可測函數(shù)的收斂性

關(guān)于可測函數(shù)的收斂性⒈函數(shù)列的幾種收斂定義⑵一致收斂:注：近似地說一致收斂是函數(shù)列收斂慢的程度能有個控制近似地說一致連續(xù)是函數(shù)圖象陡的程度能有個控制fn(x)=xn⑴點點收斂:記作第2頁,共17頁，2024年2月25日，星期天1-δ例：函數(shù)列fn(x)=xn,n=1,2,…在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂，但去掉一小測度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收斂fn(x)=xn第3頁,共17頁，2024年2月25日，星期天⑶幾乎處處收斂:記作(almosteverywhere）即：去掉某個零測度集，在留下的集合上處處收斂即：去掉某個?。ㄈ我庑。y度集，在留下的集合上一致收斂⑷幾乎一致收斂:記作(almostuniformly)第4頁,共17頁，2024年2月25日，星期天⑸依測度收斂:記作注：從定義可看出，幾乎處處收斂強(qiáng)調(diào)的是在點上函數(shù)值的收斂（除一零測度集外）依測度收斂并不指出函數(shù)列在哪個點上的收斂，其要點在于誤差超過σ的點所成的集的測度應(yīng)隨n趨于無窮而趨于零，而不論點集的位置狀態(tài)如何第5頁,共17頁，2024年2月25日，星期天不依測度收斂依測度收斂第6頁,共17頁，2024年2月25日，星期天⒉幾種收斂的區(qū)別

說明：當(dāng)n越大，取1的點越多，故{fn(x)}在R+上處處收斂于1（1）處處收斂但不依測度收斂n在R+上處處收斂于f(x)=1,所以{fn(x)}在R+上不依測度收斂于1，另外{fn}不幾乎一致收斂于1第7頁,共17頁，2024年2月25日，星期天fn不幾乎一致收斂于f幾乎一致收斂:記作(almostuniformly)即：去掉某個?。ㄈ我庑。y度集，在留下的集合上一致收斂即：去掉測度集，在留下的集合上仍不一致收斂任意（）適當(dāng)小小第8頁,共17頁，2024年2月25日，星期天fn不幾乎一致收斂于f即：去掉任意?。ㄟm當(dāng)小）測度集，在留下的集合上仍不一致收斂不幾乎一致收斂于f(x)=1n第9頁,共17頁，2024年2月25日，星期天（2）依測度收斂但處處不收斂01f1f601/4?3/4101/4?3/4101/4?3/4101/4?3/41f7f5f40?1f30?1f201/81/4?1f8第10頁,共17頁，2024年2月25日，星期天依測度收斂但處處不收斂⑵取E=(0,1],n=2k+i,0≤i<2k,k=0,1,2,3,…說明：對任何x∈(0,1],{fn(x)}有兩個子列，一個恒為1，一個恒為0，所以{fn(x)}在(0,1]上處處不收斂；第11頁,共17頁，2024年2月25日，星期天例：函數(shù)列fn(x)=xn在(0,1)上處處收斂到f(x)=0,但不一致收斂，但去掉一小測度集合(1-δ,1),在留下的集合上一致收斂收斂的聯(lián)系（葉果洛夫定理的引入）1-δfn(x)=xn第12頁,共17頁，2024年2月25日，星期天⒊三種收斂的聯(lián)系即：去掉某個?。ㄈ我庑。y度集，在留下的集合上一致收斂⑴幾乎處處收斂與幾乎一致收斂（葉果洛夫定理）設(shè)mE<+∞，fn

，f在E上幾乎處處有限且可測，（即：可測函數(shù)列的收斂“基本上”是一致收斂）即：去掉某個零測度集，在留下的集合上處處收斂第13頁,共17頁，2024年2月25日，星期天第14頁,共17頁，2024年2月25日，星期天引理：設(shè)mE<+∞，fn

，f在E上幾乎處處有限且可測，證明：由于為零測度集，故不妨令fn

，f在E上處處有限，從而有：關(guān)于N單調(diào)減小第15頁,共17頁，2024年2月25日，星期天幾乎處處收斂與依測度收斂（Lebesgue定理）設(shè)