《線性代數(shù)及其應(yīng)用》 課件 李庶民 第4章相似矩陣及二次型

定義1

設(shè)為

階方陣,如果存在可逆矩陣則稱方陣和

相似，或

是

的相似矩陣，變?yōu)?/p>

稱為把

的相似變換矩陣.一、相似矩陣，使得(1)稱為

的相似變換，可逆矩陣

記為.第四章相似矩陣及二次型定義2

若階方陣

相似于對(duì)角矩陣

即存在可逆矩陣，使得則稱方陣可對(duì)角化.(2)相似矩陣具有以下性質(zhì)：

(2)對(duì)稱性：如果，則

；

(3)傳遞性：如果，則

性質(zhì)1

(1)自反性：;性質(zhì)2

(1)若，則

；

(2)若，則

；

(3)若，則,.（

為任一正整數(shù)）；

和都是可逆矩陣且，則.

(4)若(2)對(duì)稱性：如果，則

；

(3)傳遞性：如果，則

性質(zhì)1

(1)自反性：;證明

(1)由于，故;(2)若，那么存在可逆矩陣，使得所以

；令，則，(3)傳遞性：如果，則

性質(zhì)1證明(3)若，則存在可逆矩陣使得

令,有

即從而

，故

.性質(zhì)2

(1)若，則

；

證明

(1)設(shè)階方陣和相似，由定義1從而有，又是可逆矩陣，，使得可知，存在可逆矩陣可得(2)若，則

；

(2)設(shè)階方陣和相似，則存在可逆矩陣，使得

，所以,從而，由此可得.性質(zhì)2

(3)若，則,.（

為任一正整數(shù)）；

證明(3)設(shè)階方陣和

相似，則存在，使得

.又可逆矩陣令，由于

是可逆矩陣，也是可逆矩陣，，即.則有性質(zhì)2

(3)若，則,.（

為任一正整數(shù)）；

證明(3)設(shè)階方陣和

相似，則存在，使得

.又可逆矩陣從而.性質(zhì)2和都是可逆矩陣且，則.

(4)若(4)若，且都可逆，則存在可逆矩陣

，使得

，于是

即

證明例1

已知,

求和.解

由于

，有

，可得

，

即.

因?yàn)椋?二、特征值與特征向量例子：設(shè)則

.（3）定義3設(shè)為階方陣,如果存在數(shù)和維非零向量滿足則稱為方陣的特征值,稱為特征值對(duì)應(yīng)的特征向量.即

它是個(gè)方程個(gè)未知量的齊次線性方程組，有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式上式左邊是的次多項(xiàng)式,稱為的特征多項(xiàng)式,記為.方程稱為的特征方程.由此可見，特征值即為特征方程的根.

而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，特征方程必有個(gè)根(重根按重?cái)?shù)計(jì)算)，故階方陣有個(gè)特征值.求特征值對(duì)應(yīng)的特征向量解矩陣的特征多項(xiàng)式為例2求矩陣的特征值和特征向量.故

的特征值為當(dāng)時(shí)，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值對(duì)應(yīng)的全部特征向量為.當(dāng)時(shí)，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值對(duì)應(yīng)的全部特征向量為.當(dāng)時(shí)，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系,故特征值對(duì)應(yīng)的全部特征向量為.故的特征值為.的特征多項(xiàng)式為解

矩陣?yán)?求矩陣的特征值和特征向量.當(dāng)時(shí)，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值

對(duì)應(yīng)的全部特征向量為

，（

不同時(shí)為零).當(dāng)時(shí)，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值

對(duì)應(yīng)的全部特征向量為.故的特征值為.例4求矩陣的特征值和特征向量.的特征多項(xiàng)式為

解矩陣當(dāng)時(shí)，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值

對(duì)應(yīng)的全部特征向量為.當(dāng)

時(shí)，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值

對(duì)應(yīng)的全部特征向量為.例2：

例3：

例4：

矩陣的特征值和特征向量有以下的性質(zhì)：（重根按重?cái)?shù)計(jì)算），則有

同的特征值；階矩陣

的全部特征值為

(2)設(shè)與它的轉(zhuǎn)置矩陣

階矩陣

有相性質(zhì)3

(1)的特征值，

(3)若為方陣

為相應(yīng)的特征向（ⅱ）為方陣

的特征值，相應(yīng)的特征向?yàn)榉疥?/p>

的特征值，相應(yīng)的特征向量為

；

（ⅰ）量，則，其中

量為舉例：若是的特征值，則：（1）是的特征值；（2）若，則是的特征值；若是的特征值，則是的特征值；(4)若方陣可逆，則

的全部特征值都不為零；

可逆，則

為

的特征值，(5)若方陣相應(yīng)的特征向量為.舉例：若是的特征值，則：（5）是的特征值；例5已知階方陣的特征值為,

求.

