河南省鄭州市中牟縣2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題

2023-2024學(xué)年河南省鄭州市中牟縣高二（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若f'(x0)=2，則A.1 B.2 C.4 D.62.已知C126-x=C12A.3 B.6 C.9 D.3或93.已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且滿足A.32 B.1 C.-1 4.2023年9月第19屆亞運(yùn)會在美麗的西子湖畔杭州召開，為了辦好這一屆“中國特色、浙江風(fēng)采、杭州韻味、精彩紛呈”的體育文化盛會，杭州亞運(yùn)會組委會招募了一批大學(xué)生志愿者.現(xiàn)安排某大學(xué)含甲、乙的六名志愿者到游泳館、射擊館和田徑館參加迎賓工作，每個場館安排兩人，每人只能在一個場館工作，則甲乙兩人被安排在不同場館的方法有(

)A.90種 B.120種 C.72種 D.270種5.已知f(x)是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，y=ef'(xA.(-∞,-1) B.(-∞,2) C.(0,1) D.(1,2)6.已知某超市為顧客提供四種結(jié)賬方式：現(xiàn)金、支付寶、微信、銀聯(lián)卡，若顧客甲只帶了現(xiàn)金，顧客乙只用支付寶或微信付款，顧客丙、丁用哪種方式結(jié)賬都可以，這四名顧客購物后，恰好用了其中三種結(jié)賬方式，則他們結(jié)賬方式的可能情況有(

)A.18種 B.16種 C.24種 D.20種7.《紅海行動》是一部現(xiàn)代化海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊(duì)”奉命執(zhí)行撤僑任務(wù)的故事．撤僑過程中，海軍艦長要求隊(duì)員們依次完成六項(xiàng)任務(wù)，并對任務(wù)的順序提出了如下要求：重點(diǎn)任務(wù)A必須排在前三位，且任務(wù)E、F必須排在一起，則這六項(xiàng)任務(wù)的不同安排方案共有(

)A.240種 B.188種 C.156種 D.120種8.若函數(shù)f(x)=lnx與g(x)=1A.(-∞,5) B.(5,+∞) C.(5,6) D.(4,5)二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。9.在(2x-1A.二項(xiàng)式系數(shù)之和為128 B.各項(xiàng)系數(shù)之和為1

C.常數(shù)項(xiàng)為15 D.x-410.下列說法正確的為(

)A.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，有C62C42C22種不同的分法

B.6本不同的書分給甲、乙、丙三人，其中一人1本，一人2本，一人3本，有C61C5211.f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x>0時，有xfA.f(1)<4f(2) B.f(-1)<4f(-2)三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知(1-x)5=a0+13.已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=(x-a)(x-2)，若函數(shù)f(x14.傳說中孫悟空的“如意金箍棒”是由“定海神針”變形得來的.這定海神針在變形時永遠(yuǎn)保持為圓柱體，其底面半徑原為12cm，且以每秒1cm等速率縮短，而長度以每秒20cm等速率增長.已知神針的底面半徑只能從12cm縮到4cm，且知在這段變形過程中，當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0cm時其體積最大，假設(shè)孫悟空將神針體積最小時定形成金箍棒，則體積的最小值為______四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。15.(本小題13分)

已知函數(shù)f(x)=13x3+x2+ax(a∈R)，曲線y16.(本小題15分)

為了迎接到校訪問的同學(xué)，需要分上午、下午和晚上三個組各安排5名本校學(xué)生作為志愿者負(fù)責(zé)接待，并要求下午組的志愿者不能與上午組、晚上組的重復(fù).某班共有40名學(xué)生，其中22名女生和18名男生，現(xiàn)準(zhǔn)備從中選擇志愿者．

(1)共有多少種選法？

(2)如果下午組中有一名男生請假，需要從班上的非志愿者中選一名男生替代，那么至少有多少種選法？17.(本小題15分)

已知函數(shù)f(x)=a(ex+a)-x，(a∈R)18.(本小題17分)

設(shè)a為實(shí)數(shù)，函數(shù)f(x)=2x3-3x2+a，g(x)=x2(2lnx-3)．

(1)19.(本小題17分)

