人教A版高中數(shù)學必修二 73《復數(shù)的三角表示課時1》教學設計

《復數(shù)的三角表示》教學設計

課時1復數(shù)的三角表示式

必備知識學科能力學科素養(yǎng)高考考向

學習理解能力

直觀想象

【考查內(nèi)容】

觀察記憶

1.復數(shù)的三角表

數(shù)學運算

—:—IX復數(shù)的三角表示，復數(shù)乘、除運算的

不武概括理解

邏輯推理幾何意義,復數(shù)與代數(shù)、三角、向量、

應用實踐能力

幾何之間的聯(lián)系

分析計算

【考查題型】

遷移創(chuàng)新能力

直觀想象選擇題、填空題

2.復數(shù)乘、除運

算的三角表示數(shù)學運算

及其幾何意義

邏輯推理

一、本節(jié)內(nèi)容分析

本節(jié)內(nèi)容從復數(shù)的向量表示出發(fā)，結合三角函數(shù)知識，得到復數(shù)的另一種重要

表示形式——三角表示，進而研究復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.復數(shù)

乘、除運算的三角表示形式簡潔，在很多情況下可以簡化復數(shù)的乘、除運算;其幾

何意義就是平面向量的旋轉、伸縮，因此，可以方便地解決很多平面向量與平面幾

何問題.本節(jié)側重提升學生的直觀想象、邏輯推理和數(shù)學運算核心素養(yǎng).本節(jié)雖然

被定位為選學內(nèi)容，但是建議還是應加強學習復數(shù)與代數(shù)、向量、三角、幾何的

聯(lián)系，使得學生通過復數(shù)的三角表示的學習，在直觀想象和數(shù)學運算素養(yǎng)方面得到

提升.

本節(jié)包含的核心知識和體現(xiàn)的核心素養(yǎng)如下:

核直觀想象核

1.復數(shù)的三角表示式

心心

數(shù)學運算

2.復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾

知素

何意義

識邏輯推理養(yǎng)

二、學情整體分析

學生掌握了復數(shù)的四則運算的基本要領,但是大部分學生缺乏用聯(lián)系的觀點

看問題的思維習慣.將復數(shù)與向量、三角函數(shù)、幾何之間進行聯(lián)系,是一個理解上

和運用上的難點，學生對復數(shù)的三角表示理解不清，復數(shù)的代數(shù)形式與三角形式的

轉化不靈活,運用復數(shù)乘、除法的幾何意義解決綜合問題也是一個難點.而充分注

意到復數(shù)本質上是一對有序實數(shù)，從復數(shù)的向量表示出發(fā)理解,并突出復數(shù)與向量、

三角函數(shù)、幾何之間的聯(lián)系，是突破這個難點的關鍵.

學情補

充：________________________________________________________________________

三、教學活動準備

【任務專題設計】

1.復數(shù)的三角表示式

2.復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義

【教學目標設計】

1.了解復數(shù)的三角表示式,理解復數(shù)與三角函數(shù)之間的關系.

2.理解復數(shù)乘、除運算的幾何意義,會用三角表示其乘、除運算.

【教學策略設計】

復數(shù)的三角表示將復數(shù)、平面向量和三角函數(shù)三者緊密相連，從復數(shù)的運算

看,復數(shù)代數(shù)形式的加、減運算的幾何意義，就是相應平面向量的加、減運算.復數(shù)

乘、除運算的三角形式的幾何意義,就是平面向量的旋轉、伸縮.復數(shù)的代數(shù)表示、

三角表示及其運算都具有明顯的幾何意義，注重在關鍵點上強化數(shù)形結合,要注重

引導，注重聯(lián)系，有助于學生深刻地認識、理解復數(shù)的表示與運算，提升學生的數(shù)學

運算、直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng).

【教學方法建議】

情境教學法、問題教學法，還有

【教學重點難點】

重點1.復數(shù)的三角表示式.

