《數(shù)字信號處理原理與實現(xiàn)（第3版）》全套教學課件

全套可編輯PPT課件2緒論1.數(shù)字信號處理的概念3（1）數(shù)字信號：用數(shù)字序列表示的信號。（2）數(shù)字信號處理：通過計算機或?qū)Ｓ锰幚碓O(shè)備，用數(shù)值計算等數(shù)字的方式對數(shù)字序列進行各種處理，將信號變換成符合需要的某種形式。數(shù)字濾波：限制數(shù)字信號的頻帶或濾除噪聲和干擾，以提取和增強信號的有用分量。頻譜分析：對信號進行頻譜分析或功率譜分析，了解信號的頻譜組成，以對信號進行識別。涵蓋范疇：濾波、變換、增強、壓縮、估計和識別。涉及知識：微積分、概率統(tǒng)計、隨機過程、高等代數(shù)、數(shù)值分析、復變函數(shù)和各種變換。2.數(shù)字信號處理的特點4（1）高精度：17位字長，10-6的精度，結(jié)合浮點運算。（2）高穩(wěn)定性：使用超大規(guī)模集成的數(shù)字信號處理芯片（DSP芯片）。只有兩種0/1兩種狀態(tài)，其抗干擾能力優(yōu)于模擬信號。（3）靈活性好：參數(shù)可調(diào)：系統(tǒng)性能取決于系統(tǒng)參數(shù)，改變存儲器中存放的參數(shù)，可得到不同的系統(tǒng)。而模擬系統(tǒng)要改變性能的話，只有更換元器件。時分復用：一套計算設(shè)備同時處理多路相互獨立的信號。（4）易于大規(guī)模集成：數(shù)字部件由邏輯和記憶元件構(gòu)成，具有高度規(guī)范性。（5）實現(xiàn)模擬系統(tǒng)無法完成的功能：信號的任意存取、嚴格的線性相位特性、解卷積和多維濾波等。（6）不足：速度還不能達到處理高頻信號，如射頻信號的要求。3.系統(tǒng)的基本組成與實現(xiàn)5（1）組成前置預(yù)濾波器：奈奎斯特（Nyquist）采樣定理：在采樣頻率fs有限的情況下，只有當輸入模擬信號的最高頻率fh不大于fs/2時，采樣信號的頻譜才不會發(fā)生混疊。前置預(yù)濾波器的作用：使輸入模擬信號的最高頻率限制在一定范圍。A/D變換器：對輸入的模擬信號進行抽樣、量化和編碼，將模擬信號變成為

在時間上和幅值上均量化離散的信號，即數(shù)字信號。3.系統(tǒng)的基本組成與實現(xiàn)6數(shù)字信號處理器：功能：承擔數(shù)字信號的各種處理工作。形式：通用計算機、各種數(shù)字硬件或軟硬件構(gòu)成的專用處理器、某個處理軟件或軟件包。D/A變換器：將數(shù)字信號變成模擬信號。模擬濾波器濾：濾除不需要的高頻分量，輸出所需的模擬信號。4.數(shù)字信號處理的實現(xiàn)方法7（1）分類：軟件實現(xiàn)、硬件實現(xiàn)和軟硬件相結(jié)合的實現(xiàn)方法。（2）軟件實現(xiàn)方法：按照信號處理的原理和算法，自行編寫程序或者采用現(xiàn)有程序在通用計算機上實現(xiàn)。特點：靈活、運算速度較慢。（3）硬件實現(xiàn)方法：按照具體的要求和算法，設(shè)計硬件結(jié)構(gòu)圖，用乘法器、加法器、延時器、存儲器、控制器以及輸入輸出接口部件實現(xiàn)的一種方法。特點：運算速度快、靈活不夠。（4）軟硬件相結(jié)合：單片機、通用DSP、專用DSP、各種嵌入式(FPGA、ARM)等。5.數(shù)字信號處理的應(yīng)用8（1）語音處理：語音信號分析、語音增強、語音合成、語音編碼、語音識別和語音信箱等。5.數(shù)字信號處理的應(yīng)用9（2）圖形/圖像處理：靜止和活動圖像的恢復和增強、去噪、數(shù)據(jù)壓縮、和圖像識別等，還應(yīng)用于三維圖像變換、動畫、電子出版和電子地圖等。圖像分割實例5.數(shù)字信號處理的應(yīng)用10（3）現(xiàn)代通信：高速調(diào)制解調(diào)、編/譯碼、自適應(yīng)均衡、多路復用等。傳真、數(shù)字交換、移動電話、數(shù)字基站、電視會議、保密通信和衛(wèi)星通信等通信領(lǐng)域。網(wǎng)絡(luò)管理/服務(wù)和IP電話、軟件無線電。（4）數(shù)字電視：應(yīng)用于數(shù)字電視系統(tǒng)中的視頻壓縮和音頻壓縮。（5）軍事與尖端科技：雷達和聲納信號處理、雷達成像、自適應(yīng)波束合成、陣列天線信號處理、導彈制導、全球定位GPS、航天飛船和偵察衛(wèi)星等。（6）生物醫(yī)學工程：心腦電圖、超聲波、CT掃描、核磁共振和胎兒心音的自適應(yīng)檢測等。（7）其它領(lǐng)域：地球物理學、音樂制作、消費電子、儀器儀表和自動控制與監(jiān)測等。13信號的采樣1.數(shù)字信號的概念14（1）數(shù)字信號的定義：時間上離散、幅度上被量化的信號。（2）數(shù)字信號的生成過程：采樣：在時域?qū)B續(xù)信號進行離散化的過程。得到采樣或抽樣信號，也稱時域離散信號。量化：對時域離散信號的幅度進行有限位量化，得到數(shù)字信號。（3）以后對時域離散信號和數(shù)字信號不加區(qū)分。2.連續(xù)時間信號的采樣15（1）采樣器/取樣器：定義：對連續(xù)時間信號進行周期采樣的器件?？梢钥闯墒且粋€每隔

秒閉合一次的電子開關(guān)S。示意圖：

圖中

表示模擬信號，

或

表示采樣信號，

為采樣周期。2.連續(xù)時間信號的采樣16（2）理想采樣：定義：理想情況下，每一采樣周期內(nèi)開關(guān)閉合時間

。示意圖：

(a)實際采樣(b)理想采樣2.連續(xù)時間信號的采樣17理想采樣信號的數(shù)學描述：

時，采樣脈沖序列

變成沖激函數(shù)序列理想輸出3.采樣定理18（1）問題提出：模擬信號經(jīng)采樣變?yōu)殡x散時間信號后，是否會失掉一些信息？信號的頻譜會發(fā)生怎樣的變化？不丟失信息應(yīng)滿足什么條件？（2）周期沖激函數(shù)序列

