圓內(nèi)接四邊形的面積公式

圓內(nèi)接四邊形的面積公式在討論了三角形的面積之后，我們將討論一些求解四邊形面積的公式。由于任何四邊形都可以看作是兩個三角形被一條對角線分割的組合，所以我們給出的近百個三角形面積公式都可以用來求解四邊形的面積，但是四邊形也有自己的特點。本文的目的是找出其特征，并推導(dǎo)出求面積的特殊公式。注:本文討論的四邊形都是凸四邊形。就像三角形一樣，在討論之前，我們先給出四邊形基本元素的記法。如下圖所示的四邊形ABCD：我們記AB=a，BC=b，CD=c，DA=d，A，B，C，D為四個頂點所在的角度，對角線AC=m，BD=n，它們的夾角取銳角，記為\theta，交點記為O，四邊形的面積記為S。由于四邊形與三角形不同，即便是給出了四邊形的四條線段的長度，也無法確定一個四邊形，即給出四條指定長度的線段，由它們圍成的四邊形不止一個（至于有幾個，不在本文的探討范圍之內(nèi)），但是如果知道了四邊形的兩條對角線的長度以及它們的夾角卻可以求解面積，若要確定四邊形的形狀，則只需要再知道它們的交點位置即可，所以第一個四邊形的面積就出現(xiàn)了，如下推導(dǎo)：S=S_{\triangleABC}+S_{\triangleADC}=\frac{1}{2}AC\cdotBO\cdotsin\theta+\frac{1}{2}AC\cdotDO\cdotsin\theta=\frac{1}{2}AC\cdot(BO+DO)\cdotsin\theta=\frac{1}{2}AC\cdotBD\cdotsin\theta=\frac{1}{2}mnsin\theta我們記為四邊形的面積公式一。與我們在《三角形的面積公式七》中所講述一樣。公式一是用兩條對角線的長度及其夾角來求解四邊形的面積，但是在通常的計算和問題中，我們總是會遇到知道四條邊長，而不知道對角線長的情況，所以我們還是得要尋求以邊長來求解面積的公式，可是前面說了，只知道四條邊的長度沒法確定一個四邊形，那么面積也就不確定，為此，我們還需要一個量來確定形狀，結(jié)合公式一，我們可以想到保留\theta角，而用四條邊長來替代對角線，而能夠用長度和角度來求解長度的就是余弦定理。且看下面的推導(dǎo)：我們分別在\triangleAOB，\triangleBOC，\triangleCOD，\triangleDOA中利用余弦定理，可得：a^2=AB^2=OA^2+OB^2-2OA\cdotOB\cdotcos\thetab^2=BC^2=OB^2+OC^2-2OB\cdotOC\cdotcos(180^{\circ}-\theta)c^2=CD^2=OC^2+OD^2-2OC\cdotOD\cdotcos\thetad^2=DA^2=OD^2+OA^2-2OD\cdotOA\cdotcos(180^{\circ}-\theta)而cos(180^{\circ}-\theta)=-cos\theta所以：(b^2+d^2)-(a^2+c^2)=2(OB\cdotOC+OA\cdotOD+OA\cdotOB+OC\cdotOD)cos\theta=2(OB+OD)(OA+OC)cos\theta=2mncos\theta利用此結(jié)果消去公式一中的mn，可得：S=\frac{1}{4}[(b^2+d^2)-(a^2+c^2)]tan\theta我們記住這個公式是四邊形的面積公式2。為了方便論述，我們記D=|(b^2+d^2)-(a^2+c^2)|，由于我們?nèi)theta為銳角，所以可以證明D一定是大于0的，我們加上絕對值，這樣\theta便可以取鈍角了，但不能是直角，因為此時tan\theta沒有意義。D的文字描述是：四邊形兩組對邊平方和的差。公式二是用邊長代替了對角線長，另一個對策就是用邊長替代夾角，于是可將公式一和公式二結(jié)合，并使用三角函數(shù)公式\frac{1}{sin^2\theta}=1+\frac{1}{tan^2\theta}消去\theta，我們省去中間化簡整理的步驟，便得：(4S)^2+D^2=(2mn)^2。即：S=\frac{1}{4}\sqrt{(2mn)^2-D^2}我們記為四邊形的面積公式三?？梢园l(fā)現(xiàn)4S，D，2mn是一組勾股數(shù)。如果不知道對角線的長度和對角線的角度，就需要其他的量來代替，從而確定四邊形的形狀。我們可以嘗試從四邊形的對角線開始，仍然采用分成兩個三角形的思路。