2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題全等三角形

2024年中考數(shù)學(xué)模擬試題全等三角形一、選擇題1、（2024蘇州二模）如圖,和均是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,點(diǎn)是邊、的中點(diǎn),直線、相交于點(diǎn).當(dāng)繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)時(shí),線段長(zhǎng)的最小值是（）A.B.C.D.答案：D2、（2024青島一模）如圖，在△ABC中，∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，點(diǎn)D在AC上，將△BCD沿著B(niǎo)D所在直線翻折，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，則DC的長(zhǎng)為（）A．cm B．cm C．2cm D．cm【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）．【分析】首先由勾股定理求出BC，由折疊的性質(zhì)可得∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，得出AE=AB﹣BE=2cm，設(shè)DC=xcm，則DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可．【解答】解：∵∠C=90°，AB=5cm，AC=4cm，∴BC==3cm，∵將△BCD沿著直線BD翻折，使點(diǎn)C落在斜邊AB上的點(diǎn)E處，∴△BED≌△BCD，∴∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，∴AE=AB﹣BE=2cm，設(shè)DC=xcm，則DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得：AE2+DE2=AD2，即22+x2=（4﹣x）2，解得：x=．故選：B．3．(2024·新疆烏魯木齊九十八中·一模)如圖，邊長(zhǎng)為2a的等邊三角形ABC中，M是高CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接MB，將線段BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到BN，連接HN．則在點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，線段HN長(zhǎng)度的最小值是（）A．a(chǎn) B．a(chǎn) C． D．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】取CB的中點(diǎn)G，連接MG，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)可得BH=BG，再求出∠HBN=∠MBG，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得MB=NB，然后利用“邊角邊”證明∴△MBG≌△NBH，再根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得HN=MG，然后根據(jù)垂線段最短可得MG⊥CH時(shí)最短，再根據(jù)∠BCH=30°求解即可．【解答】解：如圖，取BC的中點(diǎn)G，連接MG，∵旋轉(zhuǎn)角為60°，∴∠MBH+∠HBN=60°，又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，∴∠HBN=∠GBM，∵CH是等邊△ABC的對(duì)稱軸，∴HB=AB，∴HB=BG，又∵M(jìn)B旋轉(zhuǎn)到BN，∴BM=BN，在△MBG和△NBH中，，∴△MBG≌△NBH（SAS），∴MG=NH，根據(jù)垂線段最短，MG⊥CH時(shí)，MG最短，即HN最短，此時(shí)∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×2a=a，∴MG=CG=×a=，∴HN=，故選：D．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵，也是本題的難點(diǎn)．4.（2024·上海市閘北區(qū)·中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè)4月卷）如圖，已知∠BDA＝∠CDA，則不一定能使△ABD≌△ACD的條件是………（▲）（A）BD＝DC（B）AB＝AC（C）∠B＝∠C（D）∠BAD＝∠CAD答案：B5.（2024·湖南湘潭·一模）如圖，在和中，已知，還需添加兩個(gè)條件才能使，不能添加的一組條件是A．， B．， C．， D．，答案：C6.（2024·廣東東莞·聯(lián)考）如圖，過(guò)?ABCD的對(duì)角線BD上一點(diǎn)M分別作平行四邊形兩邊的平行線EF與GH，那么圖中的?AEMG的面積S1與?HCFM的面積S2的大小關(guān)系是（）A．S1＞S2 B．S1＜S2 C．S1=S2 D．2S1=S2【考點(diǎn)】平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)．【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定得出平行四邊形GBEP、GPFD，證△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面積相等；同理得出△BEM和△MHB的面積相等，△GMD和△FDM的面積相等，相減即可求出答案．【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，EF∥BC，HG∥AB，∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，∴四邊形HBEM、GMFD是平行四邊形，在△ABD和△CDB中；∵，∴△ABD≌△CDB（SSS），即△ABD和△CDB的面積相等；同理△BEM和△MHB的面積相等，△GMD和△FDM的面積相等，故四邊形AEMG和四邊形HCFM的面積相等，即S1=S2．故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是求出△ABD和△CDB的面積相等，△BEP和△PGB的面積相等，△HPD和△FDP的面積相等，注意：如果兩三角形全等，那么這兩個(gè)三角形的面積相等7.（2024·廣東深圳·一模）如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為3的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連接PQ交邊AC于點(diǎn)D，則DE的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．不能確定【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)．【專題】證明題．【分析】過(guò)P作PF∥BC交AC于F，得出等邊三角形APF，推出AP=PF=QC，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)求出EF=AE，證△PFD≌△QCD，推出FD=CD，推出DE=AC即可．