的傅里葉變換：第一步：表示為傅里葉級數(shù)第二步：求傅里葉系數(shù)3.采樣定理19第三步：的傅里葉變換（3）理想采樣信號

的頻譜結(jié)論：采樣信號的頻譜

是模擬信號頻譜

的周期延拓，周期為采樣角頻率

。3.采樣定理20（4）奈奎斯特（Nyquist）采樣（抽樣）定理分析

時沒有混疊，時發(fā)生混疊。

3.采樣定理21結(jié)論：在理想采樣中，為了使平移后的頻譜不產(chǎn)生“混疊”失真，應(yīng)要求采樣頻率足夠高。在信號

的頻帶受限的情況下，要使采樣后能夠不失真地還原出原信號，則采樣頻率應(yīng)大于或等于信號最高頻率的兩倍，即這就是著名的奈奎斯特（Nyquist）采樣（抽樣）定理。折疊頻率：采樣頻率的一半，即

稱為折疊頻率。奈奎斯特頻率：等于信號最高頻率兩倍的采樣頻率（即

）24信號的恢復

1.問題提出25問題：被采樣后的模擬信號是否可以恢復？如能恢復,怎樣恢復？時沒有混疊時發(fā)生混疊分析：回顧奈奎斯特定理例子

1.問題提出26結(jié)論：信號恢復的判據(jù)：如果被采樣信號的最大頻率，則可以恢復出原始模擬信號。信號恢復的方法：讓采樣信號通過一個截止頻率為

的理想低通濾波器。

2.恢復過程27（1）信號恢復的公式（2）求解思路：因為頻域乘積，等同于時域卷積。因此可以先求出低通濾波器的時域函數(shù)，與采樣序列卷積，即為原模擬信號。（3）求解步驟：

第一步：求

2.恢復過程28第二步：卷積內(nèi)插函數(shù)

2.恢復過程29（4）結(jié)果分析：內(nèi)插函數(shù)性質(zhì)：內(nèi)插函數(shù)在

的采樣點上的值為1，在其余采樣點上的值均為零，在采樣點之間的值不為零。

2.恢復過程30基于內(nèi)插函數(shù)的信號回復結(jié)果分析：被恢復的信號

在采樣點的值恰好等于原來連續(xù)信號在采樣時刻

的。采樣點之間的部分由各加權(quán)內(nèi)插函數(shù)波形的疊加而成。采樣內(nèi)插公式表明了只要采樣頻率高于信號最高頻率的兩倍，整個連續(xù)信號就可以用它的采樣值來代表，采樣信號通過理想低通濾波器之后，可以唯一恢復出原來信號。

33序列的概念1.序列的表示形式34Analog-連續(xù)T-采樣間隔n-序列號序列可以用

來表示：

也可表示成：

也可用圖形表示：

2.典型序列35（1）單位采樣序列僅在n=0處為1在

處都為0單位沖激函數(shù)對比2.典型序列36（2）單位階躍序列處為1處為0與單位采樣序列關(guān)系：2.典型序列37（3）矩形序列與單位采樣序列、階躍序列關(guān)系：在矩形框外為0在矩形框內(nèi)為12.典型序列38（4）實指教序列當

，

時，為實指數(shù)因果序列：,收斂2.典型序列39（5）正弦序列數(shù)字頻率與模擬域頻率關(guān)系：數(shù)字頻率初始相位振幅采樣2.典型序列40正弦序列的周期性判定：為整數(shù)時，,周期假定序列有周期性，周期為N，則滿足為有理數(shù)時，即

，則，為無理數(shù)時，正弦序列非周期例：2.典型序列41（6）復指數(shù)序列復指數(shù)序列在頻率域具有周期性：數(shù)字頻率可變振幅周期為：信號的運算和表示1.序列相加45

指兩個不同序列，在同一時刻

，對幅度進行疊加，如

2.序列相乘46

指兩個不同序列，在同一時刻

，作幅度乘法運算，如

3.數(shù)乘運算47指以一常數(shù)與序列相乘，如

，

可以是復數(shù)也可以是實數(shù)。當

為實數(shù)時，數(shù)乘運算

將使序列

幅度放大或縮小

倍。4.差分運算48差分運算是指同一序列中相鄰序號的兩個序列幅度之差。前向差分后向差分關(guān)系應(yīng)用舉例5.累加運算49當前時刻

和

以前所有值的總和例：某大學某班共20人，年齡統(tǒng)計如右圖：對應(yīng)年齡分布（累加運算）如右圖：6.序列位移50例：7.序列的反褶51又稱序列的轉(zhuǎn)置或倒置規(guī)則：用

代換

中的獨立變量

，即已知，求

例：8.序列的重排52對序列進行壓縮或延伸等重新排列。序列的壓縮（抽取）：即每M個輸入值取一個值序列的延伸（插值）：即在原序列兩相鄰值之間插入（M-1）個零值原序列9.序列的卷積和53分為四步：

翻褶、移位、

相乘、相加定義：卷積和與兩序列

的先后次序無關(guān)10.序列相關(guān)運算54與卷積的關(guān)系定義：自相關(guān)偶對稱當

時，自相關(guān)即為序列的能量。11.序列的能量55定義：序列各抽樣值的平方和12.用單位采樣序列來表示任意序列56序列可以表示為：序列與單位采樣序列的卷積移位序列可以表示為：序列與單位采樣序列的移位卷積例：線性非移變系統(tǒng)1.離散時間系統(tǒng)60什么是離散時間系統(tǒng)？將輸入序列變換成需要的輸出序列的一種系統(tǒng)。輸入序列變換輸出序列2.線性系統(tǒng)61什么是線性系統(tǒng)？滿足疊加原理的系統(tǒng)稱為線性系統(tǒng)。包含可加性和齊次性兩個性質(zhì)3.非移變系統(tǒng)62什么是非移變系統(tǒng)？若系統(tǒng)的響應(yīng)與輸入信號施加于系統(tǒng)的時刻無關(guān)，則稱該系統(tǒng)為非移變（或非時變）系統(tǒng)。解釋：如滿足則為非移變系統(tǒng)。3.非移變系統(tǒng)63非移變系統(tǒng)的判定技巧？序列的重排（無論抽取還是插值）都是非移變變換解釋：內(nèi)容都變了，談不上移變。如果已知

，則相當于用替代中所有的

相當于用替代中所有的。即可求得

和，進而進行比較。4.單位采樣響應(yīng)與卷積和64單位采樣響應(yīng)：單位采樣響應(yīng)又稱單位沖激響應(yīng)，它是指輸入為單位沖激序列時系統(tǒng)的輸出。

