2024屆湖南省常德市一中高三上學(xué)期第六次月考數(shù)學(xué)試題及答案

8.雙曲線的第三定義是：到兩條相交直線的距離之積是定值的點(diǎn)的軌跡是（兩組）雙曲1常德市一中2024屆高三第六次月水平檢測(cè)線。人教A版必修第一冊(cè)第92頁(yè)上“探究與發(fā)現(xiàn)”的學(xué)習(xí)內(nèi)容是“探究函數(shù)y=x+的x圖象與性質(zhì)”，經(jīng)探究它的圖象實(shí)際上是以兩條坐標(biāo)軸為漸近線的雙曲線，進(jìn)一步探究數(shù)學(xué)b（時(shí)量：120分鐘滿分：150分命題人：高二數(shù)學(xué)組)=+y=ax,x=0,(ab0)的圖象是以直線為漸近線的雙曲線.可以發(fā)現(xiàn)對(duì)勾函數(shù)yax85.x?8x1現(xiàn)將函數(shù)y=2x+的圖象繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到焦點(diǎn)位于x軸上的雙曲線C1.全集U=R集合A=x?2,則?A=()Uxx?2B.率是（）A.10?255?5(?)2=(?)2=A．B．C．10?45D．10?452.已知復(fù)數(shù)z滿足z1iai,aR,若z為純虛數(shù)，則a（）22A.0B.-1C.1D.245.5203.直角梯形中，角為直角，若，則9.下列命題是真命題的有（1）A.若0a則lna+2.B.若2a2b(a,bN+3+2*),則a?b?1110lnaA.B.C.1D.229x2B.若a+b+c=0且abccbabD.若函數(shù)y=，y.13+=94.記S為等差數(shù)列a}前n項(xiàng)和，已知，則cos(5a)（）S=x2nn10AO的底面圓O的半徑與球OAO的表面積與球O2+62?66?26+211212A．B．C．D．?面積相等，則下列結(jié)論成立的有（）1444423A．圓錐AO1的母線與底面所成角的余弦值為CAO1的側(cè)面積與底面積之比為3B．圓錐AO1的高與母線長(zhǎng)之比為5.《九章算術(shù)》卷五商功中有如下描述：今有芻甍，下廣三丈，袤四丈，上袤二丈，無廣，高一丈．意思為：今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹膸缀误w，下底面寬3丈，長(zhǎng)4丈，上3DO的體積與圓錐AO的體積之比為221棱長(zhǎng)2丈，高1丈．現(xiàn)有一芻甍，如圖所示，則該芻甍的體積為（）11A是拋物線C:x2=4y上一點(diǎn)，F(xiàn)是C的焦點(diǎn)，A在C的準(zhǔn)線l上的射影為M，M關(guān)于點(diǎn)A的對(duì)稱點(diǎn)為N，曲線C在A處的切線與準(zhǔn)線l交于點(diǎn)P，直線NF交直線l于點(diǎn)Q，則（A．FM⊥FN）AP∥NQC．△FPQ是等腰三角形D．|MQ|的最小值為2?B．xyA．5立方丈6.畢業(yè)十周年校友們重返母校，銀杏樹下，有五名校友站成一排拍照留念，其中甲不排在乙的右邊，且不與乙相鄰，則不同的站法共有（A．66種B．60種C．36種B．20立方丈C．40立方丈D．80立方丈()(?)()?()=x1,0時(shí)，(?)12fx的定義域?yàn)閒xfyf1?）()fx0，則（）D．24種112111()()A.fx是奇函數(shù)B.fx是增函數(shù)C.f+ffD.f+ff3433427．已知函數(shù)f(x)sin=x+0)，對(duì)任意的xR，都有f(x+=f(?x)，且f(x)在區(qū)6?,上單調(diào)，則的值為（間）454121n3a2+a+bn的展開式中13.x?的展開式中所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和為64a5bA．B．C．D．6363x的系數(shù)為{#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}14.X近似服從正態(tài)分布N(72,25)。為了調(diào)查參加測(cè)評(píng)的學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的方法與習(xí)慣差異，該中學(xué)決定在分?jǐn)?shù)段[67n)內(nèi)抽取學(xué)生，且P(67≤X≤n)＝0.8186.在某班用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法得到20名學(xué)生的分值566263656668707172737576767880818386，88，93．