專題19 命題與證明（教師版）

知識(shí)點(diǎn)01：命題與推理【高頻考點(diǎn)精講】1、判斷一件事情的語(yǔ)句，叫做命題。許多命題都是由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成，題設(shè)是已知事項(xiàng)，結(jié)論是由已知事項(xiàng)推出的事項(xiàng)。2、命題若寫(xiě)成“如果…，那么…”的形式，“如果”后面的部分是題設(shè)，“那么”后面的部分是結(jié)論。3、任何一個(gè)命題非真即假，說(shuō)明命題是真命題，需要進(jìn)行推理論證，而判斷命題是假命題，只需舉出反例即可。4、由一個(gè)或幾個(gè)已知的判斷（前提），推導(dǎo)出一個(gè)未知結(jié)論的思維過(guò)程，叫做推理。（1）演繹推理是從一般規(guī)律出發(fā)，運(yùn)用邏輯證明或數(shù)學(xué)運(yùn)算，得出特殊事實(shí)應(yīng)遵循的規(guī)律，即從一般到特殊。（2）歸納推理是從許多個(gè)別事物中概括出一般性概念、原則或結(jié)論，即從特殊到一般。知識(shí)點(diǎn)02：反證法【高頻考點(diǎn)精講】對(duì)于命題，當(dāng)使用直接證法比較困難時(shí)，可以采用間接證法，反證法就是間接證法。適合類型（1）命題結(jié)論:否定型；（2）命題結(jié)論:無(wú)限型；（3）命題結(jié)論:“至多”或“至少”型。3、反證法一般步驟（1）假設(shè)命題結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)，經(jīng)過(guò)推理論證，得出矛盾；（3）由矛盾判定假設(shè)不正確，從而肯定原命題結(jié)論正確。檢測(cè)時(shí)間：90分鐘試題滿分：100分難度系數(shù)：0.55一．選擇題（共10小題，滿分20分，每小題2分）1．（2分）（2022?綏化）下列命題中是假命題的是（）A．三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半 B．如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定相等 C．從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角 D．直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解：三角形的中位線平行于三角形的第三邊，并且等于第三邊的一半，故A是真命題，不符合題意；如果兩個(gè)角互為鄰補(bǔ)角，那么這兩個(gè)角一定互補(bǔ)，故B是假命題，符合題意；從圓外一點(diǎn)可以引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，這一點(diǎn)和圓心的連線平分兩條切線的夾角，故C是真命題，不符合題意；直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，故D是真命題，不符合題意；故選：B．2．（2分）（2023?達(dá)州）下列命題中，是真命題的是（）A．平行四邊形是軸對(duì)稱圖形 B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形 C．到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上 D．在△ABC中，若∠A：∠B：∠C＝3：4：5，則△ABC是直角三角形解：A、平行四邊形不一定是軸對(duì)稱圖形，故本選項(xiàng)說(shuō)法是假命題，不符合題意；B、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故本選項(xiàng)說(shuō)法是假命題，不符合題意；C、到一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上，是真命題，符合題意；D、在△ABC中，當(dāng)∠A：∠B：∠C＝3：4：5時(shí)，△ABC不是直角三角形，故本選項(xiàng)說(shuō)法是假命題，不符合題意；故選：C．3．（2分）（2023?內(nèi)蒙古）下列命題正確的是（）A．“經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈”是必然事件 B．3.14精確到十分位 C．點(diǎn)（﹣2，﹣3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，3） D．甲、乙兩人參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，他們的平均成績(jī)相同，方差分別是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，則甲成績(jī)比乙的穩(wěn)定解：A、“經(jīng)過(guò)有交通信號(hào)燈的路口，遇到紅燈”是隨機(jī)事件，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；B、3.14精確到百分位，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；C、點(diǎn)（﹣2，﹣3）關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣2，3），命題正確，符合題意；D、甲、乙兩人參加環(huán)保知識(shí)競(jìng)賽，他們的平均成績(jī)相同，方差分別是S甲2＝2.25，S乙2＝1.81，則乙成績(jī)比甲的穩(wěn)定，故本選項(xiàng)命題錯(cuò)誤，不符合題意；故選：C．