《線性代數(shù)及其應(yīng)用》 課件全套 李庶民 第1-4章 線性方程組與矩陣-相似矩陣及二次型

求解線性方程組例1解線性方程組對應(yīng)的增廣矩陣一、矩陣的初等變換交換方程組的第一個方程和第二個方程對應(yīng)的增廣矩陣正好是交換第一行和第二行1把方程組的第一個方程乘以-2加到第二個方程和第三個方程上對應(yīng)的增廣矩陣正好是把第一行的每個元素乘以

-2分別加到第二行、第三行對應(yīng)位置的元素上2第二個方程乘以-1加到第三個方程上，第三個方程乘以-1對應(yīng)的增廣矩陣正好是把第二行的每個元素乘以-1加到第三行對應(yīng)位置的元素上，第三行每個元素乘以-13第三個方程乘以2

加到第二個方程上，第二個方程乘以

4對應(yīng)的增廣矩陣正好是把第三行的每個元素乘以2加到第二行對應(yīng)位置的元素上，第二行每個元素乘以行階梯形矩陣第三個方程乘以-1加到第一個方程上，第二個方程乘以1加到第一個方程上對應(yīng)的增廣矩陣正好是把第三行的每個元素乘以-1，第二行的每個元素乘以

1，都加到第一行對應(yīng)位置的元素上5最后一個方程組有唯一解，它和原方程組是同解方程組，所以原方程組有唯一解：

行最簡形矩陣由此可見，對矩陣實施這些變換是十分必要的，為此，我們引入如下定義：將矩陣的某一行的倍數(shù)加到另一行，用

表示將矩陣第

行的

倍加到第

行.稱為矩陣的初等行變換定義1下面三種矩陣的變換：交換矩陣的某兩行，我們用表示交換矩陣的第，兩行;矩陣的某一行乘以非零數(shù),用

表示矩陣的第

行元素乘以非零數(shù)

；(1)(2)(3)將上面定義中的“行”換成“列”（記號由“r”換成“c”，就得到了矩陣的初等列變換的定義.矩陣的初等行變換和初等列變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換.在例1中，線性方程組(3)、(4)、(5)對應(yīng)的增廣矩陣有一個共同特點，就是：可畫一條階梯線，線的下方全為零；每個臺階只有一行，臺階數(shù)就是非零行的行數(shù)；每一非零行的第一個非零元素位于上一行首元的右側(cè)，

即這樣的矩陣，我們稱為行階梯形矩陣.對于最后一個矩陣，它的非零行的第一個非零元素全為

1，并且這些非零元素所在的列的其余元素全為零，這樣的階梯形矩陣，我們稱為行最簡形矩陣.

試用矩陣的初等行變換將矩陣

先化為行階梯形矩陣，再進一步化為行最簡形矩陣.例3解行階梯形矩陣行最簡形對于行最簡形矩陣再實施初等列變換，可變成一種形狀更簡單的矩陣.

例如，將上面的行最簡形矩陣再實施初等列變換最后一個矩陣

稱為矩陣

的標準形，寫成分塊矩陣的形式，則有二、線性方程組有解的充要條件非齊次線性方程組齊次線性方程組其中增廣矩陣定理

設(shè)齊次線性方程組的系數(shù)矩陣為,則線性方程組有非零解的充分必要條件是例：求解齊次線性方程組解：對該線性方程組的系數(shù)矩陣進行初等行變換，由于，所以線性方程組有非零解.行最簡型對應(yīng)的方程組為令則原方程的解為：或定理

設(shè)

為非齊次線性方程組的系數(shù)矩陣，

表示其增廣矩陣，則非齊次線性方程組有解的充分必要條件是時,方程組有無窮多解.且當時,方程有唯一解；解方程組例解對該線性方程組的增廣矩陣實施初等行變換，從而原方程組等價于令

，移項，得原方程組的解為：，其中

為任意常數(shù)由于，所以線性方程組有無窮多解.矩陣的乘法來源于線性變換及線性方程組的矩陣表示.以線性變換為例.設(shè)有兩個線性變換將（2）式代入（1）式，得到到的線性變換線性變換(3)稱為線性變換(1)與(2)的乘積，相應(yīng)地把(3)所對應(yīng)的矩陣定義為(1)與(2)對應(yīng)的矩陣的乘積.即或（1）（2）（3）矩陣的乘法定義

設(shè),規(guī)定矩陣A與B的乘矩陣積是一個,其中矩陣的第i行是由矩陣A的第i行元素第j列元素與矩陣B的第j列相應(yīng)元素乘積之和,即并把此乘積記為

注：兩個矩陣相乘時只有當左邊矩陣的列數(shù)等于右邊矩陣的行數(shù)時，兩個矩陣才能相乘。20例1、設(shè),求AB矩陣B為A為矩陣,A的列數(shù)等于B的行數(shù)所以矩陣A,B可以相乘,乘積AB是一個矩陣,由定義得21例2、設(shè)，則有22則有例3、設(shè)23上述例子表明:(1)矩陣乘法不滿足交換律，即在一般情況下，

(2),未必有盡管矩陣滿足(3)矩陣乘法不滿足消去律:時,未必有設(shè)有線性方程組稱為該線性方程組的系數(shù)矩陣.矩陣令再根據(jù)矩陣相等的定義，該線性方程組可以用矩陣形式來表示：例425矩陣乘法滿足以下運算律：(3)分配律:(1)(2)結(jié)合律:特別簡言之,n階單位矩陣與任何n階方陣都是可交換的.分別為m階和n階單位矩陣(4)A為矩陣，和則交換單位陣

的第

行和第

行，或交換第

列和第

列，得到的初等矩陣記為

.

即初等矩陣

對

階單位矩陣

實施一次初等變換得到的矩陣稱為

階初等矩陣。

由于初等變換有三種,對

階單位矩陣

實施一次初等變換得到的初等矩陣也有三種：（1）（2）將單位陣

的第

行乘以

加到第

行（或?qū)挝魂?/p>

的第

列乘以

加到第

列）得到的初等矩陣記為.即

用非零的數(shù)

乘單位陣

的第

行或第

列得到的初等矩陣記為

.

