2024年中考數(shù)學(xué)第一次模擬試卷（山西卷）（全解全析）

2024年中考第一次模擬考試（山西卷）數(shù)學(xué)·全解全析第Ⅰ卷一、選擇題（本大題共10個小題，每小題3分，共30分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．的相反數(shù)是（）A．8 B．－8 C． D．【答案】D【解析】解：的相反數(shù)是，故選：D．2．觀察下列圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：第一個圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此圖案不符合題意；第二個圖案是軸對稱圖形，也是中心對稱圖形，故此圖案符合題意；第三個圖案是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故此圖案不符合題意；第四個圖案不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故此圖案不符合題意．故選：B．3．下列運算正確的是（）A．a(chǎn)3?a2＝a6 B．（ab3）2＝a2b6 C．（a﹣b）2＝a2﹣b2 D．（a+b）（﹣a﹣b）＝a2﹣b2【答案】B【解析】解：a3?a2＝a5，故選項A錯誤，不符合題意；（ab3）2＝a2b6，故選項B正確，符合題意；（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，故選項C錯誤，不符合題意；（a+b）（﹣a﹣b）＝﹣a2﹣2ab﹣b2，故選項D錯誤，不符合題意；故選：B．【點評】本題考查整式的混合運算，熟練掌握運算法則是解答本題的關(guān)鍵，注意完全平方公式的應(yīng)用．4．“白日不到處，青春恰自來．苔花如米小，也學(xué)牡丹開．”這是清朝袁枚所寫五言絕句《苔》，這首詠物詩啟示我們身處逆境也要努力綻放自己，要和苔花一樣盡自己所能實現(xiàn)人生價值．苔花也被稱為“堅韌之花”．袁枚所寫的“苔花”很可能是苔類孢子體的苞蔭，某孢子體的苞蔭直徑約為0.0000084m，將數(shù)據(jù)0.0000084用科學(xué)記數(shù)法表示為8.4×10n，則n的值是（）A．6 B．﹣7 C．﹣5 D．﹣6【答案】D【解析】解：0.0000084＝8.4×10﹣6，則n＝﹣6，故選：D．5．如圖，是一個底部呈球形的蒸餾瓶，球的半徑為6cm，瓶內(nèi)液體的最大深度CD＝3cm，則截面圓中弦AB的長為（）A． B． C． D．8cm【答案】C【解析】解：由題意得：OC⊥AB，∴AC＝BC＝AB，∠OCA＝90°，∵OA＝OD＝6cm，CD＝3cm，∴OC＝OD﹣CD＝6﹣3＝3（cm），在Rt△OAC中，由勾股定理得：AC＝＝＝3（cm），∴AB＝2AC＝6（cm）．∴截面圓中弦AB的長為6cm，故選：C．6．如圖，將質(zhì)量為10kg的鐵球放在不計重力的木板OB上的A處，木板左端O處可自由轉(zhuǎn)動，在B處用力F豎直向上抬著木板，使其保持水平，已知OA的長為1m，OB的長為xm，g取10N/kg，則F關(guān)于x的函數(shù)解析式為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】解：∵g取10N/kg，鐵球質(zhì)量為10kg，∴G＝mg＝10×10＝100（N），∵OA＝1m，OB＝xm，∴由杠桿平衡原理可得：F×OB＝G×OA，即F?x＝100×1，∴F關(guān)于x的函數(shù)解析式為．故選：A．7．某市為了方便市民綠色出行，推出了共享單車服務(wù)．圖①是某品牌共享單車放在水平地面的實物圖，圖②是其示意圖，其中AB，CD都與地面l平行，∠BCD＝60°，∠BAC＝54°．當(dāng)∠MAC為（）度時，AM與CB平行．A．16 B．60 C．66 D．114【答案】C【解析】解：∵AB，CD都與地面l平行，∴AB∥CD，∴∠BAC+∠ACD＝180°，∴∠BAC+∠ACB+∠BCD＝180°，∵∠BCD＝60°，∠BAC＝54°，∴∠ACB＝66°，∴當(dāng)∠MAC＝∠ACB＝66°時，AM∥CB，故選：C．