棱柱棱錐的概念和性質(zhì)

關(guān)于棱柱棱錐的概念和性質(zhì)底面?zhèn)让嫫溆喔髅鎮(zhèn)壤忭旤c(diǎn)高兩個(gè)側(cè)面的公共邊互相平行的面?zhèn)让媾c底面的公共頂點(diǎn)各側(cè)面的公共頂點(diǎn)兩個(gè)底面所在平面的公垂線段頂點(diǎn)到底面所在平面的垂線段多邊形第2頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2.棱柱、棱錐的性質(zhì)棱柱棱錐側(cè)面

側(cè)棱平行且相等交于一點(diǎn)平行于底面的截面縱截面平行四邊形三角形平行四邊形三角形與底面全等的多邊形與底面相似的多邊形第3頁,共55頁，2024年2月25日，星期天3.四棱柱的一些常用性質(zhì)（1）平行六面體的四條對角線

且在

；（2）直棱柱的

與高相等，直棱柱的

及過

的截面都是矩形，直棱柱的側(cè)面與

垂直；（3）正四棱柱與正方體的底面都是

，正方體的側(cè)面和底面都是

；（4）長方體的

等于同一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長的

.交于一點(diǎn)該點(diǎn)互相平分側(cè)棱長側(cè)面不相鄰兩條側(cè)棱底面正方形正方形一條對角線長的平方平方和第4頁,共55頁，2024年2月25日，星期天若長方體的一條對角線與過同一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱所成角分別為α、β、γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=

；若長方體的一條對角線與過同一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)面所成角分別為α、β、γ，則cos2α+cos2β+cos2γ=

.12第5頁,共55頁，2024年2月25日，星期天4.正棱錐是棱錐的特殊情形，是棱錐的主要研究對象

(1)定義：底面是

，并且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面的

，這樣的棱錐叫做

.(2)性質(zhì)：①側(cè)面是

，與底面所成二面角均

；②側(cè)棱均

，側(cè)棱與底面所成的角均

；③平行于底面的截面也是

；縱截面是

；④正棱錐中的基本元素：側(cè)棱、斜高、高、底面外接圓半徑、底面內(nèi)切圓半徑.正多邊形中心正棱錐全等的等腰三角形相等相等相等正多邊形等腰三角形第6頁,共55頁，2024年2月25日，星期天5.體積公式（1）柱體體積公式為V=

，其中

為底面面積，

為高;

（2）錐體體積公式為V=

，其中

為底面面積，

為高.6.側(cè)面積與全面積（1）棱柱的側(cè)面積是各側(cè)面

，直棱柱的側(cè)面積是底面周長與

；棱錐的側(cè)面積是各側(cè)面

，正棱錐的側(cè)面積是底面周長與

.

（2）全面積等于

與

之和，即S全=+

.ShhSSh面積之和高之積面積之和斜高積的一半側(cè)面積S側(cè)S底底面積第7頁,共55頁，2024年2月25日，星期天基礎(chǔ)自測1.以下命題中正確的是 （）

A.有兩個(gè)面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形，其他面都是平行四邊形的多面體是棱柱

B.有一個(gè)面是多邊形，其他面都是三角形的多面體是棱錐

C.有三個(gè)側(cè)面是矩形的棱柱是直棱柱

D.長方體一定是正四棱柱C第8頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2.棱柱成為直棱柱的一個(gè)必要但不充分條件是（）

A.棱柱有一條側(cè)棱與底面垂直

B.棱柱有一條側(cè)棱與底面的兩條邊垂直

C.棱柱有一個(gè)側(cè)面是矩形，且與底面垂直

D.棱柱有兩個(gè)側(cè)面是矩形，且與底面垂直B3.已知長方體的全面積為11，十二條棱長度之和為

24，則這個(gè)長方體的一條對角線長為（）C第9頁,共55頁，2024年2月25日，星期天4.（2009·陜西文，11）若正方體的棱長為2，則以該正方體各個(gè)面的中心為頂點(diǎn)的凸多面體的體積為 （）

解析由題意可知，此幾何體是由同底面的兩個(gè)正四棱錐組成的，底面正方形的邊長為1，每一個(gè)正四棱錐的高為，所以B第10頁,共55頁，2024年2月25日，星期天5.若一個(gè)正三棱柱的高為1，體積為2，則一條側(cè)棱到與它相對的面之間的距離為（）

