2024初中數(shù)學競賽9年級競賽輔導講義專題25 平面幾何的最值問題含答案

2024初中數(shù)學競賽9年級競賽輔導講義專題25平面幾何的最值問題閱讀與思考幾何中的最值問題是指在一定的條件下，求平面幾何圖形中某個確定的量（如線段長度、角度大小、圖形面積）等的最大值或最小值．求幾何最值問題的基本方法有：1．特殊位置與極端位置法：先考慮特殊位置或極端位置，確定最值的具體數(shù)據(jù)，再進行一般情形下的推證．2．幾何定理（公理）法：應用幾何中的不等量性質、定理．3．數(shù)形結合法等：揭示問題中變動元素的代數(shù)關系，構造一元二次方程、二次函數(shù)等．例題與求解【例1】在Rt△ABC中，CB=3，CA=4，M為斜邊AB上一動點．過點M作MD⊥AC于點D，過M作ME⊥CB于點E，則線段DE的最小值為．（四川省競賽試題）解題思路：四邊形CDME為矩形，連結CM，則DE=CM，將問題轉化為求CM的最小值．【例2】如圖，在矩形ABCD中，AB=20cm，BC=10cm．若在AC，AB上各取一點M，N，使BM+MN的值最小，求這個最小值．（北京市競賽試題）解題思路：作點B關于AC的對稱點B′，連結B′M，B′A，則BM=B′M，從而BM+MN=B′M+MN．要使BM+MN的值最小，只需使B′M十MN的值最小，當B′，M，N三點共線且B′N⊥AB時，B′M+MN的值最?。纠?】如圖，已知□ABCD，AB=a，BC=b()，P為AB邊上的一動點，直線DP交CB的延長線于Q．求AP+BQ的最小值．（永州市競賽試題）解題思路：設AP=，把AP，BQ分別用的代數(shù)式表示，運用不等式以或a+b≥2（當且僅當a=b時取等號）來求最小值．【例4】閱讀下列材料：問題如圖1，一圓柱的底面半徑為5dm，高AB為5dm，BC是底面直徑，求一只螞蟻從A點出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的最短路線．小明設計了兩條路線：路線1：側面展開圖中的線段AC．如圖2所示．設路線l的長度為l1，則l12=AC2=AB2+BC2=25+(5π)2=25+25π2．路線2：高線AB十底面直徑BC．如圖1所示．設路線l的長度為l2，則l22=(BC+AB)2=(5+10)2=225．∵l12–l22=25+25π2－225=25π2－200=25(π2－8)，∴l(xiāng)12＞l22，∴l(xiāng)1＞l2．所以，應選擇路線2．(1)小明對上述結論有些疑惑，于是他把條件改成：“圓柱的底面半徑為1分米，高AB為5分米”繼續(xù)按前面的路線進行計算．請你幫小明完成下面的計算：

路線1：l12=AC2=；

路線2：l22=（AB+BC）2=．∵l12l22，∴l(xiāng)1l2

（

填“＞”或“＜”），所以應選擇路線（填“1”或“2”）較短．

(2)請你幫小明繼續(xù)研究：在一般情況下，當圓柱的底面半徑為r，高為h時，應如何選擇上面的兩條路線才能使螞蟻從點A出發(fā)沿圓柱表面爬行到C點的路線最短．（衢州市中考試題）解題思路：本題考查平面展開一最短路徑問題．比較兩個數(shù)的大小，有時比較兩個數(shù)的平方比較簡便．比較兩個數(shù)的平方，通常讓這兩個數(shù)的平方相減．【例5】如圖，已知邊長為4的正方形鋼板，有一個角銹蝕，其中AF=2，BF=1．為了合理利用這塊鋼板，將在五邊形EABCD內截取一個矩形塊MDNP，使點P在AB上，且要求面積最大，求鋼板的最大利用率．（中學生數(shù)學智能通訊賽試題）解題思路：設DN=x，PN=y，則S=．建立矩形MDNP的面積S與x的函數(shù)關系式，利用二次函數(shù)性質求S的最大值，進而求鋼板的最大利用率．【例6】如圖，在四邊形ABCD中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC，AD的延長線交于P，求AB·S△PAB的最小值．（中學生數(shù)學智能通訊賽試題）解題思路：設PD=x(x>1)，根據(jù)勾股定理求出PC，證Rt△PCD∽Rt△PAB，得到，求出AB，根據(jù)三角形的面積公式求出y=AB·S△PAB，整理后得到y(tǒng)≥4，即可求出答案．能力訓練A級1．如圖，將兩張長為8、寬為2的矩形紙條交叉，使重疊部分是一個菱形．容易知道當兩張紙條垂直時，菱形的周長有最小值，那么菱形周長的最大值是．（煙臺市中考試題）2．D是半徑為5cm的⊙O內一點，且OD=3cm，則過點O的所有弦中，最短的弦AB=cm．（廣州市中考試題）3．如圖，有一個長方體，它的長BC=4，寬AB=3，高BB1=5．一只小蟲由A處出發(fā)，沿長方體表面爬行到C1，這時小蟲爬行的最短路徑的長度是．（“希望杯”邀請賽試題）第1題圖第3題圖第4題圖第5題圖4．如圖，在△ABC中，AB=10，AC=8，BC=6，經過點C且與邊AB相切的動圓與CB，CA分別相交于點E，F(xiàn)，則線段EF長度的最小值是()（蘭州市中考試題）A．4 B．4.75 C．5 D．4.85．如圖，圓錐的母線長OA=6，底面圓的半徑為2．