拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程高二上學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第一冊

3.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程情境引入情境引入生活中的拋物線情境引入二次函數(shù)的圖像是開口向上或向下的拋物線.新知探究問題1：具有怎樣幾何特征的曲線是拋物線呢？新知探究拋物線的定義：平面內(nèi)與一個定點(diǎn)F和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)F)的距離相等的點(diǎn)的集合(或軌跡)叫作拋物線.定點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)這條定直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線其中：焦點(diǎn)準(zhǔn)線d代表點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離.新知探究思考交流2:在平面內(nèi),若動點(diǎn)P到定點(diǎn)F(1,0)的距離與到直線l:x+y-1=0的距離相等,則點(diǎn)P的軌跡是什么?過點(diǎn)F且垂直直線l的一條直線lF思考交流1：如圖,點(diǎn)A,B,C,D分別是四個圓的圓心,請用數(shù)學(xué)語言來描述這些點(diǎn).新知探究問題2：求曲線方程的基本步驟?建系設(shè)點(diǎn)列式化簡新知探究問題3：類比橢圓、雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的建立過程,應(yīng)如何建立平面直角坐標(biāo)系,使得所建立的拋物線的方程簡單?建系:取經(jīng)過焦點(diǎn)F且垂直于準(zhǔn)線l的直線為x軸,x軸與準(zhǔn)線l相交于點(diǎn)K，KoKKoo新知探究設(shè)點(diǎn)M(x,y)是拋物線上任意一點(diǎn),點(diǎn)M到準(zhǔn)線l的距離為d,由拋物線的定義可知,拋物線上的點(diǎn)M滿足因為所以將上式兩邊平方化簡,得化簡列式設(shè)點(diǎn):設(shè)焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p(p>0),則

,焦點(diǎn)F

,準(zhǔn)線l的方程是

新知探究拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程:2.這條拋物線的焦點(diǎn)在軸的正半軸上,開口向右,準(zhǔn)線方程是是拋物線的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.1.這說明拋物線上的任意一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足方程①,反之,可以證明,以方程①的解為坐標(biāo)的點(diǎn)都在拋物線上,于是,把方程①叫作拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.①焦點(diǎn)坐標(biāo)是例題講解例1求下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo),準(zhǔn)線方程和焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離.（1）（2）例題講解例2根據(jù)下面條件,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程：（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0);（2）準(zhǔn)線方程.例3.已知拋物線的焦點(diǎn)在

正半軸上,焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程、焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程.例題講解解方法1:

設(shè)點(diǎn)M(x,y),則因為即化簡得例4.已知點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l:的距離小2，求點(diǎn)M的軌跡方程.解例4.已知點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l:的距離小2,求點(diǎn)M的軌跡方程.變式訓(xùn)練方法2:點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線l:的距離小2,即“點(diǎn)M到點(diǎn)F(4,0)的距離等于它到直線的距離“.所以點(diǎn)M的軌跡是以F(4,0),以直線為準(zhǔn)線的拋物線.故點(diǎn)M的軌跡方程是變式訓(xùn)練變式題1根據(jù)條件,求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（1）焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2）準(zhǔn)線方程為(3)焦點(diǎn)在

正半軸,且到準(zhǔn)線的距離為3.課堂小結(jié)知識:拋物線的定義思