2024年九年級(jí)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答 第1講 走進(jìn)追問(wèn)求根公式

PAGEPAGE52024年九年級(jí)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽輔導(dǎo)講義及習(xí)題解答第一講走進(jìn)追問(wèn)求根公式形如（）的方程叫一元二次方程，配方法、公式法、因式分解法是解一元二次方程的基本方法。而公式法是解一元二次方程的最普遍、最具有一般性的方法。求根公式內(nèi)涵豐富：它包含了初中階段已學(xué)過(guò)的全部代數(shù)運(yùn)算；它回答了一元二次方程的諸如怎樣求實(shí)根、實(shí)根的個(gè)數(shù)、何時(shí)有實(shí)根等基本問(wèn)題；它展示了數(shù)學(xué)的簡(jiǎn)潔美。降次轉(zhuǎn)化是解方程的基本思想，有些條件中含有(或可轉(zhuǎn)化為)一元二次方程相關(guān)的問(wèn)題，直接求解可能給解題帶來(lái)許多不便，往往不是去解這個(gè)二次方程，而是對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃蝸?lái)代換，從而使問(wèn)題易于解決。解題時(shí)常用到變形降次、整體代入、構(gòu)造零值多項(xiàng)式等技巧與方法。【例題求解】【例1】滿足的整數(shù)n有個(gè)。思路點(diǎn)撥：從指數(shù)運(yùn)算律、±1的特征人手，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解方程?！纠?】設(shè)、是二次方程的兩個(gè)根，那么的值等于（）A、一4B、8C、6D、0思路點(diǎn)撥：求出、的值再代入計(jì)算，則計(jì)算繁難，解題的關(guān)鍵是利用根的定義及變形，使多項(xiàng)式降次，如，?！纠?】解關(guān)于的方程。思路點(diǎn)撥：因不知曉原方程的類型，故需分及兩種情況討論。設(shè)方程，求滿足該方程的所有根之和。思路點(diǎn)撥：通過(guò)討論，脫去絕對(duì)值符號(hào)，把絕對(duì)值方程轉(zhuǎn)化為一般的一元二次方程求解。【例5】已知實(shí)數(shù)、、、互不相等，且，試求的值。思路點(diǎn)撥：運(yùn)用連等式，通過(guò)迭代把、、用的代數(shù)式表示，由解方程求得的值。注：一元二次方程常見(jiàn)的變形形式有：(1)把方程（）直接作零值多項(xiàng)式代換；(2)把方程（）變形為，代換后降次；(3)把方程（）變形為或，代換后使之轉(zhuǎn)化關(guān)系或整體地消去。解合字母系數(shù)方程時(shí)，在未指明方程類型時(shí)，應(yīng)分及兩種情況討論；解絕對(duì)值方程需脫去絕對(duì)值符號(hào)，并用到絕對(duì)值一些性質(zhì)，如。

走進(jìn)追問(wèn)求根公式學(xué)歷訓(xùn)練1、已知、是實(shí)數(shù)，且，那么關(guān)于的方程的根為。2、已知，那么代數(shù)式的值是。3、若，，則的值為。4、若兩個(gè)方程和只有一個(gè)公共根，則()A、B、C、D、5、當(dāng)分式有意義時(shí)，的取值范圍是()A、B、C、D、且6、方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是()A、0B、1C、2D、37、解下列關(guān)于的方程：(1)；(2)；(3)。8、已知，求代數(shù)式的值。9、是否存在某個(gè)實(shí)數(shù)m，使得方程和有且只有一個(gè)公共的實(shí)根?如果存在，求出這個(gè)實(shí)數(shù)m及兩方程的公共實(shí)根；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。注：解公共根問(wèn)題的基本策略是：當(dāng)方程的根有簡(jiǎn)單形式表示時(shí)，利用公共根相等求解，當(dāng)方程的根不便于求出時(shí)，可設(shè)出公共根，設(shè)而不求，通過(guò)消去二次項(xiàng)尋找解題突破口。10、若，則＝。11、已知、是有理數(shù)，方程有一個(gè)根是，則的值為。12、已知是方程的一個(gè)正根。則代數(shù)式的值為。13、對(duì)于方程，如果方程實(shí)根的個(gè)數(shù)恰為3個(gè)，則m值等于()A、1B、2C、D、2．514、自然數(shù)滿足，這樣的的個(gè)數(shù)是()A、2B、1C、3D、415、已知、都是負(fù)實(shí)數(shù)，且，那么的值是()A、B、C、D、16、已知，求的值。17、已知m、n是一元二次方程的兩個(gè)根，求的值。18、在一個(gè)面積為l的正方形中構(gòu)造一個(gè)如下的小正方形：將正方形的各邊等分，然后將每個(gè)頂點(diǎn)和它相對(duì)頂點(diǎn)最近的分點(diǎn)連結(jié)起來(lái)，如圖所示，若小正方形面積為，求的值。19、已知方程的兩根、也是方程的根，求、的值。20、如圖，銳角△ABC中，PQRS是△ABC的內(nèi)接矩形，且S△ABC=S矩形PQRS，其中為不小于3的自然數(shù)．求證：需為無(wú)理數(shù)。

