2021年全國新高考Ⅰ卷數學試題(解析版)

2021年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學本試卷共4頁，22小題，總分值150分.考試用時120分鐘.本卷須知：1.答卷前，考生務必將自己的姓名?考生號?考場號和座位號填寫在答題卡上.用2B鉛筆將試卷類型(A)填涂在答題卡相應位置上.將條形碼橫貼在答題卡右上角“條形碼粘貼處〞.2.作答選擇題時，選出每題答案后，用2B鉛筆在答題卡上對應題目選項的答案信息點涂黑：如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案.答案不能答在試卷上.3.非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液.不按以上要求作答無效.4.考生必須保持答題卡的整潔.考試結束后，將試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：此題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題目要求的.1.設集合，，那么〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集的定義可求.【詳解】由題設有，應選：B.2.，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數的乘法和共軛復數的定義可求得結果.【詳解】因為，故，故應選：C.3.圓錐的底面半徑為，其側面展開圖為一個半圓，那么該圓錐的母線長為〔〕A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設圓錐的母線長為，根據圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長可求得的值，即為所求.【詳解】設圓錐的母線長為，由于圓錐底面圓的周長等于扇形的弧長，那么，解得.應選：B.4.以下區(qū)間中，函數單調遞增的區(qū)間是〔〕A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】解不等式，利用賦值法可得出結論.【詳解】因為函數的單調遞增區(qū)間為，對于函數，由，解得，取，可得函數的一個單調遞增區(qū)間為，那么，，A選項滿足條件，B不滿足條件；取，可得函數的一個單調遞增區(qū)間為，且，，CD選項均不滿足條件應選：A.【點睛】方法點睛：求較為復雜的三角函數的單調區(qū)間時，首先化簡成形式，再求的單調區(qū)間，只需把看作一個整體代入的相應單調區(qū)間內即可，注意要先把化為正數．5.，是橢圓：的兩個焦點，點在上，那么的最大值為〔〕A.13 B.12 C.9 D.6【答案】C【解析】【分析】此題通過利用橢圓定義得到，借助根本不等式即可得到答案．【詳解】由題，，那么，所以〔當且僅當時，等號成立〕．應選：C．【點睛】橢圓上的點與橢圓的兩焦點的距離問題，常常從橢圓的定義入手，注意根本不等式得靈活運用，或者記住定理：兩正數，和一定相等時及最大，積一定，相等時和最小，也可快速求解.6.假設，那么〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將式子先利用二倍角公式和平方關系配方化簡，然后增添分母()，進行齊次化處理，化為正切的表達式，代入即可得到結果．【詳解】將式子進行齊次化處理得：．應選：C．【點睛】易錯點睛：此題如果利用，求出的值，可能還需要分象限討論其正負，通過齊次化處理，可以避開了這一討論．7.假設過點可以作曲線的兩條切線，那么〔〕A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】解法一：根據導數幾何意義求得切線方程，再構造函數，利用導數研究函數圖象，結合圖形確定結果；解法二：畫出曲線的圖象，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.