4．（2分）（2023?綏化）下列命題中敘述正確的是（）A．若方差s甲2＞s乙2，則甲組數(shù)據(jù)的波動(dòng)較小 B．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段，叫做點(diǎn)到直線的距離 C．三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的內(nèi)心 D．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上解：A．若方差s甲2＞s乙2，則乙組數(shù)據(jù)的波動(dòng)較小，故此選項(xiàng)不合題意；B．直線外一點(diǎn)到這條直線的垂線段長(zhǎng)度，叫做點(diǎn)到直線的距離，故此選項(xiàng)不合題意；C．三角形三條中線的交點(diǎn)叫做三角形的重心，故此選項(xiàng)不合題意；D．角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，故此選項(xiàng)符合題意．故選：D．5．（2分）（2023?衡陽(yáng)）我們可以用以下推理來(lái)證明“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”．假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°，即三個(gè)內(nèi)角都大于60°．”，則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于180°．這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個(gè)定理矛盾，所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°．上述推理使用的證明方法是（）A．反證法 B．比較法 C．綜合法 D．分析法解：證明“在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°”．假設(shè)三角形沒(méi)有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°，即三個(gè)內(nèi)角都大于60°．”，則三角形的三個(gè)內(nèi)角的和大于180°．這與“三角形的內(nèi)角和等于180°”這個(gè)定理矛盾，所以在一個(gè)三角形中，至少有一個(gè)內(nèi)角小于或等于60°，這種證明方法是反證法，故選：A．6．（2分）（2022?無(wú)錫）下列命題中，是真命題的有（）①對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形②對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形③四邊相等的四邊形是正方形④四邊相等的四邊形是菱形A．①② B．①④ C．②③ D．③④解：①對(duì)角線相等且互相平分的四邊形是矩形，正確；②對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤；③四邊相等的四邊形是菱形，故原命題錯(cuò)誤；④四邊相等的四邊形是菱形，正確．故選：B．7．（2分）（2023?臺(tái)州）如圖，銳角三角形ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AB，AC上，連接BE，CD．下列命題中，假命題是（）A．若CD＝BE，則∠DCB＝∠EBC B．若∠DCB＝∠EBC，則CD＝BE C．若BD＝CE，則∠DCB＝∠EBC D．若∠DCB＝∠EBC，則BD＝CE解：∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵BC＝BC，∠DCB＝∠EBC，∴△DCB≌△EBC（ASA），∴CD＝BE，故選項(xiàng)B是真命題，不符合題意；BD＝CE，故選項(xiàng)D是真命題，不符合題意；∵BC＝BC，∠ABC＝∠ACB，BD＝CE，∴△DCB≌△EBC（SAS），∴∠DCB＝∠EBC，故選項(xiàng)C是真命題，不符合題意；不能證明CD＝BE時(shí)，∠DCB＝∠EBC，故選項(xiàng)A是假命題，符合題意；故選：A．8．（2分）（2022?臺(tái)州）如圖，點(diǎn)D在△ABC的邊BC上，點(diǎn)P在射線AD上（不與點(diǎn)A，D重合），連接PB，PC．下列命題中，假命題是（）A．若AB＝AC，AD⊥BC，則PB＝PC B．若PB＝PC，AD⊥BC，則AB＝AC C．若AB＝AC，∠1＝∠2，則PB＝PC D．