即（3）初等矩陣有下列基本性質(zhì):設(shè)

是一個

矩陣，對

施行一次初等行變換，相當于在

的左邊乘以相應(yīng)的

階初等矩陣；對

施行一次初等列變換，相當于在

的右邊乘以相應(yīng)的

階初等矩陣.定理：例而則即用左乘相當于交換矩陣的第1與第2行設(shè)有矩陣又即用右乘2加于第1列.相當于將矩陣的第3列乘逆矩陣的計算定理：以下命題相互等價：

(1)階方陣可逆；

(2)方陣行等價于階單位矩陣；

(3)方陣可表示為若干個初等矩陣的乘積.若可逆，則存在一系列初等矩陣使得兩邊右乘得第一個等式表明，對進行一系列初等行變換后可將其化為單位矩陣；第二個等式表明，對單位矩陣作同樣的初等行變換后可將其化為，于是構(gòu)造出利用初等行變換求逆矩陣的方法如下：(1)構(gòu)造矩陣；(2)對矩陣實施初等行變換，將左半部分矩陣化為單位矩陣時，則右半部分矩陣就是.即初等行變換例1設(shè)

,證明可逆，并求

.

........................解:因為

,故可逆,且

.

利用初等行變換求逆矩陣的方法，還可用于求矩陣

.

即初等行變換例２已知矩陣方程，求矩陣

.

解：設(shè)

，由

,若

可逆，則

.所以......................利用逆矩陣還可以求得矩陣方程

和，若下面介紹用逆矩陣求解線性方程組的方法：設(shè)有線性方程組（1）矩陣

可逆，則有37記則方程組

可寫成系數(shù)矩陣未知向量常數(shù)向量方程組

的解是方程組的解(2)構(gòu)成的向量,又稱解向量.(1)(2)(1)38是方程組的一個解.即當

可逆，用左乘式,可得

.

例3、解方程組的解.

解：39

可逆且于是即例4

將矩陣表示成有限個初等方陣的乘積.因此經(jīng)次初等行變換：

解:化成3階單位矩陣，它們所對應(yīng)的初等方陣為:由初等方陣的性質(zhì)得可作如下驗證：線性代數(shù)第一節(jié)

線性方程組

第二節(jié)

矩陣與向量第三節(jié)

矩陣與向量的基本運算第四節(jié)

方陣的逆矩陣*第五節(jié)

分塊矩陣第六節(jié)

應(yīng)用實例第七節(jié)MATLAB實驗一第一章

線性方程組與矩陣第一節(jié)

線性方程組

一、線性方程組的概念與實例線性方程組、齊次線性方程組、方程組的解、齊次線性方程組的平凡解二、高斯消元法和初等變換高斯消元法、線性方程組的初等變換

第二節(jié)

矩陣與向量一、矩陣與向量的實例和概念

矩陣的概念（元素、實矩陣、復(fù)矩陣、共軛矩陣、n階方陣、行矩陣、列矩陣）向量的概念（行向量、列向量、向量的維數(shù)）線性方程組的增廣矩陣、零矩陣、上三角矩陣、下三角矩陣、對角矩陣二、矩陣的初等變換行初等變換、列初等變換、矩陣的等價關(guān)系、行階梯形矩陣、行最簡形矩陣、標準矩陣

矩陣的秩、線性方程組解的情況（系數(shù)矩陣與增廣矩陣秩的關(guān)系）第三節(jié)

矩陣與向量的基本運算一、矩陣與向量的線性運算二、矩陣的乘法矩陣的加法與運算律（交換律、結(jié)合律、零矩陣、矩陣的減法），矩陣的數(shù)乘運算與運算律，矩陣和向量的線性運算矩陣的乘法運算與運算律，矩陣的轉(zhuǎn)置運算和性質(zhì)，方陣的冪運算第四節(jié)

方陣的逆矩陣一、方陣的逆矩陣二、初等矩陣與初等變換矩陣可逆的定義，可逆矩陣的性質(zhì)初等矩陣的定義、初等矩陣與初等變換的關(guān)系，初等矩陣和初等變換給出一個方陣可逆的判別條件，求可逆矩陣的方法*第五節(jié)

分塊矩陣一、分塊矩陣及其線性運算二、分塊矩陣的乘法運算和轉(zhuǎn)置運算三、分塊對角矩陣矩陣分塊的方法，分塊矩陣的加減法運算，分塊矩陣的數(shù)乘運算分塊矩陣能進行“形式”乘法的條件，第六節(jié)

應(yīng)用實例一、線性規(guī)劃模型的矩陣表示二、投入產(chǎn)出模型三、營養(yǎng)減肥食譜第七節(jié)

MATLAB實驗一第二章

方陣的行列式第一節(jié)

行列式的概念一、二階與三階行列式例1

用消元法解二元線性方程組解消去未知數(shù)得消去得當時,求得方程組的解為

1.二階行列式定義1設(shè)二階方陣稱表達式為二階方陣的(二階)行列式.記為或?qū)蔷€法:例1用消元法解二元線性方程組若記則其中,分母稱為二元線性方程組的系數(shù)行列式.是把的第列的元素用常數(shù)項代替后得到的行列式.例2求解下列二元線性方程組(1)解故(1)(2)解當即且時，方程組的解為例2求解下列二元線性方程組(1)(2)當即或時，若方程組化為即方程組的解為為任意常數(shù)；若方程組化為即得此為矛盾方程,故原方程組無解.例2求解下列二元線性方程組(1)(2)(2)解2.三階行列式定義2設(shè)有三階方陣定義的三階行列式為令為從中劃去元素所在的第行第列元素后,其他元素位置關(guān)系不變所形成的二階行列式,稱為元素的余子式.又令稱為元素的代數(shù)余子式.則即三階行列式的值等于它的第一行的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和.例3計算三階行列式解三階行列式的對角線展開法:例33.二、三階行列式的幾何意義二階行列式的幾何意義是：行列式的絕對值，等于平面上以向量為鄰邊的平行四邊形的面積.因為得因此準確地說,二階行列式是平面上以向量為鄰邊的平行四邊形的有向面積.3.二、三階行列式的幾何意義二階行列式的幾何意義是：行列式的絕對值，等于平面上以向量為鄰邊的平行四邊形的面積.類似地,三階行列式就是三個向量在空間上張成的平行六面體的有向體積.當構(gòu)成右手系時,體積取正值，當構(gòu)成左手系時,體積取負值.二、階行列式定義3階方陣的行列式(稱為階行列式)定義為其中，這里為中劃去元素所在的第行第列元素后，余下元素按原位置關(guān)系所形成的階行列式.一般地，用表示中劃去元素所在的元素第行第列元素后，余下元素按原位置關(guān)系所形成的階行列式，稱為元素的余子式，稱為元素的代數(shù)余子式.定義3表明，階行列式的值等于它的第一行的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式的乘積之和，也形象地稱之為行列式按第一行展開.注意：（1）一階行列式記為（2）行列式右下方寫一個數(shù)字,是為了強調(diào)行列式的階數(shù).如或時，階行列式的展開式中共有項，不同行不同列的個元素之積，且?guī)д撎柕捻椄髡家话?每項都是例4

