《數(shù)學(xué)（上 一冊(cè)）（第二版）》 課件 第2章 函數(shù)

函數(shù)第2章54目錄2.1函數(shù)的概念2.2函數(shù)的性質(zhì)2.3冪函數(shù)2.4指數(shù)函數(shù)2.5對(duì)數(shù)函數(shù)55教學(xué)要求：1.理解函數(shù)的概念，會(huì)用函數(shù)觀察、認(rèn)識(shí)、分析客觀世界中變量之間的關(guān)系。2.學(xué)會(huì)用恰當(dāng)?shù)姆椒ǎń馕龇?、列表法、圖像法）表示函數(shù)，會(huì)解讀用列表法與圖像法表示的函數(shù)關(guān)系的實(shí)際含義。3.會(huì)求一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的定義域。4.理解函數(shù)值的概念，并會(huì)用觀察與分析的方法得到一些簡(jiǎn)單的函數(shù)的值域。5.會(huì)用描點(diǎn)法畫函數(shù)的圖像。6.會(huì)通過(guò)觀察與分析，判斷函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，并能利用函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在有限區(qū)間上的最大值或最小值。567.了解反函數(shù)的概念以及求函數(shù)的反函數(shù)的基本方法。8.了解n次方根的概念，掌握實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則，能熟練地使用計(jì)算器求冪的值。9.了解由指數(shù)式引入對(duì)數(shù)概念的過(guò)程，理解對(duì)數(shù)的含義，掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，能熟練地使用計(jì)算器求對(duì)數(shù)值。10.學(xué)會(huì)運(yùn)用函數(shù)知識(shí)理解和解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題。11.掌握數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法，了解冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)模型的實(shí)際背景，理解它們的概念，了解它們的圖像特征和性質(zhì)，并能夠?qū)⑦@些知識(shí)用于解釋生活和生產(chǎn)中有關(guān)指數(shù)、對(duì)數(shù)規(guī)律變化的問(wèn)題。572.1函數(shù)的概念58我們?cè)诔踔幸呀?jīng)初步接觸了一些有關(guān)函數(shù)的概念：變量在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值發(fā)生變化的量稱為變量。常量在一個(gè)變化過(guò)程中，數(shù)值保持不變的量稱為常量。函數(shù)與自變量在某個(gè)變化過(guò)程中有兩個(gè)變量，設(shè)為x和y，如果對(duì)于x的每一個(gè)確定的值，y都有唯一確定的值與其對(duì)應(yīng)，那么變量y稱為變量x的函數(shù)，x稱為自變量。正比例函數(shù)形如y=kx（k≠0且k是常數(shù)）的函數(shù)稱為正比例函數(shù)，其中常數(shù)k稱為正比例系數(shù)。59反比例函數(shù)形如y=

（k≠0且k是常數(shù)）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)，其中常數(shù)k稱為反比例系數(shù)。一次函數(shù)形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為一次函數(shù)。正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù)。二次函數(shù)形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)稱為二次函數(shù)，其中a，b，c分別是二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)。60函數(shù)的概念我們知道，用不等式表示的x的取值范圍就是滿足相應(yīng)不等式的實(shí)數(shù)x的集合，這種集合可以用區(qū)間表示。因此，實(shí)例考察的“面積”一例中，x的取值范圍可以寫成（0，+∞）；“個(gè)人所得稅”一例中，x的取值范圍可以寫成（5000，8000]。進(jìn)一步考察上面這兩個(gè)例子會(huì)發(fā)現(xiàn)，x每取一個(gè)值，函數(shù)y按照對(duì)應(yīng)法則，都有唯一的值與之對(duì)應(yīng)。由此，我們可以加深對(duì)函數(shù)的認(rèn)識(shí)：61例如，正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的對(duì)應(yīng)關(guān)系是“乘以k”，定義域是（-∞，+∞），值域也是（-∞，+∞）；二次函數(shù)y=x2+c的對(duì)應(yīng)關(guān)系是“求平方再加c”，定義域是（-∞，+∞），值域是[c，+∞）。從函數(shù)的概念可以知道，函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系是構(gòu)成函數(shù)的兩大要素。函數(shù)的定義域和對(duì)應(yīng)關(guān)系確定后，函數(shù)的值域也就隨之確定了。62函數(shù)的表示方法表示兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系的方法有解析法、列表法和圖像法三種。解析法我們學(xué)過(guò)的正比例函數(shù)y=kx（k≠0），反比例函數(shù)y=