若PB＝PC，∠1＝∠2，則AB＝AC解：若AB＝AC，AD⊥BC，則D是BC中點(diǎn)，∴AP是BC的垂直平分線，∴BP＝PC，∴故選項(xiàng)A是真命題，不符合題意；AD⊥BC，即PD⊥BC，又PB＝PC，∴AP是BC的垂直平分線，∴AB＝AC，∴故選項(xiàng)B是真命題，不符合題意；若AB＝AC，∠1＝∠2，則AD⊥BC，D是BC中點(diǎn)，∴AP是BC的垂直平分線，∴BP＝PC，∴故選項(xiàng)C是真命題，不符合題意；若PB＝PC，∠1＝∠2，不能得到AB＝AC，故選項(xiàng)D是假命題，符合題意；故選：D．9．（2分）（2023?無(wú)錫）下列命題：①各邊相等的多邊形是正多邊形；②正多邊形是中心對(duì)稱圖形；③正六邊形的外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等；④正n邊形共有n條對(duì)稱軸．其中真命題的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．3 C．2 D．1解：（1）各邊相等各角相等的多邊形是正多邊形，只有各邊相等的多邊形不一定是正多邊形，如菱形，故①是假命題；（2）正三角形和正五邊形就不是中心對(duì)稱圖形，故②為假命題；（3）正六邊形中由外接圓半徑與邊長(zhǎng)可構(gòu)成等邊三角形，所以外接圓半徑與邊長(zhǎng)相等，故③為真命題；（4）根據(jù)軸對(duì)稱圖形的定義和正多邊形的特點(diǎn)，可知正n邊形共有n條對(duì)稱軸，故④為真命題．故選：C．10．（2分）（2022?濱州）正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O（如圖1），如果∠BOC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其兩邊分別與邊AB、BC相交于點(diǎn)E、F（如圖2），連接EF，那么在點(diǎn)E由B到A的過(guò)程中，線段EF的中點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路線是（）A．線段 B．圓弧 C．折線 D．波浪線解：建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OAE＝∠OBF＝45°，OA＝OB，∵∠AOB＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE＝BF，設(shè)AE＝BF＝a，則F（a，0），E（0，1﹣a），∵EG＝FG，∴G（a，﹣a），∴點(diǎn)G在直線y＝﹣x+上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，解法二：連接BG，OG．因?yàn)锽G＝OG＝二分之一EF，所以點(diǎn)G在OB的垂直平分線上．∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，故選：A．二．填空題（共10小題，滿分20分，每小題2分）11．（2分）（2022?宜昌）如圖，點(diǎn)A，B，C都在方格紙的格點(diǎn)上，△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)90°后得到△AB'C'，則點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)為．解：由已知可得，∠BAB′＝90°，AB＝＝5，∴的長(zhǎng)為：＝，故答案為：．12．（2分）（2023?鹽城）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△EDC的位置，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D首次落在斜邊AB上，則點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為π．解：∵∠ACB＝90°，∠B＝60°，BC＝3，∴AC＝3，∵將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△EDC的位置，∴CB＝CD，∠BCD＝∠ACE，∴△BCD是等邊三角形，∴∠BCD＝∠ACE＝60°，∴點(diǎn)A的運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為＝π，故答案為：π．13．（2分）（2022?德州）如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，AC＝BC＝4，點(diǎn)D是斜邊AB上一點(diǎn)，且BD＝AB，將△ABC繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得到△A′B′C′，B′C′交AB于點(diǎn)E．其中點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑為弧CC′，則弧CC′的長(zhǎng)度為．解：連接CD，DC'，作CH⊥AB于H，∵AC＝BC＝4，∠ACB＝90°，∴AB＝4，CH＝BH＝2，∵BD＝AB，∴BD＝，∴DH＝，在Rt△CHD中，由勾股定理得，CD＝＝，∴弧CC′的長(zhǎng)度為＝，故答案為：．