8．已知反比例函數(shù)，下列結(jié)論不正確的是（）A．圖象經(jīng)過點（﹣1，1） B．圖象在第二、四象限 C．當(dāng)x＜0時，y隨著x的增大而增大 D．當(dāng)x＞1時，y＞﹣1【答案】D【解析】解：A、（﹣1，1）代入，得：左邊＝右邊，故本選項正確；B、圖象在第二、四象限內(nèi)，故本選項正確；C、在每個象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，故本選項正確；D、當(dāng)x＞1時，﹣1＜y＜0，故本選項不正確；不正確的只有選項D．故選：D．9．如圖1是一座立交橋的示意圖（道路寬度忽略不計），A為入口，F(xiàn)，G為出口，其中直行道為AB，CG，EF，且AB＝CG＝EF；彎道為以點O為圓心的一段弧，且所對的圓心角均為90°，甲、乙兩車由A口同時駛?cè)肓⒔粯?，均?2m/s的速度行駛，從不同出口駛出，其間兩車到點O的距離y（m）與時間x（s）的對應(yīng)關(guān)系如圖2所示，結(jié)合題目信息，下列說法錯誤的是（）A．甲車從G口出，乙車從F口出 B．立交橋總長為252m C．從F口出比從G口出多行駛72m D．乙車在立交橋上共行駛16s【答案】D【解析】解：根據(jù)兩車運行時間，可知甲車從G口出，乙車從F口出，故A正確；由圖象可知，兩車通過、、弧時每段所用時間均為3s，通過直行道AB，CG，EF時，每段用時為4s．所以立交橋總長為（3×3+4×3）×12＝252m，故B正確；根據(jù)兩車運行路線，從F口駛出比從G口多走，弧長之和，用時為6s，則多走72m，故C正確；根據(jù)題意乙車行駛時間為：4×2+3×3＝17秒，故D錯誤；故選：D．10．如圖，在平面直角坐標系中，將邊長為1的正六邊形OABCDE繞點O順時針旋轉(zhuǎn)n個45°，得到正六邊形OAnBn?nDnEn，當(dāng)n＝2030時，正六邊形OA2030B2030C2030D2030E2030的頂點D2030的坐標是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】解：由題意可知：正六邊形繞點O順時針旋轉(zhuǎn)一圈，旋轉(zhuǎn)了8個45°，∵當(dāng)n＝2030時，2030÷8＝253……6，∴D2030的坐標與D6的坐標相同，如圖所示：過點D6H⊥OE于點H，過點D作DF⊥x軸于點F，∵∠DEO＝120°，DE＝EO＝1，∴∠EDO＝∠DOE＝30°，∵∠DFO＝90°，∴∠FDE＝30°，∴在Rt△DFE中，，∴，∴在Rt△ODF中，，∴，∴，∠EOD6＝60°，又∵∠D6HO＝90°，在Rt△OHD6中，∴，，∴，，又∵點D6在第三象限，∴點D6的坐標為，故選：B．第Ⅱ卷二、填空題（本大題共5個小題，每小題3分，共15分）11.計算：＝．【解析】解：原式＝（+）×（﹣）×（﹣）＝（3﹣2）×（﹣）＝﹣．故答案為：﹣．12．化學(xué)中直鏈烷烴的名稱用“碳原子數(shù)+烷”來表示，當(dāng)碳原子數(shù)為1～10時，依次用天干——甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸——表示，其中甲烷、乙烷、丙烷的分子結(jié)構(gòu)式如圖所示，則庚烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個數(shù)是．【解析】解：由圖可得，甲烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個數(shù)是2+2×1＝4；乙烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個數(shù)是2+2×2＝6；丙烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個數(shù)是2+2×3＝8；…，∴第7個庚烷分子結(jié)構(gòu)式中“H”的個數(shù)是：2+2×7＝16；故答案為：16．13．