【詳解】在曲線上任取一點，對函數求導得，所以，曲線在點處的切線方程為，即，由題意可知，點在直線上，可得，令，那么.當時，，此時函數單調遞增，當時，，此時函數單調遞減，所以，，由題意可知，直線與曲線的圖象有兩個交點，那么，當時，，當時，，作出函數的圖象如以下列圖所示：由圖可知，當時，直線與曲線的圖象有兩個交點.應選：D.解法二：畫出函數曲線的圖象如下列圖，根據直觀即可判定點在曲線下方和軸上方時才可以作出兩條切線.由此可知.應選：D.【點睛】解法一是嚴格的證明求解方法，其中的極限處理在中學知識范圍內需要用到指數函數的增長特性進行估計，解法二是根據基于對指數函數的圖象的清晰的理解與認識的根底上，直觀解決問題的有效方法.8.有6個相同的球，分別標有數字1，2，3，4，5，6，從中有放回的隨機取兩次，每次取1個球，甲表示事件“第一次取出的球的數字是1〞，乙表示事件“第二次取出的球的數字是2〞，丙表示事件“兩次取出的球的數字之和是8〞，丁表示事件“兩次取出的球的數字之和是7〞，那么〔〕A.甲與丙相互獨立 B.甲與丁相互獨立C.乙與丙相互獨立 D.丙與丁相互獨立【答案】B【解析】【分析】根據獨立事件概率關系逐一判斷【詳解】，應選：B【點睛】判斷事件是否獨立，先計算對應概率，再判斷是否成立二?選擇題：此題共4小題，每題5分，共20分.在每題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，局部選對的得2分，有選錯的得0分.9.有一組樣本數據，，…，，由這組數據得到新樣本數據，，…，，其中(為非零常數，那么〔〕A.兩組樣本數據的樣本平均數相同B.兩組樣本數據樣本中位數相同C.兩組樣本數據的樣本標準差相同D.兩組樣數據的樣本極差相同【答案】CD【解析】【分析】A、C利用兩組數據的線性關系有、，即可判斷正誤；根據中位數、極差的定義，結合線性關系可判斷B、D的正誤.【詳解】A：且，故平均數不相同，錯誤；B：假設第一組中位數為，那么第二組的中位數為，顯然不相同，錯誤；C：，故方差相同，正確；D：由極差的定義知：假設第一組的極差為，那么第二組的極差為，故極差相同，正確；應選：CD10.為坐標原點，點，，，，那么〔〕A. B.C. D.【答案】AC【解析】【分析】A、B寫出，、，的坐標，利用坐標公式求模，即可判斷正誤；C、D根據向量的坐標，應用向量數量積的坐標表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.【詳解】A：，，所以，，故，正確；B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；C：由題意得：，，正確；D：由題意得：，，故一般來說故錯誤；應選：AC11.點在圓上，點、，那么〔〕A.點到直線的距離小于B.點到直線的距離大于C.當最小時，D.當最大時，【答案】ACD【解析】【分析】計算出圓心到直線的距離，可得出點到直線的距離的取值范圍，可判斷AB選項的正誤；分析可知，當最大或最小時，與圓相切，利用勾股定理可判斷CD選項的正誤.【詳解】圓的圓心為，半徑為，直線的方程為，即，圓心到直線的距離為，所以，點到直線的距離的最小值為，最大值為，A選項正確，B選項錯誤；如以下列圖所示：當最大或最小時，與圓相切，連接、，可知，，，由勾股定理可得，CD選項正確.應選：ACD.【點睛】結論點睛：假設直線與半徑為的圓相離，圓心到直線的距離為，那么圓上一點到直線的距離的取值范圍是.12.正三棱柱中，，點滿足，其中，，那么〔〕A.當時，的周長為定值B.當時，三棱錐的體積為定值C.當時，有且僅有一個點，使得D.當時，有且僅有一個點，使得平面【答案】BD【解析】【分析】對于A，由于等價向量關系，聯(lián)系到一個三角形內，進而確定點的坐標；對于B，將點的運動軌跡考慮到一個三角形內，確定路線，進而考慮體積是否為定值；對于C，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立適宜的直角坐標系來求解點的個數；對于D，考慮借助向量的平移將點軌跡確定，進而考慮建立適宜的直角坐標系來求解點的個數．