基于單位采樣響應(yīng)線性非移變系統(tǒng)輸出：已知：求：4.單位采樣響應(yīng)與卷積和65已經(jīng)知道任一序列

可以寫成

的移位加權(quán)和：系統(tǒng)輸出：結(jié)論：線性非移變系統(tǒng)的輸出=系統(tǒng)輸入與系統(tǒng)單位沖擊響應(yīng)的卷積5.線性非移變系統(tǒng)的性質(zhì)661）交換律結(jié)論：輸入

和單位沖激響應(yīng)

互換位置后，輸出

保持不變。5.線性非移變系統(tǒng)的性質(zhì)672）結(jié)合律5.線性非移變系統(tǒng)的性質(zhì)683）分配率5.線性非移變系統(tǒng)的性質(zhì)69例：已知兩線性移不變系統(tǒng)級聯(lián)，其單位采樣響應(yīng)為

當輸入

時，求輸出。[解：系統(tǒng)的因果穩(wěn)定性1.穩(wěn)定系統(tǒng)73什么是穩(wěn)定系統(tǒng)？穩(wěn)定系統(tǒng)是指對于每個有界輸入，都產(chǎn)生有界輸出的系統(tǒng)，即所謂BoundedInputBoundedOutput（BIBO）系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)的充要條件證明：（1）充分性1.穩(wěn)定系統(tǒng)74（2）必要性：用反證法假定系統(tǒng)穩(wěn)定，但引入一個輸入時的輸出結(jié)論：

時刻的輸出為無界，這不符合穩(wěn)定的條件，因而假設(shè)不成立，則必要性得證。解:對于系統(tǒng)（1），可任選一個有界輸入函數(shù)，如例:試判斷下列兩個系統(tǒng)的穩(wěn)定性。（1）對于系統(tǒng)（2），要證明它的穩(wěn)定性，就要考慮所有可能的有界輸入下都產(chǎn)生有界輸出；設(shè)1.穩(wěn)定系統(tǒng)75（2），得，這時顯然是無界的，因此系統(tǒng)（1）是不穩(wěn)定的。，則

，所以系統(tǒng)（2）是穩(wěn)定的。2.因果系統(tǒng)76什么是因果系統(tǒng)？因果系統(tǒng)是指輸出的變化不領(lǐng)先于輸入的變化的系統(tǒng)。某時刻的輸出只取決于此時刻和此時刻以前的輸入：因果系統(tǒng)的充要條件證明：（1）充分性為02.因果系統(tǒng)77只和時的值有關(guān)因果（證畢）（2）必要性：用反證法假定系統(tǒng)因果，但至少有一項不為0

將至少和時的一個輸入值有關(guān)，這不符合因果性條件，所以假設(shè)不成立。（證畢）2.因果系統(tǒng)78因果性的討論非因果系統(tǒng)在理論上是存在的:---理想低通濾波器和理想微分器等---平滑濾波技術(shù)：語音、氣象數(shù)據(jù)處理保存下來，可用以后的數(shù)據(jù)對前幾年的狀態(tài)進行平滑。---圖像處理中，自變量已不是時間，此時因果性往往不是根本性的限制。因果序列：

試討論其因果性和穩(wěn)定性。解:（1）討論因果性：因為在例:已知一個線性非移變系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)為

2.因果系統(tǒng)79時，，故該系統(tǒng)為非因果系統(tǒng)。所以時該系統(tǒng)穩(wěn)定，時該系統(tǒng)不穩(wěn)定。（2）討論穩(wěn)定性：因為線性常系數(shù)差分方程1.連續(xù)時間系統(tǒng)與離散時間系統(tǒng)83

LTI(線性移不變)連續(xù)時間系統(tǒng)輸入序列變換輸出序列輸入函數(shù)變換輸出函數(shù)

LTI(線性移不變)離散時間系統(tǒng)微分方程差分方程2.線性常系數(shù)差分方程84形式：或常系數(shù)的含義：和均為常數(shù),和決定系統(tǒng)的特征。若系數(shù)中含有自變量n，則稱為變系數(shù)差分方程。線性的含義：

方程中各

和各

項都只有一次冪，且沒有相互交叉項。差分方程的階數(shù)：

方程項中的最大與最小取值之差確定的。3.線性常系數(shù)差分方程的求解85經(jīng)典解法。類似于連續(xù)時間系統(tǒng)中求解微分方程的方法，它包括求齊次解與特解，再由邊界條件確定待定系數(shù)。遞推解法。遞推解法又稱迭代法，比較簡單，適合用計算機求解，為數(shù)值解。卷積和計算法。由差分方程求出系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)，再與已知的輸入序列進行卷積運算，得到系統(tǒng)的輸出，即零狀態(tài)響應(yīng)。變換域方法。與連續(xù)時間系統(tǒng)的拉普拉斯變換法類似，是將差分方程變換到Z域進行求解。4.基于差分方程的濾波器系統(tǒng)設(shè)計86例：2階IIR系統(tǒng)4.基于差分方程的濾波器系統(tǒng)設(shè)計87例：3階FIR系統(tǒng)解：該系統(tǒng)差分方程是一階差分方程，需要一個初始條件。（1）設(shè)初始條件為例1：設(shè)系統(tǒng)由下列線性常系數(shù)差分方程5.遞推法求解差分方程-舉例88描述，若輸入序列,試求輸出序列，此時輸出序列即為系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)，必有

還可得

依次迭代求得

5.遞推法求解差分方程-舉例89

故系統(tǒng)的單位采樣響應(yīng)為5.遞推法求解差分方程-舉例90（2）設(shè)初始條件，此時系統(tǒng)的初始狀態(tài)不為零，求得

則系統(tǒng)的輸出序列為結(jié)論：對于同一個差分方程和同一個輸入信號，因為其初始條件不同，得到的輸出信號是不相同的。93離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析3.1序列的傅立葉變換941、推導序列的傅里葉變換

采樣信號的傅里葉變換：周期譜3.1序列的傅立葉變換95周期函數(shù)的傅立葉展開式此式即為序列x(n)的傅立葉變換傅立葉級數(shù)的系數(shù)令此式即為傅立葉逆變換

令3.1序列的傅立葉變換962、序列傅里葉變換的兩點說明

3.1序列的傅立葉變換97

3.1序列的傅立葉變換984、舉例計算下列序列的傅里葉變換3.1序列的傅立葉變換99此式重要！

102離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(1)1031、線性性2、周期性3、時移與頻移4、時域卷積定理5、頻域卷積定理6、帕塞瓦爾定理7、對稱性3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(1)1041、線性性若：則有，3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(1)1052、周期性

3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(1)1063、時移與頻移若則時移性與頻移性分別對應(yīng)為

3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(1)107驗證時移性由此可見，時移不會改變各頻率分量對應(yīng)的能量分布。

3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(1)108

相位發(fā)生了相應(yīng)變化3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(1)109109驗證頻移性非對稱！3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(1)110