參考答案第二講判別式——二次方程根的檢測(cè)器為了檢查產(chǎn)品質(zhì)量是否合格，工廠里通常使用各種檢驗(yàn)儀器，為了辨別鈔票的真?zhèn)?，銀行里常常使用驗(yàn)鈔機(jī)，類似地，在解一元二次方程有關(guān)問(wèn)題時(shí)，最好能知道根的特性：如是否有實(shí)數(shù)根，有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，根的符號(hào)特點(diǎn)等。我們形象地說(shuō)，判別式是一元二次方程根的“檢測(cè)器”，在以下方面有著廣泛的應(yīng)用：利用判別式，判定方程實(shí)根的個(gè)數(shù)、根的特性；運(yùn)用判別式，建立等式、不等式，求方程中參數(shù)或參數(shù)的取值范圍；通過(guò)判別式，證明與方程相關(guān)的代數(shù)問(wèn)題；借助判別式，運(yùn)用一元二次方程必定有解的代數(shù)模型，解幾何存在性問(wèn)題、最值問(wèn)題?！纠}求解】【例1】已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，那么的取值范圍是。(廣西中考題)思路點(diǎn)撥：利用判別式建立關(guān)于的不等式組，注意、的隱含制約。注：運(yùn)用判別式解題，需要注意的是：(1)解含參數(shù)的二次方程，必須注意二次項(xiàng)系數(shù)不為0的隱含制約；(2)在解涉及多個(gè)二次方程的問(wèn)題時(shí)，需在整體方法、降次消元等方法思想的引導(dǎo)下，綜合運(yùn)用方程、不等式的知識(shí)?！纠?】已知三個(gè)關(guān)于的方程：，和，若其中至少有兩個(gè)方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是()（山東省競(jìng)賽題）A、B、或C、D、思路點(diǎn)撥：“至少有兩個(gè)方程有實(shí)根”有多種情形，從分類討論人手，解關(guān)于的不等式組，綜合判斷選擇。【例3】已知關(guān)于的方程，(1)求證：無(wú)論取任何實(shí)數(shù)值，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)若等腰三角形△ABC的一邊長(zhǎng)＝1，另兩邊長(zhǎng)、c恰好是這個(gè)方程的兩個(gè)根，求△ABC的周長(zhǎng)。(湖北省荊門(mén)市中考題)思路點(diǎn)撥：對(duì)于(1)只需證明△≥0；對(duì)于(2)由于未指明底與腰，須分或、中有一個(gè)與c相等兩種情況討論，運(yùn)用判別式、根的定義求出、的值。注：（1）涉及等腰三角形的考題，需要分類求解，這是命題設(shè)計(jì)的一個(gè)熱點(diǎn)，但不一定每個(gè)這類題均有多解，還須結(jié)合三角形三邊關(guān)系定理予以取舍。（2）運(yùn)用根的判別式討論方程根的個(gè)數(shù)為人所熟悉，而組合多個(gè)判別式討論方程多個(gè)根(三個(gè)以上)是近年中考，競(jìng)賽依托判別式的創(chuàng)新題型，解這類問(wèn)題常用到換元、分類討論等思想方法。【例4】設(shè)方程，只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，求的值和相應(yīng)的3個(gè)根。(重慶市競(jìng)賽題)思路點(diǎn)撥：去掉絕對(duì)值符號(hào)，原方程可化為兩個(gè)一元二次方程．原方程只有3個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則其中一個(gè)判別式大于零，另一個(gè)判別式等于零?！纠?】已知：如圖，矩形ABCD中，AD＝，DC＝，在AB上找一點(diǎn)E，使E點(diǎn)與C、D的連線將此矩形分成的三個(gè)三角形相似，設(shè)AE＝，問(wèn)：這樣的點(diǎn)E是否存在?若存在，這樣的點(diǎn)E有幾個(gè)?請(qǐng)說(shuō)明理由。(云南省中考題)思路點(diǎn)撥：要使Rt△ADE、Rt△BEC、Rt△ECD彼此相似，點(diǎn)E必須滿足∠AED+∠BEC＝90°，為此，可設(shè)在AE上存在滿足條件的點(diǎn)E使得Rt△ADE∽R(shí)t△BEC，建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)判別式討論點(diǎn)E的存在與否及存在的個(gè)數(shù)。注：有些與一元二次方程表面無(wú)關(guān)的問(wèn)題，可通過(guò)構(gòu)造方程為判別式的運(yùn)用鋪平道路，常見(jiàn)的構(gòu)造方法有：(1)利用根的定義構(gòu)造；(2)利用根與系數(shù)關(guān)系構(gòu)造；(3)確定主元構(gòu)造。

判別式——二次方程根的檢測(cè)器學(xué)力訓(xùn)練1、已知，若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則=。2、若關(guān)于的方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是。(遼寧省中考題)3、已知關(guān)于方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，化簡(jiǎn)=。