解析由體積公式V=Sh可得底面積為若設(shè)底面三角形的邊長為a，則有所以a=2，故側(cè)棱到相對面的距離為D第11頁,共55頁，2024年2月25日，星期天題型一棱柱、棱錐的概念和性質(zhì)【例1】如果四棱錐的四條側(cè)棱長都相等，就稱它為“等腰四棱錐”，四條側(cè)棱稱為它的腰，以下5

個(gè)命題中：①等腰四棱錐的腰與底面所成的角都相等；②等腰四棱錐的側(cè)面與底面所成的二面角都相等或互補(bǔ)；③底面四邊形存在外接圓的四棱錐是等腰四棱錐；④底面是正方形的四棱錐是等腰四棱錐；⑤等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上.

其中真命題為

（寫出所有真命題的序號）.第12頁,共55頁，2024年2月25日，星期天思維啟迪結(jié)合“等腰四棱錐”的概念，逐一進(jìn)行判斷.解析①真.因?yàn)椤暗妊睦忮F”四條側(cè)棱長都相等，故在底面上的射影長也相等，即頂點(diǎn)在底面上的射影是底面四邊形外接圓的圓心，所以腰與底面所成的角都相等；②假.如當(dāng)?shù)酌媸蔷匦危ú皇钦叫危r(shí)，且頂點(diǎn)在底面上的射影是底面中心時(shí)，這個(gè)四棱錐是“等腰四棱錐”，但它的側(cè)面與底面所成的二面角顯然不都相等或互補(bǔ).故是假命題；③假.如當(dāng)?shù)酌媸钦叫螘r(shí)，底面四邊形存在外接圓，但頂點(diǎn)在底面上的射影不是底面中心時(shí)，這個(gè)四棱錐顯然不是“等腰四棱錐”；第13頁,共55頁，2024年2月25日，星期天④假.理由同③；⑤真.因?yàn)橛散僦酌娲嬖谕饨訄A，故等腰四棱錐的各頂點(diǎn)必在同一球面上，球心在該棱錐的高上.答案

①⑤

本題要注意“等腰四棱錐”的定義，并會研究其簡單的性質(zhì)與判定方法.掌握“側(cè)棱都相等，則側(cè)棱與底面所成的角都相等”，“側(cè)棱都相等，則底面多邊形有外接圓”，“棱錐各側(cè)面三角形的高相等，且頂點(diǎn)在底面上的射影在底面多邊形內(nèi)，則側(cè)面與底面所成的角都相等”等一些常用結(jié)論.探究提高第14頁,共55頁，2024年2月25日，星期天知能遷移1設(shè)有以下四個(gè)命題：①底面是平行四邊形的四棱柱是平行六面體；②底面是矩形的平行六面體是長方體；③直四棱柱是直平行六面體；④棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則此棱錐可能是六棱錐.

其中真命題的序號是

.

解析命題①符合平行六面體的定義,故命題①是正確的；底面是矩形的平行六面體的側(cè)棱可能與底面不垂直,故命題②是錯(cuò)誤的；因直四棱柱的底面不一定是平行四邊形,故命題③是錯(cuò)誤的,若六棱錐的所有棱長都相等，則底面多邊形是正六邊形.由幾何圖形知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長必然要大于底面邊長，故命題④是錯(cuò)誤的.①第15頁,共55頁，2024年2月25日，星期天題型二棱柱、棱錐中的平行與垂直【例2】如圖所示，在直三棱柱ABC—

A1B1C1中，∠ACB=90°,AB=2,BC=1,

AA1=.

（1）證明：A1C⊥平面AB1C1；（2）若D是棱CC1的中點(diǎn)，在棱AB上是否存在一點(diǎn)

E，使DE∥平面AB1C1？證明你的結(jié)論.

