2019高三一輪總復(fù)習(xí)文科數(shù)學(xué)課時(shí)跟蹤檢測92古典概型

[課時(shí)跟蹤檢測][基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1．(2018屆邢臺模擬)袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從里面任意摸2個(gè)小球，不是基本事件的為()A．{正好2個(gè)紅球}B．{正好2個(gè)黑球}C．{正好2個(gè)白球}D．{至少1個(gè)紅球}解析：袋中有2個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中任意摸2個(gè)，其基本事件可能是2個(gè)紅球，2個(gè)白球，2個(gè)黑球，1紅1白，1紅1黑，1白1黑．而至少1個(gè)紅球中包含1紅1白，1紅1黑，2個(gè)紅球三個(gè)基本事件，故不是基本事件，故選D.答案：D2．(2018屆沈陽模擬)齊王與田忌賽馬，田忌的上等馬優(yōu)于齊王的中等馬，劣于齊王的上等馬，田忌的中等馬優(yōu)于齊王的下等馬，劣于齊王的中等馬，田忌的下等馬劣于齊王的下等馬，現(xiàn)從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，則田忌馬獲勝的概率為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,5) D.eq\f(1,6)解析：設(shè)齊王的三匹馬分別記為a1，a2，a3，田忌的三匹馬分別記為b1，b2，b3，從雙方的馬匹中隨機(jī)選一匹進(jìn)行一場比賽，其情況有：(a1，b1)、(a1，b2)、(a1，b3)、(a2，b1)，(a2，b2)、(a2，b3)、(a3，b1)、(a3，b2)、(a3，b3)，共9種；其中田忌獲勝的有三種(a1，b2)、(a1，b3)、(a2，b3)，則田忌獲勝的概率為eq\f(1,3)，故選A.答案：A3．(2017年天津卷)有5支彩筆(除顏色外無差別)，顏色分別為紅、黃、藍(lán)、綠、紫，從這5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆，則取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的概率為()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：從5支彩筆中任取2支不同顏色的彩筆有(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，(黃，藍(lán))，(黃，綠)，(黃，紫)，(藍(lán)，綠)，(藍(lán)，紫)，(綠，紫)，共10種取法，取出的2支彩筆中含有紅色彩筆的有(紅，黃)，(紅，藍(lán))，(紅，綠)，(紅，紫)，共4種取法．因此所求概率為eq\f(4,10)＝eq\f(2,5).答案：C4．(2017屆長沙雅禮中學(xué)質(zhì)檢)現(xiàn)有10個(gè)數(shù)，它們能構(gòu)成一個(gè)以1為首項(xiàng)，－2為公比的等比數(shù)列，若從這10個(gè)數(shù)中隨機(jī)抽取一個(gè)數(shù)，則它小于8的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(3,5)C.eq\f(4,5) D.eq\f(7,10)解析：數(shù)列的通項(xiàng)公式為an＝(－2)n－1，數(shù)列中的偶數(shù)項(xiàng)都為負(fù)數(shù)，小于8，共有5項(xiàng)，奇數(shù)項(xiàng)的第1,3項(xiàng)小于8，故小于8的數(shù)有7個(gè)．因此概率為P＝eq\f(7,10).答案：D5．從{1,2,3,4,5}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為a，從{1,2,3}中隨機(jī)選取一個(gè)數(shù)為b，則b>a的概率是()A.eq\f(4,5) B.eq\f(3,5)C.eq\f(2,5) D.eq\f(1,5)解析：基本事件的個(gè)數(shù)有5×3＝15，其中滿足b>a的有3種，所以b>a的概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：D6．從正六邊形的6個(gè)頂點(diǎn)中隨機(jī)選擇4個(gè)頂點(diǎn)，則以它們作為頂點(diǎn)的四邊形是矩形的概率等于()A.eq\f(1,10) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,6) D.eq\f(1,5)解析：在正六邊形中，6個(gè)頂點(diǎn)選取4個(gè)，種數(shù)為15.選取的4點(diǎn)能構(gòu)成矩形的，只有對邊的4個(gè)頂點(diǎn)(例如AB與DE)，共有3種，∴所求概率為eq\f(3,15)＝eq\f(1,5).答案：D7．