平面向量測試題及詳解

高考總復(fù)習(xí)PAGE平面向量一、選擇題1．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，x)，若a＋b與4b－2a平行，則實(shí)數(shù)x的值為()A．－2B．0C．1D．22．已知點(diǎn)A(－1,0)，B(1,3)，向量a＝(2k－1,2)，若eq\o(AB,\s\up6(→))⊥a，則實(shí)數(shù)k的值為()A．－2B．－1C．1D．23．如果向量a＝(k,1)與b＝(6，k＋1)共線且方向相反，那么k的值為()A．－3B．2C．－eq\f(1,7)D.eq\f(1,7)4．在平行四邊形ABCD中，E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，DE交AF于H，記eq\o(AB,\s\up6(→))、eq\o(BC,\s\up6(→))分別為a、b，則eq\o(AH,\s\up6(→))＝()A.eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)bB.eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bC．－eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)bD．－eq\f(2,5)a－eq\f(4,5)b5．已知向量a＝(1,1)，b＝(2，n)，若|a＋b|＝a·b，則n＝()A．－3B．－1C．1D．36．已知P是邊長為2的正△ABC邊BC上的動點(diǎn)，則eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))()A．最大值為8B．是定值6C．最小值為2D．與P的位置有關(guān)7．設(shè)a，b都是非零向量，那么命題“a與b共線”是命題“|a＋b|＝|a|＋|b|”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．非充分非必要條件8.已知向量a＝(1,2)，b＝(－2，－4)，|c|＝eq\r(5)，若(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，則a與c的夾角為()A．30°B．60°C．120°D．150°9．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1,1)，若點(diǎn)B(x，y)滿足eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2x－2y＋1≥0，,1≤x≤2，,1≤y≤2，))則eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))取得最大值時(shí)，點(diǎn)B的個(gè)數(shù)是()A．1B．2C．3D．無數(shù)10．a(chǎn)，b是不共線的向量，若eq\o(AB,\s\up6(→))＝λ1a＋b，eq\o(AC,\s\up6(→))＝a＋λ2b(λ1，λ2∈R)，則A、B、C三點(diǎn)共線的充要條件為()A．λ1＝λ2＝－1B．λ1＝λ2＝1C．λ1·λ2＋1＝0D．λ1λ2－1＝011．如圖，在矩形OACB中，E和F分別是邊AC和BC的點(diǎn)，滿足AC＝3AE，BC＝3BF，若eq\o(OC,\s\up6(→))＝λeq\o(OE,\s\up6(→))＋μeq\o(OF,\s\up6(→))其中λ，μ∈R，則λ＋μ是()A.eq\f(8,3)B.eq\f(3,2)C.eq\f(5,3)D．112．已知非零向量eq\o(AB,\s\up6(→))與eq\o(AC,\s\up6(→))滿足eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0，且eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,2)，則△ABC的形狀為()A．等腰非等邊三角形B．等邊三角形C．三邊均不相等的三角形D．直角三角形第Ⅱ卷(非選擇題共90分)填空題13．平面向量a與b的夾角為60°，a＝(2,0)，|b|＝1，則|a＋2b|＝________.14．已知a＝(2＋λ，1)，b＝(3，λ)，若〈a，b〉為鈍角，則λ的取值范圍是________．15．已知二次函數(shù)y＝f(x)的圖像為開口向下的拋物線，且對任意x∈R都有f(1＋x)＝f(1－x)．若向量a＝(eq\r(m)，－1)，b＝(eq\r(m)，－2)，則滿足不等式f(a·b)>f(－1)的m的取值范圍為________．16.已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ，\f(1,4)))，b＝(cosθ，1)，c＝(2，m)滿足a⊥b且(a＋b)∥c，則實(shí)數(shù)m＝________.三、解答題17．已知向量a＝(－cosx，sinx)，b＝(cosx，eq\r(3)cosx)，函數(shù)f(x)＝a·b，x∈[0，π]．(1)求函數(shù)f(x)的最大值；(2)當(dāng)函數(shù)f(x)取得最大值時(shí)，求向量a與b夾角的大?。?8．