顯然有：S=S_{\triangleABC}+S_{\triangleADC}=\frac{1}{2}absinB+\frac{1}{2}cdsinD=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-cos^2B}+\frac{1}{2}cd\sqrt{1-cos^2D}兩邊平方，去掉根號可得：16S^2=4a^2b^2-4a^2b^2cos2B+8abcdsinBsinD+4c^2d^2-4c^2d^2cos2D分別在\triangleABC，\triangleADC中，由余弦定理得：a^2+b^2-2abcosB=AC^2=c^2+d^2-2cdcosD為了配合上面關(guān)于面積的等式，我們將此式構(gòu)造成下面的式子：(a^2+b^2-c^2-d^2)+8abcdcosBcosD=4a^2b^2cos2B+4c^2d^2cos2D上面兩個公式，需要換三角函數(shù)，就不一一論證了。將兩式聯(lián)立，可得：16S^2=4(ab+cd)^2-(a^2+b^2-c^2-d^2)^2-8abcd(1+cosDcosB-sinBsinD)而1+cosBcosD-sinBsinD=1+cos(B+D)=2cos^2\frac{B+D}{2}所以：S=\sqrt{(\frac{ab+cd}{2})^2-(\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{4})^2-abcdcos^2\frac{B+D}{2}}該公式可視為秦公式在四邊形上的推廣。反復(fù)利用平方差公式，可得：(\frac{ab+cd}{2})^2-(\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{4})^2=16(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)，其中2p=a+b+c+d所以有：S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)-abcdcos^2\frac{B+D}{2}}這個公式可以看作是海倫公式向四邊形的推廣。我們記這兩個公式皆為四邊形面積公式四，前一個形式稱為秦九韶形式，后一個稱為海倫形式，由于在四邊形中，由A+B+C+D=360^{\circ}，所以cos^2\frac{B+D}{2}=cos^2\frac{A+C}{2}，于是這一項可以描述為四邊形對角和一半的余弦平方。由三角形和四邊形都有著類似秦九韶公式和海倫公式的式子，因此我們可以猜想是不是對五邊形、六邊形……都存在類似的面積公式呢？其中的奧秘等待著讀者去探索。從公式3和公式4的秦形式，我們可以得到四邊形中的一個重要方程。S=\frac{1}{4}\sqrt{(2mn)^2-D^2}=\sqrt{(\frac{ab+cd}{2})^2-(\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{4})^2-abcdcos^2\frac{B+D}{2}}即有：(\frac{mn}{2})^2-[\frac{(b^2+d^2)-(a^2+c^2)}{4}]^2=(\frac{ab+cd}{2})^2-(\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{4})^2-abcd[\frac{1+cos(B+D)}{2}]展開化簡整理可得：m^2n^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcdcos(B+D)。我們稱這個公式為四邊形對角積公式。以上四個公式是求解四邊形面積的通用公式。因為不是每個四邊形都有外接圓和內(nèi)切圓，所以不能像三角形一樣用外接圓和內(nèi)切圓的性質(zhì)來表示一般的四邊形面積，但是我們可以分別用外接圓和內(nèi)切圓來研究四邊形。當(dāng)四邊形具有外接圓時，如下圖所示：很明顯，圓內(nèi)接四邊形的一個性質(zhì)就是對角之和等于180度，即A+C=B+D=180^{\circ}，因為一個圓周是360度，對角之和其實就是兩個圓周角之和，也是一個圓周，而圓周角等于圓心角的一半，因此等于180度。