1991考研數(shù)四真題及解析

文檔文檔/文檔1991年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學四試題一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)設則________.(2)設曲線與都通過點且在點有公共切線,則________,________,________.(3)設,則在點________處取極小值________.(4)階行列式________.(5)設為隨機事件,________.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分；每一小題都給出代號為A,B,C,D的四個結論,其中只有一個是正確的,把你認為正確的結論的代號寫在題后的圓括號內(nèi),每一小題選對得3分,不選或選錯一律得0分.)(1)下列各式中正確的是()(A)(B)(C)(D)(2)設數(shù)列的通項為則當時,是()(A)無窮大量(B)無窮小量(C)有界變量(D)無界變量(3)設為階方陣,滿足等式,則必有()(A)或(B)(C)或(D)(4)設是矩陣,是非齊次線性方程組所對應的齊次線性方程組,則下列結論正確的是()(A)若僅有零解,則有唯一解(B)若有非零解,則有無窮多個解(C)若有無窮多個解.,則僅有零解(D)若有無窮多個解,則有非零解(5)設和是任意兩個概率不為零的不相容事件,則下列結論中肯定正確的是()(A)與不相容(B)與相容(C)(D)三、(本題滿分5分)求極限四、(本題滿分5分)求定積分五、(本題滿分5分)求不定積分六、(本題滿分5分)已知,其中是和的函數(shù).求證：七、(本題滿分6分)假設曲線：、和軸所圍區(qū)域被曲線：分為面積相等的兩部分,其中是大于零的常數(shù).試確定的值.八、(本題滿分8分)某廠家生產(chǎn)的一種產(chǎn)品同時在兩個市場銷售,售價分別為和；銷售量分別為和；需求函數(shù)分別為和.總成本函數(shù)為試問：廠家如何確定兩個市場的售價,能使其獲得的總利潤最大？最大利潤為多少？九、(本題滿分6分)證明不等式.十、(本題滿分5分)設階矩陣和滿足條件.(1)證明為可逆矩陣(其中是階單位矩陣)；(2)已知求矩陣.十一、(本題滿分7分)設有三維列向量問取何值時,(1)可由線性表示,且表達式唯一?(2)可由線性表示,且表達式不唯一?(3)不能由線性表示?十二、(本題滿分4分)已知向量是矩陣的逆矩陣的特征向量,試求常數(shù)的值.十三、(本題滿分7分)一汽車沿一街道行駛,需要通過三個均設有紅綠信號燈的路口,每個信號燈為紅或綠與其他信號燈為紅或綠相互獨立,且紅綠兩種信號顯示的時間相等,以表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù).(1)求的概率分布.(2)求.十四、(本題滿分7分)在電源電壓不超過200伏、在200240伏和超過240伏三種情形下,某種電子元件損壞的概率分別為0.1,0.001和0.2,假設電源電壓服從正態(tài)分布,試求：(1)該電子元件損壞的概率；(2)該電子元件損壞時,電源電壓在200240伏的概率.附表：注：表中是標準正態(tài)分布函數(shù).1991年全國碩士研究生入學統(tǒng)一考試數(shù)學四試題解析一、填空題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】【解析】方法一：先求出兩個偏導數(shù)和,然后再寫出全微分,,所以.方法二：利用一階全微分形式不變性和微分四則運算法則直接計算..(2)【答案】,,【解析】由于曲線與都通過點則,又曲線與在點有公切線,則,即,亦即,解之得,,.(3)【答案】；【解析】由高階導數(shù)的萊布尼茲公式可知,.對函數(shù)求導,并令,得,解之得駐點,且故是函數(shù)的極小值點,極小值為.(4)【答案】【解析】因為本題行列式中零元素較多,所以考慮將行列式按某一行或者某一列展開,達到降階的目的.方法1：按第1列展開,有.方法2：也可以按第一行展開,有,對第二個階行列式,按第一列展開有.所以.【相關知識點】行列式的性質(zhì)：將行列式對任一行按下式展開,其值相等,即其中是中去掉第行第列全部元素后按原順序排列成的階行列式,它稱為的余子式,稱為的代數(shù)余子式.(5)【答案】【解析】由概率基本公式,有,故.二、選擇題(本題滿分15分,每小題3分.)(1)【答案】(A)【解析】由重要極限可知,極限,.而極限,令,則,所以.故選項(A)正確.(2)【答案】(D)【解析】由于為奇數(shù)時,(當時),為偶數(shù)時,(當時),所以當時,既不是無窮大量,也不是無窮小量,而是無界變量.故應選(D).