2023-2024學(xué)年武昌實(shí)驗(yàn)高一數(shù)學(xué)（下）3月考試卷附答案解析

-2024學(xué)年武昌實(shí)驗(yàn)高一數(shù)學(xué)（下）3月考試卷時(shí)間：120分鐘滿分：150分2024年3月25日一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．2．若向量的夾角為，，若，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．3．已知向量，，若在上的投影向量，則向量與的夾角為（

）A． B． C． D．4．一半徑為2米的水輪如圖所示，水輪圓心O距離水面1米，已知水輪每60秒逆時(shí)針勻速轉(zhuǎn)動(dòng)一圈，如果當(dāng)水輪上點(diǎn)P從水中浮現(xiàn)時(shí)（圖中點(diǎn)）開始計(jì)時(shí)，則點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個(gè)函數(shù)解析式為（）A． B．C． D．5．如圖，在中，設(shè)，則（

）A． B． C． D．6．已知為銳角，，，則（

）A． B． C． D．7．已知函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，且在區(qū)間上是減函數(shù)，若函數(shù)在上的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，則ω的取值范圍是（

）A． B． C． D．8．在中，的最大值為A． B． C． D．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求的．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9．下列四個(gè)等式中正確的是（

）A．B．C．已知函數(shù)，則的最小正周期是D．已知，，則的最小值為10．已知，，，則（

）A． B． C． D．11．對(duì)于函數(shù)，，下列說法正確的是（

）A．對(duì)任意的，的最大值為1B．當(dāng)時(shí)，的值域中只有一個(gè)元素C．當(dāng)時(shí)，在內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)槿?、填空題：本題共3小題每小題5分，共15分．12．已知，且，則.13．若，且，，則的值是．14．已知函數(shù)的圖象如圖所示，M，N是直線與曲線的兩個(gè)交點(diǎn)，且，則的值為四、解答題、本題共5小題，共77分，解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15．已知，，且．當(dāng)為何值時(shí)，(1)向量與互相垂直；(2)向量與平行.16．已知函數(shù)．求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，求在上的值域．17．已知向量，，函數(shù)，.（1）若的最小值為-1，求實(shí)數(shù)的值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)，有四個(gè)不同的零點(diǎn)？若存在，求出的取值范圍；若不存在，請說明理由.18．某工廠有甲、乙兩生產(chǎn)車間，其污水瞬時(shí)排放量（單位：）關(guān)于時(shí)間（單位：）的關(guān)系均近似地滿足函數(shù)，其圖象如圖所示：（1）根據(jù)圖象求函數(shù)解析式；（2）若甲車間先投產(chǎn)，1小時(shí)后乙車間再投產(chǎn)，求該廠兩車間都投產(chǎn)時(shí)刻的污水排放量；（3）由于受工廠污水處理能力的影響，環(huán)保部門要求該廠兩車間任意時(shí)刻的污水排放量之和不超過，若甲車間先投產(chǎn)，為滿足環(huán)保要求，乙車間比甲車間至少需推遲多少小時(shí)投產(chǎn)？19．已知函數(shù)，若存在實(shí)數(shù)m、k（），使得對(duì)于定義域內(nèi)的任意實(shí)數(shù)x，均有成立，則稱函數(shù)為“可平衡”函數(shù)；有序數(shù)對(duì)稱為函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì)．(1)若，求函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì)；(2)若m＝1，判斷是否為“可平衡”函數(shù)，并說明理由；(3)若、，且、均為函數(shù)的“平衡”數(shù)對(duì)，求的取值范圍．1．B【分析】先把弧度轉(zhuǎn)化成角度，利用三角函數(shù)的單調(diào)性和特殊角的三角函數(shù)值，確定、、的取值范圍，即可比較大小.【詳解】因?yàn)椋曰《葹榈谝幌笙藿?