2.復數(shù)乘、除運算的三角表示及其幾何意義.

難點1.復數(shù)與三角、向量、幾何相關知識間的聯(lián)系.

2.利用乘、除的幾何意義解決問題.

【教學材料準備】

1.常規(guī)材料：多媒體課件、

2.其他材

料:__________________________________________________________________

四、教學活動設計

教學導入

師:前面我們研究了復數(shù)。+萬及其四則運算，同學們都了解到復數(shù)和平面向

量的聯(lián)系很大，我們知道，復數(shù)可以用。+歷（a,he/?）的形式來表示，復數(shù)。+歷與

復平面內(nèi)的點Z（a,。）是對應的，與平面向量OZ=（a,也是對應的.

大家思考這樣一個問題:借助復數(shù)的幾何意義，復數(shù)還能不能用其他形式來表示

呢？

【學生回顧復習，交流討論】

師:我們知道復平面內(nèi)向量的坐標可以唯一確定一個復數(shù)，而向量也可以由它

的大小和方向唯一確定,那么能否借助向量的大小和方向這兩個要素來表示復數(shù)

呢？如何表示？這將引出我們本節(jié)課重點:復數(shù)的三角表示.

【設計意圖】

以向量和復數(shù)做對比，引出課程主題,讓學生形成數(shù)學系統(tǒng)，并引出復數(shù)的另

一種表示方式

教學精講

師:同學們，向量的大小可以用模來刻畫,那么向量的方向如何刻畫?聯(lián)系一下

《三角函數(shù)》一章中的任意角表示，我們可以借助以x軸的非負半軸為始邊，以向

量0Z所在射線（射線0Z）為終邊的角0來刻畫0Z的方向.

【要點知識】

復數(shù)的三角表示式

/7—rCCS0

記向量的模|OZH"+bi|=r,由圖可以得到,八’

Z?=rsin3.

【以學定教】

從學生的角度出發(fā)，以向量和三角作知識鋪墊，引入復數(shù)的三角形式相關概念,

有助于學生對概念最初的把握

師:設復數(shù)z=a+匕i,大家試著將。和b以這種形式代回到復數(shù)的代數(shù)形式中，

寫出表達式.

【學生思考問題，展開計算、討論】

生:得到。+歷=rcos8+irsin8.

師:正確!我們再進行一下簡化.

【歸納總結】

復數(shù)的三角表示式的推導

a+bi-rcos，+irsin6=r(cose+isin0),

其中r=y/a2+b2,

cos^=—,sin^=—.

【觀察記憶能力】學生通過完成思考題目，形成完整的思路，通過觀察圖形可

以建立對復數(shù)三角形式的認識，培養(yǎng)觀察記憶能力

師:當點Z在實軸或虛軸上時,這個結論還成立嗎?

生:成立，當點Z在實軸上時功=0,sin8=sin0=0;

JT

當點Z在虛軸上時,a=0,cos6=cos—=0.

2

師:正確!這樣，我們就可以用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角。表示

了復數(shù)z.

【要點知識】

復數(shù)的三角表示式

一般地，任何一個復數(shù)z=a+bi都可以表示成r(cos0+isin(9)的形式.

其中,r是復數(shù)z的模;。是以x軸的非負半軸為始邊，向量0Z所在射線(射線

0Z)為終邊的角，叫做復數(shù)z=a+歷的輻角;r(cos8+isin8)叫做復數(shù)z=a+bi的

三角表示式,簡稱三角形式.a+例叫做復數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式.

師:顯然，任何一個不為零的復數(shù)的輻角有無限多個值,聯(lián)系前面所學任意角

的概念，這些角相差為哪個數(shù)的整數(shù)倍?例如復數(shù)i的輻角怎么表示?復數(shù)1+i呢？

【學生積極思考，教師指定一名同學回答】

生:相差2〃的整數(shù)倍，復數(shù)i的輻角是2+2%乃伏eZ),復數(shù)1+i的輻角是

2

兀

—+2k兀(kGZ).

