2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題押題含解析

2022年中考數(shù)學(xué)壓軸題

1.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)4是)，軸上一點(diǎn)，其坐標(biāo)為(0,6),點(diǎn)B在x軸的正半軸上.點(diǎn)

P,。均在線段AB上，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為加，點(diǎn)。的橫坐標(biāo)大于相，在△PQM中，若PM

〃x軸，QM〃y軸，則稱(chēng)△PQM為點(diǎn)P,。的“肩三角形.

(1)若點(diǎn)8坐標(biāo)為(4,0),且機(jī)=2,則點(diǎn)P,8的“肩三角形”的面積為1；

(2)當(dāng)點(diǎn)P,。的“肩三角形”是等腰三角形時(shí)，求點(diǎn)8的坐標(biāo)；

(3)在(2)的條件下，作過(guò)O,P,2三點(diǎn)的拋物線y=a?+bx+c

①若M點(diǎn)必為拋物線上一點(diǎn)，求點(diǎn)P,Q的“肩三角形”面積S與m之間的函數(shù)關(guān)系式，

并寫(xiě)出自變量，”的取值范圍.

②當(dāng)點(diǎn)尸，Q的“肩三角形”面積為3,且拋物線=/+6x+c與點(diǎn)尸，。的“肩三角形”

恰有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫(xiě)出機(jī)的取值范圍.

解：(1)如圖1,VA(0,6),B(4,0),

直線AB解析式為y=—|-x+6

JL

*：m=2

：.P(2,3)

軸，QM〃y軸，

：.M(4,3),NPMB=90°

:.PM=2,BM=3

???點(diǎn)尸，5的“肩三角形”△2出的面積=23儂=/2X3=3；

(2)如圖2,根據(jù)題意，得MP=M。，NPMQ=90°,

：.ZMPQ=45°,

AZABO=45°,

：.OB=OA=69

?,?點(diǎn)8的坐標(biāo)為(6,0)；

(3)如圖3,①首先，確定自變量取值范圍為0(根＜3,

由(2)易得，線段43的表達(dá)式為y=6-X,

???點(diǎn)尸的坐標(biāo)為3n,6-m),

?.?拋物線＞=/+版+。經(jīng)過(guò)O,3兩點(diǎn)，

???拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線x=3,

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???點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6-m,6-/n),

；.PM=(6-m)=6-2"?,

S=|PM2=1X(6-2m)2=2序-12m+18；

②當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸左側(cè)，即w<3時(shí)，?.?點(diǎn)P,Q的“肩三角形”面積為3,

由①得：2Mz2-12加+18=3,

解得："2=3-孚

當(dāng)點(diǎn)P在對(duì)稱(chēng)軸上或?qū)ΨQ(chēng)軸右側(cè)，即機(jī)23時(shí)，PM=V6

??M("?+乃,6-團(tuán)),Q(m+述,6—V6—tn)

??,拋物線=/+笈+。與點(diǎn)P,。的“肩三角形”恰有兩個(gè)交點(diǎn)

二上一…解得:-遍

綜上所述，加的取值范圍為：m=3—苧或3一遍.

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2.圖①，二次函數(shù)(〃W0)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4(-1,0),并且與直線y=3-2

相交于坐標(biāo)軸上的3、C兩點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)尸在直線3C下方的二次函數(shù)的圖象上.

(1)求此二次函數(shù)的表達(dá)式；

(2)如圖①，連接PC,PB,設(shè)△PCB的面積為S,求S的最大值；

(3)如圖②，拋物線上是否存在點(diǎn)Q,使得/A8Q=2NA8C?若存在，則求出直線8。

的解析式及。點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)對(duì)于直線y=g-2,

令x=0,則y=-2,

1

令y=0,即一天-2=0,解得：x=4,

?2

故點(diǎn)3、C的坐標(biāo)分別為(4,0)、(0,-2),

拋物線過(guò)點(diǎn)A、3兩點(diǎn)，則)，=〃(1+1)(x-4),

將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入上式并解得：?=i

故拋物線的表達(dá)式為尸p-fx-2①；

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(2)如圖2,過(guò)點(diǎn)P作/〃y軸交BC于點(diǎn)H,

圖1

1a1

設(shè)點(diǎn)P(x,-V2—-2)?則點(diǎn)，(x,-x-2),

S=SAPHB+S?HC=*PH,(XB-xc)=x4X(-%-2—；/+|^+2)=-/+4x,

V-1<0,故S有最大值，當(dāng)x=2時(shí)，S的最大值為4；

(3)①當(dāng)點(diǎn)。在BC下方時(shí)，如圖2,

延長(zhǎng)8Q交),軸于點(diǎn)H,過(guò)點(diǎn)C作SCL2C交x軸于點(diǎn)R,交BQ于點(diǎn)S,過(guò)點(diǎn)S作SK

_Lx軸于點(diǎn)K,

'：ZABQ=2ZABC,則BC是NA8H的角平分線，則△RSB為等腰三角形，

則點(diǎn)C是RS的中點(diǎn)，

設(shè)RC=x=SB應(yīng)改為RC=x=CS.

