五年(2018-2022)全國(guó)各省份高考數(shù)學(xué)真題分類匯編21-立體幾何解答題(含詳解)

2018-2022五年全國(guó)各省份高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題21立體幾何解答題

一、解答題

1.（2022高考北京卷?第17題）如圖，在三棱柱ABC—AgG中，側(cè)面BCGg為正方形，平面8CG4_L

平面ABBA，AB=BC=2,M,N分別為Af,AC的中點(diǎn).

⑴求證：MN〃平面BCG4；

（2）再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求直線A8與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：ABLMN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

2.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）?第18題）在四棱錐P-438中，尸底面

ABCD,CD//AB,AD=DC=CB=],AB=2,DP=>/3.

(1)證明：BDVPA-.

（2）求PD與平面PAB所成的角的正弦值.

3.（2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第19題）如圖，已知ABCD和C0EE都是直角梯形，AB//DC,

DC//EF,A8=5,DC=3,EF=1，/BAD=NC￡>E=60°,二面角尸―￡>C—5的平面角為

60°.設(shè)M,N分別為的中點(diǎn).

EF

（1）證明:FNLAD；

（2）求直線8M與平面ADE所成角的正弦值.

4.（2022新高考全國(guó)II卷?第20題）如圖，P。是三棱錐P-ABC的高，PA=PB，AB_LAC,E是「3

的中點(diǎn).

⑴證明：OE//平面PAC；

(2)若NABO=NCBO=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—AE—3正弦值.

5.（2022新高考全國(guó)I卷?第19題）如圖，直三棱柱ABC—A的體積為4,ABC的面積為2血.

（1）求A到平面ABC的距離;

（2）設(shè)D為4。的中點(diǎn)，A4,=A6,平面A8CJ■平面A844,求二面角A—BD—C的正弦值.6.（2022

年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）?第18題）如圖，四面體ABCD中，A。，CD,A￡>=CD,ZADB=ZBDC,

￡為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面BED，平面A。；

(2)設(shè)AB=BD=2,NACB=60。，點(diǎn)F在BO上，當(dāng)△吩(7的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成

的角的正弦值.

7.(2021年高考浙江卷?第19題)如圖，在四棱錐P-ABCO中，底面反8是平行四邊形,

ZABC=120°,AB=l,BC=4,PA=4l5,M,N分別為8Gpe的中點(diǎn)，PD±DC,PM1MD.

(1)證明：ABVPM；

(2)求直線AN與平面PDM所成角的正弦值.

8.(2021年新高考全國(guó)H卷?第19題)在四棱錐。-他8中，底面ABCD是正方形，若

AD=2,QD=QA=45,QC=3.

⑴證明：平面QADJ?平面A8C。；

(2)求二面角B-QO-A平面角的余弦值.

9.(2021年新高考I卷?第20題)如圖，在三棱錐A-BCO中，平面板)，平面BCD,AB=AD,O為BD

的中點(diǎn).

A

⑴證明：OALCD-,

（2）若cOCD是邊長(zhǎng)為1等邊三角形，點(diǎn)E在棱4）上，DE=2E4,且二面角E-3C-O的大小為45。,

求三棱錐A-BCD的體積.

10.（2021年高考全國(guó)乙卷理科?第18題）如圖，四棱錐P-ABC。的底面是矩形，底面ABC。，

PD=DC=1，”為的中點(diǎn)，且依，AM.

11.（2021年高考全國(guó)甲卷理科?第19題）已知直三棱柱ABC-4AG中，側(cè)面AAgB為正方形,

AB=BC=2,E,F分別為AC和CG中點(diǎn)，D為棱A片上的點(diǎn).BFL

(1)證明：BFLDE-,

(2)當(dāng)片。為何值時(shí)，面BB,C,C與面OFE所成的二面角的正弦值最??？

12.(2021高考北京?第17題)如圖：在正方體ABCO-AgG"中，E為4,中點(diǎn),8c與平面COE

交于點(diǎn)尸.

⑴求證：F為4G的中點(diǎn)；

(2)點(diǎn)”是棱4耳上一點(diǎn)，且二面角M-RC—E的余弦值為正，求禁的值.