14．（2分）（2023?北京）學(xué)校組織學(xué)生參加木藝藝術(shù)品加工勞動(dòng)實(shí)踐活動(dòng)．已知某木藝藝術(shù)品加工完成共需A，B、C，D、E，F(xiàn)、G七道工序，加工要求如下：①工序C，D須在工序A完成后進(jìn)行，工序E須在工序B，D都完成后進(jìn)行，工序F須在工序C，D都完成后進(jìn)行；②一道工序只能由一名學(xué)生完成，此工序完成后該學(xué)生才能進(jìn)行其他工序；③各道工序所需時(shí)間如下表所示：工序ABCDEFG所需時(shí)間/分鐘99797102在不考慮其他因素的前提下，若由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，則需要53分鐘；若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，則最少需要28分鐘．解：由題意得：9+9+7+9+7+10+2＝53（分鐘），即由一名學(xué)生單獨(dú)完成此木藝藝術(shù)品的加工，需要53分鐘；假設(shè)這兩名學(xué)生為甲、乙，∵工序C，D須在工序A完成后進(jìn)行，工序E須在工序B，D都完成后進(jìn)行，且工序A，B都需要9分鐘完成，∴甲學(xué)生做工序A，乙學(xué)生同時(shí)做工序B，需要9分鐘，然后甲學(xué)生做工序D，乙學(xué)生同時(shí)做工序C，乙學(xué)生工序C完成后接著做工序G，需要9分鐘，最后甲學(xué)生做工序E，乙學(xué)生同時(shí)做工序F，需要10分鐘，∴若由兩名學(xué)生合作完成此木藝藝術(shù)品的加工，最少需要9+9+10＝28（分鐘），故答案為：53，28．15．（2分）（2023?海南）如圖，在正方形ABCD中，AB＝8，點(diǎn)E在邊AD上，且AD＝4AE，點(diǎn)P為邊AB上的動(dòng)點(diǎn)，連接PE，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥PE，交射線BC于點(diǎn)F，則＝4.若點(diǎn)M是線段EF的中點(diǎn)，則當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為16．解：過(guò)F作FK⊥AD交AD延長(zhǎng)線于K，如圖：設(shè)AP＝m，∵四邊形ABCD是正方形，AB＝8，AD＝4AE，∴AE＝2，DE＝6，∠A＝∠EDC＝90°，∵EF⊥PE，∴∠PEF＝90°，∴∠DET＝90°﹣∠AEP＝∠APE，∴△APE∽△DET，∴＝，即＝，∴DT＝，∴CT＝CD﹣DT＝8﹣，∵DE∥CF，∴△DET∽△CFT，∴＝，即＝，∴CF＝4m﹣6，∴DK＝CF＝4m﹣6，∴EK＝4m，∵∠DET＝∠APE，∠A＝∠K＝90°，∴△APE∽△KEF，∴＝＝＝4；過(guò)點(diǎn)M作GH⊥AD，交AD于G，交BC于H，如圖：∵AD∥CB，GH⊥AD，∴GH⊥BC．在△EGM和△FHM中，，∴△EGM≌△FHM（AAS），∴MG＝MH．∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是一條平行于BC的線段，當(dāng)點(diǎn)P與A重合時(shí)，BF1＝AE＝2，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，∠F2+∠EBF1＝90°，∠BEF1+∠EBF1＝90°，∴∠F2＝∠BEF1．∵∠EF1B＝∠EF1F2，∴△EF1B∽△∠EF1F2．∴＝，即：＝，∴F1F2＝32，∵M(jìn)1M2是△EF1F2的中位線，∴M1M2＝F1F2＝16，即點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為16；故答案為：4；16．16．（2分）（2023?郴州）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3cm，∠B＝60°．將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，若點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B'恰好落在線段BC上，則點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是cm（結(jié)果用含π的式子表示）．解：以A為圓心作圓弧CC′，如圖所示，在Rt△ABC中，∠B＝60°，∴∠ACB＝30°，∴BC＝2AB＝2×3＝6（cm），∴AC＝＝＝3（cm），∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，∴AB＝AB′，∵∠B＝60°，∴△ABB′是等邊三角形，∴∠BAB′＝60°，∵將△ABC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△AB'C'，∴∠CAC′＝∠BAB′＝60°，∴點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為＝（cm）．