，在第一象限，單調(diào)遞增，所以；在第一象限，單調(diào)遞減，所以，在第一象限，單調(diào)遞增，所以；綜上所述，有.故選：B2．A【分析】由兩邊平方得，結(jié)合條件可得，又由，可得，即可得出答案.【詳解】由兩邊平方得.即，也即，所以.又由，得，即.所以故選：A【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)和根據(jù)向量垂直求參數(shù)的值，屬于中檔題.3．C【分析】根據(jù)投影向量求出，再求向量與的夾角.【詳解】設(shè)向量與的夾角為，與同向的單位向量為，∵在上的投影向量為，，∴，∴，∴，所以，∵，∴，∴與的夾角為，故選：C.4．A【分析】依據(jù)題給條件去求一個(gè)函數(shù)解析式即可解決.【詳解】設(shè)點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個(gè)函數(shù)解析式為由，可得，由，可得由t=0時(shí)h=0，可得，則，又，則則點(diǎn)P距離水面的高度h（米）與t（秒）的一個(gè)函數(shù)解析式為故選：A5．C【分析】結(jié)合圖形由向量的線性運(yùn)算可得.【詳解】因?yàn)椋?，，又因?yàn)?，所以，所以，故選：C.6．A【分析】由二倍角正切公式，同角關(guān)系化簡，求，再求，再由兩角差的正切公式求.【詳解】因?yàn)椋?，所以，又為銳角，，所以，解得，因?yàn)闉殇J角，所以，又所以.故選：A.7．D【分析】根據(jù)已知條件，確定的取值，解得，令，結(jié)合已知條件根據(jù)的單調(diào)區(qū)間，取值情況得到關(guān)于的不等式，求解即可.【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以，又因?yàn)椋?，所以；令，因?yàn)椋瑒t，即，的減區(qū)間為，又在區(qū)間上是減函數(shù)，所以是區(qū)間的子集，因?yàn)?，所以，，只有時(shí)區(qū)間是由負(fù)到正，所以有：，，解得；因?yàn)楹瘮?shù)在上的圖象與直線有且僅有一個(gè)交點(diǎn)，相當(dāng)于，在上只有一個(gè)最小值，所以有：，，解得；綜上取交集有：，解得.故選：D8．B【分析】解法：利用，得出，然后利用輔助角公式以及二倍角公式可得出的最大值；解法：由積化和差公式得出，然后利用和輔助角公式可得出的最大值.【詳解】法1：，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為，故選B；法2：，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立，因此，的最大值為，故選B.【點(diǎn)睛】本題考查三角形中的最值的求解，涉及到三角恒等變換中的一些變形技巧，解題時(shí)要注意化異角為同角，充分利用輔助角公式來求解，考查運(yùn)算求解能力，屬于難題.9．AB【分析】根據(jù)展開化簡得到A正確，利用三角恒等變換得到B正確，計(jì)算得到C錯(cuò)誤，均值不等式等號(hào)成立條件不成立，D錯(cuò)誤，得到答案.【詳解】，即，A正確；，B正確；，C錯(cuò)誤；，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即，，方程無解，故D錯(cuò)誤.故選：AB.10．CD【分析】先計(jì)算得到，，再利用展開得到答案.【詳解】，，；，；當(dāng)，所以，當(dāng)，所以，故選：CD.【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)值的計(jì)算，變換是解題的關(guān)鍵.11．BD【解析】取利用輔助角公式以及正弦函數(shù)的性質(zhì)得出，從而判斷A；由平方關(guān)系判斷B；由得出，結(jié)合函數(shù)在圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)判斷C；根據(jù)二倍角公式化簡解析式，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出值域判斷D.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，即的值域?yàn)?，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，由，解得，函數(shù)在的圖象如下圖所示由圖可知，函數(shù)在內(nèi)有兩個(gè)交點(diǎn)，即在內(nèi)有2個(gè)零點(diǎn)，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，，因?yàn)椋?，即的值域?yàn)椋蔇正確；故選：BD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題在解決C項(xiàng)時(shí)，關(guān)鍵是將函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，從而得出零點(diǎn)個(gè)數(shù).12．