【解答】解：過(guò)P作PF∥BC交AC于F，∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，∠APF=∠B=60°，∠AFP=∠ACB=60°，∠A=60°，∴△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ，在△PFD和△QCD中，∴△PFD≌△QCD，∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，∵AC=3，∴DE=，故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題綜合考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，等邊三角形的性質(zhì)和判定，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，能綜合運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理是解此題的關(guān)鍵，通過(guò)做此題培養(yǎng)了學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，題型較好，難度適中．填空題1．（2024·天津市和平區(qū)·一模）如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD=66°，則∠AEB的大小=126°．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)．【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，CD=CE，得出∠BCD=∠ACE，由SAS證明△BCD≌△ACE，得出∠CBD=∠CAE，再證明∠CBD﹣6°=∠ABE，得出∠ABE=∠CAE﹣6°，求出∠ABE+∠BAE=∠BAC﹣6°，即可求出∠AEB的大?。窘獯稹拷猓骸摺鰽BC和△CDE都是等邊三角形，∴BC=AC，∠ABC=∠ACB=∠BAC=∠DCE=60°，CD=CE，∴∠BCD=∠ACE，在△BCD和△ACE中，，∴△BCD≌△ACE（SAS），∴∠CBD=∠CAE，∵∠EBD=66°，∴∠CBD=∠ABE+（66°﹣60°）∴∠ABE=∠CAE﹣6°，∵∠ABE+∠BAE=∠CAE+∠BAE﹣6°=∠BAC﹣6°=54°，∴∠AEB=180°﹣54°=126°；故答案為：126°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等得出對(duì)應(yīng)角相等是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2024·天津五區(qū)縣·一模）如圖，AB=AC，要使△ABE≌△ACD，應(yīng)添加的條件是∠B=∠C或AE=AD（添加一個(gè)條件即可）．【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】開(kāi)放型．【分析】要使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，∠A=∠A，則可以添加一個(gè)邊從而利用SAS來(lái)判定其全等，或添加一個(gè)角從而利用AAS來(lái)判定其全等．【解答】解：添加∠B=∠C或AE=AD后可分別根據(jù)ASA、SAS判定△ABE≌△ACD．故答案為：∠B=∠C或AE=AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．添加時(shí)注意：AAA、SSA不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵．三、解答題1．(2024·重慶巴蜀·一模）如圖，點(diǎn)C，D在線段BF上，AB∥DE，AB=DF，BC=DE．求證：AC=FE．【分析】首先由AB∥DE，可以得到∠B=∠EDF，然后利用SAS證明△ABC與△DEF全等，最后利用全等三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】證明：∵AB∥DE，∴∠B=∠EDF，在△ABC與△DEF中，，∴△ABC≌△DEF（SAS），∴AC=FE．2．(2024·重慶巴南·一模）已知：∠D=∠E，AD=AE，∠1=∠2．求證：BD=CE．【分析】先證出∠BAD=∠CAE，再由ASA證明△ABD≌△ACE，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可．【解答】證明：∵∠1=∠2，∴∠BAD=∠CAE，在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（ASA），∴BD=CE3.(2024·重慶銅梁巴川·一模）如圖，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點(diǎn)A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D．求證：AB=CD．【分析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠B=∠C，再根據(jù)AAS證出△ABE≌△DCF，從而得出AB=CD．【解答】解：∵AB∥CD，∴∠B=∠C，在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF，∴AB=CD．4．(2024·重慶巴南·一模）如圖，?ABCD中，點(diǎn)E是BC邊上的一點(diǎn)，且DE=BC，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥CD于點(diǎn)F，交DE于點(diǎn)G，連結(jié)AE、EF．（1）若AE平分∠BAF，求證：BE=GE；（2）若∠B=70°，求∠CDE的度數(shù)．（3）若點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，求證：∠AEF=2∠EFC．【分析】（1）由四邊形ABCD是平行四邊形，DE=BC，易證得∠AEB=∠AEG，又由AE平分∠BAF，可證得△ABE≌△AGE，即可證得BE=GE；（1）由（1）可知△ABE≌△AGE，故此可知∠DGF=∠AGE=70°，在Rt△DGF中，利用直角三角形兩銳角互余可求得∠CDE=20°；（3）延長(zhǎng)AE，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M，易證得△ABE≌△MCE，又由AF⊥CD，可得EF是Rt△AFM的斜邊上的中線，繼而證得結(jié)論．【解答】解：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC．∴∠DAE=∠AEB．∵DE=BC，∴AD=DE．∴∠DAE=∠AED．∴∠AEB=∠AED．∵AE平分∠BAF，∴∠BAE=∠GAE．在△ABE和△AGE中，，∴△ABE≌△AGE（ASA）．∴BE=GE．（2）由（1）可知：△ABE≌△AGE，∴∠B=∠EGA=70°．∴∠DGF=∠EGA=70°．∵AF⊥CD，∴∠GFD=90°．∴∠GDF+∠DGF=90°．∴∠CDE=90°﹣70°=20°．（3）延長(zhǎng)AE，交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)M．∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB∥CD．∴∠BAF=∠AFD，∠M=∠BAE．∵點(diǎn)E是BC邊上的中點(diǎn)，∴BE=CE．在△ABE和△MCE中，，∴△ABE≌△MCE（AAS）．∴AE=ME．∵AF⊥CD，∴EF=AE=EM=AM．∴∠M=∠EFC．∴∠AEF=∠BAE+∠EFC=2∠EFC．5、（2024齊河三模）如圖1：在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)．且∠EAF＝60°．探究圖中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．小王同學(xué)探究此問(wèn)題的方法是，延長(zhǎng)FD到點(diǎn)G，使DG＝BE．