師:非常好!那么復數(shù)0呢?因為復數(shù)0對應著零向量，而零向量的方向是任意的,

所以復數(shù)0的輻角也是任意的.

【以學論教】

從學生的角度出發(fā)，以學生熟悉的任意角的概念引入，把復數(shù)的輻角概念展示

出來，有助于后面對輻角主值的理解

【要點知識】

復數(shù)的輻角主值

我們規(guī)定在0,,。<2〃范圍內(nèi)的輻角6的值為輻角的主值，通常記作argz.

注意：(1)任何一個不為零的復數(shù)的輻角有無限多個值,且這些值相差2"的整

數(shù)倍.

(2)復數(shù)0的輻角是任意的.

(3)0,,argZ<2TV.

rr477

師：所以我們在表示時這樣書寫：2年1=0m啕=5皿8(-1)=乃,唯(-。=了.

師:同學們，我們明白了復數(shù)的三角表示式后，來通過幾個題目練習一下，加深

印象.

【典型例題】

復數(shù)的三角表示式

例1畫出下列復數(shù)對應的向量，并把這些復數(shù)表示成三角形式：

1V3.

(1)-+—1；

22

(2)l-i.

【情境學習】

學生在具體問題情境中，鞏固所學概念,深入理解復數(shù)的三角表示式

師:同學們注意，只需要確定復數(shù)的模和一個輻角，就能將復數(shù)的代數(shù)形式轉

化為三角形式.同學們認真思考，稍后請兩位同學到黑板上書寫.

【學生積極思考、練習計算，教師指定學生在黑板上完成作答并予以肯定和

點評】

師:很好，同學們完成得都非常好！我們配合圖示可以更清晰地、直觀地了解

它的幾何意義.

【典例解析】

復數(shù)的三角表示式

解:⑴

⑵

【概括理解能力】

學生通過獨立完成練習題目，再結合形象的圖示，可以建立對復數(shù)三角形式的

認識，培養(yǎng)概括理解能力

師:注意到第⑴題中,「=」42+［走］=l,cose=L因為與對應的

Y⑵I2J222

點在第一象限，所以arg［；+手］=所以;+qi=cosg+ising.而第⑵題中,

r=yjt2+(—I)2=A/2,COS0=-j==.但與1-i對應的點在第四象限，所以

ai-g(l-i)=所以l-i=01c°s?+isin?).

師:以上是將復數(shù)的代數(shù)形式轉化為三角形式，概括一下步驟,可以總結為.

【歸納總結】

復數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟

復數(shù)的代數(shù)形式化三角形式的步驟：

(1)先求復數(shù)的模.

(2)決定輻角所在的象限.

(3)根據(jù)象限求出輻角.

(4)復數(shù)的三角形式.

【分析計算能力】通過不斷練習之后，教師總結做題步驟，更有助于學生提升

自己的分析計算能力

師:但是同學們要注意:把一個復數(shù)表示成三角形式時，輻角。不一定取主值，

例如:及cosf-^+zsinf-^也是l-i的三角形式.接下來，我們再練習幾道由

三角形式轉化為代數(shù)形式的題目.

【典型例題】

復數(shù)的代數(shù)表示式

例2分別指出下列復數(shù)的模和一個輻角，畫出它們對應的向量，并把這些復

數(shù)表示成代數(shù)形式：

(l)cos;r+isin；T；

(2)6(cos+isin.

I66)

師:由三角形式轉化為代數(shù)形式，那也就是上述步驟逆過程了.請另外兩名同

學到黑板上作答.

【教師指定學生回答，并予以肯定，教師展示解答】

【少教精教】

教師在教授相關知識方法之后，讓學生先自主完成典型題目，使學生在獨立計

算中，加深對這一部分概念的理解程度，教師少教，達到精教的目的

【典例解析】

復數(shù)的代數(shù)表示式

解:(1)復數(shù)cos/r+isin)的模r=1,一個輻角對應的向量如圖①所示.