故答案為：．17．（2分）（2022?福建）推理是數(shù)學(xué)的基本思維方式，若推理過(guò)程不嚴(yán)謹(jǐn)，則推理結(jié)果可能產(chǎn)生錯(cuò)誤．例如，有人聲稱可以證明“任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0”，并證明如下：設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令x＝m，等式兩邊都乘以x，得x2＝mx．①等式兩邊都減m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2．②等式兩邊分別分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）．③等式兩邊都除以x﹣m，得x+m＝m．④等式兩邊都減m，得x＝0．⑤所以任意一個(gè)實(shí)數(shù)都等于0．以上推理過(guò)程中，開(kāi)始出現(xiàn)錯(cuò)誤的那一步對(duì)應(yīng)的序號(hào)是④．解：設(shè)任意一個(gè)實(shí)數(shù)為x，令x＝m，等式兩邊都乘以x，得x2＝mx．①依據(jù)為等式的基本性質(zhì)2；等式兩邊都減m2，得x2﹣m2＝mx﹣m2．②依據(jù)為等式的基本性質(zhì)1；等式兩邊分別分解因式，得（x+m）（x﹣m）＝m（x﹣m）．③依據(jù)為分解因式；等式兩邊都除以x﹣m，得x+m＝m．④依據(jù)為等式的基本性質(zhì)2；但是用法出錯(cuò)，題干中給出的條件是x＝m，所以x﹣m＝0，不能直接除．故答案為：④．18．（2分）（2022?通遼）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，AC為直徑，若AB＝2，BC＝3，點(diǎn)P從B點(diǎn)出發(fā)，在△ABC內(nèi)運(yùn)動(dòng)且始終保持∠CBP＝∠BAP，當(dāng)C，P兩點(diǎn)距離最小時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為π．解：如圖，取AB的中點(diǎn)J，∵AC是直徑，∴∠ABC＝90°，∴∠ABP+∠PBC＝90°，∵∠BAP＝∠PBC，∴∠BAP+∠ABP＝90°，∴∠APB＝90°，∴點(diǎn)P在以AB為直徑的⊙J上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)J，P，C共線時(shí)，PC的值最小，在Rt△CBJ中，BJ＝，BC＝3，∴tan∠CJB＝＝，∴∠BJC＝60°，∴當(dāng)C，P兩點(diǎn)距離最小時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)＝＝π．故答案為：π．19．（2分）（2022?內(nèi)蒙古）如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝1，點(diǎn)P在以斜邊AB為直徑的半圓上，M為PC的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)是π．解：如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為O，連接OP，OC，OM，∵OP＝OC，CM＝PM，∴OM⊥PC，∴∠CMO＝90°，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡是以O(shè)C為直徑的⊙T，設(shè)⊙T交AC于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接EF則EF是直徑，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡在以O(shè)C為直徑的⊙T上（即上），∵AC＝CB＝1，∠ACB＝90°，∴AB＝＝＝，∵OA＝OB，∴OC＝AB＝，∴點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡的長(zhǎng)＝×2π×＝π，故答案為：π．20．（2分）（2022?廣元）如圖，直尺AB垂直豎立在水平面上，將一個(gè)含45°角的直角三角板CDE的斜邊DE靠在直尺的一邊AB上，使點(diǎn)E與點(diǎn)A重合，DE＝12cm．當(dāng)點(diǎn)D沿DA方向滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)E同時(shí)從點(diǎn)A出發(fā)沿射線AF方向滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)D滑動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為（24﹣12）cm．解：當(dāng)點(diǎn)D沿DA方向下滑時(shí)，得△E'C'D'，過(guò)點(diǎn)C'作C'N⊥AD于點(diǎn)N，作C'M⊥AF于點(diǎn)M．