連結(jié)AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是EF＝BE＋DF；探索延伸：如圖2，若在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°．E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說(shuō)明理由；實(shí)際應(yīng)用：如圖3，在某次軍事演習(xí)中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時(shí)的速度前進(jìn).1.5小時(shí)后，指揮中心觀測(cè)到甲、乙兩艦艇分別到達(dá)E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角為70°，試求此時(shí)兩艦艇之間的距離？答案：解：?jiǎn)栴}背景：EF＝BE＋DF；探索延伸：EF＝BE＋DF仍然成立．證明如下：如圖，延長(zhǎng)FD到G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B＋∠ADC＝180°，∠ADC＋∠ADG＝180°，∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG（SAS），∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG＋∠DAF＝∠BAE＋∠DAF＝∠BAD－∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△GAF中，，∴△AEF≌△GAF（SAS），∴EF＝FG，∵FG＝DG＋DF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF；實(shí)際應(yīng)用：如圖，連接EF，延長(zhǎng)AE、BF相交于點(diǎn)C，∵∠AOB＝30°＋90°＋（90°－70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EAF＝∠AOB，又∵OA＝OB，∠OAC＋∠OBC＝（90°－30°）＋（70°＋50°）＝180°，∴符合探索延伸中的條件，∴結(jié)論EF＝AE＋BF成立，即EF＝1.5×（60＋80）＝210海里．答：此時(shí)兩艦艇之間的距離是210海里．6、（2024青島一模）已知：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E在邊AD上，點(diǎn)F在邊BC上，且AE=CF，作EG∥FH，分別與對(duì)角線BD交于點(diǎn)G、H，連接EH，F(xiàn)G．（1）求證：△BFH≌△DEG；（2）連接DF，若BF=DF，則四邊形EGFH是什么特殊四邊形？證明你的結(jié)論．【考點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定．【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得出AD∥BC，AD=BC，OB=OD，由平行線的性質(zhì)得出∠FBH=∠EDG，∠OHF=∠OGE，得出∠BHF=∠DGE，求出BF=DE，由AAS即可得出結(jié)論；（2）先證明四邊形EGFH是平行四邊形，再由等腰三角形的性質(zhì)得出EF⊥GH，即可得出四邊形EGFH是菱形．【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AD=BC，OB=OD，∴∠FBH=∠EDG，∵AE=CF，∴BF=DE，∵EG∥FH，∴∠OHF=∠OGE，∴∠BHF=∠DGE，在△BFH和△DEG中，，∴BFH≌△DEG（AAS）；（2）解：四邊形EGFH是菱形；理由如下：連接DF，如圖所示：由（1）得：BFH≌△DEG，∴FH=EG，又∵EG∥FH，∴四邊形EGFH是平行四邊形，∵BF=DF，OB=OD，∴EF⊥BD，∴EF⊥GH，∴四邊形EGFH是菱形．7、（2024青島一模）把Rt△ABC和Rt△DEF按如圖（1）擺放（點(diǎn)C與E重合），點(diǎn)B、C（E）、F在同一條直線上．已知：∠ACB=∠EDF=90°，∠DEF=45°，AC=8cm，BC=6cm，EF=10cm．如圖（2），△DEF從圖（1）的位置出發(fā)，以1cm/s的速度沿CB向△ABC勻速移動(dòng)，在△DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)P從△ABC的頂點(diǎn)A出發(fā)，以2cm/s的速度沿AB向點(diǎn)B勻速移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn)P移動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)P停止移動(dòng)，△DEF也隨之停止移動(dòng)．DE與AC交于點(diǎn)Q，連接PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t（s）．（1）用含t的代數(shù)式表示線段AP和AQ的長(zhǎng)，并寫出t的取值范圍；（2）連接PE，設(shè)四邊形APEQ的面積為y（cm2），試探究y的最大值；（3）當(dāng)t為何值時(shí)，△APQ是等腰三角形．【考點(diǎn)】相似三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】動(dòng)點(diǎn)型．【分析】（1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出CQ、AQ，從而得出結(jié)論，（2）作PG⊥x軸，將四邊形的面積表示為S△ABC﹣S△BPE﹣S△QCE即可求解，（3）根據(jù)題意以及三角形相似對(duì)邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論．【解答】（1）解：AP=2t∵∠EDF=90°，∠DEF=45°，∴∠CQE=45°=∠DEF，∴CQ=CE=t，∴AQ=8﹣t，t的取值范圍是：0≤t≤5；（2）過(guò)點(diǎn)P作PG⊥x軸于G，可求得AB=10，SinB=，PB=10﹣2t，EB=6﹣t，∴PG=PBSinB=（10﹣2t）∴y=S△ABC﹣S△PBE﹣S△QCE==∴當(dāng)（在0≤t≤5內(nèi)），y有最大值，y最大值=（cm2）（3）若AP=AQ，則有2t=8﹣t解得：（s）若AP=PQ，如圖①：過(guò)點(diǎn)P作PH⊥AC，則AH=QH=，PH∥BC∴△APH∽△ABC，∴，即，解得：（s）若AQ=PQ，如圖②：過(guò)點(diǎn)Q作QI⊥AB，則AI=PI=AP=t∵∠AIQ=∠ACB=90°∠A=∠A，∴△AQI∽△ABC∴即，解得：（s）綜上所述，當(dāng)或或時(shí)，△APQ是等腰三角形．8．(2024·浙江杭州蕭山區(qū)·模擬)在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P．求證：PB=PC，并直接寫出圖中其他相等的線段．【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)．【專題】幾何圖形問(wèn)題．【分析】可證明△ABF≌△ACE，則BF=CE，再證明△BEP≌△CFP，則PB=PC，從而可得出PE=PF，BE=CF．【解答】解：在△ABF和△ACE中，，∴△ABF≌△ACE（SAS），∴∠ABF=∠ACE（全等三角形的對(duì)應(yīng)角相等），∴BF=CE（全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等），∵AB=AC，AE=AF，∴BE=CF，在△BEP和△CFP中，，∴△BEP≌△CFP（AAS），∴PB=PC，∵BF=CE，∴PE=PF，∴圖中相等的線段為PE=PF，BE=CF，BF=CE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，是基礎(chǔ)題，難度不大．