一小蟲在圓錐底面的點A處繞圓錐側面一周又回到點A，則小蟲所走的最短距離為()（河北省競賽試題）A．12 B．4π C．6 D．66．如圖，已知∠MON=40°，P是∠MON內的一定點，點A，B分別在射線OM，ON上移動，當△PAB周長最小時，∠APB的值為()（武漢市競賽試題）A．80° B．100° C．120° D．140°7．如圖，eq\o(⌒,AD)是以等邊三角形ABC一邊AB為半徑的四分之一圓周，P為AD上任意一點．若AC=5，則四邊形ACBP周長的最大值是()（福州市中考試題）A．15 B．20 C．15+5 D．15+5第6題圖第7題圖第8題圖8．如圖，在正方形ABCD中，AB=2，E是AD邊上一點（點E與點A，D不重合），BE的垂直平分線交AB于M，交DC與N．(1)設AE=x，四邊形ADNM的面積為S，寫出S關于x的函數(shù)關系式．(2)當AE為何值時，四邊形ADNM的面積最大？最大值是多少？（山東省中考試題）9．如圖，六邊形ABCDEF內接于半徑為r的⊙O，其中AD為直徑，且AB=CD=DE=FA．(1)當∠BAD=75°時，求eq\o(⌒,BC)的長；(2)求證：BC∥AD∥FE；(3)設AB=，求六邊形ABCDEF的周長l關于x的函數(shù)關系式，并指出x為何值時，l取得最大值．10．如圖，已知矩形ABCD的邊長AB=2，BC=3，點P是AD邊上的一動點（P異于A、D）．Q是BC邊上任意一點．連結AQ，DQ，過P作PE∥DQ交于AQ于E，作PF//AQ交DQ于F．(1)求證：△APE∽△ADQ；(2)設AP的長為x，試求△PEF的面積S△PEF關于x的函數(shù)關系式，并求當P在何處時，S△PEF取得最大值？最大值為多少？當Q在何處時，△ADQ的周長最?。浚毥o出確定Q在何處的過程或方法，不必證明）（無錫市中考試題）11．在等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6．動點M，N分別在兩腰AB，AC上(M不與A，B重合，N不與A，C重合)，且MN∥BC．將△AMN沿MN所在的直線折疊，使點A的對應點為P．(1)當MN為何值時，點P恰好落在BC上？(2)設MN=x，△MNP與等腰△ABC重疊部分的面積為y，試寫出y與x的函數(shù)關系式，當x為何值時，y的值最大，最大值是多少？（寧夏省中考試題）B級1．已知凸四邊形ABCD中，AB+AC+CD=16，且S四邊彤ABCD=32，那么當AC=，BD=時，四邊形ABCD面積最大，最大值是．（“華杯賽”試題）2．如圖，已知△ABC的內切圓半徑為r，∠A=60°，BC=2，則r的取值范圍是．（江蘇省競賽試題）第2題圖第3題圖第4題圖第5題圖 3．如圖⊙O的半徑為2，⊙O內的一點P到圓心的距離為1，過點P的弦與劣弧eq\o(⌒,AB)組成一個弓形，則此弓形面積的最小值為．4．如圖，△ABC的面積為1，點D，G，E和F分別在邊AB，AC，BC上，BD＜DA，DG∥BC，DE∥AC，GF∥AB，則梯形DEFG面積的最大可能值為．（上海市競賽試題）已知邊長為a的正三角形ABC，兩頂點A，B分別在平面直角坐標系的x軸，y軸的正半軸上滑動，點C在第一象限，連結OC，則OC的最大值是．（濰坊市中考試題）6．已知直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=DC=5，點P在BC上移動，則當PA+PD取最小值時，△APD中邊AP上的高為()（鄂州市中考試題）A． B． C． D．3第6題圖第7題圖第8題圖7．如圖，正方形ABCD的邊長為4cm，點P是BC邊上不與點B，C重合的任意一點，連結AP，過點P作PQ⊥AP交DC于點Q．設BP的長為xcm，CQ的長為ycm．(1)求點P在BC上運動的過程中y的最大值；(2)當y=cm時，求x的值．（河南省中考試題）8．如圖，y軸正半軸上有兩點A(0，a)，B(0，b)，其中a>b>0．在x軸上取一點C，使∠ACB最大，求C點坐標．（河北省競賽試題）9．如圖，正方形ABCD的邊長為1，點M，N分別在BC，CD上，使得△CMN的周長為2．求：(1)∠MAN的大?。?2)△MAN的面積的最小值．（“宇振杯”上海市競賽試題）10，如圖，四邊形ABCD中，AD=CD，∠DAB=∠ACB=90°，過點D作DE⊥AC于F，DE與AB相交于點E．(1)求證：AB·AF=CB·CD；(2)已知AB=15cm，BC=9cm，P是射線DE上的動點，設DP=xcm(x>0)，四邊形BCDP的面積為ycm2．①求y關于x的函數(shù)關系式；②當x為何值時，△PBC的周長最小？求出此時y的值．（南通市中考試題）第6題圖第7題圖第8題圖第9題圖11．如圖，已知直線：(為實數(shù))．(1)求證：不論k為任何實數(shù)，直線l都過定點M，并求點M的坐標；(2)若直線l與x軸、y軸的正半軸交于A，B兩點，求△AOB面積的最小值．（太原市競賽試題）12．如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=x，點F在邊AB上，點G，H在邊BC上，四邊形EFGH是一個邊長為y的正方形，且AE=AC．