(3)【答案】(C)【解析】由,用行列式乘法公式,有,所以,與這兩個數(shù)中至少有一個為0,故應選(C).注意,若,,有,顯然,.這里一個常見的錯誤是“若,,則”.要引起注意.(4)【答案】(D)【解析】僅有零解有唯一解現(xiàn)在的問題是由能否推導出？若是階矩陣,結論肯定正確,那么矩陣呢？考察下面的例子：顯然只有零解,而無解,可見(A)不正確.有無窮多解,因為,故必有非零解.所以(D)正確.故應選(D).【相關知識點】1.非齊次線性方程組有解的判定定理：設是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即是(或者說,可由的列向量線表出,亦等同于與是等價向量組).設是矩陣,線性方程組,則有唯一解有無窮多解無解不能由的列向量線表出.2.對齊次線性方程組,有定理如下:對矩陣按列分塊,有,則的向量形式為,那么,有非零解線性相關(5)【答案】(D)【解析】,如果,則,即與互不相容；如果,則,即與相容.由于、的任意性,故選項(A)(B)均不正確.任何事件一定可以表示為兩個互不相容事件與的和.又因,從而,另外要注意區(qū)分獨立與互不相容兩個概念,不要錯誤地把、互不相容等同于、相互獨立而錯選(C).,不相容,,均不為零,因此,即(C)不正確.用排除法應選(D).事實上,三、(本題滿分5分)【解析】本題屬型未定式極限.方法一：而,于是方法二：,而于是四、(本題滿分5分)【解析】,因為積分區(qū)域關于原點對稱,為偶函數(shù),為奇函數(shù),所以由定積分的性質(zhì)可知,,所以.五、(本題滿分5分)【解析】方法一：.方法二：令則.六、(本題滿分5分)【解析】將兩邊同時對分別求偏導數(shù),得,即.于是七、(本題滿分6分)【解析】先求出曲線和的交點,然后利用定積分求出平面圖形面積和,如圖：由得所以,.又因為,所以,即,解得八、(本題滿分8分)【解析】方法1：總收入函數(shù)為,總利潤函數(shù)為.由極值的必要條件,得方程組即.因駐點的唯一,且由問題的實際含義可知必有最大利潤.故當時,廠家所獲得的總利潤最大,其最大總利潤為方法2：兩個市場的價格函數(shù)分別為,總收入函數(shù)為,總利潤函數(shù)為.由極值的必要條件,得方程組因駐點的唯一,且由問題的實際含義可知必有最大利潤.故當,即時,廠家所獲得的總利潤最大,其最大總利潤為.九、(本題滿分6分)【解析】令,欲證不等式成立,只需證.方法一：利用單調(diào)性.由于,且,故,所以函數(shù)在上單調(diào)減少.又,于是有,所以.方法二：利用拉格朗日中值定理.令,所以在區(qū)間存在一點,使得,即又因為,所以,所以,即.十、(本題滿分5分)【解析】(1)由,加項后因式分解得有,所以可逆,且,,.(2)由(1)小題得出.對于2階矩陣的伴隨矩陣有規(guī)律：,則求的伴隨矩陣.如果,這樣.再利用分塊矩陣求逆的法則：,有,利用2階矩陣快速求逆法得,再利用分塊矩陣求逆的法則,得,故.注：由要證可逆時,因為滿足關系式的矩陣不唯一,故應當用定義法.十一、(本題滿分7分)【解析】設將分量代入得到方程組對方程組的增廣矩陣作初等行變換.第一行分別乘以有、加到第二行和第三行上,有,再第二行加到第三行上,所以有.若且即且,則,方程組有唯一解,即可由線性表示且表達式唯一.若,則,方程組有無窮多解,可由線性表示,且表達式不唯一.若,則,方程組無解,從而不能由線性表示.【相關知識點】非齊次線性方程組有解的判定定理：設是矩陣,線性方程組有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,即是(或者說,可由的列向量線表出,亦等同于與是等價向量組).設是矩陣,線性方程組,則(1)有唯一解(2)有無窮多解(3)無解不能由的列向量線表出.十二、(本題滿分4分)【解析】由為的特征值可知,存在非零向量使,兩端左乘,得.因為,故,于是有.按特征值定義知是的特征值,且為相應的特征向量.本題中設是所屬的特征值,即.于是,或.注：利用特征值、特征向量的定義來建立方程組,通過借方程組可求出參數(shù).這種方法在以后的考試中多次出現(xiàn).【相關知識點】矩陣特征值與特征向量的定義：設是階矩陣,若存在數(shù)及非零的維列向量使得成立,則稱是矩陣的特征值,稱非零向量是矩陣的特征向量.十三、(本題滿分7分)【解析】(1)首先確定的可能值是,其次計算取各種可能值的概率.設事件“汽車在第個路口首次遇到紅燈”,且相互獨立.事件發(fā)生表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)為.所以有則的概率分布為(2)離散型隨機變量的取值為.所以其概率分布為由離散型隨機變量數(shù)學期望計算公式,因為的概率分布已知,所以有.注：此題易犯的一個錯誤是將計算為,這是由于該街道僅有三個設有紅綠信號燈