如圖，在△ABC中，按以下步驟作圖：①以點A為圓心，適當(dāng)長為半徑作弧，分別交AB，AC于點M，N；②分別以點M，N為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點P；③作射線AP交BC于點D，若AB：AC＝2：3，△ABD的面積為2，則△ABC的面積為．【解析】解：過點D作DE⊥AB于點E，作DF⊥AC于點F，由作圖可知，射線AP為∠BAC的平分線，∴DE＝DF，∵AB：AC＝2：3，，，∴S△ABD：S△ACD＝2：3，∵△ABD的面積為2，∴△ACD的面積為3，∴△ABC的面積為S△ABD+S△ACD＝2+3＝5．故答案為：5．14．有甲、乙兩把不同的鎖和A、B、C三把不同的鑰匙．其中兩把鑰匙分別能打開這兩把鎖，第三把鑰匙不能打開這兩把鎖．隨機取出一把鑰匙開甲鎖，恰好能打開的概率是．【解析】解：因為三把鑰匙中只有1把能打開甲鎖，所以隨機取出一把鑰匙開甲鎖，恰好能打開的概率是．故答案為：．15．如圖，在正方形ABCD中，AB＝3，M為對角線BD上任意一點（不與B、D重合），連接CM，過點M作MN⊥CM，交線段AB于點N．連接NC交BD于點G．若BG：MB＝3：8，則NG?CG＝．【解析】解：如圖，把△DMC繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到△BHC，連接GH，∵△DMC≌△BHC，∠BCD＝90°，∴MC＝HC，DM＝BH，∠CDM＝∠CBH＝45°，∠DCM＝∠BCH，∴∠MBH＝90°，∠MCH＝90°，∵∠CMN＝∠CBN＝90°，∴M、N、B、C四點共圓，∴∠MCN＝45°，∴∠NCH＝45°，在△MCG和△HCG中，，∴△MCG≌△HCG（SAS），∴MG＝HG，∵BG：MB＝3：8，∴BG：MG＝3：5，設(shè)BG＝3a，則MG＝GH＝5a，在Rt△BGH中，BH＝4a，則MD＝4a，∵正方形ABCD的邊長為3，∴BD＝6，∴DM+MG+BG＝12a＝6，∴a＝，∴BG＝，MG＝，∵∠MGC＝∠NGB，∠MNG＝∠GBC＝45°，∴△MGN∽△CGB，∴，∴CG?NG＝BG?MG＝．故答案為：．三、解答題（本大題共8個小題，共75分．解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）16.（10分）(1)計算：(2)下面是小明同學(xué)進行因式分解的過程，請認真閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．因式分解：解：原式

第一步

第二步

第三步任務(wù)一：填空：①以上解題過程中，第一步進行整式乘法用到的是___________公式；②第三步進行因式分解用到的方法是___________法．任務(wù)二：同桌互查時，小明的同桌指出小明因式分解的結(jié)果是錯誤的，具體錯誤是______________________．任務(wù)三：小組交流的過程中，大家發(fā)現(xiàn)這個題可以先用公式法進行因式分解，再繼續(xù)完成，請你寫出正確的解答過程．【解析】（1）解：原式．（2）任務(wù)一：①以上解題過程中，第一步進行整式乘法用到的是完全平方公式；②第三步進行因式分解用到的方法是提公因式法；任務(wù)二：小明因式分解的結(jié)果不徹底，還可以進行因式分解；任務(wù)三：原式=故答案為：任務(wù)一：①完全平方；②提公因式；任務(wù)二：因式分解不徹底（或a2?b2還可以進行因式分解）；任務(wù)三：8(a+b)(a?b)．17.（7分）解分式方程：．【解析】解：，去分母得：x﹣4﹣3＝3﹣x，解得：x＝5，經(jīng)檢驗：x＝5是分式方程的解．18．（9分）某校在課后服務(wù)中，成立了以下社團：A．計算機，B．圍棋，C．籃球，D．書法每人只能加入一個社團，為了解學(xué)生參加社團的情況，從參加社團的學(xué)生中隨機抽取了部分學(xué)生進行調(diào)查，并將調(diào)查結(jié)果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，其中圖1中D所占扇形的圓心角為150°．請結(jié)合圖中所給信息解答下列問題：（1）這次被調(diào)查的學(xué)生共有360人；（2）請你將條形統(tǒng)計圖補充完整；（3）若該校共有1800學(xué)生加入了社團，請你估計這1800名學(xué)生中有多少人參加了籃球社團；（4）在書法社團活動中，由于甲、乙、丙、丁四人平時的表現(xiàn)優(yōu)秀，恰好四位同學(xué)中有兩名是男同學(xué)，兩名是女同學(xué)．