34片

13.(2020年高考課標(biāo)I卷理科?第18題)如圖，。為圓錐的頂點(diǎn)，。是圓錐底面的圓心，AE為底

面直徑，AE=AD.ABC是底面的內(nèi)接正三角形，P為。。上一點(diǎn)，

D

(1)證明：平面PBC：

(2)求二面角B-PC-E的余弦值.

14.(2020年高考課標(biāo)II卷理科?第20題)如圖，已知三棱柱ABC-AiBiCi的底面是正三角形，側(cè)面BBiCiC

是矩形，M,N分別為8C,比Q的中點(diǎn)，P為AM上一點(diǎn),過(guò)&Q和P的平面交A8于E,交AC于F.

⑴證明:AA1//MN,且平面4AMN_LEBiGF；

(2)設(shè)。為△4&G的中心，若A?！ㄆ矫鍱BiGF,且AO=A8,求直線8正與平面4AMN所成角的正弦

值.

15.(2020年高考課標(biāo)m卷理科?第19題)如圖，在長(zhǎng)方體中，點(diǎn)E，E分別在棱

DD,,上，且2DE=ED1,BF=2FB、.

（1）證明：點(diǎn)C1平面AE尸內(nèi);

(2)若A6=2，A￡>=1,A4,=3,求二面角A——4的正弦值.

16.（2020年新高考全國(guó)I卷（山東）?第20題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形，PD,底面ABCD.設(shè)

平面PAD與平面PBC的交線為/.

（1）證明：LL平面PDG

（2）已知PD=AD=1,Q為/上的點(diǎn)，求P8與平面QCD所成角的正弦值的最大值.

17.（2020年新高考全國(guó)卷II數(shù)學(xué)（海南）?第20題）如圖，四棱錐P-ABCD的底面為正方形,PD1底面ABCD.設(shè)

平面PAD與平面PBC的交線為I.

（1）證明：/I平面PDC；

⑵已知PD=AD=1,Q為/上的點(diǎn)，QB=O，求PB與平面QCD所成角的正弦值.

18.（2020年浙江省高考數(shù)學(xué)試卷?第19題）如圖，三棱臺(tái)DEF—ABC中，面ADFC_L50ABC,/ACB=

NACD=45°,DC=2BC.

(I)證明:EFLDB；

（II）求DF與面DBC所成角的正弦值.

19.（2020天津高考?第17題）如圖，在三棱柱ABC-A耳G中，CGJ■平面A3C,AC，BC,AC=BC=2,

CG=3,點(diǎn)。，E分別在棱M和棱CC上，且4）=1CE=2,M為棱A片的中點(diǎn).

(I)求證：CtMA.BtD；

(11)求二面角8-8田-。的正弦值；

(III)求直線AB與平面O&E所成角的正弦值.

20.(2020江蘇高考?第24題)在三棱錐A-BCD中，已知C8=CO=石，B3=2,。為BD的中點(diǎn)，AO1

平面BCD,AO=2,E為AC的中點(diǎn).

(1)求直線AB與DE所成角的余弦值;

⑵若點(diǎn)尸在5c上，滿足BF=：BC,設(shè)二面角八上-C的大小為求sin。的值.

21.(2020江蘇高考?第15題)在三棱柱中，AB1AC,gC_L平面ABC,分別是AC,4c

的中點(diǎn).

(1)求證:EF平面AB?；

(2)求證：平面平面48隹.

22.(2020北京高考?第16題)如圖，在正方體A8CD-AMGA中，E為的中點(diǎn).

AiBi

(I)求證：?jiǎn)T"/平面4)也；

D

(II)求直線網(wǎng)與平面ARE所成角的正弦值.

23.(2019年高考浙江?第19題)如圖，已知三棱柱ABC-AAG,平面AACG_L平面ABC,ZABC=90°,

NS4c=30°,

AyA=AxC=AC,E,尸分別是AC,A耳的中點(diǎn).

(I)證明：EFLBC；

(II)求直線斯與平面ABC所成角的余弦值.

24.(2019年高考天津理?第17題)如圖，AEA.平面ABCD,CF//AE,AD//BC,

AD±AB,AB=AD^\,AE^BC=2.