(1)求y關于x的函數(shù)解析式；(2)當x為何值時，y取得最大值？求出y的最大值．（上海市競賽試題）專題25 平面幾何的最值問題例1提示：當CM⊥AB時，CM值最小，CM＝例2如圖，B′M＋MN的最小值為點B′到AB的距離B′F，BE＝cm，BB′＝cm，AE＝cm．在△ABB′中，由BB′?AE＝AB?B′F，得B′F＝16cm．故BM＋MN的最小值為16cm．例3由△APD∽△BPQ，得，即BQ＝，∴AP＋BQ＝x＋．∵x＋≥，∴當且僅當x＝即x＝時，上式等號成立．故當AP＝時，AP＋BQ最小，其最小值為2－b．例4⑴，＝49，l1＜l2，故要選擇路線l較短．⑵，，．當r＝時，，當r＞時，，當r＜時，．例5設DN＝x，PN＝y(tǒng)，則S＝xy，由△APQ∽△ABF，得即x＝10－2y，代入S＝xy得S＝xy＝y(tǒng)(10－2y)，即S＝－2，因3≤y≤4，而y＝不在自變量y的取值范圍內，所以y＝不是極值點，當y＝3時，S(3)＝12，當y＝4時，S(4)＝8，故Smax＝12．此時，鋼板的最大利用率＝80%．例6設PD＝x(x＞1)，則PC＝，由Rt△PCD∽△PAB，得AB＝，令y＝AB?S△PAB，則y＝AB×PA×AB＝，求y的最小值，有下列不同思路：①配方：y＝，∴當，即當x＝3時，y有最小值4．②運用基本不等式：y＝32＋2＝4，∴當＝，即當x＝3時，y有最小值4.③借用判別式，去分母，得x2＋2（1－y）x＋1＋2y＝0，由△＝4（1－y）2－4（1＋2y）＝4y（y－4）≥0，得y≥4，∴y的最小值為4.A級1.17提示：當兩張紙條的對角重合時，菱形周長最大.2.83.4.D5.D6.B7.C提示：當點P與點D重合時，四邊形ACBP的周長最大.8.（1）連結ME，過N作NF⊥AB于F，可證明Rt△EBA≌Rt△MNF，得MF＝AE＝x.∵ME2＝AE2＋AM2，故MB2＝x2＋AM2，即（2－AM）2＝x2＋AM2，AM＝1－x2，∴S＝×AD＝×2＝AM＋AM＋MF＝2AM＋AE＝2（1－x2）＋x＝－x2＋x＋2.（2）S＝－（x2－2x＋1）＋＝－（x－1）2＋.故當AE＝x＝1時，四邊形ADNM的面積最大，此時最大值為.9.（1）長為.（2）提示：連結BD.（3）過點B作BM⊥AD于M，由（2）知四邊形ABCD為等腰梯形，從而BC＝AD－2AM＝2r－2AM.由△BAM∽△DAB，得AM＝＝，∴BC＝2r－.同理，EF＝2r－.l＝4x＋2（2r－）＝－（x－r）2＋6r（0＜x＜r）..當x＝r時，l取得最大值6r.10.（1）∵∠APE＝∠ADQ，∠AEP＝∠AQD，∴△APE∽△ADQ.（2）由△APE∽△ADQ，△PDF∽△ADQ，S△PEF＝S□PEQF，得S△PEF＝－x2＋x＝－（x－）2＋.故當x＝時，即P是AD的中點時，S△PEF取得最大值，（3）作A關于直線BC的對稱點A′，連結DA′交BC于Q，則這個Q點就是使△ADQ周長最小的點，此時Q是BC的中點.11.（1）點P恰好在BC上時，由對稱性知MN是△ABC的中位線，∴當MN＝BC＝3時，點P在BC上.（2）由已知得△ABC底邊上的高h＝＝4.①當0＜x≤3時，如圖1，連結AP并延長交BC于點D，AD與MN交于點O.由△AMN∽△ABC，得AO＝x，y＝S△PMN＝S△AMN＝·x·x＝x2即y＝x2.當＝3時，y的值最大，最大值是3.②當3＜x＜6時，如圖2，設△PMN與BC相交于點E，F(xiàn)，AP與BC相交于D.由①中知AO＝x，∴AP＝x，∴PD＝AP－AD＝x－4，∵△PEF∽△ABC.，∴＝()2＝()2，即＝.∵S△ABC＝12，∴S△PEF＝（x－3）2.∴y＝S△AMN－S△PEF＝x2－（x－3）2＝－x2＋8x－12＝－（x－4）2＋4.故當x＝4時，y的最大值為4.綜上，當x＝4時，y的值最大，最大值為4.B級1.8832提示：當∠CAB＝∠ACD＝90°時，四邊形ABCD的面積達到最大值.2.0＜r≤1提示：設BC＝a，CA＝b，AB＝c，b＋c＝2（r＋1），又bcsin60°＝S△ABC＝（a＋b＋c）r，即bc·＝［2＋2（r＋1）］r，.bc＝4r（r＋2）.b，c為方程x2－2（r＋1）x＋4r（r＋2）＝0的兩個根，由△≥0，得（r＋1）≤22.因r＞0，r＋1＞0，故r＋1≤2，即0＜r≤1.3.－提示：過P作垂直于OP的弦AB，此時弓形面積最小.4.提示：設＝x，則＝1－x＝，＝x2，＝（1－x）2＝，S梯形DEFG＝1―x2―2（1－x）2＝－3（x－）2＋.5.a提示：當OA＝OB時，OC的長最大.6.C7.（1）由Rt△ABP∽Rt△PCQ，得＝，即＝，y＝－（x－2）2＋1（0＜x＜4）.當x＝2時,y最大值＝1cm.（2）由＝－（x－2）2＋1，得x＝（2＋）cm或（2－）cm.8.當過A，B兩點的圓與x軸正半軸相切時，切點C為所求.作O′D⊥AB于D.，O′D2＝O′B2－BD2＝－＝ab，O′D＝故點C坐標為（，0）.9.