現(xiàn)決定從這四人中任選兩名參加全市書法大賽，用畫樹狀圖求恰好選中一男一女的概率．【解析】解：（1）∵D所占扇形的圓心角為150°，∴這次被調(diào)查的學(xué)生共有：（人）；故答案為：360．（2）C組人數(shù)為：360﹣120﹣30﹣150＝60（人），故補充條形統(tǒng)計圖如下圖：（3）（人），答：這1800名學(xué)生中有300人參加了籃球社團，（4）設(shè)甲乙為男同學(xué)，丙丁為女同學(xué)，畫樹狀圖如下：∵一共有12種可能的情況，恰好選擇一男一女有8種，∴．19．（8分）為了響應(yīng)“足球進校園”的目標，某校計劃為學(xué)校足球隊購買一批足球，已知購買2個A品牌的足球和3個B品牌的足球共需380元；購買4個A品牌的足球和2個B品牌的足球共需360元．（1）求A，B兩種品牌的足球的單價．（2）2023年學(xué)校購買足球的預(yù)算為6400元，總共購買100個球且購買A品牌足球的數(shù)量不多于B品牌足球數(shù)量的2倍，有幾種購買方案．【解析】解：（1）設(shè)A品牌的足球的單價為x元/個，B品牌的足球的單價為y元/個，根據(jù)題意得：，解得：．答：A品牌的足球的單價為40元/個，B品牌的足球的單價為100元/個．（2）設(shè)購買A品牌足球a個，則購買B品牌足球（100﹣a）個．則，∴，∴a可取60，61，62，63，64，65，66共7種購買方案．答：有7種購買方案．20．（8分）學(xué)科綜合我們在物理學(xué)科中學(xué)過：光線從空氣射入水中會發(fā)生折射現(xiàn)象（如圖1），我們把n＝稱為折射率（其中α代表入射角，β代表折射角）．觀察實驗為了觀察光線的折射現(xiàn)象，設(shè)計了圖2所示的實驗，即通過細管MN可以看見水底的物塊C，但不在細管MN所在直線上，圖3是實驗的示意圖，四邊形ABFE為矩形，點A，C，B在同一直線上，測得BF＝12cm，DF＝16cm．（1）求入射角α的度數(shù)．（2）若BC＝7cm，求光線從空氣射入水中的折射率n．（參考數(shù)據(jù)：，，）【解析】解：（1）如圖：過點D作DG⊥AB，垂足為G，由題意得：四邊形DGBF是矩形，∴DG＝BF＝12cm，BG＝DF＝16cm，在Rt△DGB中，tan∠BDG＝＝＝，∴∠BDG＝53°，∴∠PDH＝∠BDG＝53°，∴入射角α的度數(shù)為53°；（2）∵BG＝16cm，BC＝7cm，∴CG＝BG﹣BC＝9（cm），在Rt△CDG中，DG＝12cm，∴DC＝＝＝15（cm），∴sinβ＝sin∠GDC＝＝＝，由（1）得：∠PDH＝53°，∴sin∠PDH＝sinα≈，∴折射率n＝＝＝，∴光線從空氣射入水中的折射率n約為．21．（8分）閱讀與思考下面是小宇同學(xué)寫的一篇數(shù)學(xué)小論文，請認真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)：由一道習(xí)題引發(fā)的思考——“十字架模型”的拓展研究在我們教材上，有這樣一道習(xí)題：如圖1，四邊形ABCD是一個正方形花園，E，F(xiàn)是它的兩個門，要修建兩條路BE和AF，且使得BE⊥AF，那么這兩條路等長嗎？為什么？對于上面問題，我是這樣思考的：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAE＝∠ADF＝90°．又∵BE⊥AF，∴∠BEA+∠DAF＝∠DAF+∠AFD＝90°∴∠BEA＝∠AFD，（依據(jù)*）∴Rt△ABE≌Rt△DAF，∴BE＝AF．有趣的是對于兩個端點分別在正方形ABCD一組對邊上的線段，若這樣的兩條線段互相垂直，是否這兩條線段仍然相等呢？對此我們可以做進一步探究：如圖2，在正方形ABCD中，若點M、N、P、Q分別是AB、CD、BC、AD上的任意四點，且MN⊥PQ，垂足為O，則MN仍然與PQ相等．理由如下：過點M作ME⊥CD，垂足為E，過點P作PF⊥AD，垂足為F．則容易證明四邊形AMED和ABPF均為矩形，∴ME＝AD，PF＝AB．