3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(1)1114、時域卷積定理5、頻域卷積定理數(shù)據(jù)截斷進行加窗處理3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(1)1126、帕塞瓦爾定理若：則有：此式表明了序列能量時域和頻域的一致性115離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(2)1161、線性性2、周期性3、時移與頻移4、時域卷積定理5、頻域卷積定理6、帕塞瓦爾定理7、對稱性3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(2)117共軛對稱序列定義為：（1）定義共軛反對稱序列定義為：如果一個實序具有共軛對稱性，則該序列為偶對稱序列如果一個實序列具有共軛反對稱性，則該序列為奇對稱序列這里上標*表示共軛。7、對稱性3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(2)118（2）序列,頻域?qū)ΨQ分解定理

i)任何一個序列x(n)總能夠表示為一個共軛對稱序列與一個共軛反對稱序列之和，即：

其中

3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(2)119

其中3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(2)120

其中3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(2)121

3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(2)122ii)頻域函數(shù)的共軛對稱分解：

其中

其中3.2序列的傅立葉變換的性質(zhì)(2)123iii）序列傅里葉變換的共軛對稱性質(zhì)設(shè)：實序列的傅里葉變換具有共軛對稱性

共軛對稱序列的傅里葉變換為實函數(shù)純虛序列的傅里葉變換具有共軛反對稱性共軛反對稱序列的傅里葉變換為純虛函數(shù)

126離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析3.3序列的Z變換1273.3.1Z變換的定義及收斂域3.3.2幾種序列的Z變換及其收斂域3.3.1Z變換的定義及收斂域1281、z變換的定義序列x(n)的z變換定義為：2、z變換的收斂域?qū)τ谌我饨o定序列x(n)，使其z變換X(z)收斂的所有z值的集合稱為X(z)的收斂域。

級數(shù)收斂的充要條件是滿足絕對可和3.3.1Z變換的定義及收斂域1293、z變換的零極點

3.3.2幾種序列的Z變換及其收斂域1301.有限長序列

3.3.2幾種序列的Z變換及其收斂域1312.右邊序列

3.3.2幾種序列的Z變換及其收斂域132因果序列

3.3.2幾種序列的Z變換及其收斂域1333.左邊序列

3.3.2幾種序列的Z變換及其收斂域1344.雙邊序列N為任意值時皆有值

3.3.2幾種序列的Z變換及其收斂域135

3.3.2幾種序列的Z變換及其收斂域136

3.3.2幾種序列的Z變換及其收斂域137小結(jié)給定z變換X(z)不能唯一地確定一個序列，只有同時給出收斂域才能唯一確定。X(z)在收斂域內(nèi)解析，不能有極點，故：右邊序列的z變換收斂域一定在模最大的有限極點所在圓之外。左邊序列的z變換收斂域一定在模最小的有限極點所在圓之內(nèi)。

140離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析3.4序列的Z逆變換141留數(shù)法根據(jù)復變函數(shù)理論，若函數(shù)X(z)在環(huán)狀區(qū)域

內(nèi)是解析的，則在此區(qū)域內(nèi)X(z)可展開成羅朗級數(shù)，即

而

其中圍線c是在X(z)的環(huán)狀收斂域內(nèi)環(huán)繞原點的一條反時針方向的閉合單圍線。3.4序列的Z逆變換142若F(z)在c外M個極點zm，且分母多項式z的階次比分子多項式高二階或二階以上，則：利用留數(shù)定理求圍線積分，令若F(z)在圍線c上連續(xù)，在c內(nèi)有K個極點zk，則：3.4序列的Z逆變換143留數(shù)的計算公式單階極點的留數(shù)：N重極點階極點的留數(shù)：3.4序列的Z逆變換1443.4序列的Z逆變換1453.4序列的Z逆變換1463.4序列的Z逆變換1473.4序列的Z逆變換1483.4序列的Z逆變換149

3.4序列的Z逆變換1503.4序列的Z逆變換151事實上，如果對應(yīng)的右邊序列為，則同一對應(yīng)的左邊列則為左邊序列不包括k=0用留數(shù)法求得：154離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析3.5系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)1551）系統(tǒng)函數(shù)是單位抽樣響應(yīng)h(n)的z變換一、系統(tǒng)函數(shù)1、定義：LSI系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)：2）由LSI系統(tǒng)的差分方程確定系統(tǒng)函數(shù)H(z)：若描述系統(tǒng)的差分方程為：

3.5系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)156兩邊取z變換則有：因此，系統(tǒng)函數(shù)，單位抽樣響應(yīng)h(n)與差分方程可以互求，三者都可以用來描述系統(tǒng)的特性。注意：系統(tǒng)函數(shù)可以根據(jù)輸入輸出的比值來計算，但與系統(tǒng)的輸入輸出無關(guān)，系統(tǒng)函數(shù)只與系統(tǒng)本身的連接方式，系統(tǒng)參數(shù)等系統(tǒng)自身的特性有關(guān)。3.5系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)1571）因果：2）穩(wěn)定：序列h(n)絕對可和，即而h(n)的z變換的Roc：滿足2、系統(tǒng)的因果和穩(wěn)定3）因果穩(wěn)定的充要條件：Roc：H(z)的Roc須是以小于1為半徑的整個圓外，且包括即系統(tǒng)函數(shù)H(z)的全部極點必須在單位圓內(nèi)。