(I)求證：8/〃平面A￡)￡；

(II)求直線CE與平面BDE所成角的正弦值；

(III)若二面角E—瓦＞—尸的余弦值為'，求線段b的長(zhǎng).

3

B25.(2019年高考上海?第17題)如圖，在長(zhǎng)方體A8CO-AMGA中,

M為BB|上一點(diǎn)，已知BM=2,AD=4,CD=3,M=5.

(1)求直線AC與平面ABC。的夾角；

(2)求點(diǎn)A到平面4MC的距離.

26.(2019年高考全國(guó)HI理?第19題)圖1是由矩形ADEB,Rt/XABC和菱形8FGC組成的一個(gè)平面圖形,

其中AB=1,BE=BF=2,ZFBC=60°,將其沿AB,BC折起使得8E與B尸重合，連結(jié)DG,如圖2.

(1)證明：圖2中的A,C,G,。四點(diǎn)共面，且平面ABCJ_平面8CGE；

(2)求圖2中的二面角B-CG-A的大

圖1圖2

*

27.(2019年高考全國(guó)H理?第17題)如圖，長(zhǎng)方體43。。-4409的底面旗8是正方形，點(diǎn)￡；在棱

44i上，BE±￡C,.

(1)證明：8￡,平面￡：耳。|；

(2)若AE=4E,求二面角8—EC—G的正弦值.

G

￡>__________c

iAx

M”…母7//

直月棱柱次及乙44“)1的底面是

.428.(2019年高考全國(guó)I理?第18題)如圖,

BB］的沁:

菱形，A4,=4,48=2,/員4。=60。,￡,加，%分別是3。，

A-B

(1)證明：MN〃平面CQE；

(2)求二面角A—MA—N的正弦值.

29.(2019年高考江蘇?第16題)如圖，在直三棱柱ABC-AGG中，DE分別為BC,AC的中點(diǎn)，AB=BC.

求證：⑴A耳〃平面DEC,；（2）BEX.C,E.

30.（2019年高考北京理?第16題）如圖，在四棱錐PY8CQ中，平面ABC。，AD1CD,AD//BC,

（I）求證：CQJ_平面以。；

（II）求二面角F-AE-P的余弦值；

（IH）設(shè)點(diǎn)G在PB上，且——=-.判斷直線AG是否在平面AEF內(nèi)，說(shuō)明理由.

PB3

31.（2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷?第25題）（本小題滿分10分）如圖，在正三

棱柱ABC-4B1G中，A8=A4=2,點(diǎn)P,Q分別為BC的中點(diǎn).

（1）求異面直線BP與ACi所成角的余弦值；

（2）求直線CCi與平面AQQ所成角的正弦值.

B

（第22題）

32.（2018年高考數(shù)學(xué)江蘇卷?第15題）（本小題滿分14分）在平行六面體

ABCQ-ABCIR中，AAy=AB,AB,±BlCl.

求證：（1）AB〃平面A^C；

（2）平面484AJ_平面ABC.

（第15題）

33.（2018年高考數(shù)學(xué)浙江卷?第19題）（本題滿分15分）如圖，己

知多面體A8C4,用G，AA,用8,GC均垂直于平面ABC，

ZABC=120。，4A=4,C,C=1.AB=BC=BiB=2.

（1）證明：AB|J_平面A4G；

（2）求直線AC｝與平面ABB1所成角的正弦值.

34.（2018年高考數(shù)學(xué)上海?第17題）（本題滿分14分，第1小題滿分

6分，第2小題滿分8分）

己知圓錐的頂點(diǎn)為P，底面圓心為O,半徑為2,

（1）設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為4,求圓錐的體積；（2）設(shè)PO=4,OA,QB是底面半徑，且NAQB=90°,M

為線段A3的中點(diǎn)，如圖，求異面直線尸”與OB所成的角的大小.

p

35.（2018年高考數(shù)學(xué)天津（理）?第17題）（本小題滿分13分）如圖，AD//BC

且AD=2BC,AD1CD,EGHAD且EG=AD,CD/IFG,且CD=2FG,DC_L平面ABC。,

DA=DC=DG=2.