則該班抽取學(xué)生分?jǐn)?shù)在分?jǐn)?shù)段[67，n)內(nèi)的人數(shù)為______人(附：P(μ－σ≤X≤μ＋σ)≈0.6827，P(μ－2σ≤X≤μ＋2σ)≈0.9545，P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)≈0.9973)8888()i?x2iiiii1i1i1i160043837.293.8yx(1)求關(guān)于2024年火車的正點(diǎn)率為84%2024年顧客對(duì)火車站投訴的次數(shù)；(2)根據(jù)顧客對(duì)火車站投訴的次數(shù)等標(biāo)準(zhǔn)，該火車站這8年中有6年被評(píng)為“優(yōu)秀”，2年為“良好”，若從這8年中隨機(jī)抽取3年，記其中評(píng)價(jià)“良好”的年數(shù)為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.aa0的正整數(shù)i的個(gè)數(shù)稱為這個(gè)數(shù)i1a15.ni5a?（nN，abnS=n2?6n?2a列的變號(hào)數(shù).已知數(shù)列的前項(xiàng)和n），令附：經(jīng)驗(yàn)回歸直線?=bx+a的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)公式分別為：nn2niyni4?n=1?a的變號(hào)數(shù)為2，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是___________.n（nN），若數(shù)列??,?=y?bxb=i1nn2(i?x)16．已知函數(shù)f(x)和g(x)的定義域分別為D和D，若對(duì)任意的xD都恰有個(gè)不同的實(shí)n1201i1數(shù)x,x,x,g(x)=f(x)（其中i=2,3,N+g(x)為f(x)的“重n20．（本題12分）已知數(shù)列a滿足na=a=2an+3n.123i0n1122x?1,0x4重覆蓋函+1an21(1)令n=，求證：bn1nb是等比數(shù)列；?覆蓋函數(shù)”．(1)若函數(shù)g(x)=cosx(0x4π)是f(x)=nnx77602+?+?+c=cnTn1n的前n項(xiàng)和為，求證：ax(2axx12x11(2)令，.數(shù)”,則n=；(2)若g(x)=為f(x)=log1的“2重覆蓋函nanlog2x,x12x2x2y2+=1的上頂點(diǎn)為PC:(x?)20在橢圓+y2=r2(r)數(shù)”，記實(shí)數(shù)a的最大值為M，則sin[(M+]=2112E:E內(nèi)．．8461710A?BCDE中，ACBCCD兩兩垂直，AC=BC=BE=1，=2，∥.(1)求r的取值范圍；(2)過點(diǎn)P作圓C的兩條切線，切點(diǎn)為AB，切線PA與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為N，切線PB與橢圓E的另一個(gè)交點(diǎn)為MAB與y軸交于點(diǎn)SMN與y軸交于點(diǎn)T的最大值，并計(jì)算出此時(shí)圓C的半徑r．(1)求證：DE⊥平面ACE；18．（本題12分）在(2)求直線BD與平面ACE所成角的余弦值.中，,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c，已知b2=c(a+c).2212分）已知函數(shù)y=sinx在xxx0處的切線方程為yaxb=()=+πsinCsinA(1)若B=，求的值；004+意x0，都有sinxaxb恒成立。(2)若是銳角三角形，求3sinB+2cosC的取值范圍．2（1）求函數(shù)在點(diǎn)x=處的切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；419.（本題12多人都會(huì)打電話進(jìn)行投訴。某市火車站為了解每年火車的正點(diǎn)率x%對(duì)每年顧客投訴次數(shù)（2）求證：x；02（3）若10abm，求正整數(shù)m的最小值.y82015年～2022x%和每年顧客投訴次數(shù)y的數(shù)據(jù)作了初步處理，得到下面的一些統(tǒng)計(jì)量的值.{#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}43所以0??8k,kZ，且=+2k,kZ，此時(shí)無解，綜上可得=.