已知雙曲線的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F1、F2在坐標(biāo)軸上，離心率為eq\r(2)，且過點(diǎn)(4，－eq\r(10))．(1)求雙曲線方程；(2)若點(diǎn)M(3，m)在雙曲線上，求證eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0.19．△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，向量m＝(2sinB,2－cos2B)，n＝(2sin2(eq\f(π,4)＋eq\f(B,2))，－1)，m⊥n.(1)求角B的大小；(2)若a＝eq\r(3)，b＝1，求c的值．20．已知向量a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)，sin\f(3x,2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(x,2)，－sin\f(x,2)))，且x∈[eq\f(π,2)，π]．(1)求a·b及|a＋b|；(2)求函數(shù)f(x)＝a·b＋|a＋b|的最大值，并求使函數(shù)取得最大值時(shí)x的值．21．已知eq\o(OA,\s\up6(→))＝(2asin2x，a)，eq\o(OB,\s\up6(→))＝(－1,2eq\r(3)sinxcosx＋1)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，a≠0，設(shè)f(x)＝eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＋b，b>a.(1)若a>0，寫出函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)y＝f(x)的定義域?yàn)閇eq\f(π,2)，π]，值域?yàn)閇2,5]，求實(shí)數(shù)a與b的值．22．已知點(diǎn)M(4,0)，N(1,0)，若動點(diǎn)P滿足eq\o(MN,\s\up6(→))·eq\o(MP,\s\up6(→))＝6|eq\o(PN,\s\up6(→))|.(1)求動點(diǎn)P的軌跡C的方程；(2)設(shè)過點(diǎn)N的直線l交軌跡C于A，B兩點(diǎn)，若－eq\f(18,7)≤eq\o(NA,\s\up6(→))·eq\o(NB,\s\up6(→))≤－eq\f(12,5)，求直線l的斜率的取值范圍．平面向量答案1.[解a＋b＝(3，x＋1)，4b－2a＝(6,4x－2)，∵a＋b與4b－2a平行，∴eq\f(3,6)＝eq\f(x＋1,4x－2)，∴x＝2，故選D.2.[解eq\o(AB,\s\up6(→))＝(2,3)，∵eq\o(AB,\s\up6(→))⊥a，∴2(2k－1)＋3×2＝0，∴k＝－1，∴選B.3.[解由條件知，存在實(shí)數(shù)λ<0，使a＝λb，∴(k,1)＝(6λ，(k＋1)λ)，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k＝6λ,k＋1λ＝1))，∴k＝－3，故選A.4.[解析]eq\o(AF,\s\up6(→))＝b＋eq\f(1,2)a，eq\o(DE,\s\up6(→))＝a－eq\f(1,2)b，設(shè)eq\o(DH,\s\up6(→))＝λeq\o(DE,\s\up6(→))，則eq\o(DH,\s\up6(→))＝λa－eq\f(1,2)λb，∴eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\o(AD,\s\up6(→))＋eq\o(DH,\s\up6(→))＝λa＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,2)λ))b，∵eq\o(AH,\s\up6(→))與eq\o(AF,\s\up6(→))共線且a、b不共線，∴eq\f(λ,\f(1,2))＝eq\f(1－\f(1,2)λ,1)，∴λ＝eq\f(2,5)，∴eq\o(AH,\s\up6(→))＝eq\f(2,5)a＋eq\f(4,5)b.5.[解析]∵a＋b＝(3,1＋n)，∴|a＋b|＝eq\r(9＋n＋12)＝eq\r(n2＋2n＋10)，又a·b＝2＋n，∵|a＋b|＝a·b，∴eq\r(n2＋2n＋10)＝n＋2，解之得n＝3，故選D.6.[解析]設(shè)BC邊中點(diǎn)為D，則eq\o(AP,\s\up6(→))·(eq\o(AB,\s\up6(→))＋eq\o(AC,\s\up6(→)))＝eq\o(AP,\s\up6(→))·(2eq\o(AD,\s\up6(→)))＝2|eq\o(AP,\s\up6(→))|·|eq\o(AD,\s\up6(→))|·cos∠PAD＝2|eq\o(AD,\s\up6(→))|2＝6.7.[解析]|a＋b|＝|a|＋|b|?a與b方向相同，或a、b至少有一個(gè)為0；而a與b共線包括a與b方向相反的情形，∵a、b都是非零向量，故選B.8.