穩(wěn)定系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)H(z)的Roc須包含單位圓。3.5系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)1583.5系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)159二、頻率響應(yīng)函數(shù)幅度響應(yīng)相位響應(yīng)1、LTI系統(tǒng)對復指數(shù)序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)：頻率響應(yīng)函數(shù)的意義3.5系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)160LTI系統(tǒng)的頻率響應(yīng)為系統(tǒng)對于復指數(shù)輸入的增益。任意信號通過線性時不變系統(tǒng)只可能丟失頻率分量，而不會產(chǎn)生新的頻率分量。3.5系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)1612、LTI實系統(tǒng)對正弦序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)若輸入序列為：3.5系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)162相位為輸入相位與系統(tǒng)相位響應(yīng)之和，初相的變化意味著序列通過LTI系統(tǒng)需要時間，即有延遲。輸出同頻正弦序列，幅度受頻率響應(yīng)幅度加權(quán)，其中令可得3.5系統(tǒng)函數(shù)與頻率響應(yīng)函數(shù)1633、LTI系統(tǒng)對任意輸入序列的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)其中：輸出信號的頻譜受到系統(tǒng)頻率響應(yīng)函數(shù)的加權(quán)166離散時間信號與系統(tǒng)的頻域分析3.6頻率響應(yīng)的幾何確定法167一、頻率響應(yīng)的幾何確定法一個系統(tǒng)的輸入序列與輸出序列之間的關(guān)系用以下的差分方程描述兩邊取Z變換得到系統(tǒng)函數(shù)3.6頻率響應(yīng)的幾何確定法168是的多項式之比，因此一般都可以分解成3.6頻率響應(yīng)的幾何確定法169令，得頻率響應(yīng)函數(shù)零點矢量極點矢量03.6頻率響應(yīng)的幾何確定法170則頻率響應(yīng)的幅度幅角：3.6頻率響應(yīng)的幾何確定法1713.6頻率響應(yīng)的幾何確定法172（2）零點位置影響谷值零點在單位圓上，谷點為零零點趨向于單位圓，谷點趨向于零（3）極點位置影響峰值二、零極點對系統(tǒng)幅頻特性的影響極點趨向于單位圓，峰值趨向于無窮極點在單位圓外，系統(tǒng)不穩(wěn)定（1）Z平面原點處的零極點對幅頻特性無影響0175離散傅里葉變換4.1Fourier變換的幾種可能形式176時間函數(shù)頻率函數(shù)連續(xù)時間、離散頻率—周期信號的傅里葉級數(shù)連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換傅里葉變換是以時間為自變量的信號和以頻率為自變量的頻譜函數(shù)之間的一種變換關(guān)系。由于時間和頻率可以是連續(xù)的也可以是離散的，因此有四種不同的傅里葉變換對。4.1Fourier變換的幾種可能形式1771、連續(xù)時間、離散頻率—傅里葉級數(shù)2、連續(xù)時間、連續(xù)頻率—傅里葉變換

時域周期頻域離散時域非周期頻域連續(xù)的譜4.1Fourier變換的幾種可能形式1783、離散時間、連續(xù)頻率—序列的傅里葉變換以上三種傅里葉變換的形式，有一個共同的缺點：至少有一個變換域是連續(xù)的，因此不適合計算機進行頻譜分析。如果想利用計算機去計算傅里葉變換，就必須時域離散，頻域也離散，而且序列的長度為有限長序列的傅里葉變換。這就是本章要討論的離散傅里葉變換（DFT）和離散傅里葉級數(shù)（DFS），周期序列對應(yīng)的是離散傅里葉級數(shù)，有限長序列對應(yīng)的是離散傅里葉變換。

時域的離散化

頻域的周期延拓4.1Fourier變換的幾種可能形式1794、離散時間、離散頻率—離散傅里葉變換時域離散，周期；頻域周期、離散4.1Fourier變換的幾種可能形式180一個域（時域或頻域）連續(xù)，則另一個域必為非周期一個域（時域或頻域）周期，則另一個域必為離散小結(jié)時域抽樣周期延拓DTFTFT周期延拓FT頻域抽樣DFT四種變換之間的聯(lián)系：4.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）183一、導出DFS有限長序列：周期序列：1844.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）序列的傅里葉變換

對序列在一個周期內(nèi)等間隔采樣，采樣間隔則第K個采樣點的頻率為1854.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）上式可寫為此式是周期序列的DFS1864.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）二、導出IDFS兩邊乘以，并在一個周期內(nèi)求和此式是周期序列的IDFS1874.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）周期序列的DFS正變換和反變換：其中：1884.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）三、DFS的物理意義任何周期序列，都可以分解成N個周期復指數(shù)序列的和。這些周期復指數(shù)序列的數(shù)字角頻率為，它們的幅度和相位由離散傅里葉級數(shù)系數(shù)決定。周期序列的頻譜是離散譜，并且是和序列的周期相同的周期譜。也就是說，周期序列總共只有N個獨立的頻率分量。周期序列頻譜的特點：

1894.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）四、DFS的性質(zhì)1、線性：其中，為任意常數(shù)若則注意：兩序列周期相同1904.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）2、序列的移位若則1914.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）3、調(diào)制特性若例：從wav文件中讀取一段音樂信號，畫出其頻譜特性，然后進行DSB和AM調(diào)制，頻移至8KHz，再觀察其幅頻特性；則1924.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）[y,fs]=audioread('shuangjiang.mp3');sound(y,fs)s=y(:,1)’x=s(60000:62047)%截取部分數(shù)據(jù)x1=fft(x,2048)x2=fftshift(x1)xf=20*log10(abs(x2))%計算幅度譜f=(0:2047)*fs/2048-fs/2figure(1);plot(f,xf);gridontitle('原始信號的頻譜')1934.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）y=x.*cos(2*pi*8*10^3/fs*(0:2047))%DSB信號y1=fft(y,2048)y2=fftshift(y1)f=(0:2047)*fs/2048-fs/2yf=20*log10(abs(y2))figure(2);plot(f,yf);gridontitle('DSB調(diào)制信號頻譜')1944.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）z=(1+0.8*x).*cos(2*pi*8*10^3/fs*(0:2047))%AM信號z1=fft(z,2048)z2=fftshift(z1)y1f=20*log10(abs(z2))f=(0:2047)*fs/2048-fs/2figure(3);plot(f,y1f);gridontitle('AM調(diào)制信號頻譜')1954.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）4、周期卷積和若則同樣，利用對稱性若則1964.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）例如：已知序列分別將序列以6為周期延拓成周期序列，求兩個周期序列的周期卷積和。1974.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）例如：已知序列分別將序列以6為周期延拓成周期序列，求兩個周期序列的周期卷積和。1984.2離散傅里葉級數(shù)（DFS）例如：已知序列分別將序列以6為周期延拓成周期序列，求兩個周期序列的周期卷積和。4.3離散傅里葉變換（DFT）2011、離散傅里葉變換（DFT）的定義n對N取余數(shù)運算例如有限長序列：N=8同樣：X(k)個也是一N點的有限長序列則周期序列：2024.3離散傅里葉變換（DFT）有限長序列的DFT正變換和反變換：其中：2034.3離散傅里葉變換（DFT）2、DFT與ZT、DTFT之間的關(guān)系令令x(n)的離散時間傅里葉變換是x(n)的在單位圓上的z變換；x(n)的DFT是x(n)的傅里葉變換在單位圓上的N點等間隔抽樣；2044.3離散傅里葉變換（DFT）2054.3離散傅里葉變換（DFT）2064.3離散傅里葉變換（DFT）對同一序列，不同點數(shù)的DFT，其結(jié)果不同！做DFT的序列時域、頻域均為N點，區(qū)間為【0，N-1】2074.3離散傅里葉變換（DFT）3、DFT隱含周期性DFT的一個重要特點就是隱含的周期性，從表面上來看，離散傅里葉變換在時域和頻域都是非周期的、有限長的序列，但實質(zhì)上DFT是從DFS引伸出來的，它們的本質(zhì)是一致的，因此DFS的周期性決定DFT具有隱含的周期性。這種隱含的周期性在快速傅里葉變換中有著重要的應(yīng)用，可以從以下三個不同的角度去理解這種隱含的周期性。2084.3離散傅里葉變換（DFT）是在等間隔采N個樣值，是以為周期1)2)3)4.4DFT的對稱性211一、序列的分解圓周共軛反對稱序列：圓周共軛對稱序列：任意有限長序列可以分解成圓周共軛對稱序列和圓周共軛反對稱序列，即2124.4DFT的性質(zhì)圓周共軛反對稱序列：圓周共軛對稱序列：以有限長實序列，N=6為例213同理也可以做這樣的分解：其中：4.4DFT的性質(zhì)2144.4DFT的性質(zhì)2154.4DFT的性質(zhì)2164.4DFT的性質(zhì)