∵AB＝AD，∴ME＝PF在四邊形QOND中，∵∠NOQ＝∠D＝90°，…任務(wù)：根據(jù)上面小論文的分析過程，解答下列問題：（1）畫橫線部分的“依據(jù)*”是在等式兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個式子，等式仍成立．（2）在小論文的分析過程，主要運用的數(shù)學(xué)思想有：AC．（從下面選項中填出兩項）．A．轉(zhuǎn)化思想B．方程思想C．由特殊到一般的思想D．函數(shù)思想（3）請根據(jù)小論文提供的思路，補全圖2剩余的證明過程．【解析】解：（1）在等式兩邊同時加上（或減去）同一個數(shù)或同一個式子，等式仍成立；（2）由正方形中的頂點A和頂點B轉(zhuǎn)變成為點M和點N，所以是由特殊到一般的轉(zhuǎn)化思想，所以AC正確．故選為：AC．（3）證明：過點M作ME⊥CD，垂足為E，過點P作PF⊥AD，垂足為F．則容易證明四邊形AMED和ABPF均為矩形，∴ME＝AD，PF＝AB，∵AB＝AD，∴ME＝PF在四邊形QOND中，∵∠NOQ＝∠D＝90°，∠NOQ+∠D+∠OQD+∠OND＝360°，∴∠OQD+∠OND＝180°，∵∠FQP+∠OQD＝180°，∴∠FQP＝∠OND＝∠MNE，∵∠FQP+∠QPF＝90°，∠MNE+∠NME＝90°，∴∠QPF＝∠NME，∵∠QPF＝∠NME，ME＝PF，∠PFQ＝∠MEN＝90°，∴△MNE≌△PQF（SAS），∴MN＝PQ．22．（12分）綜合與實踐：數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，并將其運用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．（1）發(fā)現(xiàn)問題：如圖1，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝30°，連接BE，CF，延長BE交CF于點D．則BE與CF的數(shù)量關(guān)系：BE＝CF，∠BDC＝30°；（2）類比探究：如圖2，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF＝120°，連接BE，CF，延長BE，F(xiàn)C交于點D．請猜想BE與CF的數(shù)量關(guān)系及∠BDC的度數(shù)，并說明理由；（3）拓展延伸：如圖3，△ABC和△AEF均為等腰直角三角形，∠BAC＝∠EAF＝90°，連接BE，CF，且點B，E，F(xiàn)在一條直線上，過點A作AM⊥BF，垂足為點M．則BF，CF，AM之間的數(shù)量關(guān)系：BF＝CF+2AM；（4）實踐應(yīng)用：正方形ABCD中，AB＝2，若平面內(nèi)存在點P滿足∠BPD＝90°，PD＝1，則S△ABP＝或．【解析】解：（1）BE＝CF，∠BDC＝30°，理由如下：如圖1所示：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，又∵∠BAC＝∠EAF＝30°，∴△ABE≌△ACF（SAS），∴BE＝CF，∴∠ABE＝∠ACD，∵∠AOE＝∠ABE+∠BAC，∠AOE＝∠ACD+∠BDC，∴∠BDC＝∠BAC＝30°；（2）BE＝CF，∠BDC＝60°，理由如下：如圖2所示：證明：∵∠BAC＝∠EAF＝120°，∴∠BAC﹣∠EAC＝∠EAF﹣∠EAC，即∠BAE＝∠CAF，又∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴AB＝AC，AE＝AF，∴△BAE≌△CAF（SAS）∴BE＝CF，∴∠AEB＝∠AFC，∵∠EAF＝120°，AE＝AF，∴∠AEF＝∠AFE＝30°，∴∠BDC＝∠BEF﹣∠EFD＝∠AEB+30°﹣（∠AFC﹣30°）＝60°；（3）BF＝CF+2AM，理由如下：如圖3所示：∵△ABC和△AEF都是等腰三角形，∴∠CAB＝∠EAF＝90°，AB＝AC，AE＝AF，∴∠CAB﹣∠CAE＝∠FAE﹣∠CAE，即：∠BAE＝∠CAF，∴△BAE≌△CAE（SAS），∴BE＝CF，∵AM⊥BF，AE＝AF，∠EAF＝90°，∴EF＝2