⑴若M為CE的中點(diǎn)，N為EG的中點(diǎn)，求證：MN〃平面CDE；

（2）求二面角E-BC-F的正弦值；

（3）若點(diǎn)P在線段DG上，且直線族與平面AQGE所成的角為60。，求線段DP的長(zhǎng).

36.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)m卷（理）?第19題）（12分）如圖，邊長(zhǎng)為2

的正方形ABCO所在平面與半圓弧CO所在的平面垂直，M是弧上異于C,。的點(diǎn).

（1）證明：平面平面BMC；

⑵當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時(shí)，求面MAB與面MCD所成二面角的正弦

M

M

37.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)II卷（理）?第20題）（12分）

如圖，在三棱錐尸一/WC中，AB=BC=2叵,PA=PB=PC=AC=4,O為AC的中點(diǎn).

（1）證明：PO_L平面ABC；

（2）若點(diǎn)M在棱3c上，且二面角M-R4-C為30。，求PC與平面A4M所成角的正弦值.

38.（2018年高考數(shù)學(xué)課標(biāo)卷I（理）?第18題）（12分）如圖，四邊形

A8CD為正方形，分別為AD,8c的中點(diǎn)，以。F為折痕把八。。/折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位

置，且PF工BF.

⑴證明：平面PEF±平面ABFD；

（2）求與平面ABFD所成角的正弦值.

B39.（2018年高考數(shù)學(xué)北京（理）?第16題）（本小題14分）如圖，在三

棱柱ABC—A旦G中，CG，平面ABC,D,E,F,G分別為AA?AC^^BB,的中點(diǎn)，

AB=BC=y/5,AC=A4,=2.

(I)求證：AC_L平面5所；(U)求二面角B-CO—G的余弦值;

(m)證明：直線FG與平面8CO相交.

2018-2022五年全國(guó)各省份高考數(shù)學(xué)真題分類匯編

專題21立體幾何解答題

一、解答題

1.(2022高考北京卷?第17題)如圖，在三棱柱ABC—AgG中，側(cè)面BCGg為正方形，平面8CG4_L

平面ABBA，AB=BC=2,M,N分別為Af,AC的中點(diǎn).

⑴求證：MN〃平面BCG4；

(2)再?gòu)臈l件①、條件②這兩個(gè)條件中選擇一個(gè)作為己知，求直線A8與平面8MN所成角的正弦值.

條件①：ABLMN；

條件②：BM=MN.

注：如果選擇條件①和條件②分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.

【答案】解析：(1)取AB的中點(diǎn)為K，連接MK,NK,

由三棱柱ABC-44G可得四邊形AB44為平行四邊形，

而與"=M4,，BK=KA,則MKHBB,,

而MKu平面CBgG，8gu平面CBgG，故MK〃平面C&?IG，

而CN=NA,BK=KA,則NK//BC,同理可得NK〃平面,

而NKCMK=K,NK,MKu平面MKN,

故平面MKN〃平面CBgG,而MNu平面MKN,故MN〃平面CBgC,

(2)因?yàn)閭?cè)面CBBg為正方形，故CB工,

而CBu平面CBB?,平面CBB?1平面ABB.A,,平面CBBgc平面ABB.A,=8耳，故CB_L平

面，

因?yàn)镹KHBC,故NKJ_平面

因?yàn)锳Bi平面故NK_LA3,

若選①，則ABLMN,而NKLAB,NKMN=N,

故A6J_平面MNK,而MKu平面MNK,故ABLMK，

所以ABL34,而CBJ.Bq,CBcAB=B,故8用_1.平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則3（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,l,0）,M（0,l,2）,

故班=(0,2,0),BAT=(l,l,0),BM=(0,1,2),

設(shè)平面BNM的法向量為n=（x,y,z）,

〃?BN=0x+y=0..

