平面(2)課件 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第二冊(cè)

第八章立體幾何初步8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系8.4.1平面(2)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解由基本事實(shí)1和基本事實(shí)2得到的3個(gè)推論．2.能運(yùn)用3個(gè)基本事實(shí)及其推論解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題．活動(dòng)方案活動(dòng)一了解確定平面的依據(jù)過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面，即不共線的三點(diǎn)確定一個(gè)平面．用圖形表示：過(guò)不共線的三點(diǎn)A，B，C的平面通常記作“平面ABC”．【解析】

略思考1???自行車的撐腳一般安裝在自行車的什么位置？能不能安裝在前后輪一條直線的地方？思考2???照相機(jī)支架需要幾條腿？?jī)蓷l行不行？【解析】3條不行【解析】

不能．因?yàn)槿绻@三點(diǎn)、四點(diǎn)在同一條直線上就不能確定一個(gè)平面．回顧基本事實(shí)1，體會(huì)確定一個(gè)平面的條件．思考3???分別經(jīng)過(guò)三點(diǎn)、四點(diǎn)能確定唯一的平面嗎？為什么？思考4???過(guò)一條直線l和直線l外一點(diǎn)A的平面有幾個(gè)？【解析】

一個(gè)【解析】

在直線l上任取兩點(diǎn)B，C.因?yàn)辄c(diǎn)A不在直線l上，根據(jù)基本事實(shí)1，經(jīng)過(guò)不共線三點(diǎn)A，B，C有一個(gè)平面α.因?yàn)锽∈l，C∈l，且B∈α，C∈α，所以根據(jù)基本事實(shí)2，得l?α，即平面α

經(jīng)過(guò)直線l和點(diǎn)A.因?yàn)辄c(diǎn)B，C在直線l上，所以經(jīng)過(guò)直線l和點(diǎn)A的平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，B，C.再根據(jù)基本事實(shí)1，經(jīng)過(guò)不共線的三點(diǎn)A，B，C的平面有且只有一個(gè)，所以經(jīng)過(guò)直線l和點(diǎn)A的平面只有一個(gè)．推論1經(jīng)過(guò)一條直線和這條直線外一點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．已知：直線l，點(diǎn)A?l.求證：過(guò)直線l和點(diǎn)A有且只有一個(gè)平面．證明：【解析】

設(shè)直線a，b相交于點(diǎn)C，在直線a上取不同于點(diǎn)C的點(diǎn)A，點(diǎn)A在直線b外．由推論1，得過(guò)直線b和點(diǎn)A有一個(gè)平面α.因?yàn)橹本€a上的兩點(diǎn)A，C在α內(nèi)，所以a?α，因此經(jīng)過(guò)a，b有一個(gè)平面α.經(jīng)過(guò)a，b的平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線b，由推論1，這樣的平面只有一個(gè)，所以經(jīng)過(guò)兩條相交直線a，b的平面有且只有一個(gè)．推論2經(jīng)過(guò)兩條相交直線，有且只有一個(gè)平面．已知：直線a，b相交．求證：過(guò)直線a，b有且只有一個(gè)平面．證明：【解析】

根據(jù)平行線的定義(同一平面內(nèi)沒有公共點(diǎn)的兩條直線)可知，直線a和直線b一定在同一個(gè)平面內(nèi)．在直線a上任取一點(diǎn)A，因?yàn)閍∥b，所以點(diǎn)A不在直線b上，由推論1可知，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線b的平面只有一個(gè)．因?yàn)榻?jīng)過(guò)直線a和直線b的平面一定經(jīng)過(guò)點(diǎn)A和直線b，所以經(jīng)過(guò)直線a和直線b的平面只有一個(gè)．推論3經(jīng)過(guò)兩條平行直線，有且只有一個(gè)平面．已知：直線a∥b.求證：過(guò)直線a，b有且只有一個(gè)平面．證明：【解析】

用兩根細(xì)繩沿桌子四條腿的對(duì)角拉直，若這兩根細(xì)繩相交，則說(shuō)明桌子四條腿的底端在同一平面內(nèi)，否則就不在同一平面內(nèi)，說(shuō)明桌子有問(wèn)題，依據(jù)的是推論2.思考5???下圖是一張倒置的課桌，你能用所學(xué)的知識(shí)檢查一下桌子的四條腿的底端是否在同一個(gè)平面內(nèi)嗎？活動(dòng)二平面的基本事實(shí)及其推論的簡(jiǎn)單應(yīng)用例1已知A∈l，B∈l，C∈l，D?l.求證：直線AD，BD，CD共面．【解析】

因?yàn)镈?l，所以直線l與點(diǎn)D可以確定平面α.因?yàn)锳∈l，所以A∈α.因?yàn)镈∈α，所以AD?α.同理BD?α，CD?α，所以直線AD，BD，CD在同一平面α

內(nèi)，即它們共面．確定一個(gè)平面，只要根據(jù)基本事實(shí)1和基本事實(shí)2及其3個(gè)推論即可．如圖，已知l1∩l2＝A，l2∩l3＝B，l1∩l3＝C.求證：直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．【解析】