常德市一中2024屆高三第六次月水平檢測(cè)數(shù)學(xué)（參考答案）3311y=2x,x=0的兩條漸近線分別為，8.D【解析】x→時(shí)，2x→x0→+時(shí)，→則y=2x+xx所以該函數(shù)對(duì)應(yīng)的雙曲線焦點(diǎn)在y2x,x0夾角（銳角）的角平分線l上，,y=y=2xtan=k,tan=2，==1.B.3.B設(shè)l:y且k2，若?故=分別是，的傾斜角，故774.B.S=a,a,a+a=2a=為雙曲線旋轉(zhuǎn)后其中一條漸近線的傾斜角，1377=5972412tan1+tantan?tank?21+2k1π1tan?=)tan(?=)?)===由tan(，即，2?6k2cos(a+a)=+)=?sinsin=594343434整理得k2?4k?1=0，可得k=2+5（負(fù)值舍去），（或者用二倍角公式求）5.A【解析】如圖所示：芻甍的體積為直三棱柱的體積減去兩個(gè)相同的三棱錐的體積，b1xC一條漸近線斜率為==5?2，故所以繞原點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到焦點(diǎn)位于軸上的雙曲線a2+5121112即V=?134213(42)=6?1=5.故選：A?b232=+=+?=1045.故選：D?e1145)a23種排法，再插入甲、乙兩人，有A24種方法，共有3×A249.AB10．AO1的底面圓6.C【解析】先排甲、乙外的3人，有種3方法，O1的半徑為RhlAO與球O1212的表面積相等，3A242又甲排乙的左邊和甲排乙的右邊各占，故所求不同和站法有=36(種）故選：C.1Rl1得Rl+R2=4R2，解得l=3R，因此圓錐AO的母線與底面所成角的余弦值為=，A正確；1611f(x+=f(?x)x=，所以+=即37．D【解析】因?yàn)椋院瘮?shù)f(x)的對(duì)稱軸為22hl223h=lAO2?R2=22R，因此圓錐AO1的高與母線長(zhǎng)之比為=，B錯(cuò)誤；12+=+k,kZ=+2k,kZkkZ，,，解得623πRlπR2l==3，C正確；圓錐的側(cè)面積與底面積之比1?,?+++0，R（1f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞增，則2kx2k,kZ∵41226243R3113?+x+,,kZ球O的體積與圓錐AO的體積之比為=2，D正確故選：ACD∴，21113πR222R311243??+2k??+2k11．4383y=?1，焦點(diǎn)為F()A(x,y)(Mx,1，則0?)【解析】對(duì)于，因?yàn)镃x2=4y：的準(zhǔn)線為：，設(shè)，∴，即，解得?8k,kZ，l001111+2k,+2kNx,2y+)(FMFN=(x,?2)(x,2y)=?4y+x20=0MFN=90，（或由拋物線定，所以123123000000義知AMANAF，所以==MFN=90，）故選項(xiàng)A正確；833所以0?8k,kZ，且=+2k,kZ，所以當(dāng)k=0=時(shí)，滿足題意；332?,+++2k,kZ∵0，（2f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則2kx41213261+x+,,kZ∴，31111?+2k?+2k143434xx2x20∴，即，解得??8k,kZ，對(duì)于，因?yàn)閥=，所以A處的切線斜率，kAP=02yx，所以kAP=kNF，而0400，kNF===11143322+2k,+2k0212312{#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}從而AP∥NF，即AP∥NQ，所以B正確又A是線段MN中點(diǎn)，所以P是線段MQ的中點(diǎn)，又0202MFN=90PQ=PFk=y?1=x，?C正確.D為的方程為NF?444令y=?1Q,?1MQ=0?=0+24=4x=24，0000故選項(xiàng)D錯(cuò)誤故選：ABC()()==(?)=?()，fyfy12．ABDfxxy=f00x02?1xg(4π)=cos4π=1(4π)上單調(diào)遞增，且?1f(x)=1f(4π)1，，而函數(shù)g(x)在(4π)故（本小問2分）f(x)在，所以()為奇函數(shù)。fx+12x由此可知f(x)=4個(gè)解．所以g(x)是f(x)在(4π)的“4重覆蓋函數(shù)”；x?y1?()1,0,fxfy，fx在(?)()()()再證明fx是增函數(shù)。不妨設(shè)1xy0，則n2x?12+1(?)令y=13.60()()(?)==?())的定義域?yàn)椋?,0為增函數(shù)，又fx是奇函數(shù)，fx在為增函數(shù)。（2）可得f(x)1122x+2x121x?y31x,x?