在(x2+x+1)n=Dn0x2n+Dn1x2n-1+Dn答案和解析1.【答案】C

【解析】解：f'(x0)=2，

則h→0limf(x0+h)-f(2.【答案】A

【解析】解：由題意得6-x=2x-3或6-x+2x-3=12，

解得x=3或x=9(舍)，3.【答案】D

【解析】【分析】已知函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，利用求導(dǎo)公式對f(x)進(jìn)行求導(dǎo)，再把x【解答】解：∵函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f'(x)，且滿足f(x)=2xf'(1)+ln?x，(x>0)

∴f'(4.【答案】C

【解析】解：將6個志愿者分成三組，每組兩個人，然后安排到三個地方工作，共有C62C42C22A33?A33=90(種)，

甲，乙兩人被安排在同一個場館工作，其它隨機(jī)安排，共有C35.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查了函數(shù)的單調(diào)性問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題．

根據(jù)函數(shù)的圖象，求出f'(x)的符號，從而求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

【解答】

解：由圖象得：x∈(-∞,2)時，f'(x)<0，

故f6.【答案】D

【解析】解：當(dāng)乙選擇支付寶時，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選支付寶或現(xiàn)金，

故有1+C21C21=5，

而乙選擇支付寶時，丙丁也可以都選擇微信，或者其中一人選擇微信，另一個只能選支付寶或現(xiàn)金，故有1+C21C21=5，

此時共有5+5=10種，

當(dāng)乙選擇微信時，丙丁可以都選銀聯(lián)卡，或者其中一人選擇銀聯(lián)卡，另一人只能選微信或現(xiàn)金，故有1+C21C21=57.【答案】D

【解析】【分析】

本題考查計(jì)數(shù)原理與排列的實(shí)際應(yīng)用，注意優(yōu)先分析受到限制的元素的位置．

根據(jù)題意，由于任務(wù)A必須排在前三位，按A的位置分3種情況討論，依次分析任務(wù)E、F以及其他三個任務(wù)的安排方法，由分步計(jì)數(shù)原理可得每種情況的安排方案數(shù)目，由加法原理計(jì)算可得答案．

【解答】

解：根據(jù)題意，由于任務(wù)A必須排在前三位，分3種情況討論：

①.A排在第一位，

任務(wù)E、F必須排在一起，則任務(wù)E、F相鄰的位置有4個，考慮兩者的順序，有2種情況，

將剩下的3個任務(wù)全排列，安排在其他三個位置，有A33=6種安排方法，

則此時有4×2×6=48種安排方案；

②.A排在第二位，

任務(wù)E、F必須排在一起，則任務(wù)E、F相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況，

將剩下的3個任務(wù)全排列，安排在其他三個位置，有A33=6種安排方法，

則此時有3×2×6=36種安排方案；

③.A排在第三位，

任務(wù)E、F必須排在一起，則任務(wù)E、F相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況，

將剩下的3個任務(wù)全排列，安排在其他三個位置，有A33=6種安排方法，8.【答案】D

【解析】解：函數(shù)f(x)=lnx與g(x)=12ax-1(a>0)的圖象有且僅有一個交點(diǎn)，

即y=lnx-12ax+1只有一個零點(diǎn)，即a=2?lnx+1x只有一個零點(diǎn)．

令h(x)=2?lnx+1x，則h'(x)=2?1-lnx-1x2=-2lnxx2，h'(1)=0．

當(dāng)0<x<1時，h'(x)>0，所以h(x)在(0,1)上單調(diào)遞增；

當(dāng)x>1時，h'(x)<0，所以h(x)在(1,+∞)上單調(diào)遞減，并且h9.【答案】AB

【解析】解：在(2x-1x)7的展開式中，二項(xiàng)式系數(shù)的和為27=128，所以A正確；

令x=1，可得展開式的各項(xiàng)系數(shù)的和為(2-1)7=1，所以B正確；

又由二項(xiàng)式(2x-1x)7展開式的通項(xiàng)為Tr+1=C7r(2x)7-r(-1x)r=(-1)r?10.【答案】ACD

【解析】【分析】本題考查排列組合的應(yīng)用，涉及分步計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用．

根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于A，分析三人每人2本的分法數(shù)目，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得A正確；