因?yàn)閘1∩l2＝A，所以l1和l2確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘2∩l3＝B，所以B∈l2.又因?yàn)閘2?α，所以B∈α.同理可證C∈α.又因?yàn)锽∈l3，C∈l3，所以l3?α，所以直線l1，l2，l3在同一平面內(nèi)．例2如圖，已知直線a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求證：a，b，c，l共面．【解析】

因?yàn)閍∥b，所以a，b確定一個(gè)平面α.因?yàn)閘∩a＝A，l∩b＝B，所以A∈a，B∈b，所以A∈α，B∈α.又因?yàn)锳∈l，B∈l，所以l?α.因?yàn)閎∥c，所以b，c確定一個(gè)平面β.同理可證l?β.于是b?α，l?α，b?β，l?β，即α∩β＝b，α∩β＝l.又因?yàn)閎與l不重合，所以α與β重合，所以a，b，c，l共面．在證明共面問(wèn)題時(shí)，先根據(jù)條件確定平面，再證明其他的點(diǎn)或線在這個(gè)平面內(nèi)．(2)由(1)知EF∥HG，且EF≠HG，所以設(shè)EH與FG交于點(diǎn)P，如圖，延長(zhǎng)EH，F(xiàn)G相交于點(diǎn)P.因?yàn)镋H?平面ABD，P∈EH，所以P∈平面ABD.同理點(diǎn)P∈平面BCD，且平面ABD∩平面BCD＝BD，所以點(diǎn)P在直線BD上，所以直線EH，BD，F(xiàn)G相交于一點(diǎn)．檢測(cè)反饋245131.下列說(shuō)法中，正確的是(

)①一條直線和一個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)平面；②三角形一定是平面圖形；③空間中兩兩相交的三條直線確定一個(gè)平面；④梯形一定是平面圖形．A.①④

B.①②

C.②④

D.③④24513【解析】

因?yàn)橐粭l直線和該直線上的一個(gè)點(diǎn)可確定無(wú)數(shù)個(gè)平面，所以①不正確；因?yàn)槿切蔚娜齻€(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)平面，所以②正確；因?yàn)殚L(zhǎng)方體中經(jīng)過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所在的直線可確定三個(gè)平面，所以③不正確；因?yàn)樘菪紊舷碌灼叫?，而兩平行線確定一個(gè)平面，所以④正確．綜上，正確的是②④.【答案】C24513【解析】

如圖，由題意，得MN?γ，R∈MN，所以R∈γ.因?yàn)镽∈l，l?β，所以R∈β.因?yàn)镻∈γ，P∈β，所以β∩γ＝PR.2.已知平面α∩平面β＝l，M∈α，N∈α，P∈β，且P?l，又MN∩l＝R，過(guò)M，N，P三點(diǎn)所確定的平面記為γ，則β∩γ等于(

)A.PR B.MR

C.PM D.NR【答案】A245313.(多選)下列說(shuō)法中，正確的是(

)A.不共面的四點(diǎn)中，其中任意三點(diǎn)不共線B.若點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，則點(diǎn)A，B，C，D，E共面C.若直線a，b共面，直線a，c共面，則直線b，c共面D.過(guò)直線外一點(diǎn)和直線上三點(diǎn)的三條直線共面24531【解析】

在A中，假設(shè)其中有三點(diǎn)共線，則該直線和直線外的另一點(diǎn)確定一個(gè)平面，這與四點(diǎn)不共面矛盾，故其中任意三點(diǎn)不共線，故A正確；在B中，如圖，兩個(gè)相交平面有三個(gè)公共點(diǎn)A，B，C，且點(diǎn)A，B，C，D共面，點(diǎn)A，B，C，E共面，但點(diǎn)A，B，C，D，E不共面，故B不正確；選項(xiàng)C顯然不正確；在D中，過(guò)直線與直線外一點(diǎn)可確定一個(gè)平面，設(shè)為α，因此這三條直線都在平面α內(nèi)，即三條直線共面，故D正確．故選AD.【答案】AD24531【解析】(1)連接BD.若EH∩FG＝P，則P∈平面ABD，且P∈平面BCD.因?yàn)槠矫鍭BD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD.(2)連接AC.若EF∩GH＝Q，則Q∈平面ABC，且Q∈平面ACD.因?yàn)槠矫鍭BC∩平面ACD＝AC，所以Q∈AC.4.如圖，A，B，C，D為不共面的四點(diǎn)，點(diǎn)E，F(xiàn)，G，H分別在線段AB，BC，CD，DA上.(1)如果EH∩FG＝P，那么點(diǎn)P在直線________上；(2)如果EF∩GH＝Q，那么點(diǎn)Q在直線________上．【答案】(1)BD

(2)AC24531【解析】

如圖，α∩β＝l1，β∩γ＝l2，α∩γ＝l3.因?yàn)閘1?β，l2?β，且l1，l2不平行，所以l1與l2必相交．設(shè)l1∩l2＝P，則P∈l1，P∈l2.因