序列DFT小結(jié)2174.4DFT的性質(zhì)例：設(shè)x1(n)和x2(n)都是N點的實數(shù)序列，試用一次N點DFT運算來計算它們各自的DFT:2184.4DFT的性質(zhì)221離散傅里葉變換

4.4.6圓周卷積222若則一、圓周卷積的定義NN4.4.6圓周卷積223注意：圓周卷積所取長度不同，結(jié)果不同兩個N點序列做圓周卷積之后仍然為N點的序列4.4.6圓周卷積224二、圓周卷積的計算不進位乘法

4.4.6圓周卷積225N計算：4.4.6圓周卷積226=[359968]4.4.6圓周卷積227N三、圓周卷積與線性卷積的關(guān)系4.4.6圓周卷積228得到：NN4.4.6圓周卷積229DFT法計算線性卷積注意：232離散傅里葉變換

4.4.6圓周相關(guān)233一、線性相關(guān)定義令則有自相關(guān)函數(shù)：4.4.6圓周相關(guān)234相關(guān)函數(shù)不滿足交換率，兩者之間的關(guān)系為：4.4.6圓周相關(guān)235二、圓周相關(guān)定理4.4.6圓周相關(guān)236類似于線性卷積與圓周卷積之間的關(guān)系當時，圓周相關(guān)可完全代表線性相關(guān)有限長序列的N點的圓周相關(guān)。只在范圍內(nèi)取值，正好是的圓周移位，變量是n，不需要翻褶。求和也是在內(nèi)進行的4.4.6圓周相關(guān)237利用圓周相關(guān)定理，可用DFT計算兩序列的線性相關(guān)4.4.6圓周相關(guān)238相關(guān)函數(shù)的z變換：4.4.6圓周相關(guān)239相關(guān)函數(shù)的頻譜：由此可看出，自相關(guān)序列的傅里葉變換等于序列幅度譜的平方,或者說，自相關(guān)序列與序列幅度譜平方是一個傅里葉變換對。相關(guān)函數(shù)的應(yīng)用：噪聲中信號的檢測信號中隱含周期性的檢測信號時差估計等4.4.6圓周相關(guān)240例1、采用自相關(guān)函數(shù)估計法，提取帶有白噪聲干擾的頻率為10Hz的正弦信號的功率譜。帶干擾的正弦信號帶干擾的自相關(guān)函數(shù)信號的功率譜4.4.6圓周相關(guān)241白噪聲的自相關(guān)函數(shù)

由圖可見:含有周期成分和干擾噪聲信號的自相關(guān)函數(shù)在t=0時具有最大值，且在t較大時仍具有明顯的周期性，其頻率和周期成分的周期相同；而不含有周期的白噪聲信號在t=0處也有最大值，但在稍大時明顯衰減至零，自相關(guān)函數(shù)的這一性質(zhì)被用來識別隨機信號中是否含有周期成分以及周期信號的頻率。244快速傅利葉變換5.1直接計算DFT的問題及改進的基本途徑245N點有限長序列x(n)正變換：

5.1.1直接計算DFT的運算量反變換:5.1直接計算DFT的問題及改進的基本途徑246

運算量

5.1直接計算DFT的問題及改進的基本途徑247

5.1直接計算DFT的問題及改進的基本途徑248????算法的基本思想：利用??????系數(shù)的特性，合并??????運算中的某些項，把長序列??????→短序列??????，從而減少其運算量。FFT算法分類:時間抽選法DIT:Decimation-In-Time頻率抽選法DIF:Decimation-In-Frequency5.1直接計算DFT的問題及改進的基本途徑249

5.1直接計算DFT的問題及改進的基本途徑250所以帶入DFT中：

展開：5.1直接計算DFT的問題及改進的基本途徑251

有：合并有些項

5.1直接計算DFT的問題及改進的基本途徑252結(jié)論由此找出其它各項的類似歸并方法：乘法次數(shù)可以減少一半。例：

5.1直接計算DFT的問題及改進的基本途徑2532、將長序列DFT利用對稱性和周期性分解為短序列DFT--思路因為DFT的運算量與N2成正比的如果一個大點數(shù)N的DFT能分解為若干小點數(shù)DFT的組合，則顯然可以達到減少運算工作量的效果。5.1直接計算DFT的問題及改進的基本途徑2542、將長序列DFT利用對稱性和周期性分解為短序列DFT--方法把N點數(shù)據(jù)分成二半：其運算量為：再分二半：這樣一直分下去，剩下兩點的變換。5.1直接計算DFT的問題及改進的基本途徑2552、將長序列DFT利用對稱性和周期性分解為短序列DFT--結(jié)論快速付里時變換(FFT)就是在此特性基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，并產(chǎn)生了多種FFT算法，其基本上可分成兩大類：按抽取方法分：時間抽取法(DIT);頻率抽取法(DIF)按“基數(shù)”分：基-2FFT算法；基-4FFT算法；混合基FFT算法；分裂基FFT算法5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)2585.2.1算法原理設(shè)序列點數(shù)N=2L，L為整數(shù)。若不滿足，則補零N為2的整數(shù)冪的FFT算法稱基-2FFT算法。將序列x(n)按n的奇偶分成兩組：5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)259則x(n)的DFT:

5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)260再利用周期性求X(k)的后半部分

和是以N/2為周期的5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)261蝶式計算結(jié)構(gòu)也即為蝶式信號流圖上面頻域中前/后半部分表示式可以用蝶形信號流圖表示。X1(k)X2(k)作圖要素：(1)左邊兩路為輸入(2)右邊兩路為輸出(3)中間以一個小圓表示加、減運算（右上路為相加輸出、右下路為相減輸出)(4)如果在某一支路上信號需要進行相乘運算，則在該支路上標以箭頭，將相乘的系數(shù)標在箭頭旁。(5)當支路上沒有箭頭及系數(shù)時，則該支路的傳輸比為1。5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)2625.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)263分解后的運算量：復數(shù)乘法復數(shù)加法一個N/2點DFT(N/2)2N/2(N/2–1)兩個N/2點DFTN2/2N(N/2–1)一個蝶形12N/2個蝶形N/2N總計運算量減少了近一半5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)264N/2仍為偶數(shù)，進一步分解：N/2N/45.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)265同理：其中：5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)266圖5.4DIT-FF二次分解5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)267這樣逐級分解，直到2點DFT當N=8時，即分解到X3(k)，X4(k)，X5(k)，X6(k)，k=0,15.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)2685.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)269