9．(2024·云南省·一模)在△ABC中，AB=AC，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AC上，AE=AF，BF與CE相交于點(diǎn)P．求證：△EBC≌△FCB．【考點(diǎn)】全等三角形的判定．【專題】證明題．【分析】首先根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠ABC=∠ACB，再根據(jù)等式的性質(zhì)可得BE=CF，然后再利用SAS判定△EBC≌△FCB．【解答】證明：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，∵AE=AF，∴AB﹣AE=AC﹣AF即BE=CF，在△EBC和△FCB中，，∴△EBC≌△FCB（SAS）．【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件．10.（2024·吉林長(zhǎng)春朝陽(yáng)區(qū)·一模）探究：如圖①，△ABC是等邊三角形，在邊AB、BC的延長(zhǎng)線上截取BM=CN，連結(jié)MC、AN，延長(zhǎng)MC交AN于點(diǎn)P．（1）求證：△ACN≌△CBM；（2）∠CPN=120°．應(yīng)用：將圖①的△ABC分別改為正方形ABCD和正五邊形ABCDE，如圖②、③，在邊AB、BC的延長(zhǎng)線上截取BM=CN，連結(jié)MC、DN，延長(zhǎng)MC交DN于點(diǎn)P，則圖②中∠CPN=90°；圖③中∠CPN=72°．拓展：若將圖①的△ABC改為正n邊形，其它條件不變，則∠CPN=°（用含n的代數(shù)式表示）．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【分析】探究：（1）利用等邊三角形的性質(zhì)得到BC=AC，∠ACB=∠ABC，從而得到△ACN≌△CBM．（2）利用全等三角形的性質(zhì)得到∠CAN=∠BCM，再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和，即可求解．應(yīng)用：利用正方形（或正五邊形）的性質(zhì)得到BC=DC，∠ABC=∠BCD，從而判斷出△DCN≌△CBM，再利用全等三角形的性質(zhì)得到∠CDN=∠BCM，再利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和（或者三角形的內(nèi)角和），即可．拓展：利用正n五邊形的性質(zhì)得到BC=DC，∠ABC=∠BCD，從而判斷出△DCN≌△CBM，再利用全等三角形的性質(zhì)得到∠CDN=∠BCM，再利用三角形的內(nèi)角和，即可．【解答】探究：（1）解：∵△ABC是等邊三角形，∴BC=AC，∠ACB=∠ABC=60°．∴∠ACN=∠CBM=60°．在△ACN和△CBM中，∴△ACN≌△CBM．（2）解：∵△DCN≌△CBM，∴∠CAN=∠BCM，∵∠ABC=∠BMC+∠BCM，∠BAN=∠BAC+∠CAN，∴∠CPN=∠BMC+∠BAN=∠BMC+∠BAC+∠CAN=∠BMC+∠BAC+∠BCM=∠ABC+∠BAC=60°+60°=120°，故答案為120．應(yīng)用：將等邊三角形換成正方形，解：四邊形ABCD是正方形，∴BC=DC，∠ABC=∠BCD=90°．∴∠MBC=∠DCN=120°．在△DCN和△CBM中，∴△DCN≌△CBM．∴∠CDN=∠BCM，∵∠BCM=∠PCN∴∠CDN=∠PCN在Rt△DCN中，∠CDN+∠CND=90°，∴∠PCN+∠CND=90°，∴∠CPN=90，將等邊三角形換成正五邊形，五邊形ABCDE是正五邊形，∴BC=DC=108°．∴∠MBC=∠DCN=72°．在△DCN和△CBM中，∴△DCN≌△CBM．∴∠BMC=∠CND，∠BCM=∠CDN，∵∠ABC=∠BMC+∠BCM=108°∴∠CPN=180°﹣（∠CND+∠PCN）=180°﹣（∠CND+∠BCM）=180°﹣（∠BCM+∠BMC）=180°﹣108°=72°．故答案為90，72．拓展解：方法和上面正五邊形的方法一樣，得到∠CPN=180°﹣（∠CND+∠PCN）=180°﹣（∠CND+∠BCM）=180°﹣（∠BCM+∠BMC）=180°﹣108°=72°故答案為．【點(diǎn)評(píng)】本題是四邊形的綜合題，也是一道規(guī)律題，主要考查了正n邊形的性質(zhì)，涉及知識(shí)點(diǎn)比較多，如等邊三角形、正方形、正五邊形的性質(zhì)，如由四邊形ABCD是正方形，得到BC=DC，∠ABC=∠BCD=90°，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等，解題的關(guān)鍵是充分利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和（或者三角形的內(nèi)角和）．11．（2024·湖南省岳陽(yáng)市十二校聯(lián)考·一模）數(shù)學(xué)活動(dòng)：擦出智慧的火花﹣﹣﹣由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想．?dāng)?shù)學(xué)課上，李老師出示了問(wèn)題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AE，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G．．（1）求證：∠BAE=∠FEG．（2）同學(xué)們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖2，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)．∠AEF=90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線于點(diǎn)F，求證：AE=EF．經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)M，連接ME，則AM=EC，易證△AME≌△ECF，所以AE=EF．請(qǐng)借助圖1完成小明的證明；在（2）的基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究：（3）小聰提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B，C外）的任意一點(diǎn)”，其它條件不變，那么結(jié)論“AE=EF”仍然成立，你認(rèn)為小聰?shù)挠^點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫出證明過(guò)程；如果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由．【考點(diǎn)】四邊形綜合題．【分析】（1）根據(jù)∠AEF=90°，即可得到∠AEB+∠FEG=90°，在直角△ABE中，利用三角形內(nèi)角和定理得到∠BAE+∠AEB=90°，然后根據(jù)同角的余角相等，即可證得；（2）作AB的中點(diǎn)M，連接ME，根據(jù)ASA即可證明△AME≌△ECF，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得；（3）在AB上取一點(diǎn)M，使AM=EC，連接ME，同（2）根據(jù)ASA即可證明△AME≌△ECF，然后根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等即可證得．【解答】解：（1）∵∠AEF=90°，∴∠AEB+∠FEG=90°，又∵直角△ABE中，∠BAE+∠AEB=90°，∴∠BAE=∠FEG；（2）作AB的中點(diǎn)M，連接ME．