圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題

圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題.在橢圓E:乃+藝=1(a>b>0)中:a2力2⑴如圖①所示，若直線y=kx(kH0)與橢圓E交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,B兩點(diǎn)作橢圓的切線',有l(wèi)〃l',設(shè)其斜率為小貝IJk0?"一筲.⑵如圖②所示,若直線y二kx與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),P為橢圓上異于A,B的點(diǎn),若直線PA,PB的斜率存在,且分別為k1,k2,則k1?k2=心2.⑶如圖③所示,若直線y=kx+m(kH0且mH0)與橢圓E交于A,B兩點(diǎn),P為弦AB的中點(diǎn),.在雙曲線E:任-藝=1(a>0,b>0)中，類比上述結(jié)論有:a2力2(1)k0?(1)k0?k二絲.(2)k1?k產(chǎn)(3)k0?k二絲.這些結(jié)論中的第(1)(3)個(gè)可以利用“點(diǎn)差法”來(lái)完成：①設(shè)出弦的兩端點(diǎn)的坐標(biāo)；②代入圓錐曲線方程；③兩式相減，在用平方差公式展開；④整理、轉(zhuǎn)化為弦所在直線的斜率與弦中點(diǎn)和原點(diǎn)連線的斜率的關(guān)系，然后求解.TOC\o"1-5"\h\z已知雙曲線上—22=1(〃>0,b>0),斜率為1的直線l交雙曲線于M、N,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為a2b2 2MN的中點(diǎn)，若OP的斜率為2，則雙曲線的離心率為( )例 「 lA.72B.v5C2陋D.4

析反思本題先設(shè)點(diǎn)M(x，y)、N(x，y)，利用點(diǎn)差法求得b--1,進(jìn)而可得出雙曲線的離心率為11 22 a2c J(b)2 , 八人八皿、，一e---J1+b,即可得解.主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，a\VaJ著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下：(1)定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得a、c的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值；(2)齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解；(3)特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.針對(duì)訓(xùn)練*舉一反三1 ,.已知拋物線y-ax2，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為4的直交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為( )A 1 。a.y=-32 b.y=-21c.y=-- d.y=一4642.已知橢圓x-+J-1(a>b>0)，點(diǎn)F為右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，平行于FB的直線l交橢圓于M,Na2b2一 J1 1、兩點(diǎn)且線段mn的中點(diǎn)為Q--,--，則橢圓的離心率為( )V24JA.當(dāng) B.2 C.4 D,斗3.已知雙曲線C:x--二-I(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，虛軸的上端點(diǎn)為B,點(diǎn)P,Q在雙曲線上，且a2b2點(diǎn)M(-2,1)為線段PQ的中點(diǎn)，PQ//BF,雙曲線的離心率為e，則e2-( )22+1 33+1 022+2 邪+1A. B. C. D.4.已知橢圓E:x2+二-1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于A,B兩點(diǎn)，若AB的a2b2中點(diǎn)坐標(biāo)為（1，-1），則橢圓E的方程為（ ）X2y2—X2y2—+—=14536x2y2—+—=13627C.x2 y2+—=12718x2 y2D.—+—=118x2x2y2 , .一.5.設(shè)橢圓的方程為一+二二1,直線AB不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)a2b2而且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).若TOC\o"1-5"\h\z直線AB的斜率為1，則直線OM的斜率不可能是（ ）4 9 1A.—— B.——— C.—— D.一13 16 46.已知直線l與圓x2+y2=丫2交于A、B兩點(diǎn)，P線段AB的中點(diǎn)，則k-k=-1.試用類比思想，對(duì)ABOP橢圓寫出結(jié)論：..已知AB為拋物線x2=4y的一條長(zhǎng)度為8的弦，當(dāng)弦AB的中點(diǎn)離x軸最近時(shí)，直線AB的斜率為.已知雙曲線C：x2-y2=1（a>0,b>0）的右焦點(diǎn)為F，虛軸的上端點(diǎn)為B，點(diǎn)P,Q為C上兩點(diǎn)，a2b2點(diǎn)M（一2，1）為弦PQ的中點(diǎn)，且PQ//BF，記雙曲線的離心率為e，則e2=.參考答案

已知雙曲線三一"=1（a>0,b>0），斜率為1的直線l交雙曲線于M、N,O為坐標(biāo)原點(diǎn)，P為a2b2 2MN的中點(diǎn)，若OP的斜率為2，則雙曲線的離心率為（）A.<2B.\；5C 2<3 D.4【答案】A【詳解】設(shè)點(diǎn)M（\，J；）、NI，y2）則夕(X+Xy+【詳解】設(shè)點(diǎn)M（\，J；）、NI，y2）則夕(X+Xy+y)