計算階對角行列式的值，其中省略未寫出的元素均為0.解即：（上）下三角行列式及對角行列式的值都等于其主對角線上元素的乘積.例5計算階行列式的值，它的特點是除右上角到左下角的副對角線上的元素外，其余元素全為零.解用遞推法求之.根據(jù)定義，有即例5計算階行列式的值，解依次遞推可得所以例5計算階行列式的值，第二節(jié)

行列式的性質(zhì)與計算一、行列式的展開與轉(zhuǎn)置行列式定理1設(shè)有階行列式則定理1證明用數(shù)學(xué)歸納法(1)當時，結(jié)論顯然正確.(2)設(shè)對于階行列式，結(jié)論是正確的.(3)對于階行列式，定理1證明(3)對于階行列式，證明把含有的組合在一起，并提出后有(3)對于階行列式，把含有的組合在一起，并提出后有而按第一行展開即為上式方括號里的各項之和.把含有的組合在一起，并提出后有即含有的合并在一起之后為同理，含有的合并在一起之后為含有的合并在一起之后為即證明(3)對于階行列式，定理1定理2同時也有階行列式可定義為按任何一行或任何一列展開（而不是只能按第一行展開）.例1計算行列式解將行列式先按第三行展開，將上式再按第三列展開得在行列式中，行和列的地位是相同的記方陣的行列式為將轉(zhuǎn)置矩陣的行列式稱為行列式的轉(zhuǎn)置行列式，記為定理3行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即證明用數(shù)學(xué)歸納法.(1)對2階行列式，結(jié)論顯然成立；(2)假設(shè)對階行列式，結(jié)論正確.記中的代數(shù)余子式為則中，元素的代數(shù)余子式為由定義定理3行列式和它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即例2計算階上三角行列式的值.解由定理3知為下三角行列式，由上節(jié)例4知故

因此，上(下)三角行列式及對角行列式的值都等于其主對角線上元素的乘積.例2計算階上三角行列式的值.解由定理3知為下三角行列式，由上節(jié)例4知故

例2二、行列式的初等變換性質(zhì)1.行列式的初等變換由例2可見，上三角行列式可直接等于主對角線上元素的乘積，由于此形狀對應(yīng)的矩陣(也稱為上三角矩陣)是階梯形矩陣，而任何一個階方陣均可以經(jīng)初等變換化為上三角矩陣，所以也可以將一個行列式用初等變換化為上三角行列式而求出其值.例2二、行列式的初等變換性質(zhì)1.行列式的初等變換性質(zhì)1互換行列式的兩行（列），行列式的值變號.性質(zhì)1互換行列式的兩行（列），行列式的值變號.證明對行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.(1)當時，結(jié)論顯然成立.(2)假設(shè)對于階行列式，結(jié)論是正確的.性質(zhì)1互換行列式的兩行（列），行列式的值變號.(3)對于階行列式假設(shè)互換其第行和第行得行列式將按第行展開得其中，分別表示中元素的代數(shù)余子式.且從而證明對行列式的階數(shù)用數(shù)學(xué)歸納法.性質(zhì)1互換行列式的兩行（列），行列式的值變號.推論1若行列式有兩行（列）完全相同，則行列式的值為零.性質(zhì)2行列式某行（列）的所有元素都乘以數(shù)等于用數(shù)乘以此行列式.證明

推論2若行列式中有一行（列）的元素全為零，則行列式的值為零.推論3若行列式中有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例，則行列式的值為零.性質(zhì)1互換行列式的兩行（列），行列式的值變號.推論1若行列式有兩行（列）完全相同，則行列式的值為零.性質(zhì)2行列式某行（列）的所有元素都乘以數(shù)等于用數(shù)乘以此行列式.推論4設(shè)是階方陣，為任一實數(shù)，則性質(zhì)1互換行列式的兩行（列），行列式的值變號.推論1若行列式有兩行（列）完全相同，則行列式的值為零.性質(zhì)2行列式某行（列）的所有元素都乘以數(shù)等于用數(shù)乘以此行列式.性質(zhì)3若行列式的第行（列）的每個元素都可以寫成兩個數(shù)之和，則該行列式可以表示為兩個行列式之和，且這兩個行列式除第行(列)外，其余行（列）與原行列式對應(yīng)行（列）相同，例如證明將行列式按第行展開，得例3計算行列式解由性質(zhì)3，有性質(zhì)4行列式某行（列）的倍加到另一行（列），則行列式的值不變.證明設(shè)將中第行的倍加到第行得推論5階行列式中某一行（列）的各元素與另一行（列）對立元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即證明性質(zhì)4行列式某行（列）的倍加到另一行（列），則行列式的值不變.證明將右邊的行列式按第行展開，得從而證明性質(zhì)4行列式某行（列）的倍加到另一行（列），則行列式的值不變.推論5階行列式中某一行（列）的各元素與另一行（列）對立元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即行列式的代數(shù)余子式性質(zhì)：性質(zhì)4行列式某行（列）的倍加到另一行（列），則行列式的值不變.推論5階行列式中某一行（列）的各元素與另一行（列）對立元素的代數(shù)余子式的乘積之和等于零，即總結(jié)：（1）若將行列式的任意兩行(列)互換得到行列式則（2）若將行列式的某一行(列)所有元素乘以得到行列式則（3）若將行列式中某一行(列)的倍加到另一行(列)得到行列式則推論6階方陣的秩的充要條件是證明因為任何一個階方陣都可以經(jīng)過若干次初等變換化為對角矩陣注意到初等變換并改變行列式為零或者不為零這一事實.若則均不為零，即從而有若則有即均不為零，從而2.行列式的初等變換的幾何意義（1）若互換兩行得設(shè)對應(yīng)的平行四邊形如圖2-5，則對應(yīng)的平行四邊形如圖2-6，圖2-5圖2-6其中圖2-5的平行四邊形是由向量沿逆時針方向轉(zhuǎn)到而得，圖2-6的平行四邊形是由向量沿順時針方向轉(zhuǎn)到而得，從而圖2-52.行列式的初等變換的幾何意義(2)若其中的某一行（不妨假設(shè)是第一行）所有元素乘以得則對應(yīng)的平行四邊形如圖2-7，這個平行四邊形與所對應(yīng)的平行四邊形的高相同，而底邊變?yōu)樵瓉淼谋?，所以圖2-7圖2-52.行列式的初等變換的幾何意義(3)若第一行的倍加到第二行，得則對應(yīng)的平行四邊形如圖2-8的陰影區(qū)域，圖2-8這個平行四邊形與所對應(yīng)的平行四邊形的底是相同的,高也是相同的，故三、行列式的計算舉例例4