∵DE＝12cm，CD＝CE，∠DCE＝90°，∴CD＝CE＝6cm，∵∠MAN＝∠C′NA＝∠C′MA＝90°，∴四邊形AMC′N是矩形，∴∠MC′N＝∠D′C′E′＝90°，∴∠D′C′N＝∠E′C′M，∵C′D′＝C′E′，∠C′ND′＝∠C′ME′＝90°，∴△C′ND′≌△C′ME′（AAS），∴C′N＝C′M，∵C′N⊥DA，C′M⊥AF，∴AC′平分∠BAF，∴點(diǎn)C在射線AC′上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C′D′⊥AD時(shí)，AC′的值最大，最大值為12cm，當(dāng)點(diǎn)D滑動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2CC′＝2（12﹣6）＝（24﹣12）cm．解法二：取D′E′的中點(diǎn)，連接AM，MC′．∵∠D′AE′＝∠D′C′E′＝90°，D′M＝ME′，∴AM＝C′M＝MD′＝ME′，∴A，E′，C′，D′四點(diǎn)共圓，∴∠C′AF＝∠C′D′E′＝45°，∴點(diǎn)C在∠BAF的角平分線上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)C′D′⊥AD時(shí)，AC′的值最大，最大值為12cm，當(dāng)點(diǎn)D滑動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為2CC′＝2（12﹣6）＝（24﹣12）cm．故答案為：（24﹣12）．三．解答題（共8小題，滿分60分）21．（6分）（2023?泰州）如圖，CD是五邊形ABCDE的一邊，若AM垂直平分CD，垂足為M，且②，③，則①．給出下列信息：①AM平分∠BAE；②AB＝AE；③BC＝DE．請(qǐng)從中選擇適當(dāng)信息，將對(duì)應(yīng)的序號(hào)填到橫線上方，使之構(gòu)成真命題，補(bǔ)全圖形，并加以證明．證明：根據(jù)題意補(bǔ)全圖形并連接AC、AD，如圖所示：（1）且②③則①：∵AM垂直平分CD，∴CM＝DM，AC＝AD（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），在△ACM與△ADM中，，∴△ACM≌△ADM（SSS），∴∠CAM＝∠DAM，在△ABC與△AED中，，∴△ABC≌△AED（SSS），∴∠BAC＝∠EAD，又∵∠CAM＝∠DAM，∴∠BAC+∠CAM＝∠EAD+∠DAM，即∠BAM＝∠EAM＝∠BAE，∴AM平分∠BAE．（2）且①②則③：∵AM垂直平分CD，∴CM＝DM，AC＝AD（線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等），在△ACM與△ADM中，，∴△ACM≌△ADM（SSS），∴∠CAM＝∠DAM，∵AM平分∠BAE，∴∠BAM＝∠EAM，又∵∠CAM＝∠DAM，∴∠BAM﹣∠CAM＝∠EAM﹣∠DAM，即∠BAC＝∠EAD，在△ABC與△AED中，∴△ABC≌△AED（SAS），∴BC＝DE．故答案為：②③①或①②③．22．（6分）（2023?建湖縣三模）請(qǐng)?jiān)冖貯E＝CF；②AB＝CD；③AB∥CD這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面題目的橫線上使之成為真命題，并解答出后面的問(wèn)題．（1）已知，如圖，四邊形BEDF是平行四邊形，點(diǎn)A、C在對(duì)角線EF所在的直線上，①（填寫(xiě)序號(hào)）．求證：△ABE≌△CDF；（2）連接AD、BC，若AC平分∠BAD，已知AB＝10，AC＝16．求四邊形ABCD的面積．（1）證明：添加①，∵四邊形BEDF是平行四邊形，∴BE＝DF，BE∥DF，∴∠BEF＝∠DFE，∴∠AEB＝∠CFD，在△ABE和△CDF中，，∴△ABE≌△CDF（SAS），故答案為：①；（2）如圖，連接AD、BC，連接BD交AC于點(diǎn)O，∵△ABE≌△CDF，∴∠BAC＝∠DCA，AB＝CD，∴AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC＝∠DAC，∴∠DAC＝∠DCA，∴DA＝DC，∴四邊形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，AO＝AC＝8，∴BO＝＝6，∴BD＝12，∴四邊形ABCD的面積為×12×16＝96．23．（8分）（2023?吉安模擬）課本再現(xiàn)：（1）定理直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．已知：如圖1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的中線．求證：CD＝AB．證明：如圖1，延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使得DE＝CD，連接BE，AE，…請(qǐng)把證明過(guò)程補(bǔ)充完整．知識(shí)應(yīng)用：（2）如圖2，在△ABC中，AD是邊BC上的高，CE是邊AB上的中線，F(xiàn)是CE的中點(diǎn)，連接DF并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G，連接GE，AB＝2CD．