1212

-12,12V2 2JX2y2 _X2,由題意，得-i---i-=1,Ta2b2a2兩式相減，得2——

a2y2—y2 b2整理得2 1=—，所以X2—X2 a22 1k,kOPMNy+y-a—22X+Xb2 r一二1，因此，雙曲線的離心率為a2本題先設(shè)點(diǎn)M（X,y）、N（X,y），利用點(diǎn)差法求得b=1,進(jìn)而可得出雙曲線的離心率為11 22 a22，即可得解.主要考查了雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及直線與雙曲線的位置關(guān)系的應(yīng)用，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.求解橢圓或雙曲線的離心率的方法如下:（1）定義法：通過(guò)已知條件列出方程組，求得a、c的值，根據(jù)離心率的定義求解離心率e的值;齊次式法：由已知條件得出關(guān)于a、c的齊次方程，然后轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程求解;特殊值法：通過(guò)取特殊位置或特殊值，求得離心率.針對(duì)訓(xùn)練*舉一反三1,,.已知拋物線y=aX2，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為4的直交拋物線于A、B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,則該拋物線的準(zhǔn)線方程為（ ）132164

--

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Ac--132164

--

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Ac---一yy?1?BD【答案】D1【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x21【詳解】拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是x2=-y

aL1)焦點(diǎn)坐標(biāo)是0,-j—I4a)1 1，則直線”的方程是y二4"心與拋11c 1 , 1 ,物線方程聯(lián)立得x2- x--=0,x+x= ，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2,所以=44a 4a2 124a 4a1得a=，所以該拋物線方程x2=16y，則準(zhǔn)線方程y=-4.16.已知橢圓x2+y2=1(a>b>0),點(diǎn)F為右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，平行于FB的直線l交橢圓于M,Na2b2(1 1\兩點(diǎn)且線段MN的中點(diǎn)為Q--,-t，則橢圓的離心率為(V24)1B.1B.一21C-4D-f【答案】A【詳解】設(shè)M【詳解】設(shè)M(x1,y)，N(x2,y2)，直線l的斜率為kx2y2古+石一(x-x)x+x)(y-y)G+y)n_1 2 1 2_+_1 2 1 2-=0x2y2,a 拉+-2-=1、a拉TOC\o"1-5"\h\zy-yy+y b2 (11\ 1所以上一2?莖^2=—-，由線段MN的中點(diǎn)為Q--,--，所以x+x=-1,y+y=--x-xx+x a2 V24) 12 12 212 12kb2 7b所以2kb2 7b所以2=-三,又k=-c所以一=一,又a2=b2+c2，所以b=c,.?.a=2Ccne=—\o"CurrentDocument"2ca2 2.已知雙曲線C:x2-==1(a>0,b>0)的右焦點(diǎn)為F，虛軸的上端點(diǎn)為B，點(diǎn)P,Q在雙曲線上，且a2 b2點(diǎn)M(-2,1)為線段PQ的中點(diǎn)，PQ//BF,雙曲線的離心率為e，則e2=(A.v,2+2D.A.v,2+2D.55+1

2【答案】A【詳解】解法一：由題意知F(c,0),B(0,b)，則k=k=-b設(shè)P(x,y),Q(x,y)PQBFc 1 1 2 2兩式相減，=1,J-J得—-2x-兩式相減，=1,J-J得—-2x-X1 2；.因?yàn)榫€段PQ的中點(diǎn)為M(一2,1)2=-4，J1+J2J-J、 2x-X

1 2= b -4b2所以——=——c 2a2，整理得a2=2bc所以a4=4b2c2=4c22一a2),即4e4-4e2-1=0解法二：由題意知F(c,0),B(0,b)，則kBF--設(shè)直線PQ的方程為J-1=k(x+2)，即cJ=kX+2k+1，代人雙曲線方程，得(b2-a2k2)x2-2a2k(2k+1)-a2(2k+1)2-a2b2=0.設(shè)P(xjJ1),Q(x2,J2)，則X1+X2=-42a2k(2k+1)所以 =-4,又k=kBF所以一(c即1-+1=-4b2+4a2整理得a2=2bc，所以c2-b2-2bc=02-在-1=0,得c=<2+1,則Ue2b b<2+1 x24.已知橢圓E:一+a2二=1(a>b>0)的右焦點(diǎn)為F(3,0)，過(guò)點(diǎn)F的直線交橢圓于AB兩點(diǎn)，若AB的b2中點(diǎn)坐標(biāo)為(1，-1),則橢圓E的方程為(X2J2A.—+—=145363627C.x2j2—+—=12718X2J2D.—+—=1189【答案】D【詳解】設(shè)4x，J)，B【詳解】設(shè)4x，J)，B(x,J)1 1 2 2，則x1+x2J+J=-2，兩式相減得:(X+X)(x-X