∵正方形ABCD中，AB=BC，又∵AM=MB=AB，BE=CE=BC，∴MB=BE，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，又∵∠ECF=180°﹣∠FCG=180°﹣45°=135°．∴∠AME=∠ECF，∴在△AME和△ECF中，，∴△AME≌△ECF，∴AE=EF；（3）在AB上取一點(diǎn)M，使AM=EC，連接ME．∴BM=BE，∴∠BME=45°，∴∠AME=135°，∵CF是外角平分線，∴∠DCF=45°，∴∠ECF=135°∴∠AME=∠ECF∵∠AEB+∠BAE=90°，∠AEB+∠CEF=90°∴∠BAE=∠CEF∴在△AME和△ECF中，，∴△AME≌△ECF（ASA），∴AE=EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，要注意題目之間的聯(lián)系，正確作出輔助線構(gòu)造全等的三角形是本題的關(guān)鍵．12.（2024·湖北襄陽(yáng)·一模）(本題11分）如圖，在正方形ABCD中，AB=5，P是BC邊上任意一點(diǎn)，E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連接AP，作PF⊥AP，使PF＝PA，連接CF，AF，AF交CD邊于點(diǎn)G，連接PG．（1）求證：∠GCF＝∠FCE；（2）判斷線段PG，PB與DG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）若BP＝2，在直線AB上是否存在一點(diǎn)M，使四邊形DMPF是平行四邊形，若存在，求出BM的長(zhǎng)度，若不存在，說(shuō)明理由．第1題答案：（1）證明：過(guò)點(diǎn)F作FH⊥BE于點(diǎn)H，HKMHKM∴∠ABC＝∠PHF＝∠DCB＝90o,AB＝BC，∴∠BAP＋∠APB＝90o∵AP⊥PF,∴∠APB＋∠FPH＝90o∴∠FPH＝∠BAP又∵AP＝PF∴△BAP≌△HPF∴PH＝AB，BP＝FH∴PH＝BC∴BP＋PC＝PC＋CH∴CH＝BP＝FH而∠FHC＝90o.∴∠FCH＝CFH＝45o∴∠DCF＝90o－45o＝45o∴∠GCF＝∠FCE（2）PG＝PB＋DG證明：延長(zhǎng)PB至K，使BK=DG,∵四邊形ABCD是正方形∴AB=AD,∠ABK＝ADG=90o∴△ABK≌△ADG∴AK=AG,∠KAB＝∠GAD,而∠APF=90o,AP=PF∴∠PAF＝∠PFA＝45o∴∠BAP＋∠KAB＝∠KAP＝45o＝∠PAF∴△KAP≌△GAP∴KP=PG,∴KB＋BP=DG＋BP＝PG即，PG＝PB＋DG；（3）存在.如圖，在直線AB上取一點(diǎn)M，使四邊形DMPF是平行四邊形，則MD∥PF，且MD＝FP，又∵PF=AP，∴MD=AP∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=AD，∠ABP=∠DAM∴△ABP≌△DAM∴AM＝BP=2，∴BM＝AB－AM=5－2=3.∴當(dāng)BM=3，BM+AM=AB時(shí)，四邊形DMPF是平行四邊形．13..（2024·廣東·一模）（本題滿分10分）定義：數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，樂(lè)老師給出如下定義：有一組對(duì)邊相等而另一組對(duì)邊不相等的凸四邊形叫做對(duì)等四邊形．理解：（1）如圖1，已知A、B、C在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上，請(qǐng)?jiān)诜礁駡D中畫出以格點(diǎn)為頂點(diǎn)，AB、BC為邊的兩個(gè)對(duì)等四邊形ABCD；（2）如圖2，在圓內(nèi)接四邊形ABCD中，AB是⊙O的直徑，AC=BD．求證：四邊形ABCD是對(duì)等四邊形；（3）如圖3，在Rt△PBC中，∠PCB=90°，BC=11，tan∠PBC=，點(diǎn)A在BP邊上，且AB=13．用圓規(guī)在PC上找到符合條件的點(diǎn)D，使四邊形ABCD為對(duì)等四邊形，并求出CD的長(zhǎng)．解：（1）如圖1所示（畫2個(gè)即可）．（2）如圖2，連接AC，BD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB=∠ACB=90°，在Rt△ADB和Rt△ACB中，∴Rt△ADB≌Rt△ACB，∴AD=BC，又∵AB是⊙O的直徑，∴AB≠CD，∴四邊形ABCD是對(duì)等四邊形．（3）如圖3，點(diǎn)D的位置如圖所示：①若CD=AB，此時(shí)點(diǎn)D在D1的位置，CD1=AB=13；②若AD=BC=11，此時(shí)點(diǎn)D在D2、D3的位置，AD2=AD3=BC=11，過(guò)點(diǎn)A分別作AE⊥BC，AF⊥PC，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BE=x，∵tan∠PBC=，∴AE=，在Rt△ABE中，AE2+BE2=AB2，即，解得：x1=5，x2﹣5（舍去），∴BE=5，AE=12，∴CE=BC﹣BE=6，由四邊形AECF為矩形，可得AF=CE=6，CF=AE=12，在Rt△AFD2中，，∴，，綜上所述，CD的長(zhǎng)度為13、12﹣或12+．13.（2024·廣東河源·一模）已知一張矩形紙片OACB，將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A（11，0），B（0，6），點(diǎn)P為BC邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P不與點(diǎn)B，C重合），經(jīng)過(guò)點(diǎn)O、P折疊該紙片，得點(diǎn)B′和折痕OP．設(shè)BP＝t。（1）如圖①，當(dāng)∠BOP＝30°時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（2）如圖②，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P再次折疊紙片，使點(diǎn)C落在直線PB′上，得點(diǎn)C′和折痕PQ，若AQ＝m，試用含有t的式子表示m；（3）在（2）的條件下，當(dāng)點(diǎn)C′恰好落在邊OA上時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)。（直接寫出結(jié)果即可）①①②解：（1）根據(jù)題意，有∠OBP=90°，OB=6，在Rt△OBP中，由∠BOP=30°，BP=t，得OP＝2t.∵OP2＝OB2+BP2，即（2t）2＝62+t2，解得t1＝，t2＝－（舍去）．∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）．（2）∵△OB′P，△QC′P分別是由△OBP，△QCP折疊得到的，∴△OB′P≌△OBP，△QC′P≌△QCP.∴∠OPB′＝∠OPB，∠QPC′＝∠QPC.∵∠OPB′+∠OPB+∠QPC′+∠QPC＝180°，∴∠OPB+∠QPC＝90°.∵∠BOP+∠OPB＝90°，∴∠BOP＝∠CPQ.又∵∠OBP＝∠C=90°，∴△OBP∽△PCQ.∴.由題意知，BP＝t，AQ＝m，BC＝11，AC＝6，則PC＝11－t，CQ＝6－m．∴∴（0＜t＜11）.（3）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，6）或（，6）.三角形的邊與角一、選擇題1．（2024·天津南開(kāi)區(qū)·二模）如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，E為AB上一點(diǎn)，分別以ED，EC為折痕將兩個(gè)角（∠A，∠B）向內(nèi)折起，點(diǎn)A，B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處.若AD=3，BC=5，則EF的值是（