4、若關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則的取值范圍是()A、B、C、且D、且(山西省中考題)5、已知一直角三角形的三邊為、、，∠B＝90°，那么關(guān)于的方程的根的情況為()A、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根B、沒(méi)有實(shí)數(shù)根C、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根D、無(wú)法確定(河南省中考題)6、如果關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根，那么方程的根的情況是()A、沒(méi)有實(shí)數(shù)根B、有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根C、有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根D、只有一個(gè)實(shí)數(shù)根(2003年河南省中考題)7、在等腰三角形ABC中，∠A、∠B、∠C的對(duì)邊分別為、、，已知，和是關(guān)于的方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求△ABC的周長(zhǎng)。(濟(jì)南市中考題)8、已知關(guān)于的方程(1)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)，方程總有實(shí)數(shù)根；(2)如果方程的兩實(shí)根分別為、，滿足=3，求實(shí)數(shù)的值。(鹽城市中考題)9、、為實(shí)數(shù)，關(guān)于的方程有三個(gè)不等的實(shí)數(shù)根。(1)求證：；(2)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根，恰為一個(gè)三角形三內(nèi)角的度數(shù)，求證該三角形必有一個(gè)內(nèi)角是60°；(3)若該方程的三個(gè)不等實(shí)根恰為一直角三角形的三條邊，求和的值。(江蘇省蘇州市中考題)10、關(guān)于的兩個(gè)方程，中至少有一個(gè)方程有實(shí)根，則m的取值范圍是。(2002年四川省競(jìng)賽題)11、當(dāng)=，=時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根。(全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽試題)12、若方程有且只有相異二實(shí)根，則的取值范圍是。13、如果關(guān)于的方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，那么關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)()A、2B、1C、0D、不能確定14、已知一元二次方程，且、可在1、2、3、4、5中取值，則在這些方程中有實(shí)數(shù)根的方程共有()A、12個(gè)B、10個(gè)C、7個(gè)D、5個(gè)(河南省中考題)15、已知△ABC的三邊長(zhǎng)為a、b、c，且滿足方程，則方程根的情況是()A、有兩相等實(shí)根B、有兩相異實(shí)根C、無(wú)實(shí)根D、不能確定(河北省競(jìng)賽題)16、若a、b、c、d>0，證明：在方程①；②；③；④中，至少有兩個(gè)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。(湖北省黃岡市競(jìng)賽題)17、已知三個(gè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足，abc＝1，求證：a、b、c中至少有一個(gè)大于。18、關(guān)于的方程有有理根，求整數(shù)是的值。(山東省競(jìng)賽題)19、考慮方程①(1)若=24，求一個(gè)實(shí)數(shù)，使得恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足①式。(2)若≥25，是否存在實(shí)數(shù)，使得恰有3個(gè)不同的實(shí)數(shù)滿足①式?說(shuō)明你的結(jié)論。(國(guó)家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題)20、如圖，已知邊長(zhǎng)為的正方形ABCD內(nèi)接于邊長(zhǎng)為的正方形EFGH，試求的取值范圍。

參考答案第三講充滿活力的韋達(dá)定理一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國(guó)最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的。韋達(dá)定理簡(jiǎn)單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值；運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值；利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號(hào)特征；利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等。韋達(dá)定理具有對(duì)稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路。韋達(dá)定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識(shí)可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問(wèn)題，而解這類問(wèn)題常用到對(duì)稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法?！