解由可知從而可逆且.

又，故令，若為方陣的特征的特征值為，則的特征值為于是為的特征值.又值，則從例3中可看出,與，與是線性無(wú)關(guān)的,是與之對(duì)應(yīng)的特征向量.若互不相同,則線性無(wú)關(guān).這絕不是偶然的.一般地,有的是方陣個(gè)特征值,定理1設(shè)簡(jiǎn)言之,方陣的不同特征值對(duì)應(yīng)的特征向量線性無(wú)關(guān).因而,例3只有兩個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量,例2卻有三個(gè)線性無(wú)關(guān)特征向量.定理2若階方陣和相似，則和和有相同的特征多項(xiàng)式，從而有相同的特征值.由定理2可得以下推論：相似，則是的個(gè)特征值（重根按階方陣與對(duì)角矩陣推論如果重?cái)?shù)計(jì)）.例5設(shè)矩陣與相似，其中求和的值.解由于的特征值為,

故的特征值也是.又的特征方程為將代入上式可得,

即的特征方程為從而的特征值為，比較特征值得.例6設(shè)矩陣，已知有一個(gè)，求參數(shù)及所對(duì)應(yīng)特征向量為的特征值.解

設(shè)對(duì)應(yīng)的特征值為，則有,

即也即解方程組得.二、實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化一定能對(duì)角化，并且其特征值和特征向量具有階方陣在上一部分我們看到，任意的為實(shí)對(duì)稱矩陣，則不一定可對(duì)角化.然而，若許多特殊的性質(zhì).若，則稱A為對(duì)稱矩陣，對(duì)任意矩陣A，

與總是對(duì)稱矩陣.定理3

若為階實(shí)對(duì)稱矩陣，

則(1)的特征值都是實(shí)數(shù)；的對(duì)應(yīng)于不同特征值的特征向量是正交的；(2)，使得(3)存在正交矩陣其中是的個(gè)特征值，是特征值對(duì)應(yīng)的單位正交的特征向量.例2

已知實(shí)對(duì)稱矩陣試求正交矩陣,使得.

解

(1)特征多項(xiàng)式為得特征值(2)當(dāng)時(shí)，求解齊次線性方程組.由于得特征向量為，當(dāng)時(shí)，求解齊次線性方程組由于得特征向量為當(dāng)時(shí)，求解齊次線性方程組由于得特征向量為特征向量為將其單位化得得特征向量為將其單位化得得特征向量為將其單位化得令則為正交矩陣，使得例3

已知實(shí)對(duì)稱矩陣試求正交矩陣,使得解

(1)由矩陣特征方程得特征值(2)當(dāng)時(shí)，求解齊次線性方程組.由于解得特征向量為當(dāng)時(shí)，求解齊次線性方程組.由于解得特征向量為.

特征向量為單位化得特征向量為，且.單位化令則為正交矩陣，注意：當(dāng)時(shí)，解齊次線性方程組

也可得到另一基礎(chǔ)解系但不正交（即），此時(shí)需將正交規(guī)范化.取再將單位化得

取正交矩陣取正交矩陣則也有線性代數(shù)第四章

相似矩陣與二次型

第一節(jié)

方陣的特征值與特征向量

第二節(jié)

方陣的對(duì)角化

第三節(jié)

二次型的概念

第四節(jié)

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形

第五節(jié)

正定二次型

第六節(jié)

應(yīng)用實(shí)例

第七節(jié)

MATLAB實(shí)驗(yàn)四

第一節(jié)

方陣的特征值與特征向量一、相似矩陣

矩陣相似、相似變換、相似變換矩陣、相似變換的性質(zhì)（自反性，對(duì)稱性，傳遞性），方陣A可對(duì)角化，兩個(gè)矩陣相似的性質(zhì)（秩、行列式等）二、特征值與特征向量

特征值和特征向量的定義，特征多項(xiàng)式和特征方程的定義，矩陣特征值和特征向量的性質(zhì)第二節(jié)

方陣的對(duì)角化一、一般矩陣的對(duì)角化

可對(duì)角化的判定、對(duì)角化的步驟二、實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化

對(duì)角化的步驟第三節(jié)

二次型的概念

二次型的定義，二次型對(duì)應(yīng)的矩陣，二次型的秩，二次型的標(biāo)椎型和規(guī)范型第四節(jié)

化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形