）A． B．2 C． D．2考點(diǎn)：三角形中的角平分線、中線、高線答案：A試題解析：∵分別以ED，EC為折痕將兩個(gè)角（∠A，∠B）向內(nèi)折起，點(diǎn)A，B恰好落在CD邊的點(diǎn)F處，∴EA=EF，BE=EF，DF=AD=3，CF=CB=5，∴AB=2EF，DC=DF+CF=8，作DH⊥BC于H，∵AD∥BC，∠B=90°，∴四邊形ABHD為矩形，∴DH=AB=2EF，HC=BC﹣BH=BC﹣AD=5﹣3=2，在Rt△DHC中，DH==2，∴EF=DH=．故選：A．2．（2024·天津五區(qū)縣·一模）如圖，在△A1B1C1中，已知A1B1=7，B1C1=4，A1C1=5，依次連接△A1B1C1三邊中點(diǎn)，得△A2B2C2，再依次連接△A2B2C2的三邊中點(diǎn)得△A3B3C3，…，則△A5B5C5的周長(zhǎng)為1．【考點(diǎn)】三角形中位線定理．【專題】壓軸題；規(guī)律型．【分析】由三角形的中位線定理得：A2B2、B2C2、C2A2分別等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周長(zhǎng)等于△A1B1C1的周長(zhǎng)的一半，以此類推可求出△A5B5C5的周長(zhǎng)為△A1B1C1的周長(zhǎng)的．【解答】解：∵A2B2、B2C2、C2A2分別等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，∴以此類推：△A5B5C5的周長(zhǎng)為△A1B1C1的周長(zhǎng)的，∴則△A5B5C5的周長(zhǎng)為（7+4+5）÷16=1．故答案為：1【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形的中位線定理，關(guān)鍵是根據(jù)三角形的中位線定理得：A2B2、B2C2、C2A2分別等于A1B1、B1C1、C1A1的一半，所以△A2B2C2的周長(zhǎng)等于△A1B1C1的周長(zhǎng)的一半．3．2024泰安一模）將一副三角板按圖中的方式疊放，則∠α等于（）A．75° B．60° C．45° D．30°【考點(diǎn)】三角形內(nèi)角和定理．【分析】首先根據(jù)三角板可知：∠CBA=60°，∠BCD=45°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，可以求出∠α的度數(shù)．【解答】解：∵∠CBA=60°，∠BCD=45°，∴∠α=180°﹣60°﹣45°=75°，故選：A4..（2024·廣東·一模）若三角形的兩邊長(zhǎng)分別為6㎝，9cm，則其第三邊的長(zhǎng)可能為()A．2㎝B．3cm C．7㎝ D．16cm答案：C5.（2024·廣東河源·一模）如圖，在Rt△ABC中，∠A＝30°，DE垂直平分斜邊AC，E為垂足，且交AB于點(diǎn)D，連接CD，若BD＝1，則AC的長(zhǎng)是（）A．2 B.2C．4D．4答案：A6.（2024·河北石家莊·一模）下列圖形中，∠1一定大于∠2的是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)；對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角；平行線的性質(zhì)；圓周角定理．【分析】根據(jù)對(duì)頂角、內(nèi)錯(cuò)角、外角、圓周角的性質(zhì)，對(duì)選項(xiàng)依次判斷即可得出答案．【解答】解：A、根據(jù)對(duì)頂角相等，∠1=∠2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、根據(jù)兩直線平行、內(nèi)錯(cuò)角相等，∠1=∠2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；C、根據(jù)外角等于不相鄰的兩內(nèi)角和，∠1＞∠2，故本選項(xiàng)正確；D、根據(jù)圓周角性質(zhì)，∠1=∠2，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了對(duì)頂角、內(nèi)錯(cuò)角、外角、圓周角的性質(zhì)，難度適中．7.．（2024·吉林長(zhǎng)春朝陽(yáng)區(qū)·一模）已知如圖，△ABC為直角三角形，∠C=90°，若沿圖中虛線剪去∠C，則∠1+∠2等于（）A．315° B．270° C．180° D．135°【考點(diǎn)】三角形的外角性質(zhì)．【分析】利用三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和解答．【解答】解：∵∠1、∠2是△CDE的外角，∴∠1=∠4+∠C，∠2=∠3+∠C，即∠1+∠2=2∠C+（∠3+∠4），∵∠3+∠4=180°﹣∠C=90°，∴∠1+∠2=2×90°+90°=270°．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了三角形內(nèi)角與外角的關(guān)系：三角形的任一外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角之和．8.(2024·山東棗莊·模擬)從長(zhǎng)度分別為1、3、5、7的四條線段中任選三條作邊，能構(gòu)成三角形的概率為（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】列表法與樹(shù)狀圖法；三角形三邊關(guān)系．【分析】從四條線段中任意選取三條，找出所有的可能，以及能構(gòu)成三角形的情況數(shù)，即可求出所求的概率．【解答】解：從四條線段中任意選取三條，所有的可能有：1，3，5；1，3，7；1，5，7；3，5，7共4種，其中構(gòu)成三角形的有3，5，7共1種，則P（構(gòu)成三角形）=．故選C．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了列表法與樹(shù)狀圖法，以及三角形的三邊關(guān)系，用到的知識(shí)點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．二、填空題1．第1題ACDBOPQ（2024·天津北辰區(qū)·一摸）如圖，在ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，P是BC第1題ACDBOPQ答案：2..（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）從長(zhǎng)度分別為x(x為正整數(shù))4、6、8的四條線段中任選三條作邊，能構(gòu)成三角形的概率為，若長(zhǎng)為x的線段在四條線段中最短，則x可取的值為_(kāi)____________．答案：1或23.（2024·江蘇常熟·一模）如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=50°，將其折疊，使點(diǎn)A落在邊CB上A′處，折痕為CD，則∠A′DB為10°．【考點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)；三角形的外角性質(zhì)．【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知∠CA′D=∠A=50°，然后根據(jù)外角定理可得出∠A′DB．【解答】解：由題意得：∠CA′D=∠A=50°，∠B=40°，由外角定理可得：∠CA′D=∠B+∠A′DB，∴可得：∠A′DB=10°．故答案為：10°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查軸對(duì)稱的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題，注意外角定理的運(yùn)用是解決本題的關(guān)鍵．4.