則〈,從而“；c，取z=-l，則“=(_2,2,—l),

n-BM^0y+2z-Q

設(shè)直線A8與平面BMW所成的角為。，則

42

sin6=cos(n,AB后一§

若選②，因?yàn)镹KHBC,故NK_L平面ABBA，而KMu平面MMV,

故NKLKM,而B]M=BK=1,NK=1,故B、M=NK,

而5|B=MK=2,MB=MN,故BB1M=MKN,

所以/8月”=/1〃”=90。，故

而CB上BB],CBcAB=B,故84_L平面ABC,

故可建立如所示的空間直角坐標(biāo)系，則8（0,0,0）,A（0,2,0）,N（l,1,0）,加（0,1,2）,

故B4=(O,2,O),3N=(l,l,O),3M=(O,l,2),

設(shè)平面BNM的法向量為n=（x,y,z）,

n-BN=0x+y=0

則〈,從而，b+2z=。'取z=T,則XT〉)，

n-BM=0

42

設(shè)直線AB與平面BNM所成的角為0,則sin0=cos（n,AB

-2^3-3

【題目欄目】立體幾何\空間角'直線與平面所成的角

【題目來(lái)源】2022高考北京卷?第17題

2.（2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）?第18題）在四棱錐P-ASCZ）中，底面

ABCD,CD〃AB,AD=DC=CB=\、AB=2,DP=Q.

(1)證明：BDA.PA-,

（2）求PD與平面叫B所成的角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析;

【解析】（1）證明：在四邊形ABC￡>中，作于E,b_LAB于尸，

因?yàn)镃D//43,AL>=CD=CB=1,AB=2,所以四邊形AfiCD為等腰梯形,

1A,_________

所以AE=3尸=5，故￡)E=J,BD=《DE2+BE°=6，

乙乙

所以AD2，所以A￡>_L8。，

因?yàn)檫禞_平面ABC。，3￡>u平面A3C￡>,所以PD_L3￡）,又PDcAD=D,所以3￡）_L平面%八,

又因B4u平面皿>,所以比>_LP4；

（2）解：如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,

BD=y/3，則A（1,O,O）,B（O,6,O）,P（O,O,⑹,

則”=（-1,0詞麻=（0,-6,6）沖=（0,0,@,

設(shè)平面P48的法向量〃=（x,y,z）,

n-AP=—x+yfiz=0/\

則有｛「,可取〃

/?-BP=-Vr3y+V3z=0''

/八八n-DP亞、尺

則cos?,DP）=pqr—?=—,所以與平面R記所成角的正弦值為氾

網(wǎng)叫55

【題目欄目】立體幾何'空間角'直線與平面所成的角

【題目來(lái)源】2022年高考全國(guó)甲卷數(shù)學(xué)（理）?第18題

3.（2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第19題）如圖，已知ABC￡＞和COE/7都是直角梯形，AB//DC，

DC//EF,AB=5,DC=3,EF=1，ZBAD=ZCDE=60°,二面角/一DC—B的平面角為

AB

⑴證明：FN±AD；

(2)求直線BM與平面ADE所成角的正弦值.

【答案】解析：

(1)過(guò)點(diǎn)E、。分別做直線AB的垂線EG、并分別交于點(diǎn)交于點(diǎn)G、H.

??四邊形ABC。和EFC。都是直角梯形，AB//DC,CD//EF,AB=5,DC^3,EF=l,

ZBAD=NCDE=60°,由平面幾何知識(shí)易知，

DG=AH=2,NEFC=ZDCF=NDCB=ZABC=90°,則四邊形EFCG和四邊形DCBH是矩形,

，在Rt&EGD和RtEG=DH=26.

.DC±CF,DC1CB,且CFcCB=C,

???OC，平面BCF,/BCF是二面角F-DC-B的平面角，則ZBCF=60.

，ZSBC戶是正三角形，由。Cu平面ABCD,得平面ABCD_L平面8CF,

；N是3C的中點(diǎn)，??.RVJ_BC,又。平面BC尸，F(xiàn)Nu平面BCF,可得FNLCD,而

BCcCD=C,；?FN上平面ABCD,而")u平面ABCD..FNJ_A￡>.