r\rinr

在△BOC中，tan/O8C=^=/=tan/ROC=等，

貝ij設(shè)RC=x=CS,貝ijBC=2x,貝I」RB=心+(2x)2=屆=/s,

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11114-Y

在△SRB中，S^RSB=1XSR-BC=|xBR-SK,即yx2x2=?底，解得：KS=至，

4x

sinZRBS==-y=-=則tanNH3H=2，

Bby/Sx53

在RtZi08"中，OH=O8?tan/RBH=4x1=^,則點(diǎn)”(0,一爭(zhēng)，

由點(diǎn)8、H的坐標(biāo)得，直線BH的表達(dá)式為尸寺(x-4)②，

聯(lián)立①②并解得：x=4(舍去)或|,

當(dāng)x=|時(shí)，產(chǎn)-等故點(diǎn)Q(|,一管；

②當(dāng)點(diǎn)。在8c上方時(shí)，

同理可得：點(diǎn)。的坐標(biāo)為(一1爭(zhēng)1―92);

綜上，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為.，-學(xué))或(-

3.如圖，拋物線y=-7+bx+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),8(3,0),與y軸交于點(diǎn)C.點(diǎn)

。是直線8C上方拋物線上一動(dòng)點(diǎn).

(1)求拋物線的解析式；

(2)如圖1,連接B。、CD,設(shè)點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為a,△BCQ的面積為s.試求出s與機(jī)

的函數(shù)關(guān)系式，并求出s的最大值；

(3)如圖2,設(shè)4B的中點(diǎn)為E,作。F1.BC,垂足為尸，連接CC、CE,是否存在點(diǎn)。，

使得以C、D,尸三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△CE。相似？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)。的坐標(biāo)；

若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖1圖2

解：(1):拋物線y=-7+&v+c與x軸交于點(diǎn)A(-1,0),B(3,0)

.?.y=-(x+1)(x-3)=-W+2x+3

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，拋物線解析式為y=-f+2x+3

(2)過(guò)點(diǎn)。作。M〃y軸，交8c于點(diǎn)M

當(dāng)x=0時(shí)，，>-=-?+2x+3=3

：.C(0,3)

...直線BC解析式為y=-x+3

.'.D(m,-n^+2m+3),M(m,-，〃+3)

DM=-n^+2m+3-(-nz+3)=-m2+3/M

13、3TQ33,27

.'.5=-^OB*DM=2(~nr+3m)=-^m一+亍”二一(.m—^~+?(0<w<3)>

；.s與m的函數(shù)關(guān)系式為s=—^m2+^in,s的最大值為

(3)存在點(diǎn)￡>,使得以C、D,尸三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△CEO相似

如圖2,連接8。

設(shè)點(diǎn)力的橫坐標(biāo)為m,

;點(diǎn)E為AB中點(diǎn)，4(-1,0),B(3,0),C(0,3)

\￡(1,0),OE=1,OC=3,CD2=m2+(-m2+2m+3-3)2

CE=yJOE2+OC2—Vl2+32-V10

??/“r0E1同oc33710

?smN℃EF=kWcosZOC￡=^=-/==^-

：BC=y]OB2+OC2=3V2,DFVBC

?.由(2)知，面積s=4BUOF=—|機(jī)2+京

,,DF=^=—377i2+9m_—m2+3m

372——質(zhì)~一

.?以C、D,尸三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△CEO相似，NCFD=NCOE=90°

\/\CFD^/\COE或△CFQs△￡；6%;

①若ACFDSACOE,則/FCD=/OCE

；.sin/FC￡>=若=袈

A10DF2=CD2

2

-m+3mIDoo

/.10(---T=--)2=/w2+(-nr+2m)2

V2

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解得：m\=4（舍去），m2=1

???一62+2/九+3=—--F5+3=4

57

?*.D（一，一）

24

②若ACFDsAEOC,則Nb￡>C=NOCE

?DF3同

??COSz_r￡）C==-]0

???\0DF2=9CD2

-m2+3m

A10（——尸一）20=9[加02+（-m20+2加）02]

72

解得：如=0（舍去），加2=]

-渥+2加+3=-W+3+3=竽

57315

?,?點(diǎn)。的坐標(biāo)為（一，一）或（一，一）.

2424

y個(gè)

4.如圖，A8是。。的直徑，點(diǎn)C是。。上一點(diǎn)（與點(diǎn)A,8不重合），過(guò)點(diǎn)C作直線P。,

使得NACQ=NA8C.

（1）求證：直線尸。是。。的切線.

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1

(2)過(guò)點(diǎn)A作A"PQ于點(diǎn)￡),交。。于點(diǎn)E,若00的半徑為2,sin/D4C=與求

圖中陰影部分的面積.

解：(1)證明：如圖，連接0C,

是。。的直徑,

AZACB=90°,

'：OA=OC,

.'.ZCAB^ZACO.

直線PQ是。。的切線.

(2)連接0E,

VsinZDAC=1,ADA.PQ,

：.ZDAC^30°,ZACD=60°.