所以

cos7r+isin%=—1+Oi=—1.

y

1/

0x

①

⑵復數(shù)61cos坐+isin當］的模r=6,一個輻角”小，對應的向量如圖

k66J6

②所示.所以

bfcos—+isin—1=6cos—+f6sin—1i=6x—+6xf—L\=3V3-3i

I66J6I6J2L2j

師:同學們再思考這樣一個問題:兩個用三角形式表示的復數(shù)在什么條件下相

等？

【學生積極思考,同學間互相交流討論，教師總結并展示】

【自主學習】

教師在具體的問題情境中啟發(fā)學生主動思考，學生進行了自主思考之后，對這

一部分的知識理解會更加深入

【歸納總結】

三角形式的復數(shù)相等條件

每一個不等于零的復數(shù)有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主

值唯一確定.因此，兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等.

師:好了,同學們，理解了復數(shù)的這種表示方式后，我們進行一下練習，來看一下

這幾道題.

【鞏固練習】

復數(shù)的三角表示

1.把下列復數(shù)表示成三角形式，并且畫出與它們對應的向量：

(1)4；

(2)-i;

⑶2G+2i;

(4)[一字.

2.下列復數(shù)是不是三角形式?如果不是，把它們表示成三角形式:

1(7711..7711\

(1)—cos----isin—;

2(444)

小、1(7n1

⑵一5cosy4-isin—;

33J

(3)；|sin5￡4+icos5￡萬;

12127

/八771..7TC

(4)cos-----FIsin——;

55

71

(/5c)o2cos—乃+Ii?si?n—.

I36

3.把下列復數(shù)表示成代數(shù)形式:

⑴6"5+isin

5萬..5萬\

(2)21cos——FisinI.

【分析計算能力】

在具體的問題中,不斷加強練習復數(shù)的三角形式與代數(shù)形式，加深對概念的理

解，培養(yǎng)分析計算能力

師:同學們,現(xiàn)在梳理一下本節(jié)主要內(nèi)容，請同學們分組討論，梳理出本節(jié)的幾

個核心知識點以及做題方法.

【學生分組交流，查閱課本、筆記，總結重要知識點】

【課堂小結】

復數(shù)的三角表示式

1.復數(shù)的三角表示式

2.復數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式的步驟

3.三角形式的復數(shù)相等條件

每一個不等于零的復數(shù)有唯一的模與輻角的主值，并且由它的模與輻角的主

值唯一確定.因此，兩個非零復數(shù)相等當且僅當它們的模與輻角的主值分別相等

【設計意圖】

通過本節(jié)課的學習，學生理解復數(shù)的三角表示式、會進行復數(shù)的代數(shù)形式與

三角形式的互化、掌握三角形式的復數(shù)相等條件等知識,通過課堂小結，鍛煉了學

生的歸納總結能力

【課后作業(yè)】教材P89習題7.3第1~2題

師:本節(jié)課我們主要學習了復數(shù)的三角表示式，注意復數(shù)和向量、三角函數(shù)、

幾何之間的密切聯(lián)系，在不同的問題情境中可以選用恰當?shù)男问竭M行化簡、計算,

必要時畫出復平面坐標系中的向量圖示，方便理解.

教學評價

本節(jié)課主要學習復數(shù)的三角形式，屬于復數(shù)一章的選學部分，但是對于理解復

數(shù)與其他知識間的關系意義重大，也很重要，本節(jié)深入研究了復數(shù)與實數(shù)、向量、

三角函數(shù)、幾何之間的關系,除了復數(shù)的代數(shù)形式，在有些問題情境下，其三角形式

會更加直觀、簡便.通過復數(shù)的三角形式，可以賦予其乘、除運算的幾何意義，即是

平面向量