（k≠0），一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）都是用解析式來(lái)表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的。這種用解析式來(lái)表示函數(shù)的方法稱為解析法。用解析法表示函數(shù)便于由自變量求出對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，也便于研究函數(shù)的性質(zhì)。63列表法列表法是指用表格來(lái)表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法。例如，下表記錄的是某同學(xué)小學(xué)一年級(jí)到五年級(jí)時(shí)，各學(xué)期的數(shù)學(xué)期末考試成績(jī)。在這里，考試成績(jī)是學(xué)期序號(hào)的函數(shù)。用列表法表示的函數(shù)便于直接查找自變量對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，但有時(shí)會(huì)數(shù)據(jù)不全。64圖像法圖像法是指在平面上用圖像來(lái)表示兩個(gè)變量之間函數(shù)關(guān)系的方法。例如，城市的平均氣溫與平均降水量是隨著時(shí)間變化而變化的，例如圖所示是某城市平均氣溫和平均降水量與時(shí)間的關(guān)系。實(shí)線是氣溫T（單位：℃）隨著時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系，虛線是平均降水量Y（單位：mm）隨著時(shí)間t變化的函數(shù)關(guān)系。函數(shù)的圖像法表示直觀形象，能清晰地反映函數(shù)關(guān)系及變化趨勢(shì)，但有時(shí)無(wú)法畫出函數(shù)的完整圖像。65函數(shù)關(guān)系的建立用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題時(shí)，常常需要把問(wèn)題中的有關(guān)變量及其關(guān)系用數(shù)學(xué)的形式（代數(shù)式、方程、表、圖或其他方法）表示出來(lái)。通常，這個(gè)過(guò)程稱為建立數(shù)學(xué)模型，簡(jiǎn)稱建模。函數(shù)模型是數(shù)學(xué)模型中最常用的一種。由于實(shí)踐中的大量問(wèn)題是兩個(gè)變量之間的關(guān)系問(wèn)題，因此建立兩個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系（函數(shù)模型）是很重要的。66在實(shí)際問(wèn)題中，有時(shí)兩個(gè)變量之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系式要分段來(lái)表示。例如，在省內(nèi)投寄外埠平信，每封信的重量不超過(guò)20g時(shí)，付郵資0.8元；超過(guò)20g而不超過(guò)40g時(shí)，付郵資1.6元；超過(guò)40g而不超過(guò)60g時(shí)，付郵資2.4元。設(shè)平信的重量為xg（0<x≤60），應(yīng)付郵資為y元，則有67①式表示了變量x∈（0，60]與y之間的函數(shù)關(guān)系，其中x是自變量，y是x的函數(shù)。這個(gè)函數(shù)與我們以前熟悉的各種函數(shù)不同，在自變量的不同取值范圍內(nèi)，函數(shù)的對(duì)應(yīng)法則不同。我們把這樣的函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域是自變量的幾個(gè)取值范圍的并集，它的圖像要在同一個(gè)直角坐標(biāo)系內(nèi)逐段畫出。①式所表示的函數(shù)就是一個(gè)定義域?yàn)椋?，60]，值域?yàn)閧0.8，1.6，2.4}的分段函數(shù)，它的圖像如圖所示。在日常生活和科學(xué)技術(shù)中，分段函數(shù)是經(jīng)常遇到的一類函數(shù)。68對(duì)分段函數(shù)特別要注意以下幾個(gè)問(wèn)題：（1）分段函數(shù)在形式上，會(huì)有多于一個(gè)的表達(dá)式，但它仍然表示一個(gè)函數(shù)，不能理解成多個(gè)函數(shù)。（2）分段函數(shù)的圖像一般由多于一段的線段或曲線段以及點(diǎn)組成，同樣也應(yīng)該把它們看作一個(gè)整體。（3）在求分段函數(shù)的函數(shù)值時(shí)，需要注意的是，對(duì)給定的自變量，首先要確定它的范圍，再根據(jù)該范圍的對(duì)應(yīng)法則（函數(shù)表達(dá)式），計(jì)算函數(shù)值。692.2函數(shù)的性質(zhì)70函數(shù)的奇偶性我們知道，二次函數(shù)f（x）=x2的圖像是關(guān)于y軸對(duì)稱的軸對(duì)稱圖形，這種對(duì)稱性在數(shù)值上也能反映出來(lái)。通過(guò)計(jì)算，得到f（-1）=f（1），f（-2）=f（2）。事實(shí)上，對(duì)于任意的x∈（-∞，+∞），都有f（-x）=（-x）2=x2=f（x）。也就是說(shuō)，函數(shù)f（x）=x2具有f（-x）=f（x）的特性。71如果函數(shù)y=f（x）（x∈D）是偶函數(shù)，那么函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱。反過(guò)來(lái)，如果函數(shù)y=f（x）的圖像關(guān)于y軸對(duì)稱，那么這個(gè)函數(shù)一定是偶函數(shù)。72對(duì)于反比例函數(shù)