（1）充分挖掘已知條件，利用線面垂直的判定定理；（2）利用線面平行的判定定理或面面平行的性質(zhì)定理.思維啟迪第16頁,共55頁，2024年2月25日，星期天證明（1）∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC.∵三棱柱ABC—A1B1C1為直三棱柱，∴BC⊥CC1.∵AC∩CC1=C，∴BC⊥平面ACC1A1.∵A1C

平面ACC1A1，∴BC⊥A1C.∵BC∥B1C1，∴B1C1⊥A1C.在Rt△ABC中，AB=2，BC=1，∴AC=.∵AA1=，∴四邊形ACC1A1為正方形，∴A1C⊥AC1.∵B1C1∩AC1=C1，∴A1C⊥平面AB1C1.（2）當(dāng)E為棱AB的中點(diǎn)時(shí)，DE∥平面AB1C1.證明如下：第17頁,共55頁，2024年2月25日，星期天如圖所示，取BB1的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，F(xiàn)D，DE，∵D，E，F(xiàn)分別為CC1，AB，BB1的中點(diǎn),∴EF∥AB1.∵AB1

平面AB1C1，EF

平面AB1C1，∴EF∥平面AB1C1.同理可證FD∥平面AB1C1.∵EF∩FD=F，∴平面EFD∥平面AB1C1.∵DE

平面EFD，∴DE∥平面AB1C1.探究提高在棱錐、棱柱中進(jìn)行線線、線面、面面的平行與垂直的證明，除了要正確使用判定定理與性質(zhì)定理外，對幾何體本身所具有的性質(zhì)也要正確把握.如正棱錐、正棱柱的特性，特殊三角形、特殊梯形的使用等.第18頁,共55頁，2024年2月25日，星期天知能遷移2如圖所示，四棱錐P—

ABCD的底面是矩形，側(cè)面PAD是正三角形，且側(cè)面PAD⊥底面ABCD，

E為側(cè)棱PD的中點(diǎn).

（1）求證：PB∥平面EAC；（2）求證：AE⊥平面PCD.

解（1）連結(jié)BD與AC交于O，連結(jié)OE，∵O,E分別為BD，PD的中點(diǎn)，∴OE∥PB，且OE

平面EAC，PB

平面EAC，∴PB∥平面EAC.

（2）方法一∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD.又平面PAD∩平面ABCD=AD，平面ABCD⊥平面PAD，第19頁,共55頁，2024年2月25日，星期天∴CD⊥平面PAD.又AE

平面PAD，∴CD⊥AE.∵正三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.又PD∩CD=D,∴AE⊥平面PCD.方法二∵ABCD是矩形，∴CD⊥AD.又平面PAD∩平面ABCD=AD，平面ABCD⊥平面PAD，∴CD⊥平面PAD.又CD

平面PDC,∴平面PDC⊥平面PAD.∵正三角形PAD中，E為PD的中點(diǎn)，∴AE⊥PD.又平面PDC∩平面PAD=PD.∴AE⊥平面PCD.第20頁,共55頁，2024年2月25日，星期天題型三棱柱、棱錐中的角和距離【例3】如圖所示，四棱錐P—ABCD的底面是邊長為a的正方形，側(cè)面PAB和側(cè)面PAD都垂直于底面AC，且側(cè)棱PB、

PD都和底面成45°角.

（1）求PC與BD所成的角；（2）求PC與底面ABCD所成角的正切值；（3）若M、N分別為BC、CD的中點(diǎn)，求底面中心

O到平面PMN的距離.

在（3）中，關(guān)鍵是確定O在平面PMN中的射影的位置，故最好能找到過O且垂直于平面

PMN的平面，而平面PAC正是我們需要的平面.思維啟迪第21頁,共55頁，2024年2月25日，星期天解（1）∵側(cè)面PAB和側(cè)面PAD都垂直于底面AC，且兩側(cè)面交于PA，∴PA⊥底面AC.又BD⊥AC，∴BD⊥PC，即PC與BD所成的角為90°.（2）∵PA⊥底面AC，∴∠PCA是PC與底面AC所成的角，∠PBA為PB與底面AC所成的角.∴在Rt△PAB中，PA=AB=a，∴AC=a，（3）∵BD⊥AC,BD⊥PA,∴BD⊥平面PAC.又MN∥BD，∴MN⊥平面PAC.∴平面PAC⊥平面PMN.第22頁,共55頁，2024年2月25日，星期天設(shè)MN∩AC=Q，連結(jié)PQ，則平面PAC∩平面PMN=PQ.作OH⊥PQ，垂足為H，則OH⊥平面PMN，OH的長即為O到平面PMN的距離，作AG⊥PQ于G.在Rt△PAQ中，PA=a,第23頁,共55頁，2024年2月25日，星期天探究提高（1）解決空間角度問題，應(yīng)特別注意垂直關(guān)系.如果空間角為90°，就不必轉(zhuǎn)化為平面角來求；（2）注意借助輔助平面（如本題中的平面PAC），將空間距離轉(zhuǎn)化為平面距離來求；（3）棱錐體積具有自等性，即把三棱錐的任何一個(gè)頂點(diǎn)看作頂點(diǎn)，相對的面作為底面，利用等積法可求點(diǎn)到平面的距離等.第24頁,共55頁，2024年2月25日，星期天知能遷移3如圖，四棱錐P—ABCD中，

PA⊥平面ABCD，底面ABCD為直角梯形，且AB∥CD，∠BAD=90°，

PA=AD=DC=2，AB=4.

