輯變量的個數(shù)最少。

對邏輯函數(shù)化簡目前使用最多的方法是代數(shù)化簡法和卡諾圖化簡法，下面分別進行介紹。第37頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎

2.2.1代數(shù)化簡法

使用代數(shù)化簡邏輯函數(shù)，需要熟記和靈活運用邏輯代數(shù)中的公理、定理和規(guī)則。采用代數(shù)化簡邏輯函數(shù)的過程無一定的規(guī)律可循，化簡過程中每一步的進展取決于對公理、定理和規(guī)則熟練使用的程度。1.“積之和”表達式的化簡；下面歸納了幾種化簡“積之和”表達式的方法，可以在邏輯函數(shù)化簡中參考。第38頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第39頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第40頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第41頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第42頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第43頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第44頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第45頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第46頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第47頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第48頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第49頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第50頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第51頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第52頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第53頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第54頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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3.卡諾圖化簡原理

使用卡諾圖化簡邏輯函數(shù)，關鍵是如何把卡諾圖中的小項，即填“1”的方格進行化簡，直到把邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成最簡的“與–或”表達式。因此，在卡諾圖上對邏輯函數(shù)進行化簡是找出一種方法對卡諾圖中的小項進行化簡。對卡諾圖中小項進行化簡使用到前面介紹的小方格相鄰的概念。

下面以三變量（A，B，C）為例說明卡諾圖化簡的原理。第55頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第56頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第57頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第58頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第59頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第60頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第61頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第62頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎5.卡諾圖化簡邏輯函數(shù)舉例

例2-7用卡諾圖將邏輯函數(shù)F（A,B,C,D）=∑m(0,3,5,6,7,9,11,13,15)化簡為最簡“積之和”表達式。

解：第1步，畫出該邏輯函數(shù)的卡諾圖，把邏輯函數(shù)表示在卡諾圖上，如圖2-13所示。第63頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎

第2步，根據(jù)圖2-13把盡量滿足相鄰關系的2m個小方格作為一個卡諾圈。該邏輯函數(shù)有5個卡諾圈，它們都是質(zhì)蘊涵項。然后檢查每一個質(zhì)蘊涵項是不是首要蘊涵項。對于①是首要蘊涵項。對于②，它有一個m3不被③④覆蓋，因此②是首要蘊涵項。對于③它有一個m6不被任何其他的質(zhì)蘊涵項覆蓋，因此③是首要蘊涵項。同理④⑤也是首要蘊涵項。因此，所求的最簡邏輯函數(shù)為第64頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎例2-8用卡諾將圖邏輯函數(shù)F（A，B，C，D）=

∑m(0,2,4,10,11,14,15)化簡為最簡“積之和”表達式。

解：第1步，畫出該函數(shù)的卡諾圖，把邏輯函數(shù)表示在卡諾圖上，如圖2-14所示。第65頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎第66頁,共73頁，2024年2月25日，星期天第2章布爾代數(shù)基礎

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邏輯代數(shù)基礎例2-9使用卡諾圖將邏輯函數(shù)F（A，B，C，D）=∏M（0，2，4，6，9，12，14）化簡為“和之積”形式的最簡邏輯函數(shù)。

解：這是一個用大項表示的邏輯函數(shù)。對于一個用大項表示的邏輯函數(shù)，它化簡的結(jié)果應當是最簡“和之積”式。為了在卡諾圖上把用大項表示的邏輯函數(shù)化簡成最簡“和之積”式，首先把用大項表示的邏輯函數(shù)轉(zhuǎn)換成用小項表示，即F（A,B,C,D）=∑