計算行列式

解

例5計算行列式解

例6

計算階行列式解將第行元素都加到第行上，得例7

計算階行列式解按第列展開，即得例8

計算階行列式解按第1行展開，有即解逐次遞推，可得而故例8

計算階行列式例9

證明階范德蒙德(Vandermonde)行列式其中的連乘積是指所有滿足條件的因子的乘積，即證明用數(shù)學(xué)歸納法.當時，結(jié)論成立.假設(shè)階范德蒙德行列式則對階范德蒙德行列式從第行起，依次用上一行的倍加到該行，得證明證明由歸納假設(shè)可得證明利用互換兩行及某一行的倍加到另一行上去，將化為上三角矩陣，設(shè)則其中分別為中互換兩行的次數(shù).將化為上三角矩陣的方法，依次用到上，則有四、分塊矩陣的行列式性質(zhì)定理4設(shè)記則四、分塊矩陣的行列式性質(zhì)定理4設(shè)記則證明于是則其中分別為中互換兩行的次數(shù).將化為上三角矩陣的方法，依次用到上，則有推論7設(shè)有分塊對角矩陣其中均為方陣，省略未寫出的子塊均為零矩陣，則四、分塊矩陣的行列式性質(zhì)定理4設(shè)記則例10設(shè)求解記則由推論7，定理5設(shè)與都是階方陣，則證明構(gòu)造階行列式則設(shè)即下面對依次作下列初等變換：（1）則第一行的元素變成：（2）則第二行的元素變成：（1）則第一行的元素變成：（2）則第二行的元素變成：則第行的元素變成：此時（1）則第一行的元素變成：（2）則第二行的元素變成：則第行的元素變成：此時再依次作初等變換得所以推論：因此，兩個同階方陣和相乘，不一定相等，即但它們?nèi)×诵辛惺娇偸窍嗟鹊?例如：則即但定理5設(shè)與都是階方陣，則第三節(jié)

行列式的應(yīng)用一、克拉默(Cramer)法則定理1(克拉默法則)如果線性方程組的系數(shù)矩陣的行列式(稱為系數(shù)行列式)那么方程組（9）有唯一解，（9）并且其中是將系數(shù)行列式中的第列換成所成的行列式，例如，（9）(克拉默法則)定理1若則方程組有唯一解（9）證明記其中記則線性方程組（9）可表示為證明記即（9）(克拉默法則)定理1若則方程組有唯一解（9）證明同理可得（9）(克拉默法則)定理1若則方程組有唯一解（9）即證明同理可得即方程組有唯一解（9）（9）(克拉默法則)定理1若則方程組有唯一解（9）例1求解線性方程組解系數(shù)行列式且且解系數(shù)行列式例1求解線性方程組且解系數(shù)行列式故方程組有唯一解例1求解線性方程組齊次線性方程組（10）總有零解但不一定有非零解.定理2齊次線性方程組(10)有非零解的充要條件是系數(shù)行列式例2當取何值時，齊次線性方程組有非零解.解方程組有非零解的充要條件是故當或時有非零解.例3若已知一元次多項式試證方程至多只有個不同的根.證明反證法.設(shè)是方程的個將上式看作關(guān)于的齊次線性方程組，不同的根，即有其系數(shù)行列式例3若已知一元次多項式試證方程至多只有個不同的根.證明反證法.設(shè)是方程的個將上式看作關(guān)于的齊次線性方程組，不同的根，即有是階范德蒙德行列式的轉(zhuǎn)置行列式，其值為于是方程組只有零解，其系數(shù)行列式例3若已知一元次多項式試證方程至多只有個不同的根.證明反證法.設(shè)是方程的個不同的根，即有即矛盾.故至多只有個不同的根.例3若已知一元次多項式試證方程至多只有個不同的根.證明反證法.設(shè)是方程的個不同的根，即有二、伴隨矩陣與逆矩陣公式定義1設(shè)是元素的代數(shù)余子式，稱為的伴隨矩陣.例4

已知試求解由代數(shù)余子式得矩陣的伴隨矩陣定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而定理3

設(shè)則證明因為：從而同理也有定理4

設(shè)則可逆的充要條件是證明必要性：若可逆，即存在，則從而故充分性：若由定理3，有若可逆，則二階矩陣若則有若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則知例5

設(shè)求解故可逆.又由代數(shù)余子式若可逆，則例6設(shè)可逆，證明（1）（2）證明（1）因若可逆，則有即同時也有即從而（2）因從而三、矩陣的秩定義2階矩陣中任取行列，位于這行列交叉點上的元素按原位置次序構(gòu)成的階行列式，稱為矩陣的一個階子式.如：二階子式：如：二階子式：等如：三階子式：三階子式：等如：如：四階子式：四階子式：等如：定義3矩陣中階數(shù)最高的非零子式稱為的最高階非零子式.如：一階子式二階子式三階子式即為階數(shù)最高的非零子式。定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).證明設(shè)的最高階非零子式的階數(shù)為的最高階非零子式的階數(shù)為記為的一個最高階非零子式，下面對作一次初等行變換化為矩陣我們來證明（1）若經(jīng)過得到這時或者是的一個階非零子式，或者是經(jīng)過互換兩行后成為的一個階非零子式，故（2）若經(jīng)過得到當不含有的第行時，為矩陣的一個階非零子式；當含有第行時，則為的一個階非零子式，即也有定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).證明設(shè)的最高階非零子式的階數(shù)為的最高階非零子式的階數(shù)為記為的一個最高階非零子式，下面對作一次初等行變換化為矩陣我們來證明定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).證明（3）若經(jīng)過得到即（i）若不含有的第行，則仍為的一個階非零子式，此時定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).證明（ii）若含有的第行，也含有第行，由行列式的性質(zhì)知，中與相同位置對應(yīng)元素形成的階子式不為零，此時（3）若經(jīng)過得到即定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).（iii）若含有的第行，不含有第行，記中與相同位置對應(yīng)元素形成的階子式為即證明（3）若經(jīng)過得到即如果則得為的一個階非零子式，從而如果可將進行適當?shù)男薪粨Q后使其成為的一個不含第行元素的階非零子式，亦是的一個階非零子式，綜上所述，綜上所述，定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)證明設(shè)的最高階非零子式的階數(shù)為的最高階非零子式的階數(shù)為記為的一個最高階非零子式，下面對作一次初等行變換化為矩陣我們來證明等于的最高階非零子式的階數(shù).因為矩陣也可以經(jīng)過一個初等行變換化為故也有從而有的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).對初等列變換同理也可以得到相應(yīng)結(jié)論.定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)證明設(shè)的最高階非零子式的階數(shù)為的最高階非零子式的階數(shù)為記為的一個最高階非零子式，下面對作一次初等行變換化為矩陣我們來證明等于的最高階非零子式的階數(shù).矩陣有限次初等變換階梯形矩陣矩陣的最高階非零子式的階數(shù)就是矩陣的秩.的最高階非零子式的階數(shù)=階梯形矩陣非零行的行數(shù)定理5設(shè)矩陣經(jīng)一次初等變換化為矩陣則的最高階非零子式的階數(shù)等于的最高階非零子式的階數(shù).例7考慮矩陣三階子式分別是二階子式以上的4個三階子式均為零，從而例8求矩陣的秩，其中解假設(shè)中最高階非零子式是則是中的最高階非零子式.因此定理6定理7設(shè)均為可逆矩陣，則相當于對實施了一系列初等行變換；相當于對實施了一系列初等列變換。第四節(jié)