5.2.2DIT-FFT的運算量當N=2L時，共有L級蝶形，每級N/2個蝶形，每個蝶形有1次復數(shù)乘法2次復數(shù)加法。復數(shù)乘法：復加次數(shù)：比較DFT:5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)2725.2.3DIT-FFT算法的特點1.原位計算m表示第m級迭代，k，j表示數(shù)據(jù)所在的行數(shù)5.6按時間抽取蝶形運算結(jié)構(gòu)5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)273例：N=8FFT運算,輸入:看出：用原位運算結(jié)構(gòu)運算后，A(0)…A(7)正好順序存放X(0)…X(7),可以直接順序輸出。5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)2742.倒位序倒位序自然序0000000010041001010220101106301100114100101551010113611011177111n0n1n2000110110011015.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)275整序重排子程序具體執(zhí)行時，只須將1與4對調(diào)送入，3與6對調(diào)送入，而0，2，5，7不變，僅需要一個中間存儲單元。n01234567n’04261537在實際運算時，先按自然順序?qū)⑤斎胄蛄写嫒氪鎯卧?，再通過變址運算將自然順序變換成按時間抽取的FFT算法要求的順序。變址的過程可以用程序安排加以實現(xiàn)--稱為“整序”或“重排”（采用碼位倒讀）且注意：(1)當n=n’時，數(shù)據(jù)不必調(diào)換；(2)當n≠n時，必須將原來存放數(shù)據(jù)x(n)送入暫存器R，再將x(n’)送入x(n),R中內(nèi)容送x(n’).進行數(shù)據(jù)對調(diào)。(3)為了避免再次考慮前面已調(diào)換過的數(shù)據(jù)，保證調(diào)換只進行一次，否則又變回原狀。n’>n時，調(diào)換。5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)276圖5.8變址運算規(guī)律5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)2773.蝶形運算對N=2L點FFT，輸入倒位序，輸出自然序，第m級運算每個蝶形的兩節(jié)點距離為2m–1第m級運算：5.2按時間抽選的基-2FFT算法(DIT-FFT)278蝶形運算兩節(jié)點的第一個節(jié)點為k值，表示成L位二進制數(shù)，左移L–m位，把右邊空出的位置補零，結(jié)果為r的二進制數(shù)。5.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)281設(shè)序列點數(shù)N=2L，L為整數(shù)。5.3.1算法原理將X(k)按k的奇偶分組前，先將輸入x(n)按n

的順序分成前后兩半：5.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)282

5.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)283按k的奇偶將X(k)分成兩部分：5.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)284令則X(2r)和X(2r+1)分別是x1(n)和x2(n)的N/2點DFT，記為X1(k)和X2(k)285圖5.10DIF-FFT一次分解5.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)2865.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)N/2仍為偶數(shù)，進一步分解：N/2N/42875.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)x3(0)x3(1)-1-1x4(0)x4(1)N/4點DFTN/4點DFTx1(0)x1(1)x1(2)x1(3)X3(0)=X1(0)=X(0)X4(0)=X1(1)=X(2)X3(1)=X1(2)=X(4)X4(1)=X1(3)=X(6)2885.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)同理其中2895.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)圖5.11DIF-FFT二次分解2905.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)逐級分解，直到2點DFT當N=8時，即分解到x3(n)，x4(n)，x5(n)，x6(n)，n=0,12915.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)圖5.12N=8DIF-FFT蝶形圖5.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)2945.3.2算法特點1.原位計算-1L級蝶形運算，每級N/2個蝶形，每個蝶形結(jié)構(gòu)：

m表示第m級迭代，k，j表示數(shù)據(jù)所在的行數(shù)5.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)2952.蝶形運算對N=2L點FFT，輸入自然序，輸出倒位序，兩節(jié)點距離：2L-m=N/2m第m級運算：5.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)296

蝶形運算兩節(jié)點的第一個節(jié)點為k值，表示成L位二進制數(shù)，左移m-1位，把右邊空出的位置補零，結(jié)果為r的二進制數(shù)。的確定5.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)297

圖5.12N=8DIF-FFT蝶形圖2985.3按頻率抽選的基2-FFT算法(DIF-FFT)5.3.3DIT與DIF的異同基本蝶形不同DIT:先復乘后加DIF:先減后復乘運算量相同都可原位運算DIT和DIF的基本蝶形互為轉(zhuǎn)置2995.4離散傅里葉反變換的快速算法(IFFT)比較：IDFT:DFT:FFT:IFFT3005.4離散傅里葉反變換的快速算法(IFFT)3015.4離散傅里葉反變換的快速算法(IFFT)3025.4離散傅里葉反變換的快速算法(IFFT)直接調(diào)用FFT子程序計算IFFT的方法：共軛FFT共軛乘1/N方法一3035.4離散傅里葉反變換的快速算法(IFFT)方法二=令：上式表明，先調(diào)用FFT程序計算的DFT，然后把運算結(jié)果翻褶后平移N位，最后再乘以常數(shù)1/N，就得306快速傅利葉變換5.8快速傅里葉變換的應(yīng)用307需運算量：若系統(tǒng)滿足線性相位，即：則需運算量：若L點x(n)，M點h(n)，則直接計算其線性卷積y(n)5.8.1快速卷積運算1.線性卷積的FFT算法

5.8快速傅里葉變換的應(yīng)用3081)

H(k)=FFT[h(n)]N/2*log2N4)

y(n)=IFFT[Y(k)]N/2*log2N3)

Y(k)=H(k)X(k)N2)

X(k)=FFT[x(n)]N/2*log2N

N

FFT法：以圓周卷積代替線性卷積5.8快速傅里葉變換的應(yīng)用309圖5.13用FFT來計算線性卷積5.8快速傅里葉變換的應(yīng)用310比較直接計算和FFT法計算的運算量討論：1）當2）當

5.8快速傅里葉變換的應(yīng)用3112.重疊相加法N

5.8快速傅里葉變換的應(yīng)用312圖5.14重疊相加法卷積示意圖5.8快速傅里葉變換的應(yīng)用313重疊相加法例子

5.8快速傅里葉變換的應(yīng)用3142）重疊保留法舍棄yi(n)的前M-1個點，再將yi(n)順次連接，即得y(n)。分段右移序列卷積N

5.8快速傅里葉變換的應(yīng)用315圖5.15重疊保留法卷積示意圖5.8快速傅里葉變換的應(yīng)用316重疊保留法例子

319數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)6.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法320