【詳解】易知，點在矩形內部〔含邊界〕．對于A，當時，，即此時線段，周長不是定值，故A錯誤；對于B，當時，，故此時點軌跡為線段，而，平面，那么有到平面的距離為定值，所以其體積為定值，故B正確．對于C，當時，，取，中點分別為，，那么，所以點軌跡為線段，不妨建系解決，建立空間直角坐標系如圖，，，，那么，，，所以或．故均滿足，故C錯誤；對于D，當時，，取，中點為．，所以點軌跡為線段．設，因為，所以，，所以，此時與重合，故D正確．應選：BD．【點睛】此題主要考查向量的等價替換，關鍵之處在于所求點的坐標放在三角形內．三?填空題：此題共4小題，每題5分，共20分.13.函數是偶函數，那么______.【答案】1【解析】【分析】利用偶函數的定義可求參數的值.【詳解】因為，故，因為為偶函數，故，時，整理得到，故，故答案為：114.為坐標原點，拋物線：()的焦點為，為上一點，與軸垂直，為軸上一點，且，假設，那么的準線方程為______.【答案】【解析】【分析】先用坐標表示，再根據向量垂直坐標表示列方程，解得，即得結果.【詳解】拋物線：()的焦點,∵P為上一點，與軸垂直，所以P的橫坐標為，代入拋物線方程求得P的縱坐標為,不妨設,因為Q為軸上一點，且，所以Q在F的右側，又，因為，所以,，所以的準線方程為故答案為：.【點睛】利用向量數量積處理垂直關系是此題關鍵.15.函數的最小值為______.【答案】1【解析】【分析】由解析式知定義域為，討論、、，并結合導數研究的單調性，即可求最小值.【詳解】由題設知：定義域為，∴當時，，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞減；當時，，有，此時單調遞增；又在各分段的界點處連續(xù)，∴綜上有：時，單調遞減，時，單調遞增；∴故答案為：1.16.某校學生在研究民間剪紙藝術時，發(fā)現剪紙時經常會沿紙的某條對稱軸把紙對折，規(guī)格為的長方形紙，對折1次共可以得到，兩種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，它們的面積之和，以此類推，那么對折4次共可以得到不同規(guī)格圖形的種數為______；如果對折次，那么______.【答案】(1).5(2).【解析】【分析】〔1〕按對折列舉即可；〔2〕根據規(guī)律可得，再根據錯位相減法得結果.【詳解】〔1〕由對折2次共可以得到，，三種規(guī)格的圖形，所以對著三次的結果有：，共4種不同規(guī)格〔單位；故對折4次可得到如下規(guī)格：，，，，，共5種不同規(guī)格；〔2〕由于每次對著后的圖形的面積都減小為原來的一半，故各次對著后的圖形，不管規(guī)格如何，其面積成公比為的等比數列，首項為120,第n次對折后的圖形面積為，對于第n此對折后的圖形的規(guī)格形狀種數，根據〔1〕的過程和結論，猜想為種〔證明從略〕，故得猜想，設，那么，兩式作差得：，因此，.故答案為：；.【點睛】方法點睛：數列求和的常用方法：〔1〕對于等差等比數列，利用公式法可直接求解；〔2〕對于結構，其中是等差數列，是等比數列，用錯位相減法求和；〔3〕對于結構，利用分組求和法；〔4〕對于結構，其中是等差數列，公差為，那么，利用裂項相消法求和.四?解答題：此題共6小題，共70分.解容許寫出文字說明?證明過程或演算步驟.17.數列滿足，〔1〕記，寫出，，并求數列的通項公式；〔2〕求的前20項和.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕根據題設中的遞推關系可得，從而可求的通項.〔2〕根據題設中的遞推關系可得的前項和為可化為，利用〔1〕的結果可求.【詳解】〔1〕由題設可得又，，故，即，即所以為等差數列，故.〔2〕設的前項和為，那么，因為，所以.