（1）求證：BC⊥PC；（2）求PB與平面PAC所成的角的正弦值；（3）求點(diǎn)A到平面PBC的距離.

（1）證明在直角梯形ABCD中，因?yàn)锳B∥CD，∠BAD=90°，AD=DC=2，所以∠ADC=90°，且AC=2.

取AB的中點(diǎn)E，連結(jié)CE，由題意可知，四邊形AECD為正方形，所以AE=CE=2.第25頁,共55頁，2024年2月25日，星期天則△ABC為等腰直角三角形，所以AC⊥BC.又因?yàn)镻A⊥平面ABCD，且AC為PC在平面ABCD內(nèi)的射影，BC

平面ABCD，由三垂線定理得BC⊥PC.（2）解由（1）可知，BC⊥PC，BC⊥AC，PC∩AC=C，所以BC⊥平面PAC.又因?yàn)镻C是PB在平面PAC內(nèi)的射影，所以∠CPB是PB與平面PAC所成的角.又CB=2，PB2=PA2+AB2=20，第26頁,共55頁，2024年2月25日，星期天∴PB=2，sin∠CPB=即PB與平面PAC所成角的正弦值為（3）解由（2）可知，BC⊥平面PAC，BC

平面PBC,所以平面PBC⊥平面PAC.過A點(diǎn)在平面PAC內(nèi)作AF⊥PC于F，所以AF⊥平面PBC.則AF的長即為點(diǎn)A到平面PBC的距離.在直角三角形PAC中，PA=2，AC=2，PC=2，所以，即點(diǎn)A到平面PBC的距離為第27頁,共55頁，2024年2月25日，星期天題型四棱柱、棱錐的體積和面積【例4】（12分）如圖所示，四棱錐P-ABCD

的底面ABCD是半徑為R的圓的內(nèi)接四邊形，其中BD是圓的直徑，∠ABD=60°,∠BDC=45°,△ADP∽△BAD.

（1）求線段PD的長；（2）若PC=求三棱錐P-ABC的體積.

思維啟迪

解答本題時(shí)求線段PD的長只需利用△ADP與△BAD相似即可求出，而求三棱錐P—

ABC的體積需先證明PD⊥平面ABC，即PD為三棱錐的高即可求解.第28頁,共55頁，2024年2月25日，星期天解題示范解(1)∵BD是圓的直徑,∴∠BAD=90°.又∵△ADP∽△BAD，(2)在Rt△BCD中，CD=BDcos45°=∵PD2+CD2=9R2+2R2=11R2=PC2∴PD⊥CD,又∵∠PDA=90°=∠DAB∴PD⊥底面ABCD ［8分］［4分］第29頁,共55頁，2024年2月25日，星期天幾何體的體積計(jì)算是一種常見的題型，除了直接套用公式求體積的方法以外，還有一些常用的方法：［10分］［12分］探究提高第30頁,共55頁，2024年2月25日，星期天（1）體積轉(zhuǎn)換法：當(dāng)所給幾何體的體積不能直接套用公式或套用公式時(shí)某一量（面積或高）不易求出時(shí)，可以轉(zhuǎn)換一下幾何體中有關(guān)元素的相對位置進(jìn)行計(jì)算求解，該方法特別適合于求三棱錐的體積.（2）割補(bǔ)法：在求一些不規(guī)則的幾何體的體積以及求兩個(gè)幾何體的體積之比時(shí)，經(jīng)常要用到割補(bǔ)法.割補(bǔ)法是割法與補(bǔ)法的總稱.補(bǔ)法是把不熟悉的（或復(fù)雜的）幾何體延伸或補(bǔ)加成熟悉的（或簡單的）幾何體，把不完整的圖形補(bǔ)成完整的圖形.割法是把復(fù)雜的幾何體切割成簡單的幾何體.割與補(bǔ)是對立統(tǒng)一的，是一個(gè)問題的兩個(gè)方面.第31頁,共55頁，2024年2月25日，星期天知能遷移4

（2009·海南、寧夏文，18）如圖，在三棱錐P—ABC中，△PAB是等邊三角形，∠PAC=∠PBC=90°.(1)證明：AB⊥PC；

(2)若PC=4，且平面PAC⊥平面

PBC，求三棱錐P—ABC的體積.(1)證明因?yàn)椤鱌AB是等邊三角形，所以PB=PA.