（1）如圖，延長CB到L，使BL＝DN，則Rt△ABL≌Rt△ADN，得AL＝AN，∠1＝∠2，又∵N＝2―CN―CM＝DN＋BM＝BL＋BM＝ML，且AM＝AM，∠NAL＝∠DAB＝90°.∴△AMN≌△AML，故∠MAN＝∠MAL＝＝45°.（2）設CM＝x，CN＝y(tǒng)，MN＝z，則，于是，（2―y―z）2＋y2＝z2.整理得2y2＋（2z－4）y＋（4－4z）＝0.∵y＞0，故△＝4（z－2）2－32（1－z）≥0，即（z＋2＋2）（z＋2－2）≥0.又∵z＞0，故z≥2－2，當且僅當x＝y(tǒng)＝2－時等號成立.由于S△AMN＝S△AML＝·ML·AB＝MN×1＝，因此，△AMN的面積的最小值為－1.10.（1）提示：證明△ADF∽△BAC.（2）①AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC＝＝，∴CF＝AF＝6，∴．②∵BC＝９（定值），∴△PBC的周長最小，就是PB＋PC最小，由（1）知，點C關于直線DE的對稱點是點A，所以PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小．顯然當P、A、B三點共線時PB＋PA最小，此時DP＝DE，PB＋PA＝AB．由（1），角∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，得△DAF∽△ABC．EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝．∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15，∴AD＝10．Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8．∴DE＝DF＋FE＝8＋＝．∴當x＝時，△PBC的周長最小，此時y＝．11．（1）令k＝1，得y＝x＋2；令k＝2，得y＝2x＋6，聯(lián)立解得x＝4，y＝2，故定點（4，2）．（2）取x＝0，得OB＝2－4k（k＜0），取y＝0，得OA＝．于是△ABO的面積，化簡得．由得，故S≥16．將S＝16代入上述方程，得k＝．故當k＝，S值最小．12．（1）如圖，延長EF交AC于點D，DF∥BC，Rt△ADF∽Rt△ACB，AE＝AC＝x，，，2x－2y－xy＝，兩邊平方整理得(x2＋2x＋2)y2－(x3＋2x2＋4x)y＋2x2＝0．解得(y＝x舍去)．（2）由（1）．當且僅當，即時，上式等號成立．故當時，y去最大值．專題26分而治之——分類討論閱讀與思考在解決某些數(shù)學問題的時候，需要將問題所涉及的所有對象按一定的標準，分成若干類，然后逐類討論，才能得出正確的解答，這種解題方法稱為分類討論法．運用分類討論法解題的關鍵是如何正確進行分類．正確分類的標準是：對所討論的全體分類要“既不重復，又不遺漏”；在同一次討論中只能按所確定的一個標準進行；對于多級討論，應逐級進行．初中數(shù)學分類討論問題的常見形式有：1．一些定義、定理、公式和法則有范圍或條件的限制，在使用過程中必須討論；2．題設條件中含有變量或參數(shù)時，必須根據(jù)變量或參數(shù)的不同取值進行討論；3．一些問題的圖形位置或形狀不確定時，只有通過討論，才能保證結論的完整性；4．一些問題的條件沒有明確給出或結論不唯一時，只有通過討論，才能保證解答的嚴密性； 5．對于自然數(shù)問題，有時須按剩余類分類討論．例題與求解【例1】如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4．若以C為圓心，R為半徑所作的圓與斜邊AB只有一個公共點，則R的取值范圍是．（北京市宣武區(qū)中考試題）解題思路：圓與斜邊只有一個公共點，則圓與斜邊相切或圓與斜邊相交．【例2】解方程：｜－2｜+｜+3｜=+10．解題思路：解絕對值方程的關鍵是去方程左邊的絕對值符號，這就要對的取值范圍進行分類討論．需分下列三種情況：①≤－3；②－3＜≤2；③＞2．【例3】若關于的方程(6－k)(9－k)x2－(117－15k)+54=0的解都是整數(shù)，則符合條件的整數(shù)的值有___________．（全國初中數(shù)學競賽試題）解題思路：用因式分解法可得到根的簡單表達式，因方程的類型未指明，故須按一次方程、二次方程兩種情形討論，這樣確定的值才能全面而準確．【例4】如圖，已知△ABC中，AB=5，BC=3，AC=4，PQ∥AB，P點在AC上（與點A，C不重合），Q在BC上．(1)當△PQC的面積與四邊形PABQ的面積相等時，求CP的長；(2)當△PQC的周長與四邊形PABQ的周長相等時，求CP的長；(3)試問：在AB上是否存在點M，使得△PQM為等腰直角三角形？若不存在，請簡要說明理由；若存在，請求出PQ的長．（福州市中考試題）解題思路：對于(3)，使△PQM為等腰直角三角形有兩種情況：一是以PQ為直角邊，二是以PQ為斜邊．【例5】證明：每個大于6的自然數(shù)n都可表示為兩個大于1且互質的自然數(shù)之和．