2011年全國初中數學聯(lián)賽試題及答案(修正版)-文檔

2011年全國初中數學聯(lián)合數學競賽試題第一試一．選擇題1．已知a＋b＝2，EQ\F((1－a)2,b)＋EQ\F((1－b)2,a)＝-4,則ab的值為()(A)1(B)-1(C)-eq\f(1,2)(D)eq\f(1,2)2.已知△ABC的兩條高線的長分別為5和20,若第三條高線的長也是整數，則第三條高線長的最大值為()(A)5(B)6(C)7(D)83.方程│x2－1│＝(4－2eq\r(\s\do1(3)))(x＋2)的解的個數為()(A)1個(B)2個(C)3個(D)4個4.今有長度分別為1，2，…，9的線段各一條，現(xiàn)從中選出若干條線段組成“線段組”，由這一組線段恰好可以拼接成一個正方形，則這樣的“線段組”的組數有()(A)5組(B)7組(C)9組(D)11組5.如圖，菱形ABCD中，AB＝3，DF＝1，∠DAB＝60°，∠EFG＝15°，F(xiàn)G⊥BC，則AE＝()(A)1＋eq\r(\s\do1(2))(B)eq\r(\s\do1(6))(C)2eq\r(\s\do1(3))－1(D)1＋eq\r(\s\do1(3))6.已知EQ\F(1,x)＋EQ\F(1,y＋z)＝EQ\F(1,2),EQ\F(1,y)＋EQ\F(1,x＋z)＝EQ\F(1,3),EQ\F(1,z)＋EQ\F(1,x＋y)＝EQ\F(1,4)，則EQ\F(2,x)＋EQ\F(3,y)＋EQ\F(4,z)的值為()GABCDEF1(B)eq\f(3,2)(C)2(D)eq\f(5,2)GABCDEF二．填空題1.在△ABC中，已知∠B＝2∠A，BC＝2，AB＝2＋2eq\r(\s\do1(3))，則∠A＝．2.二次函數y＝x2＋bx＋c的圖象的頂點為D，與x軸正方向從左至右依次交于A，B兩點，與y軸正方向交于C點，若△ABD和△OBC均為等腰直角三角形（O為坐標原點），則b＋2c＝．3.能使2n＋256是完全平方數的正整數n的值為．4.如圖，已知AB是⊙O的直徑，弦CD與AB交于點E，過點A作圓的切線與CD的延長線交于點F，如果DE＝EQ\F(3,4)CE，AC＝8eq\r(\s\do1(5))，D為EF的中點，則AB＝．OOABCDEF第二試1.已知三個不同的實數a,b,c滿足a－b＋c＝3，方程x2＋ax＋1＝0和x2＋bx＋c＝0有一個相同的實根，方程x2＋x＋a＝0和x2＋cx＋b＝0也有一個相同的實根．求a,b,c的值．2.如圖，在四邊形ABCD中，已知∠BAD＝60°，∠ABC＝90°，∠BCD＝120°，對角線AC,BD交于點S，且DS＝2SB，P為AC的中點．求證：（1）∠PBD＝30°；（2）AD＝DC．PPABCDS3.已知m,n,p為正整數，m＜n．設A(－m,0)，B(n,0)，C(0,p)，O為坐標原點．若∠ACB＝90°，且OA2＋OB2＋OC2＝3(OA＋OB＋OC)（1）證明：m＋n＝p＋3；（2）求圖象經過A,B,C三點的二次函數的解析式．參考答案一．選擇題1.B2.B3.C4.C5.D6.C二．填空題1.15°2.23.114.24第二試1.解依次將題設中所給的四個方程編號為①，②，③，④．設是方程①和方程②的一個相同的實根，則兩式相減，可解得．設是方程③和方程④的一個相同的實根，則兩式相減，可解得。所以．又方程①的兩根之積等于1，于是也是方程①的根，則。又，兩式相減，得．若，則方程①無實根，所以，故．于是．又，解得．2.證明（1）由已知得，從而四點共圓，為直徑，為該圓的圓心．作于點，知為的中點，所以＝＝，從而．（2）作于點，則．又，∴，∴Rt△≌Rt△，∴，MNPSABCD又，所以MNPSABCD3.解（1）因為，，所以，即．由，得．又，從而有，即．（2）由，知是關于x的一元二次方程=1\*GB3①的兩個不相等的正整數根，從而，解得。又為正整數，故或