，我們知道，它的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，這種對(duì)稱性在數(shù)值上也能反映出來(lái)。對(duì)于任意的x∈（-∞，0）∪（0，+∞），都有也就是說(shuō)，函數(shù)

具有f（-x）=-f（x）的特性。73如果函數(shù)y=f（x）（x∈D）是奇函數(shù)，那么函數(shù)y=f（x）的圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形。反過(guò)來(lái)，如果函數(shù)y=f（x）的圖像是關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的中心對(duì)稱圖形，那么這個(gè)函數(shù)一定是奇函數(shù)。一個(gè)函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，我們就說(shuō)這個(gè)函數(shù)具有奇偶性。根據(jù)奇函數(shù)和偶函數(shù)的定義，可以得到：函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱是函數(shù)具有奇偶性的必要條件。如果一個(gè)函數(shù)既不是奇函數(shù)，又不是偶函數(shù)，我們就把這個(gè)函數(shù)稱為非奇非偶函數(shù)。74函數(shù)的單調(diào)性我們知道，對(duì)于一次函數(shù)y=kx+b（k≠0），如果k>0，那么當(dāng)x∈（-∞，+∞），且x逐漸增大時(shí)，y的值隨之逐漸增大。如果k<0，那么當(dāng)x∈（-∞，+∞），且x逐漸增大時(shí)，y的值隨之逐漸減小。上述現(xiàn)象反映了函數(shù)的一個(gè)基本性質(zhì)———單調(diào)性。觀察二次函數(shù)y=x2-2，當(dāng)x在定義域（-∞，+∞）內(nèi)變化時(shí)，它的圖像的變化趨勢(shì)如圖所示。我們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)x∈（-∞，0]，且x逐漸增大時(shí)，y的值隨之逐漸減?。划?dāng)x∈[0，+∞），且x逐漸增大時(shí)，y的值隨之逐漸增大。7576如果函數(shù)y=f（x）在區(qū)間I上是單調(diào)增加或單調(diào)減少的，我們就說(shuō)函數(shù)y=f（x）在這一區(qū)間具有（嚴(yán)格的）單調(diào)性，區(qū)間I稱為函數(shù)y=f（x）的單調(diào)區(qū)間。由上述可知，二次函數(shù)y=x2-2在定義域（-∞，+∞）上沒(méi)有單調(diào)性，但在（-∞，0]上是單調(diào)減少的，區(qū)間（-∞，0]為函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；在[0，+∞）上是單調(diào)增加的，區(qū)間[0，+∞）為函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間。77函數(shù)的最大值與最小值我們知道，二次函數(shù)y=x2-2的圖像是一條拋物線，頂點(diǎn)（0，-2）是拋物線上的最低點(diǎn)，即對(duì)于任意的x，都有f（x）≥

f（0）。從而得到，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)y取得最小值為-2。由于該函數(shù)圖像上沒(méi)有最高點(diǎn)，所以函數(shù)y沒(méi)有最大值。78反函數(shù)我們知道，圓面積S是圓半徑r的函數(shù)，即S=πr2（r>0）。反過(guò)來(lái)，也可以由圓面積S來(lái)確定圓的半徑r，即r=

（A>0）。這時(shí)，面積S是自變量，半徑r是面積S的函數(shù)。在這種情況下，函數(shù)r=

（S>0）與函數(shù)S=πr2（r>0）有著特殊的關(guān)系，這種關(guān)系就是下面研究的反函數(shù)。79反函數(shù)的概念設(shè)函數(shù)y=f（x）（x∈D）的值域?yàn)镸。根據(jù)這個(gè)函數(shù)中x，y的關(guān)系，求得x用y表示的解析式，即x=φ（y）。如果對(duì)于y在M中的任何一個(gè)值，通過(guò)x=φ（y），x在D中都有唯一的值和它對(duì)應(yīng)，那么，x=φ（y）就表示y是自變量，x是y的函數(shù)。我們就將函數(shù)x=φ（y）（y∈M）稱為函數(shù)y=f（x）（x∈D）的反函數(shù)，記作x=f-1（y）。在函數(shù)x=f-1（y）中，y表示自變量，x表示函數(shù)。但在習(xí)慣上，我們用x表示自變量，用y表示函數(shù)，即對(duì)調(diào)函數(shù)x=f-1（y）中的字母x，y而改寫成y=f-1（x）（在本書中，函數(shù)y=f（x）的反函數(shù)都采用y=f-1（x）的形式）。例如函數(shù)y=4x（x∈R）的反函數(shù)為y=