（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）解題思路：由于自然數(shù)可分為奇數(shù)、偶數(shù)兩大類，因此，很容易考慮到按奇數(shù)、偶數(shù)分類討論．【例6】設a和b是相異實數(shù)，證明：存在整數(shù)m和n，使得，．（加拿大中學生競賽試題）解題思路：a，b為相異實數(shù)，則必有a－b>0或a－b<0兩種情況．能力訓練1．已知a+b=－8，ab=8，化簡=．（內江市中考試題）2．已知實數(shù)a，b滿足以a2－7a+2=0，a2－7b+2=0，則的值為．（淮陰市中考試題）3．在△ABC中過A作△ABC的高，垂足為D．若∠BAD=55°，∠CAD=25°，則∠BAC=．4．在平面直角坐標系內，已知點A(2，2)，B（2，－3），點P在y軸上，且△APB為直角三角形，則點P的個數(shù)為．（河南省競賽誠題）5．平面上A，B兩點到直線l的距離分別是2－與2+，則線段中點C到直線l的距離是．6．以線段AB為直徑作一個半圓，圓心為O，C是半圓圓周上的一點，且OC2=AC·BC，則∠CAB=．（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）7．如圖，在兩直角三角形中，∠ACB=∠ADC=90°，AC=，AD=2．當AB=時，這兩個直角三角形相似．第7題圖第10題圖第11題圖8．已知方程m22－(2m－3)+1=0的兩個實數(shù)根的倒數(shù)和是S，則S的取值范圍是．（天津市中考試題）9．關于的方程x2+4mx+4m2+2m+3=0，x2+(2m+1)+m2=0中，至少有一個方程有實數(shù)根，則m的取值范圍是()A．－＜m＜－ B．m≤－或m≥－C．－＜m＜ D．m≤－或m≥（四川省選拔賽試題）10．如圖，由25個點構成的5×5的正方形點陣中，橫縱方向相鄰的兩個點之間的距離都是1個單位．定義：由點陣中4個點為頂點的平行四邊形叫陣點平行四邊形，圖中以A，B為頂點，面積為2的陣點平行四邊形的個數(shù)為()A．3個B．6個C．7個D．9個（武漢市四月調考試題）11．如圖，矩形ABCD中，AB=7，AD=3，BE=2EC，若F是AB上的點，使以F，A，D為頂點的三角形和以F，B，E為頂點的三角形相似，則這樣的點F有()（紹興市競賽試題）A．1個B．2個C．3個 D．4個12．下面是某同學在一次測驗中解答的填空題：①若x2=a2，則x=a．②方程2x(x－1)=x－1的解為x=0．③若直角三角形有兩邊長分別為3和4，則第三邊長為5．其中答題完全正確的題目個數(shù)為()A．0個 B．1個 C．2個 D．3個（重慶市中考試題）13．在半徑為5cm的圓內有長為5cm的弦，則此弦所對的圓周角為()A．60°或120° B．30°或120° C．60° D．120°14．如圖，在直角梯形ABCD中，AB=7，AD=2，BC=3．如果邊AB上的點P使得以P，A，D為頂點的三角形和以P，B，C為頂點的三角形相似，那么這樣的點P有()A．1個 B．2個 C．3個 D．4個第14題圖第15題圖15．如圖，菱形ABCD的邊長是5，兩條對角線交于O點，且AO，BO的長分別是關于的方程x2+(2m－1)+m2+3=0的根，則m的值為()A．－3 B．5或－3 C．5 D．－5或3（吉林省中考試題）16．已知：關于的函數(shù)的圖象與軸總有交點，求的取值范圍．（十堰市中考試題）17．如圖，在平面直角坐標系中，點O為坐標原點，正方形OABC的邊OA，OC分別在軸，y軸上，點B的坐標為(2，2)，反比例函數(shù)（x>0，k≠0）的圖象經過線段BC的中點D．(1)求k的值；(2)若點P(x，y)在該反比例函數(shù)的圖象上運動（不與點D重合），過點P作PR⊥y軸于點R，作PQ⊥BC所在直線于點Q，記四邊形COPR的面積為S，求S關于x的解析式并寫出x的取值范圍．18．已知△ABC中，BC=6cm，CA=8cm，∠C=90°，動點P從點C出發(fā)，以每秒1cm的速度沿CA，AB運動到B點．(1)設P從C開始運動的距離為xcm，△BCP的面積為ycm2，把y表示成的函數(shù)；(2)從C出發(fā)幾秒時，S△BCP=S△ABC?（荊州市中考試題）19．如圖，已知⊙O1與⊙O2外切于點O，以直線O1O2為x軸，點O為坐標原點建立直角坐標系，直線AB切⊙O1于點B，切⊙O2于點A，交y軸于點C(0，2)，交x軸于點M；BO的延長線交⊙O2于點D，且OB：OD=1：3．(1)求⊙O2的半徑長；(2)求直線AB的解析式；(3)在直線AB上是否存在點P，使△MO2P與△MOB相似？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．（吉林省中考試題）20．已知拋物線l1：y=ax2－2amx+am2+2m+1(a>0，m>0)的頂點為A，拋物線l2的頂點B在y軸上，且拋物線l1和拋物線l2關于點P(1，3)成中心對稱．(1)當a=1時，求l2的解析式和m的值；(2)設l2與軸正半軸的交點是C，當△ABC為等腰三角形時，求a的值．（浙江省競賽試題）21．