⑵因?yàn)樵耉_L平面ABCO,過(guò)點(diǎn)N做A3平行線NK,所以以點(diǎn)N為原點(diǎn)，NK,NB、NF所

在直線分別為x軸、)'軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系N-肛z,

設(shè)A(5,百,()),8(0,百,()),D(3,—JJ,()),E(1,O,3),則M3,—,

：.BM=3,-^-,-,AZ)=(-2,-2百,0),。七=(一2,6,3)設(shè)平面4￡史的法向量為〃=(%%2)

n-AD=0

由LV一l,取〃=(百設(shè)直線BM與平面ADE所成角為。,

n?DE=0-2x+J3y+3z=0

3g+苴+隹

?.sin6=|cos(?,甌卜=_________22=占=5V7

1?IMBMI房市"2百14

【題目欄目】立體幾何\空間角'直線與平面所成的角

【題目來(lái)源】2022年浙江省高考數(shù)學(xué)試題?第19題

4.（2022新高考全國(guó)II卷?第20題）如圖，P。是三棱錐尸—ABC的高，PA=PB，是「3

的中點(diǎn).

（1）證明:OE//平面PAC；

（2）若NABO=NC8O=30°,PO=3,PA=5,求二面角C—3正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

⑵]

13

解析：（1）證明：連接30并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)。，連接。4、PD，

因?yàn)镻。是三棱錐P—ABC的高，所以「。，平面ABC,AO,BOu平面ABC,

所以PO_LAO、POVBO,

又PA=PB，所以△尸。4?△尸03，即。4=08,所以NOAB=NOBA,

又AB_LAC,即NB4C=90°,所以NOAB+NQ4D=90°,N03A+NOZM=90°,

所以NOZM=NQ4Z）所以AO=OO,即AO=Z）O=QB,所以。為BD的中點(diǎn)，又E為心的中

點(diǎn)，所以O(shè)E//PD,

又OE<Z平面PAC,PDu平面PAC,

所以O(shè)E〃平面PAC

(2)解：過(guò)點(diǎn)A作Az〃OP，如圖建立平面直角坐標(biāo)系,

因?yàn)镻0=3,AP=5,所以04=JAP?—PO2=4,

又NQBA=NQBC=30°,所以

57）=204=8,則AT>=4,AB=4>/3，

所以AC=12,所以0（26,2,0）,B（4^,0,0）,尸（26,2,3）,C（0,12,0）,所以

則AE=36,1，5,AB=（473,0,0）,AC=（0』2,0）,

3

n-AE=3^3x4-y+—z=0

設(shè)平面AEB的法向量為〃=（x,y,z）,則<-2，令z=2,則V=-3,x=0,

n-AB=4&=0

所以〃=（0,-3,2）；

3

z/ze+b+__c—0

設(shè)平面AEC的法向量為m=（a,A,c）,則<2，令〃=，則。=—6,〃=0,

m-AC=nb=0

所以加=（6,0,-6}

/\nm-12473

設(shè)二面角C—AE—8為e，由圖可知二面角C-AE—3為鈍二面角,

所以cos6=—生8,所以sinl=Jl—cos?e=U

1313

故二面角C-4E-B的正弦值為日；

13

【題目欄目】立體幾何'空間角'二面角

【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)II卷?第20題

5.(2022新高考全國(guó)I卷?第19題)如圖，直三棱柱ABC-ARC的體積為4,48c的面積為2a.

⑴求A到平面ABC的距離;

(2)設(shè)。為AC的中點(diǎn)，AA]=AB,平面平面AB4A，求二面角4一3。一。的正弦值.