對于B，先將6本書分為1、2、3的三組，再將分好的三組分成甲乙丙三人，由分步計(jì)數(shù)原理計(jì)算可得B錯誤；

對于C，用擋板法分析，在6本書之間的5個空位中任選2個，插入擋板即可，由組合數(shù)公式計(jì)算可得C正確；

對于D，分三種情況討論：①三人每人2本，②三人中一人1本，一人2本，一人3本，③三人中一人4本，其余2人各1本，由加法原理可得D正確；綜合即可得答案．【解答】

解：根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：

對于A，6本不同的書分給甲、乙、丙三人，每人兩本，先分給甲，有C62種情況，再分給乙，有C42種情況，最后2本分給丙，有C62C42C22種不同的分法，A正確；

對于B，先將6本書分為1、2、3的三組，有C61C52C33種分組方法，再將分好的三組分成甲乙丙三人，有A33種情況，則有C61C52C33A33種不同分法，B錯誤；

對于C，6本相同的書分給甲、乙、丙三人，每人至少一本，用擋板法分析，在6本書之間的5個空位中任選2個，插入擋板即可，有C52=10種分法，C正確；

對于D，分三種情況討論：

①三人每人11.【答案】AC

【解析】解：令g(x)=x2f(x)，

∵當(dāng)x>0時，xf'(x)+2f(x)>0，

∴當(dāng)x>0時，g'(x)=2xf(x)+x2f'(x)=x[xf'(x)+2f(x)]>0，

∴g(x)=x2f(x)在(0,+∞)上單調(diào)遞增；①

又f(x)為定義在12.【答案】-240【解析】解：∵(1-x)5=a0+a1x+?+a5x5，

∴當(dāng)x=0時，a0=1；①

當(dāng)x=1時，a0+a1+a2+a3+a4+a5=0②；

當(dāng)x=-1時，a13.【答案】2

(-∞,2)

【解析】解：函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镽，f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)=(x-a)(x-2)，

由函數(shù)f(x)無極值，則f'(x)≥0恒成立，可得a=2．

令f'(x)=(x-a)(x-2)=0，解得x=a或2．14.【答案】3520π

4【解析】解：設(shè)原來定海神針為acm，t秒時神針體積為V(t)，

則V(t)=π(12-t)2?(a+20t)，0≤t≤8，

則V'(t)=π[2(t-12)(a+20t)+20(12-t)2]，

∵當(dāng)?shù)酌姘霃綖?0cm時其體積最大，

∴10=12-t，

解得t=2，

此時V'(2)=0，解得a=60，

∴V(t)=π(12-t)2?(60+20t)，0≤t≤8，

V'(t)=6015.【答案】解：(1)由題意得f'(x)=x2+2x+a，

∵曲線y=f(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線平行于直線y=0，即f'(1)=0，

∴12+2×1+a=0，解得a=-3；

(2)由(1)得f(x)=13x3+x2-3x，f'(x)=【解析】(1)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可得出答案；

(2)利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得出答案．

本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查轉(zhuǎn)化思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算能力，屬于中檔題．16.【答案】解：(1)可以分三步完成：先選下午的志愿者，有C405種選法；

再選上午的志愿者，有C355種選法；

最后選晚上的志愿者，因?yàn)榭梢耘c上午的重復(fù)，所以有C355種選法，

因此，共有C405?C35【解析】(1)先選下午的志愿者，再選上午的志愿者，最后選晚上的志愿者，利用分步計(jì)數(shù)原理求解即可．

(2)當(dāng)志愿者全部是男生時，非志愿者中的男生人數(shù)最少，剩有3名，求解即可．

本題考查了排列、組合及簡單的計(jì)數(shù)問題，重點(diǎn)考查了閱讀理解能力，屬中檔題．17.【答案】解：(1)當(dāng)a=1時f(x)=ex+1-x定義域?yàn)镽，

所以f'(x)=ex-1，

令f'(x)=0得x=0，

所以當(dāng)x<0時f'(x)<0，

當(dāng)x>0時f'(x)>0，

所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增，

所以f(x)在x=0處取得極小值即最小值，

所以f(x)min=f(0)=2，無最大值．

(2)f(x)=a(ex+a)-x定義域?yàn)镽，且f'(【解析】(1)求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最值．

(2)求出導(dǎo)函數(shù)，分a≤0、a>0兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，即可得解．18.【答案】解：(1)f'(x)=6x2-6x=6x(x-1)，

由f'(x)>0，解得x>1或x<0；由f'(x)<0解得0<x<1，

所以f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞增，在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1,+∞)上單調(diào)遞增，

又x→-∞時，f(x)→-∞，x→+∞時，f