應(yīng)用實例一、矩陣密碼問題信息“GIVEMONEY”的編碼是7,9,22,5,13,15,14,5,25，如果一個矩陣的元素均為整數(shù)，而且其行列式那么由即知，的元素均為整數(shù).取明文“GIVEMONEY”對應(yīng)的9個數(shù)值按3列被排成以下的矩陣矩陣乘積對應(yīng)著將發(fā)出去的密文編碼：47,125,85,46,120,79,49,128,93合法用戶用去左乘上述矩陣即可解密得到明文.二、聯(lián)合收入問題已知三家公司X,Y,Z具有下圖所示的股份關(guān)系，即X公司掌握Z公司50%的股份，Z公司掌握X公司30%的股份，而X公司70%的股份不受另兩家公司控制等等.現(xiàn)設(shè)X,Y和Z公司各自的營業(yè)凈收入分別是12萬元、10萬元、8萬元，每家公司的聯(lián)合收入是其凈收入加上在其他公司的股份按比例的提成收入，實際收入為聯(lián)合收入減去其他公司的股份提成.試確定各公司的聯(lián)合收入及實際收入.設(shè)X、Y、Z三公司的聯(lián)合收入分別為則其實際收入故得線性方程組故得線性方程組因系數(shù)行列式故由克拉默法則知，此方程組有唯一解，于是X公司的聯(lián)合收入為實際收入為Y公司的聯(lián)合收入為實際收入為Z公司的聯(lián)合收入為實際收入為第三章線性相關(guān)與線性無關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān)是線性相關(guān)還是線性無關(guān)的判斷向量組顯然即線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè)有數(shù)的線性相關(guān)性.討論解：其系數(shù)矩陣經(jīng)過一系列的初等行變換線性相關(guān)與線性無關(guān)所以向量組線性相關(guān)線性相關(guān)與線性無關(guān)m個n維向量組是否相關(guān)<=>解齊次線性方程組<=>系數(shù)矩陣做初等行變換{有非零解，線性相關(guān)只有唯一零解（即零解），線性無關(guān)討論的線性相關(guān)性.線性相關(guān)與線性無關(guān)m個n維向量組是否相關(guān)<=>解齊次線性方程組<=>系數(shù)矩陣做初等行變換{有非零解，線性相關(guān)只有唯一零解（即零解），線性無關(guān)討論的線性相關(guān)性.線性相關(guān)與線性無關(guān)向量組線性相關(guān)性的判定解齊次線性方程組<=>系數(shù)矩陣做初等行變換向量組秩的概念、性質(zhì)及求法

從中剔除多余向量直至剩余組線性無關(guān)

向量組定義

設(shè)有向量組A,如果向量組A中存在r個向量,且滿足（1）向量組線性無關(guān);（2）向量組A中任何向量都可由向量組線性表示，則稱向量組是向量組A的一個最大線性無關(guān)組,簡稱極大無關(guān)組（最大無關(guān)組）.極大無關(guān)組中所含向量個數(shù)秩向量組秩的概念、性質(zhì)及求法向量組

線性相關(guān)