【答案】⑴8

⑵更

2

解析：(1)在直三棱柱ABC—A4G中，設(shè)點(diǎn)A到平面ABC的距離為h,則

1/_1c,_2V2__1?.4_1/_4

5-48C=§5&BC,"=3"=匕\-ABC=§5ABC-=K18C-48?=§，

解得k=及，所以點(diǎn)A到平面ABC的距離為72；

(2)取同出的中點(diǎn)E,連接AE,如圖，因?yàn)锳4=A8,所以AE_LAB,

又平面4BC_L平面ABB|A,平面ABC平面

且A￡u平面ABgA，所以他，平面ABC,

在直三棱柱ABC—44cl中，8g，平面ABC,

由BCu平面ABC,BBt1BC,

又AE,8gu平面ABgA且相交，所以3C_L平面,

所以BC,BA,B4兩兩垂直,以B為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖,

由(1)得人￡=及，所以的=AB=2,43=2血，所以BC=2,

則A（0,2,0）,A,（0,2,2）,B（0,0,0）,C（2,0,0）,所以4c的中點(diǎn)0（1,1/）,

則30=（1』/），B4=（0,2,0）,BC=（2,0,0）,

,m-BD=x+y+z=0

設(shè)平面43￡)的一個(gè)法向量zn=(x,y,z,則〈）

m-BA=2y=0

可取〃2=（1,0,-1）,

m-BD=a-^b+c=0」/、

設(shè)平面BOC的一個(gè)法向量”=(a,b,c),貝卜

m-BC=2a=0'）

/\m-n11

；

川ijiilcos(、m,n/)=郵?-〃j-n-r|=—V=2——xVT2==—2，

所以二面角A—BO—C的正弦值為Jl-(g)=*.

【題目欄目】立體幾何'空間角、二面角

【題目來(lái)源】2022新高考全國(guó)I卷?第19題

6.(2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)(理)?第18題)如圖，四面體ABCD中,

AD±CD,AD=CD,ZADB=ZBDC,E為AC的中點(diǎn).

(1)證明：平面BED，平面A。；

(2)設(shè)AB=BD=2,NACB=60。，點(diǎn)F在BO上，當(dāng)△吩(7的面積最小時(shí)，求CF與平面ABD所成

的角的正弦值.

【答案】(1)證明過(guò)程見(jiàn)解析

⑵CF與平面A3D所成的角的正弦值為迪

7

解析：【小問(wèn)1詳解】

因?yàn)锳Z>=CD，E為AC的中點(diǎn)，所以ACLQE；

在AABD和CBD中，因?yàn)锳￡>=CD,ZADB=NCDB,DB=DB,

所以△AB。也△C8D,所以A8=CB,又因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AC_L3E；

又因?yàn)镈E,BEu平面BED，DEcBE=E,所以ACJ?平面BED，

因?yàn)锳Cu平面ACQ,所以平面平面ACD.

【小問(wèn)2詳解】

連接ER,由(1)知，ACJ■平面BED，因?yàn)榍衭平面BED，

所以ACM,所以當(dāng)所_LBD時(shí)，EF最小,即△人人7的面積最小.

因?yàn)閍AB慮△C89,所以C8=AB=2,

又因?yàn)镹ACB=60。，所以八ABC是等邊三角形，

因?yàn)镋為AC的中點(diǎn)，所以AE=EC=1,BE=6，

因?yàn)锳D_La>,所以。E=，AC=1,

2

在，￡)￡?中，DE?+BE?=BD?，所以BE工DE.

以E為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系E-xyz,

則4(1,0,0),8僅,6,0),。(0,(M),所以AO=(—1,0,1),A8=(—1,6,0),

設(shè)平面AB￡)的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-AD=-x-^-z=0廣則〃=（3,后3卜

則〈r，取y=V3，

n?AB=-x+<3y=0

又因?yàn)閏（-i,o,o）,小冬小，所以。戶=

所以3（〃,仃）=借473

所以''|H||CF|~V.

設(shè)CF與平面他所成的角的正弦值為。0<^<|

4百

所以sin。=cos（n,CF

7

所以CE與平面曲所成的角的正弦值為

【題目欄目】立體幾何'空間角'直線與平面所成的角

【題目來(lái)源】2022年高考全國(guó)乙卷數(shù)學(xué)（理）?第18題

7.（2021年高考浙江卷?第19題）如圖，在四棱錐中，底面MCD是平行四邊形,

ZABC=120°,AB^\,BC=4,PA=4\5，M,/V分別為3C,PC的中點(diǎn)，PD1DC,PM1MD.

（1）證明:ABA.PM;

（2）求直線4V與平面PDW所成角的正弦值.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）姮.

6

解析：（1）在△￡>CM中，DC=\,CM=2,ZDCM=60,由余弦定理可得OM=6，

所以。陵+￡>。2=。/，,DM_LDC.由題意OC_LPZ）且PDcDW=。，：.￡>C_L平面PDM,而

PMu平面PDM,所以。C_LPM,又ABI/DC,所以ABJ.PM.

