正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(1)課件 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）必修第一冊(cè)

第五章三角函數(shù)5.4三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)5.4.2正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)(1)內(nèi)容索引學(xué)習(xí)目標(biāo)活動(dòng)方案檢測(cè)反饋學(xué)習(xí)目標(biāo)1

.了解周期函數(shù)的概念．2.理解正弦函數(shù)與余弦函數(shù)的周期性，會(huì)求函數(shù)的周期．3.理解正、余弦函數(shù)的奇偶性以及對(duì)稱性.活動(dòng)方案類比以往對(duì)函數(shù)性質(zhì)的研究，你認(rèn)為應(yīng)研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的哪些性質(zhì)？觀察它們的圖象，你能發(fā)現(xiàn)它們具有哪些性質(zhì)？活動(dòng)一了解周期函數(shù)的概念【解析】

根據(jù)研究函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，我們要研究正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值等．另外，三角函數(shù)是刻畫(huà)“周而復(fù)始”現(xiàn)象的數(shù)學(xué)模型，與此對(duì)應(yīng)的性質(zhì)是特別而重要的．思考1???觀察正弦函數(shù)的圖象，在圖象上，橫坐標(biāo)每隔2π個(gè)單位長(zhǎng)度，就會(huì)出現(xiàn)縱坐標(biāo)相同的點(diǎn)，這就是正弦函數(shù)值具有的“周而復(fù)始”的變化規(guī)律，這一點(diǎn)可以從定義中看出，也可用我們前面學(xué)習(xí)的哪個(gè)公式來(lái)說(shuō)明？【解析】sin(2kπ＋x)＝sinx(k∈Z)思考2???如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻畫(huà)函數(shù)的周期性？【解析】

設(shè)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈.如果存在一個(gè)非零常數(shù)T，使得對(duì)每一個(gè)x∈D，都有x＋T∈D，且

f(x＋T)＝f(x)，那么函數(shù)f(x)就叫作周期函數(shù)，非零常數(shù)T叫作這個(gè)函數(shù)的周期．思考3???正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期是多少？

【解析】

2π是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期，且4π，6π，…以及－2π，－4π，…都是正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的周期，即每一個(gè)常數(shù)2kπ(k∈Z且k≠0)都是這兩個(gè)函數(shù)的周期．【解析】(1)不能(2)是，kT(k∈Z且k≠0)都是函數(shù)的周期．思考5???一個(gè)周期函數(shù)的周期有多少個(gè)？周期函數(shù)的圖象具有什么特征？【解析】

有無(wú)數(shù)個(gè)，周期函數(shù)的圖象周期性重復(fù)出現(xiàn)．1.對(duì)于一個(gè)周期函數(shù)f(x)，如果在它所有的周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)，那么這個(gè)最小的正數(shù)叫作f(x)的最小正周期．2.正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的最小正周期是2π，正切函數(shù)的最小正周期是π.

思考6???是不是所有的函數(shù)都有最小正周期？如：函數(shù)f(x)＝C(C為常數(shù))是周期函數(shù)嗎？如果是，那么周期是多少？最小正周期又是多少？【解析】

不是．f(x)＝C是周期函數(shù)，周期是任意非零實(shí)數(shù)；無(wú)最小正周期．注意：如果不加特別說(shuō)明，那么所說(shuō)的周期一般都是指函數(shù)的最小正周期.例1已知做周期性運(yùn)動(dòng)的鐘擺的高度h(單位：mm)

與時(shí)間t(單位：s)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．(1)求該函數(shù)的周期；(2)求t＝10s時(shí)鐘擺的高度．活動(dòng)二掌握周期函數(shù)的簡(jiǎn)單應(yīng)用【解析】(1)由圖象可知，該函數(shù)的周期為1.5s.(2)設(shè)h＝f(t)，由函數(shù)f(t)的周期為1.5s，可知f(10)＝f(1＋6×1.5)＝f(1)＝20，所以t＝10s時(shí)鐘擺的高度為20mm.例

2求函數(shù)f(x)＝cos2x的周期．活動(dòng)三求三角函數(shù)的周期【解析】

設(shè)f(x)周期為T，則f(x＋T)＝f(x)，即cos[2(x＋T)]＝cos2x對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，也就是cos(u＋2T)＝cosu對(duì)任意實(shí)數(shù)u都成立，其中u＝2x.由y＝cosu的周期為2π，可知使得cos(u＋2T)＝cosu對(duì)任意實(shí)數(shù)u都成立的2T的最小正值為2π，可知2T＝2π，即T＝π，所以f(x)＝cos2x的周期為π.例

3已知函數(shù)y＝f(x)，x∈R，滿足f(x＋2)＝－f(x)對(duì)于一切x∈R都成立，求證：4是f(x)的一個(gè)周期．活動(dòng)四函數(shù)周期性的判斷【解析】

因?yàn)閒(x－2＋2)＝－f(x－2)，所以f(x＋2)＝f(x－2)，所以f(x)＝f(x－4)，所以4是f(x)的一個(gè)周期．設(shè)函數(shù)y＝f(x)，x∈R，若函數(shù)y＝f(x)為偶函數(shù)并且圖象關(guān)于直線x＝a(a≠0)對(duì)稱，求證：函數(shù)y＝f(x)為周期函數(shù)．【解析】

由y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)稱得f(2a－x)＝f(x)，所以f(2a＋x)＝f(－x)．因?yàn)閒(x)為偶函數(shù)，所以f(－x)＝f(x)，所以f(2a＋x)＝f(x)，所以f(x)是以2a為周期的函數(shù)．思考7???根據(jù)誘導(dǎo)公式有sin(－x)＝－sinx，cos(－x)＝cosx，這反映了正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的什么性質(zhì)？活動(dòng)五正、余弦函數(shù)的奇偶性【解析】

奇偶性．正弦函數(shù)y＝sinx是奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；余弦函數(shù)y＝cosx是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．例

4

(1)函數(shù)y＝sin2x的奇偶性為(

)A.奇函數(shù) B.偶函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)

D.既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【解析】

令y＝f(x)＝sin2x，則f(－x)＝sin[2(－x)]＝－sin2x，所以f(－x)＝－f(x)，所以y＝sin2x是奇函數(shù)．【答案】A【解析】

設(shè)y＝f(x)＝1＋cosx．因?yàn)閒(－x)＝f(x)，所以f(x)＝1＋cosx為偶函數(shù)，故其圖象關(guān)于y軸對(duì)稱．【答案】B檢測(cè)反饋2451324513【答案】D24513【答案】