已知定理：“若三個大于3的質數(shù)a，b，c滿足關系式2a+5b=c，則a+b+c是整數(shù)n的倍數(shù)，”試問：上述定理中的整數(shù)n的最大可能值是多少？并證明你的結論．（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）22．如果對一切x的整數(shù)值，x的二次三項式ax2+bx+c都是平方數(shù)（即整數(shù)的平方），證明：(1)2a，2b都是整數(shù)；(2)a，b，c都是整數(shù)，并且c是平方數(shù)．反過來，如果(2)成立，是否對一切x的整數(shù)值，ax2+bx+c的值都是平方數(shù)？（全國初中數(shù)學競賽試題）23．2007個質點均勻分布在半徑為R的圓周上，依次記為P1，P2，P3，…，P2007．小明用紅色按如下規(guī)則去涂這些點：設某次涂第i個質點，則下次就涂第i個質點后面的第i個質點．按此規(guī)則，小明能否將所有的質點均涂成紅色？若能，請給出一種涂色方案；若不能，請說明理由，、（浙江省競賽試題）24．甲、乙、丙三支乒乓球隊，人數(shù)都不相同，每隊不少于2人，甲隊最少，丙隊最多．同一球隊的隊員互相不比賽，不同球隊的隊員之間都要比賽一場．統(tǒng)計員作了記錄：參加比賽的共有13人，進行的比賽共有54場．求甲、乙、丙三支球隊的隊員數(shù)，并說明理由．（江蘇省競賽試題）專題26分而治之——分類討論例1R＝2.4cm或3cm＜R≤4cm例2分三種情況討論：①當x≤－3時，方程為－2x－1＝x＋10解得，符合x≤－3，故是一解；②當－3＜x≤2時，方程為5＝x＋10解得x＝－5，不符合－3＜x≤2，故舍去；③當x＞2時，方程為2x＋1＝x＋10解得x＝9，符合x＞2，故x＝9也是一解．綜合①②③可得原方程的解為或x＝9．例3當k＝6時，得x＝2；當k＝9時，得x＝－3；當k≠6且k≠9時，解得，；當6－k＝±1，±3，±9時，x1是整數(shù)，這時k＝7，5，3，－3，15；當9－k＝±1，±2，±3，±6時，x2是整數(shù)，這時k＝10，8，11，7，12，15，3．綜上所述，k＝3，6，7，9，15時，原方程的解是整數(shù)．例4（1）；（2）；（3）①如圖1所示，設PM⊥PQ且PM＝PQ，點M在AB上，令PQ＝x，∵△CPQ∽△CAB，∴，解得．②如圖2所示，當∠PMQ＝90°，且PM＝MQ，點M在AB上，令PQ＝y(tǒng)，∵△CPQ∽△CAB，∴，解得．例5①若n為奇數(shù)，設n＝2k＋1，k為大于2的整數(shù)，則可寫成n＝k＋(k＋1)，顯然符合要求．②若n為偶數(shù)，則可設n＝4k，或n＝4k＋2，k為大于1的自然數(shù)．當n＝4k時，n＝(2k－1)＋(2k＋1)，且易知2k－1與2k＋1互質，假如它們有公因子d≥2，則d＝2，但2k－1，2k＋1均為奇數(shù)，此為不可能；當n＝4k＋2時，n＝(2k－1)＋(2k＋3)，且易知2k－1與2k＋3互質，事實上假如它們有公因子d≥2，設2k－1＝nd，2k＋3＝md，m，n均為自然數(shù)，則有(m－n)d＝4，可見d＝4，矛盾．例6當a－b＞0時，取m＝1，n＝－1，則am＋bn＝a－b＞0成立，bm＋an＝b－a＜0成立，驗證知滿足所給不等式．當a－b＜0時，取m＝－1，n＝1，則am＋bn＝－a＋b＞0成立，bm＋an＝－b＋a＜0成立，也驗證知滿足所給不等式．能力訓練1.2.2或22.53.80°或30°提示：分高AD在△ABC內部或外部兩種情況．4.4個提示：先在坐標平面內描出A，B兩點，連接AB，因題設中未指明△PAB的哪個角是直角，故應分別就∠A，∠B，∠P是直角來討論．設點P(0，x)，運用幾何知識建立x的方程．若∠A＝90°，則P1(0，2)；若∠B＝90°，則P2(0，－3)；若∠P＝90°，則PA2＋PB2＝AB2，而PA2＝(2－x)2＋22，PB2＝(x＋3)2＋22，AB2＝(2＋3)2，∴(2－x)2＋22＋(x＋3)2＋22＝52，∴x＝1或x＝－2，即P3(0，1)或(0，－2)．5.2或提示：分A,B位于l同側或異側兩種情況討論．6.75°或15°提示：運用圓的對稱性．7.3或3．8.S≤－且S≠－3提示：S＝2m－3，≥0，m≤且m≠0．9.B．10.D．提示：以A,B為頂點的平行四邊形可以分為兩類：①以AB為邊的，且面積為2的平行四邊形共6個；②以AB為對角線，且面積為2的平行四邊形共3個.故滿足條件的陣點平行四邊形的個數(shù)為9個.11.C12.A13.A14.C提示：分△PAD∽△PBC及△PAD∽△CBP兩種情況討論.15.A16.提示：當函數(shù)是一次函數(shù)，即a2+3a+2=0且a+1≠0時，圖像與x軸有交點；當a2+3a+2≠0且?≥0時，圖像與x軸有交點，綜上知a的取值范圍為a<-1.17.(1)在正方形OABC中，CB=OC=OA=AB=2，又點D是BC的中點，∴CD=1，即D（1,2）.而點D（1,2）在y=kx上，∴2=k1.∴k=2.（2）（?）