⑵由ABVPM,而他與DW相交，所以PMJ?平面71BCD,因?yàn)锳M=療，所以

PM=2近，取45中點(diǎn)E,連接ME,則用兩兩垂直，以點(diǎn)M為坐標(biāo)原點(diǎn)，如圖所示，建

立空間直角坐標(biāo)系,則A（-石,2,0）,尸（0,0,2及）,0（石,0,0）,M（0,0,0）,C（石,-1,0）

又N為PC中點(diǎn),所以N1-5，-;,血，AN■，夜.

由（1）得C￡）_L平面PDM，所以平面PDM的一個(gè)法向量〃=（0，1，0）從而直線4N與平面PDW所成角

5

,c|AN-〃|2而

的正弦值為sm-?「Mi”?-127+25+2-~6~-

vT+7+

【題目欄目】立體幾何'立體幾何的綜合問(wèn)題

【題目來(lái)源】2021年高考浙江卷?第19題

8.（2021年新高考全國(guó)H卷?第19題）在四棱錐。-他8中，底面是正方形，若

AD=2,QD=QA='Js,QC=3.

（1）證明：平面。45J?平面A8CD；

（2）求二面角B-8-A平面角的余弦值.

Q

而40=2,04=石，故Q0=^/^萬(wàn)=2.在正方形AfiCD中，因?yàn)?5=2,故。0=1,故CO=6,

因?yàn)镼C=3,故QCZMQO'+OC),故QOC為直角三角形且。。_L0C,因?yàn)?CAD=0,ifegOl

平面因?yàn)镼Ou平面040,故平面QAO1?平面43co.

⑵在平面A8CO內(nèi)，過(guò)。作O77/CO,交BC于T,則OTJ.AT>,結(jié)合⑴中的QO，平面ABCO,

故可建如圖所示的空間坐標(biāo)系.

則D(0,l,0),e(0,0,2),B(2,-l,0),故

8。=(-2,1,2),8。=(-2,2,0).

設(shè)平面Q83的法向量〃=(x,y,z),

n-BQ=O-2x+y+2z=0則y=l,Z=；,故〃=(1,1,g

則即取x=l,

n-BD-0-2x+2y=0

而平面QA。的法向量為加=(1,0,0),故8s(見(jiàn)=二面角B-QD-A的平面角為銳角，故

1X

2

其余弦值為：2.

【題目欄目】立體幾何'立體幾何的綜合問(wèn)題

【題目來(lái)源】2021年新高考全國(guó)n卷?第19題

9.(2021年新高考I卷?第20題)如圖，在三棱錐A-BCD中，平面AS。平面BCD,AB=AD,O

為四的中點(diǎn).

(1)證明：(241CD；

⑵若.08是邊長(zhǎng)為1等邊三角形，點(diǎn)E在棱4)上，OE=2E4,且二面角E—8C—D的大小為45。,

求三棱錐A的體積.

【答案】解析：⑴因?yàn)锳B=AD,。為BD中點(diǎn)，所以AOLBD

因?yàn)槠矫鍭BD'平面BCD=如，平面ABD_L平面BCD,AOu平面ABD,

因此A。_L平面BCD,因?yàn)镃Du平面BCD,所以AO_LCD

⑵作EFJ_BD于F,作FMJ_BC于M,連FM

因?yàn)锳OJ_平面BCD,所以AOJ_BD,AOICD

所以EF_LBD,EF1CD,%)cCD=O,因此EF_L平面BCD,即EF_LBC

因?yàn)镕M_LBC,RVH所=尸，所以BC_L平面EFM,即BC_LMF

7T

則N￡MF為二面角E-BC-D的平面角，ZEMF=-

4

因?yàn)?0=8,&ocr)為正三角形，所以AOCD為直角三角形

1112

因?yàn)锽E=2ED,.?.FM=/8F=/(l+§)=5

2

從而EF=FM=-/.AO=1

3

Q4O_L平面BCD,所以VULAO-SMC”=1xlxLxlx6=^

3326

【題目欄目】立體幾何\立體幾何的綜合問(wèn)題

【題目來(lái)源】2021年新高考I卷?第20題

10.（2021年高考全國(guó)乙卷理科?第18題）如圖，四棱錐的底面是矩形，底面ABCO,

PD=DC=T,M為的中點(diǎn)，且

【答案】⑴④；（2）①

14

解析：（1）PD_L平