(2024·上海普陀區(qū)·一模)如圖，點(diǎn)G為△ABC的重心，DE經(jīng)過(guò)點(diǎn)G，DE∥AC，EF∥AB，如果DE的長(zhǎng)是4，那么CF的長(zhǎng)是2．【考點(diǎn)】三角形的重心．【分析】連接BD并延長(zhǎng)交AC于H，根據(jù)重心的性質(zhì)得到=，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出AC，根據(jù)平行四邊形的判定和性質(zhì)求出AF，計(jì)算即可．【解答】解：連接BD并延長(zhǎng)交AC于H，∵點(diǎn)G為△ABC的重心，∴=，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴==，又DE=4，∴AC=6，∵DE∥AC，EF∥AB，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴AF=DE=4，∴CF=AC﹣AF=2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了重心的概念和性質(zhì)：三角形的重心是三角形三條中線的交點(diǎn)，且重心到頂點(diǎn)的距離是它到對(duì)邊中點(diǎn)的距離的2倍三解答題1.（2024·廣東·一模）（本題滿分6分）如圖，一塊余料ABCD，AD∥BC，現(xiàn)進(jìn)行如下操作：以點(diǎn)B為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫弧，分別交BA，BC于點(diǎn)G，H；再分別以點(diǎn)G，H為圓心，大于GH的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧在∠ABC內(nèi)部相交于點(diǎn)O，畫射線BO，交AD于點(diǎn)E．（1）求證：AB=AE；（2）若∠A=100°，求∠EBC的度數(shù)．解：（1）證明：∵AD∥BC，∴∠AEB=∠EBC．由BE是∠ABC的角平分線，∴∠EBC=∠ABE，∴∠AEB=∠ABE，∴AB=AE；（2）由∠A=100°，∠ABE=∠AEB，得∠ABE=∠AEB=40°．由AD∥BC，得∠EBC=∠AEB=40°．2.（2024·廣東河源·一模）如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠CAB＝30°。（1）用直尺和圓規(guī)作AC邊上的高線BD交AC于點(diǎn)D（保留作圖痕跡，不要求寫作法）；（2）在（1）中作出AC邊上的高線BD后，求∠DBC的度數(shù)。實(shí)數(shù)一、選擇題1．（2024·天津市南開(kāi)區(qū)·一模）估計(jì)的值（）A．在4和5之間 B．在3和4之間 C．在2和3之間 D．在1和2之間【考點(diǎn)】估算無(wú)理數(shù)的大?。緦ｎ}】存在型．【分析】先估算出的大小，進(jìn)而可得出結(jié)論．【解答】解：∵25＜31＜36，∴5＜＜6，∴3＜﹣2＜4．故選B．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是估算無(wú)理數(shù)的大小，先根據(jù)題意估算出的取值范圍是解答此題的關(guān)鍵．2．(2024·重慶銅梁巴川·一模）的算術(shù)平方根是（）A．2 B．±2 C． D．±【分析】先求得的值，再繼續(xù)求所求數(shù)的算術(shù)平方根即可．【解答】解：∵=2，而2的算術(shù)平方根是，∴的算術(shù)平方根是，故選：C．3．(2024·山西大同·一模）在下列四個(gè)數(shù)中，比0小的數(shù)是（）A．0.2 B． C． D．答案：C4．(2024·四川峨眉·二模）下列計(jì)算正確的是答案：D5.（2024·蘇州·二模）函數(shù)中自變量的取值范圍是（）A.B.C.D.答案：A 6.（2024·青島·一模）2015年末青島市常住人口數(shù)約為9050000人，將9050000用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A．9.05×106 B．0.905×106 C．0.905×107 D．9.05×107【考點(diǎn)】科學(xué)記數(shù)法—表示較大的數(shù)．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：將9050000用科學(xué)記數(shù)法表示為：9.05×106．故選A．7.（2024·泰安·一模）﹣是的（）A．相反數(shù) B．倒數(shù) C．絕對(duì)值 D．算術(shù)平方根【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì)．【分析】和為0的兩數(shù)為相反數(shù)，由此即可求解．【解答】解：∵﹣+=0，∴﹣是的相反數(shù)．故選：A．8.（2024·泰安·一模）下面計(jì)算正確的是（）A．3+=3 B．÷=3 C．?= D．=±2【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的運(yùn)算．【分析】A、根據(jù)合并二次根式的法則即可判定；B、根據(jù)二次根式的除法法則即可判定；C、根據(jù)二次根式的乘法法則即可判定；D、根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可判定．【解答】解：A、不能合并，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；B、÷==3，故選項(xiàng)正確；C、，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；D、=2，故選項(xiàng)錯(cuò)誤．故選B．9.（2024·棗莊41中·一模）下列運(yùn)算正確的是（）A．2a2?3a3=6a6 B．2xa+xa=3x2a2 C．（﹣2a）3=﹣6a3 D．a(chǎn)5÷a4=a【考點(diǎn)】同底數(shù)冪的除法；合并同類項(xiàng)；冪的乘方與積的乘方；單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式．【分析】根據(jù)單項(xiàng)式乘單項(xiàng)式的運(yùn)算法則、合并同類項(xiàng)法則、積的乘方和同底數(shù)冪的除法法則進(jìn)行計(jì)算，選擇得到答案．【解答】解：2a2?3a3=6a5，A錯(cuò)誤；2xa+xa=3xa，B錯(cuò)誤；（﹣2a）3=﹣8a3，C錯(cuò)誤；a5÷a4=a，D正確，故選：D．10.(2024·云南省曲靖市羅平縣·二模)實(shí)數(shù)﹣2024·的絕對(duì)值是（）A．2024· B．﹣2024· C．±2024· D．【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)的性質(zhì)．【分析】根據(jù)負(fù)數(shù)的絕對(duì)值是它的相反數(shù)，可得答案．【解答】解：﹣2024·的絕對(duì)值是|﹣2024·|=2024·，故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)的性質(zhì)，利用了負(fù)數(shù)的絕對(duì)值它的相反數(shù)是解題關(guān)鍵．11.(2024·云南省·一模)下列運(yùn)算中正確的是（）A．π0=1 B． C．2﹣2=﹣4 D．﹣|﹣2|=2【考點(diǎn)】零指數(shù)冪；絕對(duì)值；負(fù)整數(shù)指數(shù)冪；二次根式的性質(zhì)與化簡(jiǎn)．【分析】根據(jù)非零的零次冪等于1，二次根式的性質(zhì)，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)，可得答案．