當0<x<1時，如圖1，過點P作PE⊥x軸交CB于點Q，交x軸于點E，過點P作PR⊥y軸于點R.∵點P坐標為（x，y），且由（1）題知，點P在函數(shù)y=2xx>0的圖像上.∵19.（1）23（2）M（-23，0），直線AB解析式為y=33x+2.（3）△MOB是等腰三角形，且頂角∠MBO=120°20.（1）當a=1時，y=x-m2+2m+1.∵頂點A的坐標為（m，2m+1）.∵P點坐標為（1,3），折直線AB的解析式是y=kx+b，把點A，P的坐標代入，得2m+1=km+b①3=k+b②①-②得2m-3=(m-1)k.∵m≠1(若m=1，則A，B，P三點重合，不合題意)，∴k=2，b=1.∴直線AB的解析式是y=2x+1，得l2的頂點B的坐標為（0,1）.∵l2與l1關于點P成中心對稱，∴拋物線的開口大小相同，方向相反，得l2的解析式是y=-x2+1.∵點A，B關于點P（1,3）成中心對稱，如圖1所示，作PE⊥y軸于點E，作AF⊥y軸于點F，則△BPE∽△BAF，∴AF=2PE，即m=2.（2）在Rt△ABF中，∵AB=22+42=25<5，∴當△ABC為等腰三角形時，只有以下兩種情況：①如圖2所示，若BC=AB=25，則OC=BC2-OB2=19，得C點坐標為（19，0）.∵C（19，0）在y=-ax2+121.a+b+c=a+b+2a+5b=3(a+2b)，∴a+b+c是3的倍數(shù).設a，b被3除后的余數(shù)分別為ra和rb，則ra≠0，rb≠0，則ra=1，rb=2或者ra=2，rb=1.此時2a+5b必為3的倍數(shù)，即c為合數(shù)，矛盾.故ra=rb，則ra=rb=1，或者ra=rb=2，此時a+2b必為3的倍數(shù)，從而a+b+C是9的倍數(shù).∵2×11+5×5=47中，11+5+47=63,2×13+5×7=61中，13+7+61=81（63,81）=9,因此，9是n的最大可能值.22.（1）令x=0，得c=平方數(shù)；令x=±1，得a+b+c=m2,a-b+c=n2,其中m，n都是整數(shù)，∴2a=m2+n2-2c24設甲隊有x人，乙隊有y人，丙隊有z人，根據(jù)題意，有x+y+z=13,x<y<z.注意到4十5十6=15>13，故甲隊人數(shù)少于4人，即甲隊只有2人或3人.于是，這三隊的人數(shù)情況只能是如下四種情形:①x=2,y=3,z=8，比賽場數(shù)=2×(3+8)+3×8=46，不合題意;②x=2,y=4,z=7，比賽場數(shù)=2×(4+7)+4×7=50，不合題意;③x=2,y=5,z=6，比賽場數(shù)=2×(5+6)+5×6=52，不合題意;④x=3,y=4，z=6，比賽場數(shù)=3×(4+6)+4×6=54,符合題意.由此可知，甲、乙、丙三支球隊的人數(shù)分別為3,4,6.專題27數(shù)形結合閱讀與思考數(shù)學研究的對象是現(xiàn)實世界中的數(shù)量關系與空間形式，簡單地說就是“數(shù)”與“形”，對現(xiàn)實世界的事物，我們既可以從“數(shù)”的角度來研究，也可以從“形”的角度來探討，我們在研究“數(shù)”的性質時，離不開“形”；而在探討“形”的性質時，也可以借助于“數(shù)”．我們把這種由數(shù)量關系來研究圖形性質，或由圖形的性質來探討數(shù)量關系，即這種“數(shù)”與“形”的相互轉化的解決數(shù)學問題的思想叫作數(shù)形結合思想.數(shù)形結合有下列若干途徑：1．借助于平面直角坐標系解代數(shù)問題；2．借助于圖形、圖表解代數(shù)問題；3．借助于方程（組）或不等式（組）解幾何問題；4．借助于函數(shù)解幾何問題.現(xiàn)代心理學表明：人腦左半球主要具有言語的、分析的、邏輯的、抽象思維的功能；右半球主要具有非言語的、綜合的、直觀的、音樂的、幾何圖形識別的形象思維的功能．要有效地獲得知識，則需要兩個半球的協(xié)同工作，數(shù)形結合分析問題有利于發(fā)揮左、右大腦半球的協(xié)作功能.代數(shù)表達及其運算，全面、精確、入微，克服了幾何直觀的許多局限性，正因為如此，笛卡爾創(chuàng)立了解析幾何，用代數(shù)方法統(tǒng)一處理幾何問題．從而成為現(xiàn)代數(shù)學的先驅．幾何問題代數(shù)化乃是數(shù)學的一大進步．例題與求解【例l】設，則的最小值為___________.（羅馬尼亞競賽試題）解題思路：若想求出被開方式的最小值，則顧此失彼．＝，于是問題轉化為：在軸上求一點C(，0)，使它到兩點A（－1，1）和B(2，3)的距離之和（即CA＋CB）最小.【例2】直角三角形的兩條直角邊之長為整數(shù)，它的周長是厘米，面積是平方厘米，這樣的直角三角形()A．不存在B．至多1個C．有4個D．有2個（黃岡市競賽試題）解題思路：由題意可得若干關系式，若此關系式無解，則可推知滿足題設要求的直角三角形不存在；若此關系式有解，則可推知這樣的直角三角形存在，且根據(jù)解的個數(shù)，可確定此直角三角形的個數(shù)．