（x∈R）。80f-1是f的逆對(duì)應(yīng)。由反函數(shù)的概念可知，若函數(shù)y=f（x）有反函數(shù)y=f-1（x），那么函數(shù)y=f-1（x）的反函數(shù)就是y=f（x），即函數(shù)y=f（x）與y=f-1（x）互為反函數(shù)。對(duì)于函數(shù)y=f（x）（x∈D），只有當(dāng)任意一個(gè)y∈M的值，都有唯一的x值與它對(duì)應(yīng)時(shí)，y=f（x）在它的定義域D內(nèi)才有反函數(shù)存在。81反函數(shù)的求法從反函數(shù)的概念我們不難得到如下結(jié)論：函數(shù)y=f（x）的定義域是它的反函數(shù)y=f-1（x）的值域；函數(shù)y=f（x）的值域是它的反函數(shù)y=f-1（x）的定義域。求函數(shù)的反函數(shù)的一般步驟為：（1）由y=f（x）解出x=f-1（y），即把x用y表示出來(lái)；（2）將x=f-1（y）改寫成y=f-1（x），也就是將x=f-1（y）中的x，y對(duì)調(diào)；（3）寫出反函數(shù)y=f-1（x）的定義域。82互為反函數(shù)的函數(shù)圖像間的關(guān)系由上述所學(xué)可得，函數(shù)y=2x-1（x∈R）的反函數(shù)是y=

（x∈R），函數(shù)y=

（x≥0）的反函數(shù)是y=x2（x≥0）。我們畫出原函數(shù)和它的反函數(shù)的圖像，見(jiàn)圖。83從上圖可以看出，函數(shù)和它的反函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。一般地，函數(shù)y=f（x）的圖像和它的反函數(shù)y=f-1（x）的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱。反之，如果兩個(gè)函數(shù)的圖像關(guān)于直線y=x對(duì)稱，則這兩個(gè)函數(shù)一定是互為反函數(shù)。842.3冪函數(shù)85實(shí)數(shù)指數(shù)冪正整數(shù)指數(shù)冪零指數(shù)冪

a0=1（a≠0）負(fù)整數(shù)指數(shù)冪整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則（a，b≠0，m，n是整數(shù)）平方根若x2=a（a≥0），則稱x為a的平方根（二次方根）。立方根若x3=a，則稱x為a的立方根（三次方根）。86n次方根若xn=a（a為實(shí)數(shù)，n為大于1的正整數(shù)），則稱x為a的一個(gè)n次方根。當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，對(duì)于每一個(gè)正實(shí)數(shù)a，它在實(shí)數(shù)集里有兩個(gè)n次方根，它們互為相反數(shù)，分別為

和

；而對(duì)于每一個(gè)負(fù)數(shù)a，它的n次方根是沒(méi)有意義的。當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，對(duì)于每一個(gè)實(shí)數(shù)a，它在實(shí)數(shù)集里只有一個(gè)n次方根，表示為

，當(dāng)a>0時(shí)，

>0；當(dāng)a<0時(shí)，

<0。0的n次方根是0，即

=0。87n次根式我們把形如

（有意義時(shí)）的式子稱為n次根式，其中n稱為根指數(shù)，a稱為被開(kāi)方數(shù)，非負(fù)數(shù)的n次方根

稱為a的n次算術(shù)根，并且

=a（n>1，n為正整數(shù)）。學(xué)習(xí)了n次方根的概念，現(xiàn)在我們可以把整數(shù)指數(shù)冪推廣到有理指數(shù)冪。例如，對(duì)于正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪，應(yīng)用運(yùn)算法則，有又因?yàn)樗?8一般地，規(guī)定

，其中，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，a≥0；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，a∈R。等式