【解答】解：A、非零的零次冪等于1，故A正確；B、=|x|，故B錯(cuò)誤；C、負(fù)整數(shù)指數(shù)冪與正整數(shù)指數(shù)冪互為倒數(shù)，故C錯(cuò)誤；D、﹣|﹣2|=﹣2，故D錯(cuò)誤；故選：A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了零指數(shù)冪，利用非零的零次冪等于1是解題關(guān)鍵，注意=|x|．12.(2024·鄭州·二模)給出四個(gè)數(shù)0，，．－1，其中最小的是（）A．－1 B． C． D．0答案：A13.(2024·陜西師大附中·模擬)在，，，這四個(gè)數(shù)中，最大的數(shù)是（）A.B.C.D.【答案】A14、(2024·上海閔行區(qū)·二模)在下列各式中，二次根式的有理化因式是（）A． B． C． D．【考點(diǎn)】分母有理化．【分析】直接利用有理化因式的定義得出答案．【解答】解：∵×=a﹣1，∴二次根式的有理化因式是：．故選：B．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了有理化因式的定義，正確把握有理化因式的定義是解題關(guān)鍵．15.（2024·吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué)·一模）2015長(zhǎng)春第四屆交通之聲年末百姓購(gòu)車節(jié)于12月11日—13日在長(zhǎng)春國(guó)際會(huì)展中心舉行，據(jù)統(tǒng)計(jì)，這三天共銷售各種車輛約臺(tái)，這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為（A）．（B）．（C）．（D）．答案：B16．（2024·河南洛陽(yáng)·一模）計(jì)算：(-20)×(-2)-1—-(2024)0=.答案：617．（2024·河北石家莊·一模）﹣2的倒數(shù)是（）A．﹣2 B．﹣ C． D．2【考點(diǎn)】倒數(shù)．【分析】根據(jù)倒數(shù)的意義，乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)，據(jù)此解答．【解答】解：∵﹣2×=1．∴﹣2的倒數(shù)是﹣，故選：B．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查倒數(shù)的意義，解決本題的關(guān)鍵是熟記乘積是1的兩個(gè)數(shù)叫做互為倒數(shù)．18.（2024·河大附中·一模）下列各數(shù)中，最小的數(shù)是()A．|-3|B．C．D．π答案：B19.（2024·河大附中·一模）目前網(wǎng)購(gòu)越來(lái)越多成為人們的一種消費(fèi)方式，在2024年的“元旦”的促銷活動(dòng)中天貓和淘寶的支付交易額突破57000000000元，將數(shù)字57000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為()A．5.7×109B．57×l09C．5.7×1010D．0.57×1011答案：C20．（2024·黑龍江大慶·一模）的相反數(shù)為（）A．2 B．-2 C． D．答案：C21．（2024·黑龍江大慶·一模）a、b在數(shù)軸上的位置如圖所示，則下列式子正確的是（）A． B． C． D．答案：D第5題22．（2024·黑龍江大慶·一模）今年1月中旬以來(lái)的低溫、雨雪、冰凍天氣，造成全國(guó)多個(gè)地區(qū)發(fā)生不同程度的災(zāi)害，直接經(jīng)濟(jì)損失已達(dá)到了5.379×1010元，將此數(shù)據(jù)用億元表示為（）A．0.5379億元 B．5.379億元 C．53.79億元 D．537.9億元答案：D23．（2024·黑龍江齊齊哈爾·一模）的倒數(shù)是()A.B.C.D.答案：D24．（2024·湖北襄陽(yáng)·一模）的相反數(shù)是()A.B.2C.D.答案：D25．（2024·黑龍江大慶·一模）下列式子正確的是（） A． B． C． D．答案：B26．（2024·廣東·一模）下列運(yùn)算正確的是（） A.3-1=﹣3 B.=±3 C.（ab2）3=a3b6 D.a6÷a2=a3答案：C27．（2024·廣東·一模）估計(jì)的值()A．在2到3之間 B．在3到4之間C．在4到5之間 D．在5到6之間答案：B28.（2024·廣東深圳·一模）如圖，若A是實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)，則關(guān)于a，﹣a，1的大小關(guān)系表示正確的是（）A．a(chǎn)＜1＜﹣a B．a(chǎn)＜﹣a＜1 C．1＜﹣a＜a D．﹣a＜a＜1【考點(diǎn)】實(shí)數(shù)與數(shù)軸．【分析】根據(jù)數(shù)軸可以得到a＜1＜﹣a，據(jù)此即可確定哪個(gè)選項(xiàng)正確．【解答】解：∵實(shí)數(shù)a在數(shù)軸上原點(diǎn)的左邊，∴a＜0，但|a|＞1，﹣a＞1，則有a＜1＜﹣a．故選A．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了實(shí)數(shù)與數(shù)軸的對(duì)應(yīng)關(guān)系，數(shù)軸上的數(shù)右邊的數(shù)總是大于左邊的數(shù)29.（2024·廣東河源·一模）五個(gè)數(shù)中：，﹣1，0，，，是無(wú)理數(shù)的有（）A．0個(gè)B．1個(gè)C．2個(gè) D．3個(gè)答案：B30.（2024·河南三門峽·一模）的倒數(shù)為（）A．B．C．D．答案：C二、填空題1．(2024·重慶銅梁巴川·一模）第十八屆中國(guó)（重慶）國(guó)際投資暨全球采購(gòu)會(huì)上，重慶共簽約528個(gè)項(xiàng)目，簽約金額602000000000元．把數(shù)字602000000000用科學(xué)記數(shù)法表示為．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：602000000000=6.02×1011，故答案為：6.02×1011．2．(2024·重慶巴蜀·一模）計(jì)算（﹣1）2015+|﹣2|﹣（）﹣1的值為．【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)以及絕對(duì)值的性質(zhì)化簡(jiǎn)求出即可．【解答】解：（﹣1）2015+|﹣2|﹣（）﹣1=﹣1+2﹣3=﹣2．故答案為：﹣2．3．(2024·重慶巴蜀·一模）在重慶市“農(nóng)村舊房改造工程”實(shí)施過(guò)程中，某工程隊(duì)做了面積為632000m2的外墻保暖．632000這個(gè)數(shù)用科學(xué)記數(shù)法表示為．【分析】用科學(xué)記數(shù)法表示，科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，n的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值＞1時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【解答】解：632000=6.32×105，故答案為：6.32×105．4．(2024·重慶巴南·一模）中國(guó)政府宣布2015年的國(guó)防預(yù)算將在2014年的1300億美元基礎(chǔ)上增加約10%，達(dá)到1430億美元，1430億元用科學(xué)記數(shù)法表示為元．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值是易錯(cuò)點(diǎn)，由于1430億有12位，所以可以確定n=12﹣1=11．【解答】解：1430億=143000000000=1.43×1011．故答案為：1.43×1011．5.(2024·山西大同·一模）如果菱形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)