+)g(x)=f(x)==N+=，則x=，f+f=ff即對(duì)任意02個(gè)不同的實(shí)數(shù)（其中i2,3,0,4212i1331+1122+12+11，∴2x+1201，所以01?1，所以∵2x2x2x2x14.11【解析】：P(67≤X≤77)≈0.6827，P(62≤X≤82)≈0.9545，∵P(67≤X≤n)＝0.8186＝0.9545－0.68272x?120+1f(x)=(+)g(i)f(0)log1==?)(+)k0，g(x)k有2122x+210.954－，∴n＝82P(67≤X≤82)＝0.818，由已知，該班在[67,82)內(nèi)抽取22個(gè)實(shí)根，了11人，他們的分?jǐn)?shù)為，，，，，76，，78，，。g(x)=log2x=k已有一個(gè)根，故只需x1g(x)=k當(dāng)x1時(shí)，時(shí)，1個(gè)根，952244,?n=1時(shí)，b==??1=1?=1+=g(x)=?3x+115.【解析】：當(dāng)12a5，，當(dāng)a0時(shí)，，符合題意，1b12a+52當(dāng)a0時(shí)，則需滿足g=2+2a?3+100a，解得，b=S?S=n2?6n?2a?(n?)2?6(n?)?2a=2n?7當(dāng)n2時(shí)，3nnn1，(n2)1k0g(x)=k有最大值，不能滿足對(duì)任意，僅有1個(gè)根，故不成當(dāng)a0時(shí)，拋物線開口向下，g(x)2442n?11n=1?=1?=立．n2n?72n?727M=15綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是，，a的最大值為，a6，且n6時(shí)，a0n，3a4，aa0332===3，5=?=3，35，a，0456339542a+則sin[(M+]=sin=?（本小問3分）aa=1+10a?或a?，解得要使數(shù)列的變號(hào)數(shù)為2，則32n52217．【解】（）證明：因?yàn)?，，CD兩兩垂直，BCCDC，=CD面，面BCDE，31216．(1)4；(2)?【解析】（1）因?yàn)?x0，所以2x+1112，所以⊥平面BCDE.因?yàn)镈E平面，所以⊥DE.-----------------1分2x+12+1x2=CBE=且BC=BE=1，=2，xx?1+12+122xx?1+1在直角梯形BCDE中，連結(jié)CE.由BCD22又因?yàn)閒(x)==1?1?2=?1，又因?yàn)?x?12x+1，所以f(x)=1，22x可得CE=DE=2，CE+DE22=CD2，所以⊥2x?1+1g(x)=cosx(0x4π)，所以g(x)，AC=，面ACE，CE面ACE⊥平面ACE.--------------4分（2ACBCCD兩兩垂直，以點(diǎn)C為原點(diǎn)，直線分別為x軸，yz軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，所以?1f(x)=1，又因?yàn)橐驗(yàn)?x2又因f(x)=1?f(x)為奇函數(shù)且單調(diào)遞增，作出兩函數(shù)的(4π)2+1x{#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}niixy??875?則b=i1==6-------3分n2(i?x)i1?=?6x+524所以?=y?bx=74+675=524，所以?=?6x+524y=20，；--------------4分當(dāng)x時(shí)，代入=，得到所以2024年顧客對(duì)該市火車站投訴的次數(shù)約為次（2）X服從超幾何分布，可取01，2--------------6分--------------7分()(A1,0,0)(B0)()(E)CA=1,0,0)CE=()BD=(?2)，，，則C0,0,0，，，D0,0,2，以C20C365C126321528C22C163n=x0X===;（X===;（X===設(shè)平面ACE的法向量為n=(x,y,z)，則有-------9分-------12分，得，31488328y+z=08nCE=0515334取z=1，得n()，設(shè)直線BD與平面ACE所成角為，=?-----------6分---------9分E（X)0=++12=分布列略14282800+11+12()()3則sin=,==，02+(2+202+(2+22an1an23nnan220．【解】（）∵a=a+，故2nn=+n=，nn1n+12n2n1故cos=，所以直線與平面ACE所成角的余弦值為.----------10分n133n故n1=n+，∴n1?n=，-------------3分bn1?