兩兩線性無關(guān)向量組

的極大無關(guān)組可以是：極大無關(guān)組不唯一極大無關(guān)組所含向量個數(shù)唯一向量組的秩：的極大無關(guān)組中所含向量個數(shù)向量組秩的概念、性質(zhì)及求法2、等價的向量組有相同的秩.3、一個向量組線性無關(guān)的充分必要條件是它的秩等于它所含向量的個數(shù).向量組秩的性質(zhì)：1、向量組可由向量組線性表示，則.向量組秩的概念、性質(zhì)及求法例子向量組秩的概念、性質(zhì)及求法向量組秩的概念、性質(zhì)及求法線性相關(guān)性相同是向量組的極大無關(guān)組表示系數(shù)是如何求得的？向量組秩的概念、性質(zhì)及求法向量組秩的概念、性質(zhì)及求法檢驗例子1：已知向量組是所給向量組的一個極大無關(guān)組.向量組秩的概念、性質(zhì)及求法檢驗例子2：已知向量組是所給向量組的一個極大無關(guān)組.Thankyou!向量組的極大無關(guān)組一組人：4個英國人，3個德國人，5個美國人英1英2英3英4德1德2德3美1美2美3美4美5研究整組人的特性，選3人即可（1個英國人，1個德國人，1個美國人）選2人，信息不足；選4人，信息冗余.代表特點：1彼此無關(guān),且取法不唯一；2其他人都與代表有關(guān)向量組的極大無關(guān)組即，若n維向量組的極大無關(guān)組B為向量組的極大無關(guān)組而任意三個向量都線性相關(guān)，原因是以它們?yōu)榱袠?gòu)成矩陣的行列式均為0(即對應(yīng)的齊次線性方程組有非零解，【上節(jié)講授的向量組的相關(guān)】).(向量組的極大無關(guān)組不唯一，但所含向量個數(shù)相同)于是，向量組A的極大線性無關(guān)組含兩個向量，至于是哪兩個向量，結(jié)果卻不唯一.向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組向量組的極大無關(guān)組求給定向量組的極大無關(guān)組,及把其余向量用極大無關(guān)組表示，就是求解的過程矩陣作初等行變換（即可化簡方程組），求解非齊次線性方程組的過程.例2求下列向量組的一個極大無關(guān)組，并把其余向量用極大無關(guān)組線性表出.向量組的極大無關(guān)組將這些列向量構(gòu)造成矩陣,并做初等行變換，化成行最簡形例2求下列向量組的一個極大無關(guān)組，并把其余向量用極大無關(guān)組線性表出.向量組的極大無關(guān)組對A的列向量組實施行初等變換得到行最簡形式=B從B中可以得到：的一個極大無關(guān)組.是向量組向量組的極大無關(guān)組對A的列向量組實施行初等變換得到行最簡形式=B小結(jié)：極大無關(guān)組的特點：（3）極大無關(guān)組不唯一的向量空間的概念、向量的結(jié)構(gòu)化表示如果向量時，有（對加法封閉）；如果向量時，有（對數(shù)乘封閉）.封閉定義1設(shè)是維向量的非空集合，稱為向量空間是向量空間向量空間的概念、向量的結(jié)構(gòu)化表示不封閉不是向量空間向量空間的概念、向量的結(jié)構(gòu)化表示n維向量的全體構(gòu)成向量空間n元齊次線性方程組的解集構(gòu)成向量空間例如向量空間的概念、向量的結(jié)構(gòu)化表示n元非齊次線性方程組的解集不構(gòu)成向量空間例如向量空間的概念、向量的結(jié)構(gòu)化表示定義2向量空間V中的r個向量若滿足（1）線性無關(guān)；（2）V中的任一向量都能被線性表出則稱為向量空間V的一組基，r稱為V的維數(shù),記為div(V)=r，此時也稱V為r維的向量空間.注：只含零向量的向量空間沒有基，其維數(shù)為0.向量空間的概念、向量的結(jié)構(gòu)化表示例如，向量組就是n維向量空間的一組基.向量空間的概念、向量的結(jié)構(gòu)化表示例1已知向量

驗證向量組是的基，把用向量組線性表出.線性無關(guān)解方程向量空間的概念、向量的結(jié)構(gòu)化表示向量空間的概念、向量的結(jié)構(gòu)化表示求解齊次線性方程組例2的通解.向量空間的概念、向量的結(jié)構(gòu)化表示向量空間的概念、向量的結(jié)構(gòu)化表示解集構(gòu)成了中的二維子空間向量組的正交性-正交化-正交基-正交矩陣-正交變換

定義1如果，稱與正交.兩兩相互正交的非零向量組稱為正交向量組，簡稱為正交組;若正交組中每個向量都是單位向量，則稱為單位正交向量組，簡稱單位正交組.定理1正交向量組必線性無關(guān).線性無關(guān)的向量組可正交化.（施密特正交化方法）向量組的正交性-正交化-正交基-正交矩陣-正交變換（施密特正交化方法）：幾何意義向量組的正交性-正交化-正交基-正交矩陣-正交變換（施密特正交化方法）：幾何意義向量組的正交性-正交化-正交基-正交矩陣-正交變換（施密特正交化公式）：線性無關(guān)正交化向量組的正交性-正交化-正交基-正交矩陣-正交變換（規(guī)范正交向量組）向量組的正交性-正交化-正交基-正交矩陣-正交變換向量組的正交性-正交化-正交基-正交矩陣-正交變換三維向量空間的規(guī)范正交基向量組的正交性-正交化-正交基-正交矩陣-正交變換向量組的正交性-正交化-正交基-正交矩陣-正交變換例如向量組的正交性-正交化-正交基-正交矩陣-正交變換保向量的長度，旋轉(zhuǎn)向量組的正交性-正交化-正交基-正交矩陣-正交變換正交變換使向量保長度地旋轉(zhuǎn)第三章

線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第四節(jié)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

一、齊次線性方程組的解空間

一、齊次線性方程組形如的方程組叫做齊次線性方程組.為未知數(shù).為系數(shù)，其中注意：未知數(shù)的次數(shù)均為一次；①和可以相等，也可以不相等；②每一個方程的右端均為數(shù)字0.③

一、齊次線性方程組形如若記則方程組(1)可寫為向量方程的方程組叫做齊次線性方程組.為未知數(shù).為系數(shù)，其中向量方程(2)的解稱為方程組(1)的解向量.方程組的全體解向量集合，稱為方程組的解集.

一、齊次線性方程組二、齊次線性方程組解的判定定理推論僅有零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩設(shè)元齊次線性方程組定理有非零解的充要條件是系數(shù)矩陣的秩設(shè)元齊次線性方程組對于齊次線性方程組，若方程的個數(shù)小于未知量的個數(shù)，則方程組有非零解.對于齊次線性方程組，若方程的個數(shù)等于未知量的個數(shù)，則方程組有非零解的充分必要條件是三、齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè)有齊次線性方程組1.若為方程組的解,則也是該方程組的解.證為方程組的解為方程組的解,證畢.2.若為方程組的解,為實數(shù),則也是該方程組的解.設(shè)有齊次線性方程組1.若為方程組的解,則也是該方程組的解.2.若為方程組的解,為實數(shù),則也是該方程組的解.三、齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè)有齊次線性方程組1.若為方程組的解,則也是該方程組的解.2.若為方程組的解,為實數(shù),則也是該方程組的解.證為方程組的解為方程組的解,證畢.三、齊次線性方程組解的性質(zhì)注:則它就有無窮多個解.齊次線性方程組若有非零解,設(shè)有齊次線性方程組1.若為方程組的解,則也是該方程組的解.2.若為方程組的解,為實數(shù),則也是該方程組的解.三、齊次線性方程組解的性質(zhì)注:則它就有無窮多個解.齊次線性方程組若有非零解,設(shè)有齊次線性方程組1.若為方程組的解,則也是該方程組的解.2.若為方程組的解,為實數(shù),則也是該方程組的解.3.若為方程組的解,注:則它就有無窮多個解.齊次線性方程組若有非零解,為實數(shù),則線性組合也是方程組的解.三、齊次線性方程組解的性質(zhì)四、基礎(chǔ)解系的定義定義線性無關(guān);注:的任意一個解都可由線性表示.礎(chǔ)解系,其中為任意常數(shù).的通解可表示為則如果是齊次線性方程組的基滿足:若齊次線性方程組的有限個解則稱的一個基礎(chǔ)解系.是方程組四、基礎(chǔ)解系的定義定義線性無關(guān);的任意一個解都可由線性表示.滿足:若齊次線性方程組的有限個解則稱的一個基礎(chǔ)解系.是方程組四、基礎(chǔ)解系的定義定義線性無關(guān);的任意一個解都可由線性表示.滿足:若齊次線性方程組的有限個解則稱的一個基礎(chǔ)解系.是方程組方程組的基礎(chǔ)解系也不是唯一的.方程組的解集的極大無關(guān)組不是唯一的.方程組的一個基礎(chǔ)解系即為其解集一個極大無關(guān)組.例解下列齊次線性方程組,并求出方程組的一個基礎(chǔ)解系.解對此方程組的系數(shù)矩陣作如下初等行變換:由于,所以該齊次線性方程組有非零解行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為：行最簡形矩陣非零行的非零首元在第1列和第2列，所以選取為自由未知量，并令即將自由未知量移至等號右端，有其中為任意常數(shù)行最簡形矩陣對應(yīng)的方程組為：行最簡形矩陣非零行的非零首元在第1列和第2列，所以選取為自由未知量，并令即其中為任意常數(shù)所以其中為任意常數(shù)因此基礎(chǔ)解系為第三章