數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)：

（6.1）

常系數(shù)線性差分方程:(6.2)6.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法321加法器常數(shù)乘法器單位延時基本運算單元方框圖流圖

6.1數(shù)字濾波器結(jié)構(gòu)的表示方法322例：二階數(shù)字濾波器方框圖結(jié)構(gòu)流圖結(jié)構(gòu)圖6.2二階數(shù)字濾波器方框圖及流圖結(jié)構(gòu)（a）方框圖結(jié)構(gòu)

（b）流圖結(jié)構(gòu)6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)323IIR數(shù)字濾波器的特點：系統(tǒng)函數(shù)：差分方程：1）系統(tǒng)的單位抽樣相應(yīng)h(n)無限長3）存在輸出到輸入的反饋，遞歸型結(jié)構(gòu)

6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)3246.2.1直接Ⅰ型差分方程：圖6.3階IIR系統(tǒng)直接Ⅰ型流圖需N+M個延時單元6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)325直接Ⅰ型結(jié)構(gòu)的特點兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)：第一個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點，第二個有反饋的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點。共需(N+M)級延時單元系數(shù)ai,bi不是直接決定單個零極點，因而不能很好地進行濾波器性能控制。極點對系數(shù)的變化過于靈敏，從而使系統(tǒng)頻率響應(yīng)對系統(tǒng)變化過于靈敏，也就是對有限精度（有限字長）運算過于靈敏，容易出現(xiàn)不穩(wěn)定或產(chǎn)生較大誤差。6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)3266.2.2直接Ⅱ型（典范型）從上面直接型結(jié)構(gòu)的兩部分看成兩個獨立的網(wǎng)絡(luò)（即兩個子系統(tǒng)）。原理：一個線性時不變系統(tǒng)，若交換其級聯(lián)子系統(tǒng)的次序，系統(tǒng)函數(shù)不變。把此原理應(yīng)用于直接I型結(jié)構(gòu)。即：交換兩個級聯(lián)網(wǎng)絡(luò)的次序合并兩個具有相同輸入的延時支路。

得到另一種結(jié)構(gòu)即直接II型。6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)327直接II型的結(jié)構(gòu)流圖過程1--對調(diào)x(n)b0b1b2Z-1Z-1y(n)a1a2Z-1Z-1bMZ-1aN-1aNZ-1Z-1第一部分第二部分x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bMZ-1Z-1對調(diào)對調(diào)6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)328直接II型的結(jié)構(gòu)流圖過程2--合并由于對調(diào)后前后兩路都有一條內(nèi)容完全相同的延時鏈，可以合并為一條即可。x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b0b1b2Z-1Z-1bMZ-1合并x(n)a1a2Z-1Z-1aN-1aNZ-1Z-1b1b2bMy(n)y(n)這就是直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)329直接II型結(jié)構(gòu)特點：兩個網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)。第一個有反饋的N節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)極點；第二個橫向結(jié)構(gòu)M節(jié)延時網(wǎng)絡(luò)實現(xiàn)零點。實現(xiàn)N階濾波器（一般N>=M)只需N級延時單元，所需延時單元最少。故稱典范型。同直接I型一樣，具有直接型實現(xiàn)的一般缺點。6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)330例6.1已知IIRDF系統(tǒng)函數(shù)，畫出直接I型、直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。解：因為6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)331例6.1已知IIRDF系統(tǒng)函數(shù)，畫出直接I型、直接II型的結(jié)構(gòu)流圖。解：因為334數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)335將系統(tǒng)函數(shù)按零極點因式分解:6.2.3級聯(lián)結(jié)構(gòu)6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)336濾波器的基本二階節(jié)將共軛成對的復數(shù)組合成二階多項式，系數(shù)即為實數(shù)。為采用相同結(jié)構(gòu)的子網(wǎng)絡(luò)，也將兩個實零點/極點組合成二階多項式稱為濾波器的二階基本節(jié)。一般用直接II型（正準型、典范型表示）6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)337用二階節(jié)級聯(lián)表示的濾波器系統(tǒng)整個濾波器則是多個二階節(jié)級聯(lián)x(n)y(n)β11a21Z-1Z-1a11β21β12a22Z-1Z-1a12β22β1Ma2MZ-1Z-1a1Mβ2M…...6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)338級聯(lián)型的特點：調(diào)整系數(shù),

,能單獨調(diào)整濾波器的第k對零點，而不影響其它零極點

運算的累積誤差較小具有最少的存儲器便于調(diào)整濾波器頻率響應(yīng)性能調(diào)整系數(shù),能單獨調(diào)整濾波器的第k對極點，而不影響其它零極點6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)3396.2.4并聯(lián)型(1)系統(tǒng)函數(shù)的部分分式展開將因式分解的H(z)展成部分分式：(6.8)式中組合成實系數(shù)二階多項式：6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)340(2)基本二階節(jié)的并聯(lián)結(jié)構(gòu)將H(z)分解為一階及二階系統(tǒng)的并聯(lián)(部分分式展開)，每級子系統(tǒng)都用典范型實現(xiàn)。AN1Z-1a1x(n)aN1a11Z-1Z-1A1β11y(n)A0...β01a21a1N2a2N2β0N2β1N2其實現(xiàn)結(jié)構(gòu)為：...6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)341(3)并聯(lián)型基本二階節(jié)結(jié)構(gòu)并聯(lián)型的基本二階節(jié)的形式：其中：要求分子比分母小一階x(n)β0a2Z-1Z-1a1β1y(n)

6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)342并聯(lián)型的特點：通過調(diào)整系數(shù)，可單獨調(diào)整一對極點位置，

但不能單獨調(diào)整零點位置各并聯(lián)基本節(jié)的誤差互相不影響，故運算誤差最小可同時對輸入信號進行運算，故運算速度最高6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)343原網(wǎng)絡(luò)中所有支路方向倒轉(zhuǎn)，并將輸入x(n)和輸出y(n)相互交換，則其系統(tǒng)函數(shù)H(z)不改變。6.2.5轉(zhuǎn)置定理圖6.7直接Ⅱ型結(jié)構(gòu)的轉(zhuǎn)置圖6.8將圖6.7畫成輸入在左、輸出在右的習慣形式6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)344例：用典范型和一階級聯(lián)型、并聯(lián)型實現(xiàn)方程：解：正準型、一階級聯(lián)和并聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)表示：6.2

IIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)345圖示如下：正準型級聯(lián)型并聯(lián)型348數(shù)字濾波器的基本網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)6.3

FIR數(shù)字濾波器的基本結(jié)構(gòu)349FIR數(shù)字濾波器的特點：系統(tǒng)函數(shù)

（6.9）有N-1個零點分布于z平面z=0處