【例3】如圖，在△ABC中，∠A＝，∠B＝2∠C，∠B的平分線交AC于D，AE⊥BC于E，DF⊥BC于F.求證：.（湖北省競賽試題）解題思路：圖形中含多個重要的基本圖形，待證結論中的代數(shù)跡象十分明顯．可依據(jù)題設條件，分別計算出各個線段，利用代數(shù)法證明．【例4】當在什么范圍內取值時，方程有且只有相異的兩實數(shù)根？（四川省聯(lián)賽試題）解題思路：從函數(shù)的觀點看，問題可轉化為函數(shù)與函數(shù)(≥0)圖象有且只有相異兩個交點．作出函數(shù)圖象，由圖象可直觀地得的取值范圍．【例5】設△ABC三邊上的三個內接正方形（有兩個頂點在三角形的一邊上，另兩個頂點分別在三角形另兩邊上）的面積都相等，證明：△ABC為正三角形．（江蘇省競賽試題）解題思路：設△ABC三邊長分別為，，，對應邊上的高分別為，，，△ABC的面積為，則易得三個內接正方形邊長分別為，，，由題意得，即．則，，適合方程.【例6】設正數(shù)，，滿足方程組，求的值．（俄羅斯中學生數(shù)學競賽試題）能力訓練1.不查表可求得tan的值為__________.2.如圖，點A，C都在函數(shù)()的圖象上，點B，D都在軸上，且使得△OAB，△BCD都是等邊三角形，則點D的坐標為______________.（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）3．平面直角坐標系上有點P(－1，－2)和點Q(4，2)，取點R(1，)，當________時，PR＋RQ有最小值.4.若，，要使成立，的取值范圍是__________.5.已知AB是半徑為1的⊙O的弦，AB的長為方程的正根，則∠AOB的度數(shù)是______________.（太原市競賽試題）6.如圖，所在正方形的中心均在坐標原點，且各邊與軸或軸平行，從內到外，它們的邊長依次為2，4，6，8，…，頂點依次用，，，，…表示，則頂點的坐標是()A.(13，13)B．(－13，－13)C.(14，14)D.(－14，一14)第2題圖第6題圖7．在△ABC中，∠C＝，AC＝3，BC＝4．在△ABD中，∠A＝，AD＝12.點C和點D分居AB兩側，過點D且平行于AC的直線交CB的延長線于E．如果，其中，，是互質的正整數(shù)，那么=()A.25B.128C.153D.243E.256（美國數(shù)學統(tǒng)一考試題）8．設，，分別是△ABC的三邊的長，且，則它的內角∠A，∠B的關系是()A．∠B＞2∠AB．∠B=2∠AC．∠B＜2∠AD．不確定9．如圖，，，，則()A．B．C．D．10.滿足兩條直角邊邊長均為整數(shù)，且周長恰好等于面積的整數(shù)倍的直角三角形的個數(shù)有()A.1個B．2個C．3個D．無窮多個如圖，關于的二次函數(shù)的圖象與軸交于A(，0)，B(，0)兩點(＞0＞)，與軸交于C點，且∠BAC＝∠BCO.(1)求這個二次函數(shù)的解析式；(2)以點D（，0）為圓心⊙D，與軸相切于點O，過＝拋物線上一點E(，)(＞0，＜0)作軸的平行線與⊙D交于F，G兩點，與拋物線交于另一點H．問是否存在實數(shù)，使得EF＋GH＝CF?如果存在，求出的值；如果不存在，請說明理由．（武漢市中考題）12.已知正數(shù)，，，A，B，C滿足＋A＝＋B＝＋C＝.求證：B十C＋A＜.13.如圖，一個圓與一個正三角形的三邊交于六點，已知AG＝2，GF＝13，F(xiàn)C＝1，HI＝7，求DE．（美國數(shù)學邀請賽試題）14.射線QN與等邊△ABC的兩邊AB，BC分別交于點M，N，且AC//QN，AM＝MB＝2cm，QM＝4cm.動點P從點Q出發(fā)，沿射線QN以每秒1cm的速度向右移動，經過t秒，以點P為圓心，cm為半徑的圓與△ABC的邊相切（切點在邊上）．請寫出可以取的一切值：_______________（單位：秒）．如圖，已知D是△ABC邊AC上的一點，AD：DC＝2：1，∠C＝，∠ADB＝．求證：AB是△BCD的外接圓的切線．（全國初中數(shù)學聯(lián)賽試題）16.如圖，在△ABC中，作一條直線∥BC，且與AB、AC分別相交于D，E兩點，記△ABC，△BED的面積分別為S，K．求證：K≤．（長春市競賽試題）17.如圖，直線OB是一次函數(shù)的圖象，點A的坐標為(0，2).在直線OB上找點C，使得△ACO為等腰三角形，求點C的坐標．（江蘇省競賽試題）專題27數(shù)形結合例15提示:作出B點關于x軸的對稱點B'(2,-3)，連結AB'交x軸于C，則AB'=AC十CB'為所要求的最小值.例2D提示:設兩直角邊長為a，b，斜邊長為c，由題意得a+b+c=x，,又，得.因a,h為邊長且是整數(shù).故當?shù)胋<2，取不是整數(shù);當?shù)胋>4，要使a,b為整數(shù)，只有兩種取法:若b=5時，a=12(或b=12,a=5);若b=8時，a=6(或b=6,a=8).例3設AB=x，則BC=2x,AC=,BE=,DF=DA=.在Rt△AEB中求得AE=代入證明即可.例4如圖，作出函數(shù)圖象，由圖象可以看出:當a=0時，y=0與