―1 21 2a2=0，二kJ-J=i 2ABX-X1 2a2(J+J)-2a25.設(shè)橢圓的方程為一+)5.設(shè)橢圓的方程為一+)=1,直線AB不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，

a2b2而且與橢圓相交于A，B兩點(diǎn)，M為AB的中點(diǎn).若7 0+11b2 1b2 1fa2=18、一一.x2 y2又k 01=C，???—=-，聯(lián)立1=二，得1???橢圓方程為一+—=1AB3—12a22a22[b2=9189c2=a2—b2TOC\o"1-5"\h\z直線AB的斜率為1，則直線OM的斜率不可能是( )4 9 1A.—— B.——— C.—— D.-13 16 4【答案】Dxx+x【解析】設(shè)4x1,y1),B(x2,y2)，則M(-^2-.x2y2r—1+-i-=1y+y、a2b2 x2—x2 y2—y2 _1c2)，又1n 2-+1-L=02屋+”=1 a2 b2 ，、a2b2■y2-■y2-y2

x2—x21 2b2 y—y———.故k?k =-1——-2a2 AB OM x—x1 2y+y 22x+x-A 22y2—y2 b2=— 2=——.即k-kx2—x2 a2 ABOM1 2TOC\o"1-5"\h\z,b2 , b2 .又k=1，故k =——，因?yàn)閍 b，故k二一一W—1.AB OMa2 OM a26.已知直線l與圓x2+y2=丫2交于A、B兩點(diǎn)，P線段AB的中點(diǎn)，則k-k=-1.試用類比思想，對(duì)ABOP橢圓寫出結(jié)論：.x2y2 b2【答案】若橢圓一+二=1與直線l交于A、B兩點(diǎn)，P是線段AB中點(diǎn)，則kk=——a2b2 ABopa2【解析】由類比思想，可知橢圓=+y2=1與直線i交于A、B兩點(diǎn)，p是線段AB中點(diǎn).設(shè)點(diǎn)A(x,y)a2b2 11x+xx=-t 2 八0 2 7y—0yB(x,y),(x*x)，中點(diǎn)P(x,y)則1 ,即kp=^—==f,將A(x,y),B(x,y)兩2 2 1 2 0 0 y+yOPx—0x 1 1 22,」y=^4―<2 0 0[0 2

(y—y)(y+y) (1 0 1 o——x—x)(x+x)1 O 1 o,vk一 1一V2b2x+x—— .1 2_b2x—— ._0.一b21— ? b2-1 2 1 2-,a2所以 1ABx1—x2a2y+y1 2a2y0a2kOPb2a2x2 y2-i-+-i-=1x2 y2-i-+-i-=1.. ，,一x2y2“.a2 b2點(diǎn)代入橢圓一十二=1中，;,a2 b2x2 y2—2+—2=1、a2 b2x2—x2 V2—V2 -上下兩式相減得T + ——2=0，即a2 b2即kk=ABOP8.已知AB為拋物線x2=4v的一條長(zhǎng)度為8的弦，當(dāng)弦AB的中點(diǎn)離x軸最近時(shí)，直線AB的斜率為【答案】±1【詳解】由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為ly=—1，過(guò)a作A^,1于。，過(guò)b作BB1,1于B1，設(shè)弦AB的中點(diǎn)為M，過(guò)M作MM111于M1，則21MM1|=|AA1I+BB1I，設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，則|AF|+|BF|21ABi，即|絲|+BB卜IAFI+|BF|-8（當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F(xiàn)三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立），所以|AA1I+|BB1|=2MM1|-8，解得IMM1|-4，即弦AB的中點(diǎn)到x軸的最短距離為：4—1=3，所以點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為（x,3），A（x,V），B（x,V），F(xiàn)（0,1），x2=4y，x2=4y0 1 1 2 2 112 2TOC\o"1-5"\h\z7y—yx+xx3—1 _???所以直線AB的斜率k=丁=2=t2=才=-―-,Ax=±2，此時(shí)k=±1x—x4 2x—0 01 2 0當(dāng)弦AB的中點(diǎn)離x軸最近時(shí)，直線AB的斜率為±19