[解析]由條件知|a|＝eq\r(5)，|b|＝2eq\r(5)，a＋b＝(－1，－2)，∴|a＋b|＝eq\r(5)，∵(a＋b)·c＝eq\f(5,2)，∴eq\r(5)×eq\r(5)·cosθ＝eq\f(5,2)，其中θ為a＋b與c的夾角，∴θ＝60°.∵a＋b＝－a，∴a＋b與a方向相反，∴a與c的夾角為120°.9.[解析]x2＋y2－2x－2y＋1≥0，即(x－1)2＋(y－1)2≥1，畫出不等式組表示的平面區(qū)域如圖，eq\o(OA,\s\up6(→))·eq\o(OB,\s\up6(→))＝x＋y，設(shè)x＋y＝t，則當(dāng)直線y＝－x平移到經(jīng)過點(diǎn)C時(shí)，t取最大值，故這樣的點(diǎn)B有1個(gè)，即C點(diǎn)．10.[解析]∵A、B、C共線，∴eq\o(AC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))共線，根據(jù)向量共線的條件知存在實(shí)數(shù)λ使得eq\o(AC,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))，即a＋λ2b＝λ(λ1a＋b)，由于a，b不共線，根據(jù)平面向量基本定理得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＝λλ1,λ2＝λ))，消去λ得λ1λ2＝1.11.[解析]eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\o(BF,\s\up6(→))＝eq\o(OB,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(AE,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\f(1,3)eq\o(OB,\s\up6(→))，相加得eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\o(OF,\s\up6(→))＝eq\f(4,3)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))＝eq\f(4,3)eq\o(OC,\s\up6(→))，∴eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\f(3,4)eq\o(OE,\s\up6(→))＋eq\f(3,4)eq\o(OF,\s\up6(→))，∴λ＋μ＝eq\f(3,4)＋eq\f(3,4)＝eq\f(3,2).12.[解析]根據(jù)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)＋\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)))·eq\o(BC,\s\up6(→))＝0知，角A的內(nèi)角平分線與BC邊垂直，說明三角形是等腰三角形，根據(jù)數(shù)量積的定義及eq\f(\o(AB,\s\up6(→)),|\o(AB,\s\up6(→))|)·eq\f(\o(AC,\s\up6(→)),|\o(AC,\s\up6(→))|)＝－eq\f(1,2)可知A＝120°.故三角形是等腰非等邊的三角形．13.[解析]a·b＝|a|·|b|cos60°＝2×1×eq\f(1,2)＝1，|a＋2b|2＝|a|2＋4|b|2＋4a·b＝4＋4＋4×1＝12，∴|a＋2b|＝2eq\r(3).14.[解析]∵〈a，b〉為鈍角，∴a·b＝3(2＋λ)＋λ＝4λ＋6<0，∴λ<－eq\f(3,2)，當(dāng)a與b方向相反時(shí)，λ＝－3，∴λ<－eq\f(3,2)且λ≠－3.15.[解析]由條件知f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，∴f(－1)＝f(3)，∵m≥0，∴a·b＝m＋2≥2，由f(a·b)>f(－1)得f(m＋2)>f(3)，∵f(x)在[1，＋∞)上為減函數(shù)，∴m＋2<3，∴m<1，∵m≥0，∴0≤m<1.16.[解析]∵a⊥b，∴sinθcosθ＋eq\f(1,4)＝0，∴sin2θ＝－eq\f(1,2)，又∵a＋b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sinθ＋cosθ，\f(5,4)))，(a＋b)∥c，∴m(sinθ＋cosθ)－eq\f(5,2)＝0，∴m＝eq\f(5,2sinθ＋cosθ)，∵(sinθ＋cosθ)2＝1＋sin2θ＝eq\f(1,2)，∴sinθ＋cosθ＝±eq\f(\r(2),2)，∴m＝±eq\f(5\r(2),2).17.[解析](1)f(x)＝a·b＝－cos2x＋eq\r(3)sinxcosx＝eq\f(\r(3),2)sin2x－eq\f(1,2)cos2x－eq\f(1,2)＝sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x－\f(π,6)))－eq\f(1,2).∵x∈[0，π]，∴當(dāng)x＝eq\f(π,3)時(shí)，f(x)max＝1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2).