的左邊是冪的形式，右邊是根式的形式，根據(jù)需要可以相互轉(zhuǎn)換。同樣可以規(guī)定負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：設(shè)a≠0，n，m∈N*，且n>1，規(guī)定89這樣，就把整數(shù)指數(shù)冪的概念推廣到有理指數(shù)冪。可以證明整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則對(duì)有理數(shù)指數(shù)冪也同樣適用，但需注意法則中出現(xiàn)的每一個(gè)有理數(shù)指數(shù)冪都應(yīng)有意義。事實(shí)上，還可以將有理數(shù)指數(shù)冪推廣到實(shí)數(shù)指數(shù)冪，當(dāng)m，n為實(shí)數(shù)時(shí)，整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則也成立。90冪函數(shù)我們觀察一次函數(shù)y=x，二次函數(shù)y=x2，反比例函數(shù)y=

（即y=x-1）的解析式，可以發(fā)現(xiàn)：它們都是以冪的形式出現(xiàn)，冪的底數(shù)是自變量x，指數(shù)是常數(shù)。冪函數(shù)的定義域與常數(shù)α的取值有關(guān)，由冪的性質(zhì)可知1α=1，即x=1時(shí)，y=1，因此，冪函數(shù)的圖像恒過(guò)點(diǎn)（1，1）。我們已經(jīng)學(xué)過(guò)常見(jiàn)的冪函數(shù)y=xα（α=1，-1，2）的圖像和性質(zhì)，現(xiàn)在討論另外兩個(gè)具有代表性的冪函數(shù)的圖像和性質(zhì)。912.4指數(shù)函數(shù)92景區(qū)游客問(wèn)題隨著中國(guó)經(jīng)濟(jì)高速增長(zhǎng)，人民生活水平不斷提高，旅游成了越來(lái)越多家庭的重要生活方式。由于游客人數(shù)不斷增加，某地為了增加景區(qū)外收入，自2001年起取消了景區(qū)門票收費(fèi)。下表給出了該景區(qū)2001年至2015年的游客人次以及增加量，游客的人次有怎樣的變化規(guī)律呢?93為了便于觀察規(guī)律，根據(jù)表格，該景區(qū)取消門票收費(fèi)后的15年游客人次的變化如圖所示。觀察圖像和表格，我們發(fā)現(xiàn)年增加量越來(lái)越大，但難以看出變化規(guī)律。94我們知道，做減法可以得到游客人次的年增加量，做除法可以得到游客人次的年增加率，增加量、增長(zhǎng)率是刻畫事物變化規(guī)律的兩個(gè)很重要的量。從2002年起，將景區(qū)每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到結(jié)果表明，景區(qū)的游客人次的年增長(zhǎng)率都約為1.11-1=0.11，是一個(gè)常數(shù)。像這樣，增長(zhǎng)率為常數(shù)的變化方式，我們稱為指數(shù)增長(zhǎng)。該景區(qū)的游客人次的變化就近似于指數(shù)增長(zhǎng)。95顯然，從2001年開(kāi)始，景區(qū)游客人次的變化規(guī)律可以近似描述為：1年后，游客人次是2001年的1.111倍；2年后，游客人次是2001年的1.112倍；3年后，游客人次是2001年的1.113倍；……設(shè)x年后，游客人次是2001年的y倍，則y=1.11x（x∈N*），即經(jīng)過(guò)x年后的游客人次是2001年的1.11x倍。96藥物剩余問(wèn)題某種藥物靜脈注射后，通過(guò)尿液排出體外，每經(jīng)過(guò)1天，藥物在體內(nèi)的剩余量就減少50%。成人單次注射這種藥物1g，經(jīng)過(guò)x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是多少?1天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是1×50%=0.5g；2天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是

g；3天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是

g；……設(shè)x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是yg，則y=0.5x，即經(jīng)過(guò)x天后，藥物在體內(nèi)的剩余量是0.5xg。由上述兩個(gè)問(wèn)題得到的函數(shù)具有相同的特點(diǎn)，即自變量x都作為指數(shù)，底數(shù)都是大于0且不等于1的常量。97指數(shù)函數(shù)的概念上面出現(xiàn)的兩個(gè)函數(shù)：y=1.11x和y=0.5x，都是以冪的形式出現(xiàn)，指數(shù)是自變量x，底數(shù)是一個(gè)大于0且不等于1的常數(shù)。這類函數(shù)就是我們要研究的指數(shù)函數(shù)。指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的定義域是（-∞，+∞）。98指數(shù)函數(shù)的圖像和性質(zhì)由于指數(shù)函數(shù)y=ax的底數(shù)a的取值范圍可以分為0<a<1和a>1兩種情形，我們以比較簡(jiǎn)單的指數(shù)函數(shù)y=2x和y=