【點睛】方法點睛：對于數列的交叉遞推關系，我們一般利用的關系得到奇數項的遞推關系或偶數項的遞推關系，再結合數列的通項公式、求和公式等來求解問題.18.某學校組織“一帶一路〞知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學先在兩類問題中選擇一類并從中隨機抽取一個問題答復，假設答復錯誤那么該同學比賽結束；假設答復正確那么從另一類問題中再隨機抽取一個問題答復，無論答復正確與否，該同學比賽結束.A類問題中的每個問題答復正確得20分，否那么得0分；B類問題中的每個問題答復正確得80分，否那么得0分，己知小明能正確答復A類問題的概率為，能正確答復B類問題的概率為，且能正確答復以下問題的概率與答復次序無關.〔1〕假設小明先答復A類問題，記為小明的累計得分，求的分布列；〔2〕為使累計得分的期望最大，小明應選擇先答復哪類問題？并說明理由.【答案】〔1〕見解析；〔2〕類．【解析】【分析】〔1〕通過題意分析出小明累計得分的所有可能取值，逐一求概率列分布列即可．〔2〕與〔1〕類似，找出先答復類問題的數學期望，比較兩個期望的大小即可．【詳解】〔1〕由題可知，的所有可能取值為，，．；；．所以的分布列為〔2〕由〔1〕知，．假設小明先答復以下問題，記為小明的累計得分，那么的所有可能取值為，，．；；．所以．因為，所以小明應選擇先答復類問題．19.記是內角，，的對邊分別為，，.，點在邊上，.〔1〕證明：；〔2〕假設，求.【答案】〔1〕證明見解析；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕根據正弦定理的邊角關系有，結合即可證結論.〔2〕由題設，應用余弦定理求、，又，可得，結合及余弦定理即可求.【詳解】〔1〕由題設，，由正弦定理知：，即，∴，又，∴，得證.〔2〕由題意知：，∴，同理，∵，∴，整理得，又，∴，整理得，解得或，由余弦定理知：，當時，不合題意；當時，；綜上，.【點睛】關鍵點點睛：第二問，根據余弦定理及得到的數量關系，結合條件及余弦定理求.20.如圖，在三棱錐中，平面平面，，為的中點.〔1〕證明：；〔2〕假設是邊長為1的等邊三角形，點在棱上，，且二面角的大小為，求三棱錐的體積.【答案】(1)詳見解析(2)【解析】分析】〔1〕根據面面垂直性質定理得AO⊥平面BCD，即可證得結果；〔2〕先作出二面角平面角，再求得高，最后根據體積公式得結果.【詳解】〔1〕因為AB=AD,O為BD中點，所以AO⊥BD因為平面ABD平面BCD,平面ABD⊥平面BCD，平面ABD，因此AO⊥平面BCD，因為平面BCD，所以AO⊥CD(2)作EF⊥BD于F,作FM⊥BC于M,連FM因為AO⊥平面BCD，所以AO⊥BD,AO⊥CD所以EF⊥BD,EF⊥CD,,因此EF⊥平面BCD，即EF⊥BC因為FM⊥BC，,所以BC⊥平面EFM，即BC⊥MF那么為二面角E-BC-D的平面角,因為,為正三角形,所以為直角三角形因為,從而EF=FM=平面BCD,所以【點睛】二面角的求法：一是定義法，二是三垂線定理法，三是垂面法，四是投影法.21.在平面直角坐標系中，點、，點的軌跡為.〔1〕求的方程；〔2〕設點在直線上，過的兩條直線分別交于、兩點和，兩點，且，求直線的斜率與直線的斜率之和.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】【分析】〔1〕利用雙曲線的定義可知軌跡是以點、為左、右焦點雙曲線的右支，求出、的值，即可得出軌跡的方程；〔2〕設點，設直線的方程為，設點、，聯(lián)立直線與曲線的方程，列出韋達定理，求出的表達式，設直線的斜率為，同理可得出的表達式，由化簡可得的值.【詳解】因為，所以，軌跡是以點、為左、右焦點的雙曲線的右支，設軌跡的方程為，那么，可得，，所以，軌跡的方程為；〔2〕設點，假設過點的直線的斜率不存在，此時該直線與曲線無公共點，不妨直線的方程為，即，聯(lián)立，消去并整理可得，設點、，那么且.由韋達定理可得，，所以，，設直線的斜率為，同理可得