(2)由(1)知x＝eq\f(π,3)，a＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，b＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(\r(3),2)))，設(shè)向量a與b夾角為α，則cosα＝eq\f(a·b,|a|·|b|)＝eq\f(\f(1,2),1×1)＝eq\f(1,2)，∴α＝eq\f(π,3).因此，兩向量a與b的夾角為eq\f(π,3).18.[解析](1)解：∵e＝eq\r(2)，∴可設(shè)雙曲線方程為x2－y2＝λ，∵過(4，－eq\r(10))點(diǎn)，∴16－10＝λ，即λ＝6，∴雙曲線方程為x2－y2＝6.(2)證明：F1(－2eq\r(3)，0)，F(xiàn)2(2eq\r(3)，0)，eq\o(MF1,\s\up6(→))＝(－3－2eq\r(3)，－m)，eq\o(MF2,\s\up6(→))＝(－3＋2eq\r(3)，－m)，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝－3＋m2，又∵M(jìn)點(diǎn)在雙曲線上，∴9－m2＝6，即m2－3＝0，∴eq\o(MF1,\s\up6(→))·eq\o(MF2,\s\up6(→))＝0，即eq\o(MF1,\s\up6(→))⊥eq\o(MF2,\s\up6(→)).19.[解析](1)∵m⊥n，∴m·n＝0，∴4sinB·sin2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)＋\f(B,2)))＋cos2B－2＝0，∴2sinB[1－coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋B))]＋cos2B－2＝0，∴2sinB＋2sin2B＋1－2sin2B－2＝0，∴sinB＝eq\f(1,2)，∵0<B<π，∴B＝eq\f(π,6)或eq\f(5,6)π.(2)∵a＝eq\r(3)，b＝1，∴a>b，∴此時(shí)B＝eq\f(π,6)，方法一：由余弦定理得：b2＝a2＋c2－2accosB，∴c2－3c＋2＝0，∴c＝2或c＝1.方法二：由正弦定理得eq\f(b,sinB)＝eq\f(a,sinA)，∴eq\f(1,\f(1,2))＝eq\f(\r(3),sinA)，∴sinA＝eq\f(\r(3),2)，∵0<A<π，∴A＝eq\f(π,3)或eq\f(2,3)π，若A＝eq\f(π,3)，因?yàn)锽＝eq\f(π,6)，所以角C＝eq\f(π,2)，∴邊c＝2；若A＝eq\f(2,3)π，則角C＝π－eq\f(2,3)π－eq\f(π,6)＝eq\f(π,6)，∴邊c＝b，∴c＝1.綜上c＝2或c＝1.20.[解析](1)a·b＝coseq\f(3x,2)coseq\f(x,2)－sineq\f(3x,2)sineq\f(x,2)＝cos2x，|a＋b|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)＋cos\f(x,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(sin\f(3x,2)－sin\f(x,2)))2)＝eq\r(2＋2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cos\f(3x,2)cos\f(x,2)－sin\f(3x,2)sin\f(x,2))))＝eq\r(2＋2cos2x)＝2|cosx|，∵x∈[eq\f(π,2)，π]，∴cosx<0，∴|a＋b|＝－2cosx.(2)f(x)＝a·b＋|a＋b|＝cos2x－2cosx＝2cos2x－2cosx－1＝2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(cosx－\f(1,2)))2－eq\f(3,2)∵x∈[eq\f(π,2)，π]，∴－1≤cosx≤0，∴當(dāng)cosx＝－1，即x＝π時(shí)fmax(x)＝3.21.[解析](1)f(x)＝－2asin2x＋2eq\r(3)asinxcosx＋a＋b＝2asineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))＋b，∵a>0，∴由2kπ－eq\f(π,2)≤2x＋eq\f(π,6)≤2kπ＋eq\f(π,2)得，kπ－eq\f(π,3)≤x≤kπ＋eq\f(π,6)，k∈Z.∴函數(shù)y＝f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是[kπ－eq\f(π,3)，kπ＋eq\f(π,6)](k∈Z)(2)x∈[eq\f(π,2)，π]時(shí)，2x＋eq\f(π,6)∈[eq\f(7π,6)，eq\f(13π,6)]，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,6)))∈[－1，eq\f(1,2)]當(dāng)a>0時(shí)，f(x)∈[－2a＋b，a＋b]∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－2a＋b＝2,a＋b＝5))，得eq\b\lc\{\r