為例進(jìn)行討論。為了便于研究，我們?cè)谕黄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中用描點(diǎn)法畫出函數(shù)y=2x和y=

的圖像。99列表（為便于繪圖，無(wú)法整除的函數(shù)值保留2位小數(shù)）：從上面指數(shù)函數(shù)y=2x和y=

的圖像，可以得到：（1）兩個(gè)圖像都在x軸上方，它們的函數(shù)值y>0。（2）兩個(gè)圖像都過(guò)點(diǎn)（0，1），即當(dāng)x=0時(shí)，y=1。（3）y=2x的圖像沿x軸的正方向上升，在定義域內(nèi)是增函數(shù)；y=

的圖像沿x軸的正方向下降，在定義域內(nèi)是減函數(shù)。100一般地，指數(shù)函數(shù)y=ax（a>0，且a≠1）的圖像和性質(zhì)見(jiàn)下表：1012.5對(duì)數(shù)函數(shù)102細(xì)胞分裂的次數(shù)某種細(xì)胞的分裂規(guī)律為：1個(gè)細(xì)胞1次分裂成2個(gè)與它本身相同的細(xì)胞，即第1次分裂后，細(xì)胞的個(gè)數(shù)是2；第2次分裂后，細(xì)胞的個(gè)數(shù)是2×2=22；第3次分裂后，細(xì)胞的個(gè)數(shù)是；……那么，第幾次分裂后恰好出現(xiàn)16個(gè)細(xì)胞?第幾次分裂后恰好出現(xiàn)128個(gè)細(xì)胞?103對(duì)數(shù)的運(yùn)算在代數(shù)式ab=N中有a，b，N三個(gè)量，若已知其中兩個(gè)量，就可以求出第三個(gè)量。已知a，b，求N是乘方運(yùn)算；已知b，N，求a是開(kāi)方運(yùn)算；那么，已知a，N，求b是什么運(yùn)算呢?例如：（1）在實(shí)例考察中，設(shè)第b次分裂后恰好出現(xiàn)16個(gè)細(xì)胞，即已知2b=16，求b；（2）已知2b=5，求b。它們都是已知冪的底數(shù)和冪的值，求冪的指數(shù)的運(yùn)算。由于24=16，所以（1）中的b=4。但（2）中的b是多少呢?要想解決這個(gè)問(wèn)題，還需要學(xué)習(xí)新的知識(shí)———對(duì)數(shù)。104對(duì)數(shù)的定義例如，由于24=16，所以4是以2為底16的對(duì)數(shù)，記作log216=4；由于3-1=

，所以-1是以3為底

的對(duì)數(shù)，記作log3

=-1。105通常，我們稱等式ab=N為指數(shù)式，稱等式logaN=b為對(duì)數(shù)式。根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，可以得到，當(dāng)a>0，且a≠1時(shí)，ab=N?logaN=b。由上述指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的關(guān)系，可以得到如下結(jié)論：（1）零和負(fù)數(shù)沒(méi)有對(duì)數(shù)，即N>0；（2）loga1=0，logaa=1（a>0，且a≠1）；（3）alogaN=N（a>0，且a≠1）；（4）logaab=b（a>0，且a≠1）。106對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則若a>0，且a≠1，M>0，N>0，則有法則1法則2法則3107下面我們來(lái)證明法則1和法則3。設(shè)logaM=p，logaN=q，把它們化為指數(shù)式：M=ap，N=aq，M·N=ap·aq=ap+q，Mn=（ap）n=apn，所以loga（M·N）=logaap+q=p+q=logaM+logaN，logaMn=logaapn=pn=nlogaM。108常用對(duì)數(shù)和自然對(duì)數(shù)我們把以10為底的對(duì)數(shù)稱為常用對(duì)數(shù)。log10N通?？珊?jiǎn)記為lgN。常用對(duì)數(shù)可以用計(jì)算器求值。以無(wú)理數(shù)e（e≈2.71828）為底的對(duì)數(shù)稱為自然對(duì)數(shù)。logeN通?？珊?jiǎn)記為lnN。在科學(xué)技術(shù)中用得更多的是自然對(duì)數(shù)。自然對(duì)數(shù)也可以用計(jì)算器求值。109換底公式如何求log23呢?計(jì)算器上求對(duì)數(shù)的鍵只有

鍵和