線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第四節(jié)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

一、齊次線性方程組的解空間

一、非齊次線性方程組形如的方程組叫做非齊次線性方程組.為未知數(shù).為系數(shù)，其中為常數(shù)，注意：未知數(shù)的次數(shù)均為一次；①和可以相等，也可以不相等；②每一個方程右端的不全為零.③

一、非齊次線性方程組形如若記則方程組(1)可寫為向量方程的方程組叫做非齊次線性方程組.為未知數(shù).為系數(shù)，其中為常數(shù)，向量方程(2)的解稱為方程組(1)的解向量.方程組的全體解向量集合，稱為方程組的解集.

一、非齊次線性方程組二、非齊次線性方程組解的判定定理定理設(shè)元非齊次線性方程組

有解的充要條件是的秩,廣矩陣即的秩等于增系數(shù)矩陣有解無解唯一解無窮多解三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè)有非齊次線性方程組其對應(yīng)的齊次線性方程組1.若是非齊次線性方程組的解,則為對應(yīng)齊次線性方程組的解.證證畢.即

的解.為對應(yīng)齊次線性方程組

的解.2.設(shè)是非齊次線性方程組的解,是方程組則應(yīng)齊次線性方程組的解,是對三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè)有非齊次線性方程組其對應(yīng)的齊次線性方程組1.若是非齊次線性方程組的解,則為對應(yīng)齊次線性方程組的解.

的解.2.設(shè)是非齊次線性方程組的解,是方程組則應(yīng)齊次線性方程組的解,是對三、非齊次線性方程組解的性質(zhì)設(shè)有非齊次線性方程組其對應(yīng)的齊次線性方程組1.若是非齊次線性方程組的解,則為對應(yīng)齊次線性方程組的解.

的解.2.設(shè)是非齊次線性方程組的解,是方程組則應(yīng)齊次線性方程組的解,是對證即為非齊次線性方程組的解.證畢.四、非齊次線性方程組的通解定理設(shè)是非齊次線性方程組的一個解,是對應(yīng)齊次線性方程組的通解,則是的通解.注:的一個特解,設(shè)是的基礎(chǔ)解系,是則非齊次方程組的通解可表示為:,其中齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的一個特解例解下列非齊次線性方程組.解對此方程組的增廣矩陣作如下初等行變換:,所以方程組有無窮多解.由于且原方程組等價于方程組,所以方程組有無窮多解.由于且原方程組等價于方程組,所以方程組有無窮多解.由于且原方程組等價于方程組即取為自由未知量，并令則其中為任意常數(shù).則其中為任意常數(shù).則所以其中為任意常數(shù).其中為任意常數(shù).齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的一個特解所以其中為任意常數(shù).齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的一個特解所以其中為任意常數(shù).齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的一個特解對應(yīng)齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系所以其中為任意常數(shù).齊次線性方程組的通解非齊次線性方程組的一個特解令得非齊次線性方程組的一組特解:線性代數(shù)第三章

線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第一節(jié)

向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

第二節(jié)

向量組的秩

第三節(jié)

向量空間

第四節(jié)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第五節(jié)

應(yīng)用實例*第六節(jié)

線性變換

第七節(jié)

MATLAB實驗三第一節(jié)

向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)一、線性方程組的向量表示

矩陣的向量表示，線性方程組的向量表示，向量的線性組合二、向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念

向量組線性相關(guān)、無關(guān)的概念，關(guān)于向量組線性相關(guān)、無關(guān)的一些結(jié)論三、線性相關(guān)與線性無關(guān)的性質(zhì)

定理1-3，推論，相關(guān)結(jié)論第二節(jié)

向量組的秩一、向量組間的相互線性表示

向量組線性表示的定義，等價關(guān)系，向量組等價的性質(zhì)，二、向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩

極大無關(guān)組的定義，向量組之間的關(guān)系，向量的秩的定義，求向量秩的具體方法和步驟，矩陣的秩的定義（行秩、列秩）

齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)、非齊次線性方程組的解的情況分析

第三節(jié)

向量空間一、向量空間的概念線性運算及其性質(zhì)（封閉、加法、數(shù)乘），向量空間的定義，子空間二、向量空間中向量的結(jié)構(gòu)化表示向量空間的基，向量空間的維數(shù)，向量的結(jié)構(gòu)化表示三、向量組的正交性與正交矩陣

內(nèi)積的概念及性質(zhì)，向量的長度，單位向量，向量的單位化，向量正交的定義，正交向量組，施密特正交化方法，正交矩陣第四節(jié)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組的解空間

從向量空間的角度來看待齊次線性方程組的解，基礎(chǔ)解系，通解二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

求非齊次線性方程組的通解，首先要求對應(yīng)齊次線性方程組的通解，再求非齊次線性方程組的一個特解.