因?yàn)椤螾AC=∠PBC=90°,PC=PC，所以Rt△PBC≌Rt△PAC，所以AC=BC.

如圖，取AB中點(diǎn)D，連結(jié)PD、CD，則PD⊥AB,CD⊥AB,又PD∩CD=D第32頁,共55頁，2024年2月25日，星期天所以AB⊥平面PDC,所以AB⊥PC.(2)解作BE⊥PC,垂足為E，連結(jié)AE.因?yàn)镽t△PBC≌Rt△PAC，所以AE⊥PC,AE=BE.由已知，平面PAC⊥平面PBC，故∠AEB=90°.因?yàn)椤螦EB=90°，∠PEB=90°,AE=BE,AB=PB,所以Rt△AEB≌Rt△BEP,所以△AEB、△PEB、△CEB都是等腰直角三角形.由已知PC=4，得AE=BE=2，△AEB的面積S=2.因?yàn)镻C⊥平面AEB.所以三棱錐P—ABC的體積第33頁,共55頁，2024年2月25日，星期天思想方法感悟提高方法與技巧1.要準(zhǔn)確地理解棱柱、棱錐的概念和性質(zhì)，充分利用直線和平面的位置關(guān)系，對這些概念和性質(zhì)加以研究.2.棱柱、棱錐問題中經(jīng)常遇到側(cè)棱、側(cè)面與底面所成角的問題，解決這些問題時(shí)一般從頂點(diǎn)向底面作垂線，利用前面學(xué)過的知識，準(zhǔn)確判斷垂足的位置，以此溝通各種關(guān)系.3.求棱柱的側(cè)面積，如果有直截面存在，可利用公式S側(cè)=C直截面·側(cè)棱；如果無直截面存在，則需分別求各側(cè)面的面積，然后相加.第34頁,共55頁，2024年2月25日，星期天失誤與防范1.在解正棱錐的問題時(shí)，要注意利用四個(gè)直角三角形，如圖所示，O

為底面正多邊形的中心，E為AB的中點(diǎn)，四個(gè)直角三角形為Rt△VOA、

Rt△AEO、Rt△VEA和Rt△VOE，它們包含了棱錐高、斜高、側(cè)棱、底邊長的一半、底面正多邊形半徑.2.在求空間幾何體的體積時(shí)，也常用到轉(zhuǎn)化的思想，將其轉(zhuǎn)化為其他幾何體的體積來求.第35頁,共55頁，2024年2月25日，星期天定時(shí)檢測一、選擇題1.下列命題中，成立的是（）

A.各個(gè)面都是三角形的多面體一定是棱錐

B.四面體一定是三棱錐

C.棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，該棱錐一定是正棱錐

D.底面多邊形既有外接圓又有內(nèi)切圓，且側(cè)棱相等的棱錐一定是正棱錐第36頁,共55頁，2024年2月25日，星期天解析A是錯(cuò)誤的，只要將底面全等的兩個(gè)棱錐的底面重合在一起，所得多面體的每個(gè)面都是三角形，但這個(gè)多面體不是棱錐；B是正確的，三個(gè)面共頂點(diǎn)，另有三邊圍成三角形是四面體也必定是個(gè)三棱錐；C是錯(cuò)誤的，如圖所示，棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，但該棱錐不是正三棱錐；D也是錯(cuò)誤的，底面多邊形既有內(nèi)切圓又有外接圓，如果不同心，則不是正多邊形，因此不是正棱錐.答案B第37頁,共55頁，2024年2月25日，星期天2.正棱錐的高縮小為原來的，底面外接圓半徑擴(kuò)大為原來的3倍，則它的體積是原來體積的（）

解析設(shè)原棱錐高為h，底面面積為S，B第38頁,共55頁，2024年2月25日，星期天3.如圖，已知高為3的直三棱柱ABC—

A1B1C1的底面是邊長為1的正三角形，則三棱錐B1—ABC的體積為（）

解析因?yàn)椤鰽BC是邊長為1的正三角形，故面積為故三棱錐的體積為A第39頁,共55頁，2024年2月25日，星期天4.若長方體的三條棱長之比為1∶2∶3，全面積為

88，則它的對角線長為（）

A.12B.24C.D.