，故是公比為的等比數(shù)列；------5分n222n1π3n1b?b33=(n18．【解】（）在中，B=，據(jù)余弦定理可得b2=a2+c2?Ba2c2-?=n+2n1n+2n1，則4+n1?n22n22()，a=2+1c又b2=c(a+c)，故asinC2?a，由于a0，故=---------------4分-------------5分n1n3313（2）由(1)可知n1?n==，c4222=21,故?=2?1；得asinA=(?n1)+n1?)+)+(?)+2bbb211∴nbnn?2（2中，據(jù)余弦定理可得b2=asinA?2sinCcosB=sinCsin[π?(B+C)]?2sinCcosB=sinC2+c2?2accosB，又b2=c(a+c)，故a2?2cosB=ac，n133又a0，故a?2cosB=c，故，，n1n?2323111?133sinBcosC+cosBsinC?2sinCcosB=sinC，sin(BC)sinC,?==++++1222123n---------------7分2，-----7分==+=?12,B,C(0,π)B?C(?,π)，則B?C=CB?C+C=π22222因?yàn)?，所以或?21?即BC或=B=π（舍），所以B=C，-------------------8分π3nan2n1?1?3sinB+2cos2C=3sinC+cos2C+1=2sin(2C+)+1,Aπ(BC)πC,=?+=?=?1a=3n?2n，∴n=，∵n0，故T．∴6n2nn2nnn2π0π?Cn113313n113982=3n?2n當(dāng)n時(shí)，==1，故n12n，∴an，πππC2n222因?yàn)槭卿J角三角形，所以0C，得，-----------------10分2641?21π時(shí)，n=0C故當(dāng)n，--------------9分23nn23n1ππ2ππ3π(3+3)，C+sin(2C+),12sin(2C+)+1,故,263626n?2111?111B+2cos2C(3+3)3故T123=+++156511?1，故---------------12分n=1++=+5182313n?21?-60059219.【解】：（1）x==y==74，1177T1++=88故--------------12分n51260{#{QQABAYSEogiIABBAABgCAQFICAIQkBCCAAoGhFAAIAIAAAFABCA=}#}x208y20422．【解】：（1y=sinx得y=cosx，切線得斜率為cos2221【解】（1）不妨設(shè)橢圓上任意一點(diǎn)Q(x,y),x+=1，此時(shí)半徑rCQ---3分，min22，且=，切點(diǎn)（，，切線方0004242x2021?222224?4，2=(0?)2+=(0?)2+?=(?)2+又CQy2040233x0時(shí)取等號(hào).程為：y?=(x?)x得y==(?)+=y=得x=?+1=222424224443，所以r的取值范圍為3；1224?4?所以rCQ=------------5分2(4?)2故切線與坐標(biāo)軸圍成的三角形面積為=)=;-------3分minS(()24464（2）過點(diǎn)P0,2作圓C的兩條切線，當(dāng)兩條切線均存在斜率時(shí)，（2）先證明a0,b0。由x=0滿足sinxax+b知b0x=,kN*，則bk=1,kPBk,Nx,y,Mx,y,Sy,Ty=()()()()ly=+2，經(jīng)過點(diǎn)P的直線的方程為，設(shè)則PA2112234|k+2|+ba2?4對(duì)kN恒成立，a0。故a0,b0。+4r=r，整理得r2?)1k2?4k+r2?=40k+k=,kk=12，所以有k1+k2122?12?1rr22y=sinx在xxx0=()處的切線方程為002+再證明x121454。由?y1+(?)2==0又以為直徑的圓的方程為x2=xcos0sin0xcosx,acos0bsin00cos0cosxtanx+?==?=(?)0，xy000001225y1+(?)2?(?)x1+2y2=?r2，則直線AB的方程為x?tanx?x0，構(gòu)造函數(shù)=?f(x)tanxx,x(0,)，則40022?1r2?1r整理得x2y?1+r?2=0，令x=0得3=，即S---------7分sinxx2x+sin2x1?2x，=?=?=0，f(x)tanx在x(0,)上單調(diào)遞增，f(x)=?x,f(x)1222x2x2y=+22f(x)f(0)=tanx?x0，，當(dāng)0也合。綜上，x--------7分=0(0,)y1+2k，消去得)x+8=0，聯(lián)立x2222220y+=1x,x