第五節(jié)

應(yīng)用實例一、化學(xué)反應(yīng)方程式的配平二、網(wǎng)絡(luò)流的管理用向量間的線性相關(guān)關(guān)系或線性方程的解來解決科學(xué)問題*第六節(jié)

線性變換

一、線性變換映射的定義，線性變換的定義，常見的線性變換（旋轉(zhuǎn)變換，鏡像變換，投影變換、伸縮變換）

二、基變換與坐標變換

基變換，坐標變換，坐標變換矩陣

三、線性變換的應(yīng)用第七節(jié)

MATLAB實驗三線性代數(shù)第三章

線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第一節(jié)

向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)

第二節(jié)

向量組的秩

第三節(jié)

向量空間

第四節(jié)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)

第五節(jié)

應(yīng)用實例*第六節(jié)

線性變換

第七節(jié)

MATLAB實驗三第一節(jié)

向量組的線性相關(guān)與線性無關(guān)一、線性方程組的向量表示

矩陣的向量表示，線性方程組的向量表示，向量的線性組合二、向量組線性相關(guān)與線性無關(guān)的概念

向量組線性相關(guān)、無關(guān)的概念，關(guān)于向量組線性相關(guān)、無關(guān)的一些結(jié)論三、線性相關(guān)與線性無關(guān)的性質(zhì)

定理1-3，推論，相關(guān)結(jié)論第二節(jié)

向量組的秩一、向量組間的相互線性表示

向量組線性表示的定義，等價關(guān)系，向量組等價的性質(zhì)，二、向量組的極大無關(guān)組與向量組的秩

極大無關(guān)組的定義，向量組之間的關(guān)系，向量的秩的定義，求向量秩的具體方法和步驟，矩陣的秩的定義（行秩、列秩）

齊次線性方程組的解的結(jié)構(gòu)、非齊次線性方程組的解的情況分析

第三節(jié)

向量空間一、向量空間的概念線性運算及其性質(zhì)（封閉、加法、數(shù)乘），向量空間的定義，子空間二、向量空間中向量的結(jié)構(gòu)化表示向量空間的基，向量空間的維數(shù)，向量的結(jié)構(gòu)化表示三、向量組的正交性與正交矩陣

內(nèi)積的概念及性質(zhì)，向量的長度，單位向量，向量的單位化，向量正交的定義，正交向量組，施密特正交化方法，正交矩陣第四節(jié)

線性方程組解的結(jié)構(gòu)一、齊次線性方程組的解空間

從向量空間的角度來看待齊次線性方程組的解，基礎(chǔ)解系，通解二、非齊次線性方程組解的結(jié)構(gòu)

求非齊次線性方程組的通解，首先要求對應(yīng)齊次線性方程組的通解，再求非齊次線性方程組的一個特解.

第五節(jié)

應(yīng)用實例一、化學(xué)反應(yīng)方程式的配平二、網(wǎng)絡(luò)流的管理用向量間的線性相關(guān)關(guān)系或線性方程的解來解決科學(xué)問題*第六節(jié)

線性變換

一、線性變換映射的定義，線性變換的定義，常見的線性變換（旋轉(zhuǎn)變換，鏡像變換，投影變換、伸縮變換）

二、基變換與坐標變換

基變換，坐標變換，坐標變換矩陣

三、線性變換的應(yīng)用第七節(jié)

MATLAB實驗三

定義1

設(shè)為

階方陣,如果存在可逆矩陣則稱方陣和

相似，或

是

的相似矩陣，變?yōu)?/p>

稱為把

的相似變換矩陣.一、相似矩陣，使得(1)稱為

的相似變換，可逆矩陣

記為.第四章相似矩陣及二次型定義2

若階方陣

相似于對角矩陣

即存在可逆矩陣，使得則稱方陣可對角化.(2)相似矩陣具有以下性質(zhì)：

(2)對稱性：如果，則

；

(3)傳遞性：如果，則

性質(zhì)1

(1)自反性：;性質(zhì)2

(1)若，則

；

(2)若，則

；

(3)若，則,.（

為任一正整數(shù)）；

和都是可逆矩陣且，則.

(4)若(2)對稱性：如果，則

；

(3)傳遞性：如果，則

性質(zhì)1

(1)自反性：;證明

(1)由于，故;(2)若，那么存在可逆矩陣，使得所以

；令，則，(3)傳遞性：如果，則

性質(zhì)1證明(3)若，則存在可逆矩陣使得

令,有

即從而

，故

.性質(zhì)2

(1)若，則

；

證明

(1)設(shè)階方陣和相似，由定義1從而有，又是可逆矩陣，，使得可知，存在可逆矩陣可得(2)若，則

；

(2)設(shè)階方陣和相似，則存在可逆矩陣，使得

，所以,從而，由此可得.性質(zhì)2

(3)若，則,.（

為任一正整數(shù)）；

證明(3)設(shè)階方陣和

相似，則存在，使得

.又可逆矩陣令，由于

是可逆矩陣，也是可逆矩陣，，即.則有性質(zhì)2

(3)若，則,.（

為任一正整數(shù)）；

證明(3)設(shè)階方陣和

相似，則存在，使得

.又可逆矩陣從而.性質(zhì)2和都是可逆矩陣且，則.

(4)若(4)若，且都可逆，則存在可逆矩陣

，使得

，于是

即

證明例1

已知,

求和.解

由于

，有

，可得

，

即.

因為，故.二、特征值與特征向量例子：設(shè)則

.（3）定義3設(shè)為階方陣,如果存在數(shù)和維非零向量滿足則稱為方陣的特征值,稱為特征值對應(yīng)的特征向量.即

它是個方程個未知量的齊次線性方程組，有非零解的充要條件是其系數(shù)行列式上式左邊是的次多項式,稱為的特征多項式,記為.方程稱為的特征方程.由此可見，特征值即為特征方程的根.

而在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)，特征方程必有個根(重根按重數(shù)計算)，故階方陣有個特征值.求特征值對應(yīng)的特征向量解矩陣的特征多項式為例2求矩陣的特征值和特征向量.故

的特征值為當時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值對應(yīng)的全部特征向量為.當時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值對應(yīng)的全部特征向量為.當時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系,故特征值對應(yīng)的全部特征向量為.故的特征值為.的特征多項式為解

矩陣例3求矩陣的特征值和特征向量.當時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值

對應(yīng)的全部特征向量為

，（

不同時為零).當時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值

對應(yīng)的全部特征向量為.故的特征值為.例4求矩陣的特征值和特征向量.的特征多項式為

解矩陣當時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值

對應(yīng)的全部特征向量為.當

時，求解方程組.由得基礎(chǔ)解系，故特征值

對應(yīng)的全部特征向量為.例2：

例3：

例4：

矩陣的特征值和特征向量有以下的性質(zhì)：（重根按重數(shù)計算），則有

同的特征值；階矩陣

的全部特征值為

(2)