：.ZABC=ZACD=60°,

/.ZCAB=90°-60°=30°,

NEAO=ZDAC+ZCAB=6^,

5L'：OA=OE,

...△AEO為等邊三角形，

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AZAOE=60°.

二?S陰影=S扇形-SAAEO

=S扇形—^0/4?OE*sin600

=HUX22-IX2X2XT

=胃一遮,

...圖中陰影部分的面積為早-V3.

5.如圖，在AABC中，NACB=90°,將△ABC沿直線A3翻折得到△ABD,連接C￡)交

AB于點(diǎn)M.E是線段CM上的點(diǎn)，連接BE.b是△B￡>E的外接圓與4。的另一個(gè)交點(diǎn)，

連接EF,BF.

(1)求證：ABEF是直角三角形；

(2)求證：△BEFsaBCA；

(3)當(dāng)A8=6,8C=m時(shí)，在線段CM上存在點(diǎn)E,使得EF和A8互相平分，求m的

值.

備用圖

(1)證明：?.?/ACBngO。，將AABC沿直線AB翻折得到△AB。,

.?./ADB=NACB=90°,

NEFB=ZEDB,NEBF=ZEDF,

：.NEFB+NEBF=ZEDB+ZEDF=ZADB=90a,

AZB￡F=90°,

...△BEF是直角三角形.

(2)證明：:BC=BD,

/BDC=ZBCD,

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?:/EFB=NEDB,

：.ZEFB=ZBCD9

*：AC=AD,BC=BD,

C.ABVCD,

：.ZAMC=90°,

VZBCD+ZACD=ZACD+ZCAB=90Q,

???NBCD=NCAB,

工NBFE=NCAB,

VZACB=ZFEB=90°,

:.ABEFsABCA.

(3)解：設(shè)所交A8于，.連接AE.

YE/與A8互相平分，

???四邊形AFBE是平行四邊形，

；?NEFA=NFEB=90°,B|JEF1AD,

：.EF//BD,

;AJ=JB,

：.AF=DFf

：.FJ=1BD=y,

:?EF=)n,

?.,AABCs/XCBM,

：.BC：MB=AB：BC,

巾2

：.BM=*,

6

?:叢BEJsABME,

:.BE：BM=BJ：BE,

■噴

■:△BEFsXBCA,

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ACBC

EF—BE'

?V36-m2m

即--------=-m>

解得，"=28（負(fù)根已經(jīng)舍棄）.

6.如圖1,已知四邊形A8CO是菱形，G是線段CC上的任意一點(diǎn)時(shí)，連接BG交AC于凡

FHFG

過(guò)尸作";〃CO交8C于"‘可以證明結(jié)論方=茄成立.（考生不必證明）

（1）探究：如圖2,上述條件中，若G在CD的延長(zhǎng)線上，其它條件不變時(shí)，其結(jié)論是

否成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由;

（2）計(jì)算：若菱形ABCD中AB=6,/AOC=60°,G在直線CD上，且CG=16,連

接BG交AC所在的直線于F,過(guò)尸作/〃C。交8C所在的直線于H,求8G與尸G的

長(zhǎng).

FG、

=—還成立嗎？

BG

【解答】解:⑴結(jié)喘喘成立

證明：由己知易得產(chǎn)〃〃4B,

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.FHHC

AB-BC

HCFG

\*FH//GC,

BC~BG

.FHFG

9AB-BG

(2)YG在直線CQ上，

，分兩種情況討論如下：

①G在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，0G=10,

如圖1,過(guò)8作伙于。，

由于四邊形ABCZ)是菱形，ZADC=60°,

:?BC=AB=6,NBCQ=60°,

:,BQ=35CQ=3,

：.BG=J192+(3V3)2=2V97.

「.iJHBH

又由FH//GC,可得一=—,

GCBC

而4。可是等邊三角形，

：.BH=BC-HC=BC-FH=6一FH,

.FH6-FH

…16—6

48

：.FH=

Tl,

FHFG

由(1)知一=

AB茄'

FHBG

：.FG=

AB善Q質(zhì)=持防

②G在。C的延長(zhǎng)線上時(shí)，CG=16,

如圖2,過(guò)8作8Q_LCG于。，

；四邊形A8C￡＞是菱形，NAOC=60°,

：.BC=AB=6,/BCQ=60°.

:.BQ=3用,CQ=3.

：.BG=132+(3>/3)2=14.

FHBH

又由FH//CG,可得—=—，

GCBC

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?FHB__H

??—.

166

?：BH=HC-BC=FH-BC=FH-6,

48

U：FH//CG,

BFFH

BGCG

4842

???8產(chǎn)=14乂即+16=左

?”_i心42112

..FG_14+_=_

FH488

⑶G在。C的延長(zhǎng)線上時(shí)，-=T-6=?

結(jié)合上述過(guò)程，發(fā)現(xiàn)G在直線C￡＞上時(shí)，結(jié)論一=k'還成立.

7.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，OB_LOA,且08=