【分析】利用將條件整理可得從而可得解.【詳解】，，【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角函數(shù)的兩角和差的展開公式，解題的關(guān)鍵是配湊出“”，屬于難題.13．【分析】先由降冪公式得到，再由同角三角函數(shù)關(guān)系得到和，然后經(jīng)過拆角和余弦展開式化簡得到結(jié)果.【詳解】，所以，因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，又，所以，所以因?yàn)?，所以，故答案為?14．【分析】由圖像確定，設(shè)出，結(jié)合確定，再代入得到，最后代入求值即可.【詳解】由圖像可知，設(shè)，由可得，令，可得，則，把代入結(jié)合五點(diǎn)法可得，所以，故答案為：.15．(1)或.(2)【分析】（1）根據(jù)條件結(jié)合數(shù)量積運(yùn)算求出，根據(jù)向量垂直列式求解；（2）根據(jù)向量平行及平面向量基本定理列式求解.【詳解】（1）∵，∴，∵，∴，∴，∴，若向量與互相垂直，則，∴，∴，∴，解得或.（2）因?yàn)?，即，則，所以不共線，若向量與平行，則存在實(shí)數(shù)使得成立，所以且，解得.16．（1）；（2）【分析】利用二倍角的正弦公式、二倍角的余弦公式以及兩角和與差的正弦公式將函數(shù)化為，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性解不等式，可得到函數(shù)的遞減區(qū)間；利用函數(shù)的圖象變換規(guī)律，求得的解析式，由可得結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，求得的值域．【詳解】函數(shù)，當(dāng)時(shí),解得：，因此，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為．將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位，可得的圖象，再將所得的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，，，的值域?yàn)椋军c(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的圖象變換規(guī)律，正弦函數(shù)的值域，屬于中檔題．函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法：若,把看作是一個(gè)整體，由求得函數(shù)的減區(qū)間，求得增區(qū)間.17．（1）；（2）.【詳解】試題分析：（1）利用向量數(shù)量積的公式化簡函數(shù)即可．（2）求出函數(shù)的表達(dá)式，利用換元法結(jié)合一元二次函數(shù)的最值性質(zhì)進(jìn)行討論求解即可．（3）由=0得到方程的根，利用三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可．試題解析：（1）∵，，∴，∵∴，，令，∴∵，對(duì)稱軸為，①當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴舍，②當(dāng)即時(shí)，當(dāng)時(shí)，∴，③當(dāng)即是，當(dāng)時(shí)，∴舍，綜上，.（2）令，即，∴或，∵，有四個(gè)不同的零點(diǎn)，∴方程和在上共有四個(gè)不同的實(shí)根，∴∴∴.18．(1);(2);(3)至少需推遲小時(shí)投產(chǎn).【分析】(1)由圖可得:,利用周期公式可求出,代入求出,即可得函數(shù)解析式;(2)該廠時(shí)刻的排污量為甲乙兩車間排污量之和，可得時(shí)刻的排污量:，化簡即可得出;(3)設(shè)乙車間至少比甲車間推遲小時(shí)投產(chǎn),據(jù)題意得，,化簡可得,借助輔助角可知化簡即可得出,,借助圖象性質(zhì)即可得解．【詳解】由圖可得:由過點(diǎn)可得:所求函數(shù)的解析式為.(2)該廠時(shí)刻的排污量為甲乙兩車間排污量之和，此時(shí)甲車間排污量為乙車間為,根據(jù)題意可得時(shí)刻的排污量:(3)設(shè)乙車間至少比甲車間推遲小時(shí)投產(chǎn)，根據(jù)題意可得:由函數(shù)周期性知,可得:所以為滿足環(huán)保要求,乙車間比甲車間至少需推遲小時(shí)投產(chǎn).【點(diǎn)睛】本題考查由的部分圖象確定其解析式,及的圖象性質(zhì)在實(shí)際問題中的應(yīng)用,難度較難.19．(1)(2)是(3)【分析】(1)根據(jù)“平衡數(shù)對(duì)”定義建立方程，根據(jù)恒成立求解即可；(2)時(shí),判斷是否存