這樣就有：cos^2\frac{B+D}{2}=cos^2\frac{A+C}{2}=cos^2\frac{180^{\circ}}{2}=0，于是公式四就變?yōu)椋篠=\sqrt{(\frac{ab+cd}{2})^2-(\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{4})^2}以及S=\sqrt{(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)}我記為四邊形面積公式五。同時，四邊形對角線乘積公式就變?yōu)椋簃^2n^2=a^2c^2+b^2d^2-2abcdcos(B+D)=a^2c^2+b^2d^2-2abcdcos(180^{\circ})=a^2c^2+b^2d^2-2abcd=(ac+bd)^2即：mn=ac+bd這個公式通常被稱為托勒密定理，其內(nèi)容可以描述為:圓內(nèi)接凸四邊形的兩對對邊的乘積之和等于兩條對角線的乘積。依舊采用分割法，S=S_{\triangleABC}+S_{\triangleADC}，利用三角形面積公式三S_\triangle=\frac{abc}{4R}，四邊形的外接圓半徑也記為R，可得：S=S_{\triangleABC}+S_{\triangleADC}=\frac{abm}{4R}+\frac{cdm}{4R}=\frac{(ab+cd)m}{4R}同理可得：S=\frac{(ad+bc)n}{4R}記為四邊形面積公式六。根據(jù)公式五的海倫形式，可以發(fā)現(xiàn)，圓內(nèi)接四邊形的面積與四條邊的排列順序無關(guān)，即a、b、c、d的順序可以互換，只要長度不變，面積就不變，就對角線而言，互換四條邊，只會得到三條長度的對角線，我們記另外一條對角線長為l，此時a和c成為鄰邊，b和d成為鄰邊，則有S=\frac{(ac+bd)l}{4R}。在原來的圓內(nèi)接四邊形中，由托勒密定理，可得：ac+bd=mn，分別代入三條對角線的公式里，則有：S=\frac{\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}}{4R}。記為四邊形面積公式七。下面我們再來看看具有內(nèi)切圓的四邊形，如下圖所示：四邊形ABCD的內(nèi)切圓為\odotI，與四邊的切點分別為E、F、G、H，半徑為r，分別連接A、B、C、D四點與點I的連線。根據(jù)圓外一點引圓的兩條切線長相等，則有：AE=AH，BE+BF，CF=CG，DG=DH。所以：a+c=AB+CD=AE+EB+CG+DG=BF+FC+DH+AH=BC+AD=c+d從而有p=a+c=b+d，p即周長一半。所以：p-a=c，p-b=d，p-c=a，p-d=b，代入公式四的海倫形式里，則有：S=\sqrt{abcd-abcdcos^2\frac{B+D}{2}}即：S=\sqrt{abcd}\cdotsin\frac{B+D}{2}=\sqrt{abcd}\cdotsin\frac{A+C}{2}記為四邊形的面積公式八。特別的，當(dāng)一個四邊形既有外接圓，又有內(nèi)切圓時，公式八則變?yōu)椋篠=\sqrt{abcd}。同時，在內(nèi)切圓圖中，以內(nèi)切圓圓心分割四邊形為四個小三角形，則有：S=S_{\triangleIAB}+S_{\triangleIBC}+S_{\triangleICD}+S_{\triangleIDA}=\frac{1}{2}ar+\frac{1}{2}br+\frac{1}{2}cr+\frac{1}{2}dr=rp，其中p=\frac{1}{2}(a+b+c+d)。記為四邊形面積公式九。用角度來表示a，b，c，d，則有AE=AH=rcot\frac{A}{2}，BF=BE=rcot\frac{B}{2}，CF=CG=rcot\frac{C}{2}，DG=DH=rcot\frac{D}{2}，則有：S=(cot\frac{A}{2}+cot\frac{B}{2}+cot\frac{C}{2}+cot\frac{D}{2})r^2記為四邊形面積公式十?？偨Y(jié):四邊形的特點是可以分成兩個三角形。所以在處理與四邊形相關(guān)的問題時，我們總是先把兩條對角線連起來，然后用三角形的知識來解決。其實對于更復(fù)雜的圖形，我們的思路是一樣的。最基本的三角形我們已經(jīng)有了非常透徹的知識庫，即使是復(fù)雜的幾何圖形也可以分割成許多三角形，從而確立了三角形在解決幾何問題中的地位。文中的很多面