纠}求解】【例1】已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為。思路點(diǎn)撥：所求代數(shù)式為、的非對(duì)稱式，通過(guò)根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，，那么的值為()A、B、或2C、D、或2思路點(diǎn)撥：可將兩個(gè)等式相減，得到、的關(guān)系，由于兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程的兩實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件。注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于、的對(duì)稱式，這類問(wèn)題可通過(guò)變形用+、表示求解，而非對(duì)稱式的求值常用到以下技巧：(1)恰當(dāng)組合；(2)根據(jù)根的定義降次；(3)構(gòu)造對(duì)稱式?！纠?】已知關(guān)于的方程：(1)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根。(2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根、滿足，求m的值及相應(yīng)的、。思路點(diǎn)撥：對(duì)于(2)，先判定、的符號(hào)特征，并從分類討論入手?！纠?】設(shè)、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)，有最小值?并求出這個(gè)最小值。思路點(diǎn)撥：利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再?gòu)呐浞椒ㄈ胧?，?yīng)注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進(jìn)行的。注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時(shí)，須滿足判別式△≥0這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問(wèn)題的等價(jià)性?！纠?】已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長(zhǎng)是關(guān)于的方程的兩個(gè)根。(1)當(dāng)m＝2和m>2時(shí)，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說(shuō)明理由。(2)若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)，線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P，Q，PQ＝1，且AB<CD，求AB、CD的長(zhǎng)．思路點(diǎn)撥：對(duì)于(2)，易建立含AC、BD及m的關(guān)系式，要求出m值，還需運(yùn)用與中點(diǎn)相關(guān)知識(shí)找尋CD、AB的另一隱含關(guān)系式。注：在處理以線段的長(zhǎng)為根的一元二次方程問(wèn)題時(shí)，往往通過(guò)韋達(dá)定理、幾何性質(zhì)將幾何問(wèn)題從“形”向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過(guò)根的判別式的檢驗(yàn)，又要考慮幾何量的非負(fù)性．

充滿活力的韋達(dá)定理學(xué)歷訓(xùn)練1、(1)已知和為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，并和滿足不等式，則實(shí)數(shù)取值范圍是。(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍是。2、已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為。3、CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則△ABC的面積是。4、設(shè)、是關(guān)于的方程的兩根，+1、+1是關(guān)于的方程的兩根，則、的值分別等于()A．1，-3B．1，3C．-1，-3D．-1，35、在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對(duì)邊，a、b是關(guān)于的方程的兩根，那么AB邊上的中線長(zhǎng)是()A．B．C．5D．26、方程恰有兩個(gè)正整數(shù)根、，則的值是()A．1B．-lC．D．7、若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足關(guān)系式：，判斷是否正確?8、已知關(guān)于的方程。當(dāng)是為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；(2)若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足：，求的值。9、已知方程的兩根均為正整數(shù)，且，那么這個(gè)方程兩根為