已知集合M＝{1,2,3,4}，N＝{(a，b)|a∈M，b∈M}，A是集合N中任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則直線OA與y＝x2＋1有交點(diǎn)的概率是()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,8)解析：易知過點(diǎn)(0,0)與y＝x2＋1相切的直線為y＝2x(斜率小于0的無需考慮)，集合N中共有16個(gè)元素，其中使直線OA的斜率不小于2的有(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,4)，共4個(gè)，故所求的概率為eq\f(4,16)＝eq\f(1,4).答案：C8．(2017屆河南洛陽模擬)如圖所示的方格，在每一個(gè)方格中填入一個(gè)數(shù)字，數(shù)字可以是1,2,3,4中的任何一個(gè)，允許重復(fù)，則填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概率為()A.eq\f(1,2) B.eq\f(1,4)C.eq\f(3,4) D.eq\f(3,8)解析：只考慮A，B兩個(gè)方格的填法，不考慮大小，A，B兩個(gè)方格有16種填法，要使填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字，則從1,2,3,4中選2個(gè)數(shù)字，大的放入A格，小的放入B格，有(4,3)，(4,2)，(4,1)，(3,2)，(3,1)，(2,1)，共6種，故填入A方格的數(shù)字大于B方格的數(shù)字的概為eq\f(6,16)＝eq\f(3,8).答案：D9．(2018屆河南模擬)一個(gè)袋中裝有1紅，2白和2黑共5個(gè)小球，這5個(gè)小球除顏色外其他都相同，現(xiàn)從袋中任取2個(gè)球，則至少取到1個(gè)白球的概率為________．解析：記1個(gè)紅球?yàn)锳,2個(gè)白球?yàn)锽1，B2,2個(gè)黑球?yàn)镃1，C2，從中任取2個(gè)的基本事件有10個(gè)，分別為(A，B1)，(A，B2)，(A，C1)，(A，C2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，C1)，(B2，C2)，(C1，C2)，其中至少取到1個(gè)白球的基本事件有7個(gè)，故至少取到1個(gè)白球的概率為P＝eq\f(7,10).答案：eq\f(7,10)10．(2016年四川卷)從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率是________．解析：從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則(a，b)的所有可能結(jié)果為(2,3)，(2,8)，(2,9)，(3,8)，(3,9)，(8,9)，(3,2)，(8,2)，(9,2)，(8,3)，(9,3)，(9,8)，共12種取法，其中l(wèi)ogab為整數(shù)的有(2,8)，(3,9)兩種，故P＝eq\f(2,12)＝eq\f(1,6).答案：eq\f(1,6)11．(2018屆大連模擬)甲、乙兩人玩剪子、石頭、布的游戲，則玩一局甲不輸?shù)母怕适莀_______．(用數(shù)字作答)解析：畫樹形圖如下：從樹形圖可以看出，所有可能出現(xiàn)的結(jié)果共有9種，這些結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等，P(甲獲勝)＝eq\f(1,3)；P(平局)＝eq\f(1,3)，玩一局甲不輸?shù)母怕适莈q\f(2,3).答案：eq\f(2,3)12．移動(dòng)公司在國慶期間推出4G套餐，對國慶節(jié)當(dāng)日辦理套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠300元．國慶節(jié)當(dāng)天參與活動(dòng)的人數(shù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果如圖所示，現(xiàn)將頻率視為概率．(1)求從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元的概率；(2)若采用分層抽樣的方式從參加活動(dòng)的客戶中選出6人，再從該6人中隨機(jī)選出2人，求這2人獲得相等優(yōu)惠金額的概率．解：(1)設(shè)事件A為“從中任選1人獲得優(yōu)惠金額不低于300元”，則P(A)＝eq\f(150＋100,50＋150＋100)＝eq\f(5,6).(2)設(shè)事件B為“從這6人中選出2人，他們獲得相等優(yōu)惠金額”，由題意按分層抽樣方式選出的6人中，獲得優(yōu)惠200元的有1人，獲得優(yōu)惠500元的有3人，獲得優(yōu)惠300元的有2人，分別記為a1，b1，b2，b3，c1，c2，從中選出2人的所有基本事件如下：a1b1,a1b2,a1b3，a1c1,a1c2,b1b2,b1b3，b1c1，b1c2,b2b3,b2c1,b2c2,b3c1,b其中使得事件B成立的有b1b2，b1b3，b2b3，c1c2則P(B)＝eq\f(4,15).[能力提升]1．已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,3)x3＋ax2＋b2x＋1，若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，則該函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)的概率為()A.eq\f(7,9) B.eq\f(1,3)C.eq\f(5,9) D.eq\f(2,3)解析：對函數(shù)f(x)求導(dǎo)可得f′(x)＝x2＋2ax＋b2，要滿足題意需x2＋2ax＋b2＝0有兩個(gè)不等實(shí)根，即Δ＝4(a2－b2)>0，即a>b.