復變函數(shù)初等函數(shù)

1復變函數(shù)初等函數(shù)2P34T32證明：第2頁,共26頁，2024年2月25日，星期天3第三節(jié)初等函數(shù)一、指數(shù)函數(shù)二、對數(shù)函數(shù)三、乘冪ab與冪函數(shù)四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)重點把握以下幾點1、初等函數(shù)定義2、初等函數(shù)的性質(zhì)3、與實變函數(shù)的區(qū)別第3頁,共26頁，2024年2月25日，星期天4一、指數(shù)函數(shù)實變：1.指數(shù)函數(shù)的定義:處處可導第4頁,共26頁，2024年2月25日，星期天5指數(shù)函數(shù)(exponential記作:function)注：第5頁,共26頁，2024年2月25日，星期天6例1解重要性質(zhì)：第6頁,共26頁，2024年2月25日，星期天7例2

求出下列復數(shù)的輻角主值:

解第7頁,共26頁，2024年2月25日，星期天8二、對數(shù)函數(shù)1.定義令即所以對數(shù)函數(shù)是一個多值函數(shù)呦!第8頁,共26頁，2024年2月25日，星期天9其余各值為特殊地,第9頁,共26頁，2024年2月25日，星期天10例３解注意:在實變函數(shù)中,負數(shù)無對數(shù),而復變數(shù)對數(shù)函數(shù)是實變數(shù)對數(shù)函數(shù)的拓廣.（1）（2）或者第10頁,共26頁，2024年2月25日，星期天11例４解第11頁,共26頁，2024年2月25日，星期天122.對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)（3）在除去負實軸（包括原點）的復平面內(nèi)，主值支和其他各分支處處連續(xù)，處處可導．且但是第12頁,共26頁，2024年2月25日，星期天13三、乘冪與冪函數(shù)1.乘冪的定義（實數(shù)的冪）注意:故一般是無窮多值的第13頁,共26頁，2024年2月25日，星期天14第14頁,共26頁，2024年2月25日，星期天152、冪函數(shù)定義兩種特殊情況的討論：單值解析函數(shù)第15頁,共26頁，2024年2月25日，星期天16例5解第16頁,共26頁，2024年2月25日，星期天173.冪函數(shù)的解析性它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是解析的。它的各個分支在除去原點和負實軸的復平面內(nèi)是解析的,第17頁,共26頁，2024年2月25日，星期天18四、三角函數(shù)和雙曲函數(shù)1.三角函數(shù)的定義將兩式相加與相減,得有關(guān)性質(zhì)：歐拉公式的推廣(1)(2)(3)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)在復平面內(nèi)都是解析函數(shù).(4)第18頁,共26頁，2024年2月25日，星期天19有關(guān)正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的幾組重要公式(5)第19頁,共26頁，2024年2月25日，星期天202.雙曲函數(shù)的定義(偶函數(shù))(奇函數(shù))(周期)(奇函數(shù))解析函數(shù)易得:第20頁,共26頁，2024年2月25日，星期天21五、反三角函數(shù)和反雙曲函數(shù)1.反三角函數(shù)的定義兩端取對數(shù)得第21頁,共26頁，2024年2月25日，星期天22六、小結(jié)復變初等函數(shù)是一元實變初等函數(shù)在復數(shù)范圍內(nèi)的自然推廣,它既保持了后者的某些基本性質(zhì),又有一些與后者不同的特性.如:1.指數(shù)函數(shù)具有周期性2.負數(shù)無對數(shù)的結(jié)論不再成立3.三角正弦與余弦不再具有有界性4.雙曲正弦與余弦都是周期函數(shù)第22頁,共26頁，2024年2月25日，星期天23作業(yè)(2)12題（3）15題18題

23題（1）認真閱讀第二章課后小結(jié)下次課：第三章一、二節(jié)第23頁,共26頁，2024年2月25日，星期天24作業(yè)(2)12題（3）15題18題

23題（1）認真閱讀第二章課后小結(jié)下次課：第三章一、二節(jié)第24頁,共26頁，2024年2月25日，星期天25作業(yè)(2)12題（3）15題18題

23題（1）認真