解析設(shè)長方體的三條棱長分別為k，2k，3k，則由題意可知2（k·2k+2k·3k+3k·k）=88，故k2=4.

于是，對角線長為C第40頁,共55頁，2024年2月25日，星期天5.（2008·四川文，12）若三棱柱的一個(gè)側(cè)面是邊長為2的正方形，另外兩個(gè)側(cè)面都是有一個(gè)內(nèi)角為

60°的菱形,則該棱柱的體積等于（）

A.B.C.D.

解析如圖所示,由題意可得∠AA1C1=∠AA1B1=60°,

AA1=A1B1=B1C1=A1C1=2.

所以過點(diǎn)A作AO⊥平面A1B1C1,

則O在∠B1A1C1的平分線上.

過O作OE⊥A1B1,連結(jié)A1O,AE,第41頁,共55頁，2024年2月25日，星期天易證cos∠AA1E=cos∠AA1O·cos∠OA1E，答案

B第42頁,共55頁，2024年2月25日，星期天6.（2009·遼寧理，11）正六棱錐P—ABCDEF中，

G為PB的中點(diǎn),則三棱錐D—GAC與三棱錐P—GAC

體積之比為 （）

A.1∶1B.1∶2C.2∶1D.3∶2

解析如圖，設(shè)棱錐的高為h，

C第43頁,共55頁，2024年2月25日，星期天二、填空題7.已知正四棱錐的體積為12,底面對角線的長為2,

則側(cè)面與底面所成的二面角等于

.

解析如圖所示,設(shè)底面邊長為a,則2a2=(2)2，∴a=2，∴OM=.

第44頁,共55頁，2024年2月25日，星期天8.設(shè)正三棱錐V—ABC底面邊長為2,高為2,則側(cè)棱與底面所成角的大小為

.

解析如圖所示,由已知在正△ABC

中,AB=2,O為△ABC重心,∴AO=2,∵VO=2,且VO⊥AO，∴∠VAO=45°.45°第45頁,共55頁，2024年2月25日，星期天9.（2008·江西理，16）如圖（1）所示，一個(gè)正四棱柱形的密閉容器水平放置，其底部鑲嵌了同底的正四棱錐形實(shí)心裝飾塊，容器內(nèi)盛有a升水時(shí)，水面恰好經(jīng)過正四棱錐的頂點(diǎn)P.如果將容器倒置，水面也恰好過點(diǎn)P（如圖（2）所示）.有下列四個(gè)命題：第46頁,共55頁，2024年2月25日，星期天A.正四棱錐的高等于正四棱柱高的一半；B.將容器側(cè)面水平放置時(shí)，水面也恰好過點(diǎn)P；C.任意擺放該容器，當(dāng)水面靜止時(shí)，水面都恰好經(jīng)過點(diǎn)P；D.若往容器內(nèi)再注入a升水，則容器恰好能裝滿.

其中真命題的代號是

.（寫出所有真命題的代號）解析設(shè)正四棱柱底面邊長為b，高為h1,正四棱錐高為h2,則原題圖（1）中水的體積為：圖（2）中水的體積為：b2h1-b2h2=b2（h1-h2），第47頁,共55頁，2024年2月25日，星期天對于B，當(dāng)容器側(cè)面水平放置時(shí)，P點(diǎn)在長方體中截面上，又水占容器內(nèi)空間的一半，所以水面也恰好經(jīng)過P點(diǎn)，故B正確.對于C，假設(shè)C正確，當(dāng)水面與正四棱錐的一個(gè)側(cè)面重合時(shí)，經(jīng)計(jì)算得水的體積為矛盾，故C不正確.答案

B.D第48頁,共55頁，2024年2月25日，星期天三、解答題10.（2009·福建文，20）如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB

=60°,AB=2,AD=4.將△CBD

沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD.(1)求證：AB⊥DE.(2)求三棱錐E—ABD的側(cè)面積.(1)證明在△ABD中，∵AB=2,AD=4,∠DAB=60°,第49頁,共55頁，2024年2月25日，星期天∴AB2+BD2