又(a，b)的取法共有9種，其中滿足a>b的有(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，共6種，故所求的概率P＝eq\f(6,9)＝eq\f(2,3).答案：D2．(2018屆貴州遵義質(zhì)檢)記連續(xù)投擲兩次骰子得到的點(diǎn)數(shù)分別為m，n，向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角為α，則α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))的概率為()A.eq\f(5,18) B.eq\f(5,12)C.eq\f(1,2) D.eq\f(7,12)解析：解法一：依題意，向量a＝(m，n)共有6×6＝36(個(gè))，其中滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，即n<m的(m，n)可根據(jù)n的具體取值進(jìn)行分類計(jì)數(shù)：第一類，當(dāng)n＝1時(shí)，m有5個(gè)不同的取值；第二類，當(dāng)n＝2時(shí)，m有4個(gè)不同的取值；第三類，當(dāng)n＝3時(shí)，m有3個(gè)不同的取值；第四類，當(dāng)n＝4時(shí)，m有2個(gè)不同的取值；第五類，當(dāng)n＝5時(shí)，m有1個(gè)取值，因此滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))的(m，n)共有1＋2＋3＋4＋5＝15(個(gè))，所以所求概率為eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).解法二：依題意可得向量a＝(m，n)共有6×6＝36(個(gè))，其中滿足向量a＝(m，n)與向量b＝(1,0)的夾角α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(π,4)))，即n<m的向量a＝(m，n)有eq\f(36－6,2)＝15(個(gè))，所以所求概率為eq\f(15,36)＝eq\f(5,12).答案：B3．(2018屆長沙四校聯(lián)考)已知集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}．定義映射f：M→N，則從中任取一個(gè)映射滿足由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的概率為()A.eq\f(3,32) B.eq\f(5,32)C.eq\f(3,16) D.eq\f(1,4)解析：∵集合M＝{1,2,3}，N＝{1,2,3,4}，∴映射f：M→N有43＝64種，∵由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3，f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC，∴f(1)＝f(3)≠f(2)，∵f(1)＝f(3)有4種選擇，f(2)有3種選擇，∴從中任取一個(gè)映射滿足由點(diǎn)A(1，f(1))，B(2，f(2))，C(3,f(3))構(gòu)成△ABC且AB＝BC的事件有4×3＝12種，∴所求概率為eq\f(12,64)＝eq\f(3,16).答案：C4．(2018屆上海楊浦區(qū)一模)拋擲一枚均勻的骰子(刻有1,2,3,4,5,6)三次，得到的數(shù)字依次記作a，b，c，則a＋bi(i為虛數(shù)單位)是方程x2－2x＋c＝0的根的概率是________．解析：拋擲一枚均勻的骰子(刻有1,2,3,4,5,6)三次，得到的數(shù)字依次記作a，b，c，基本事件總數(shù)n＝6×6×6＝216，∵a＋bi(i為虛數(shù)單位)是方程x2－2x＋c＝0的根，∴(a＋bi)2－2(a＋bi)＋c＝0.即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－b2＋c－2a＝0，,2ab＝2b，))∴a＝1，c＝b2＋1，∴a＋bi(i為虛數(shù)單位)是方程x2－2x＋c＝0的根包含的基本事件為(1,1,2)，(1,2,5)，∴a＋bi(i為虛數(shù)單位)是方程x2－2x＋c＝0的根的概率是P＝eq\f(2,216)＝eq\f(1,108).答案：eq\f(1,108)5．(2017屆廣東廣州模擬)甲、乙兩名騎手騎術(shù)相當(dāng)，他們各自挑選3匹馬備用，甲挑選的三匹馬分別記為A，B，C.乙挑選的三匹馬分別記為A′，B′，C′，已知6匹馬按奔跑速度從快到慢的排列順序依次為：A，A′，B，B′，C′，C.比賽前甲、乙均不知道這個(gè)順序．規(guī)定：每人只能騎自己挑選的馬進(jìn)行比賽，且率先到達(dá)終點(diǎn)者獲勝．(1)若甲、乙兩人進(jìn)行一次比賽，求乙獲勝的概率；(2)若甲、乙二人進(jìn)行三次比賽，且不能重復(fù)使用馬匹，求乙獲勝次數(shù)大于甲的概率．解：(1)甲、乙二人選取的馬匹共有9種搭配方式，且勝負(fù)情況如