求證：EG＝CG．證明：（1）∵CD是AB邊上的中線，∴BD＝AD．∵DE﹣CD，∴四邊形ACBE是平行四邊形．∵∠ACB﹣90°，∴四邊形ACBE是矩形，∴AB＝CE．∵，；（2）如圖，連接DE．∵AD是邊BC上的高，CE是邊AB上的中線，∴AD⊥BD，E是AB的中點(diǎn)，∴．∵AB＝2CD，∴，∴CD＝DE．∵F是CE的中點(diǎn)，∴DG⊥CE，∴DG是線段CE的垂直平分線，∴EG＝CG．24．（8分）（2023?許昌二模）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是⊙O的直徑，過(guò)點(diǎn)C作⊙O的切線，交BA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，點(diǎn)F在PC上，連接AF，OF．易證命題：“若AF是⊙O的切線，則OF∥BC”是真命題．（1）請(qǐng)寫(xiě)出該命題的逆命題若OF∥BC，則AF是⊙O的切線．（2）判斷（1）中的命題是否為真命題，并說(shuō)明理由；（3）若⊙O的半徑為4，AF＝3，且OF∥BC，求AC的長(zhǎng)．解：（1）逆命題為：若OF∥BC，則AF是⊙O的切線，故答案為：若OF∥BC，則AF是⊙O的切線；（2）是真命題，理由如下：連接OC，∵OF∥BC，∴∠AOF＝∠ABC，∠COF＝∠OCB，∵OC＝OB，∴∠ABC＝∠OCB，∴∠AOF＝∠COF，在△OAF和△OCF中，，∴△OAF≌△OCF（SAS），∴∠OAF＝∠OCF，∵PC是⊙O的切線，∴∠OCF＝90°，∴∠OAF＝90°，∴FA⊥OA，∵OA是⊙O的半徑，∴AF是⊙O的切線；（3）∵⊙O的半徑為4，AF＝3，∠OAF＝90°，∴OF＝＝＝5，∵OA＝OC，∠AOF＝∠COF，∴OF⊥AC，∴AC＝2AE，∵△OAF的面積＝AF?OA＝OF?AE，∴AE＝＝，∴AC＝．25．（8分）（2023?吉安縣校級(jí)模擬）一抽紙紙筒被安裝在豎直墻面上，圖1是其側(cè)面示意圖，其中AB⊥BC，AB∥CE∥DF，AD∥EF∥BC，紙筒蓋CMP可以繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，關(guān)閉時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，CM⊥PM，AB＝30cm，DF＝6cm，CM＝EF＝7cm．（1）若∠BCM＝150°，求紙筒蓋關(guān)閉時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)；（2）如圖2，當(dāng)一卷底面直徑為10cm的圓柱體紙巾恰好能放入紙筒內(nèi)時(shí)，求紙筒蓋要打開(kāi)的最小角∠PCF的度數(shù)．（參考數(shù)據(jù)：sin11.，cos78.，，cos73.解：（1）如圖1，延長(zhǎng)BC交MP于點(diǎn)H，連接CP、CF，∵∠BCM＝150°，∴MCH＝30°，∵紙筒蓋CMP可以繞著點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，關(guān)閉時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合，CM⊥PM，∴∠PCF＝∠MCH＝30°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)軌跡是以點(diǎn)C為圓心，CP長(zhǎng)為半徑的，∵CE＝AB﹣DF＝30﹣6＝24cm，EF＝7cm，∴在Rt△CEF中，CF＝＝＝25（cm），∴＝＝π（cm）；答：紙筒蓋關(guān)閉時(shí)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)πcm；（2）如圖2，連接OC．∵CF＝CP＝25cm，OF＝OP＝5cm，∴∠OCF＝∠OCP，CO⊥FP．∴sin∠OCP＝＝＝，∵sin11.54°≈，∴∠OCP≈11.54°，∴∠PCF＝2∠OCP≈23.08°，答：紙筒蓋要打開(kāi)的最小角∠PCF的度數(shù)約為23.08°．26．（8分）（2023?靖江市校級(jí)三模）如圖，在⊙O中，AB是弦，半徑OE⊥AB于點(diǎn)F，點(diǎn)C為⊙O外一點(diǎn)，連接AC、BC，連接AE并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，給出下列信息：①AC與⊙O相切于點(diǎn)A；②AB＝AC；③點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．（1）請(qǐng)?jiān)谏鲜?條信息中選擇其中兩條作為條件，剩下的一條作為結(jié)論構(gòu)成一個(gè)真命題．你選擇的條件是①，②，結(jié)論是③（只要填寫(xiě)序號(hào)）．完成你的證明；（2）在（1）的條件下，若已知：AD＝4，sin∠DAC＝，求⊙O的半徑．解：（1）條件：①AC與⊙O相切于點(diǎn)A；②AB＝AC；結(jié)論：③點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．連接OA、OB，如圖所示．∵AC與