第13講 圓中的線段計算專題(原卷版)

第13講圓中的線段計算專題【知識點睛】圓中線段計算口訣——“圓中求長度，垂徑＋勾股”弦長、半徑、直徑是圓中的主要線段，相關計算主要利用垂徑定理及其推論，構造“以半徑、弦心距、弦長一半為三邊的直角三角形”，通過勾股定理列方程求解；圓中模型“知2得3”由圖可得以下5點：①AB⊥CD；②AE=EB；③AD過圓心O；④；⑤；以上5個結論，知道其中任意2個，剩余的3個都可以作為結論使用。常做輔助線：連半徑、作弦心距、見直徑連弦長得直徑所對圓周角【類題訓練】1．下列說法，其中正確的有（）①過圓心的線段是直徑②圓上的一條弧和經(jīng)過這條弧的端點的兩條半徑組成的圖形叫做扇形③大于半圓的弧叫做劣弧④優(yōu)弧大于劣?、蓍L度相等的兩條弧是等?、迗A心相同，半徑不等的圓叫做同心圓⑦平分弦的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧⑧圓中最長的弦是直徑⑨三點確定一個圓A．1個 B．2個 C．3個 D．4個2．如圖，弓形ADB的跨度AB＝8，高CD＝3，則弓形所在圓的直徑長為?（）A．5 B．10 C． D．3．如圖，⊙O的半徑OD⊥弦AB于點C，連接AO并延長交⊙O于點E，連接EB．若AB＝4，CD＝1，則EB的長為（）A．2 B．3 C．4 D．54．如圖，AB是⊙O的弦，半徑OC⊥AB于點D，連接AO并延長，交⊙O于點E，連接BE，DE．若DE＝3DO，AB＝6，則△ODE的面積為（）A．9 B．15 C． D．5．如圖，⊙O的弦AB垂直于CD，E為垂足，AE＝3，BE＝7，且AB＝CD，則圓心O到CD的距離是（）A．2 B． C． D．6．已知：如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD交AB于E點，BE＝1，AE＝5，∠AEC＝30°，則CD的長為（）A．4 B．4 C．3 D．57．如圖，半徑為5的⊙A與y軸交于點B（0，2）、C（0，10），則點A的橫坐標為（）A．﹣3 B．3 C．4 D．68．如圖所示，一圓弧過方格的格點ABC，試在方格中建立平面直角坐標系，使點A的坐標為（0，4），則該圓弧所在圓的圓心坐標是（）A．（﹣1，2） B．（1，﹣1） C．（﹣1，1） D．（2，1）9．如圖所示，在⊙O中，AB為弦，OC⊥AB交AB于點D，且OD＝DC．P為⊙O上任意一點，連接PA，PB，若⊙O的半徑為，則S△PAB的最大值為（）A． B． C． D．10．如圖是某品牌的香水瓶．從正面看上去它可以近似看作⊙O割去兩個弓形后余下的部分，與矩形ABCD組合而成的圖形（點B，C在⊙O上），其中BC∥EF；已知⊙O的半徑為25，BC＝14，AB＝26，EF＝48，則香水瓶的高度h是（）A．56 B．57 C．58 D．5911．如圖，AB是半徑為4的⊙O的直徑，P是圓上異于A，B的任意一點，∠APB的平分線交⊙O于點C，連接AC和BC，△ABC的中位線所在的直線與⊙O相交于點E、F，則EF的長是（）A． B． C．3 D．12．已知⊙O的直徑CD＝10，CD與⊙O的弦AB垂直，垂足為M，且AM＝4.8，則直徑CD上的點（包含端點）與A點的距離為整數(shù)的點有（）A．1個 B．3個 C．6個 D．7個13．如圖，⊙O的半徑為2，AB，CD是互相垂直的兩條直徑，點P是⊙O上任意一點（P與A，B，C，D不重合），過點P作PM⊥AB于點M，PN⊥CD于點N，點Q是MN的中點，在點P運動的過程中，OQ的長度為（）A．1 B．1.5 C．2 D．不能確定14．如圖，在平面直角坐標系中，半徑為5的⊙E與y軸交于點A（0，﹣2），B（0，4），與x軸交于C，D，則點D的坐標為（）A． B． C． D．15．已知⊙O的直徑CD＝10，AB是⊙O的弦，AB＝8，且AB⊥CD，垂足為M，則AC的長為（）A．2 B．4 C．2或4 D．2或416．如圖，點A，C，D均在⊙O上，點B在⊙O內(nèi)，且AB⊥BC于點B，BC⊥CD于點C，若AB＝4，BC＝8，CD＝2，則⊙O的面積為（）A． B． C． D．17．如圖，在半徑為1的⊙O中有三條弦，它們所對的圓心角分別為60°，90°，120°，那么以這三條弦長為邊長的三角形的面積是（）A． B．1 C． D．18．如圖，正方形ABCD和正方形BEFG的頂點分別在半圓O的直徑和圓周上，若BG＝4，則半圓O的半徑是（）A．4+ B．9 C．4 D．619．如圖，AB為⊙O的直徑，AB＝10，C，D為⊙O上兩動點（C，D不與A，B重合），且CD為定長，CE⊥AB于E，M是CD的中點，則EM的最大值為（）A．4 B．4.5 C．5 D．620．如圖，在平面直角坐標系xOy中，半徑為2的⊙O與x軸的正半軸交于點A，點B是⊙O上一動點，點C為弦AB的中點，直線與x軸、y軸分別交于點D、E，則△CDE面積的最大值為（）A．2 B．5 C．6 D．721．我們研究過的圖形中，圓的任何一對平行切線的距離總是相等的，所以圓是“等寬曲線”．除了圓以外，還有一些幾何圖形也是“等寬曲線”，如勒洛三角形（如圖1），它是分別以等邊三角形的每個頂點為圓心，以邊長為半徑，在另兩個頂點間畫一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形．圖2是等寬的勒洛三角形和圓形滾木的截面圖．有如下四個結論：①勒洛三角形是中心對稱圖形；②使用截面是勒洛三角形的滾木來搬運東西，不會發(fā)生上下抖動；③圖2中，等邊三角形的邊長為2，則勒洛三角形的周長為2π；④圖3中，在△ABC中隨機取一點，則該點取自勒洛三角形DEF部分的概率為．上述結論中，所有正確結論的序號是（）A．①② B．②④ C．②③ D．③④22．已知：如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過BC的中點D，且EF∥AB，若AB＝2，則DE的長是（）A． B． C． D．123．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，將劣弧沿AC折疊后剛好經(jīng)過弦BC的中點D．若AC＝6，∠C＝60°，則⊙O的半徑長為（）A． B． C． D．24．大武口青山公園地上有一排大理石球，小明想測量球的半徑，于是找了兩塊厚20cm的磚塞在球的兩側（如圖所示），他量了下兩磚之間的距離剛好是80cm，聰明的你，請幫小明算出大理石球的半徑是．?25．如圖，沿弦AB折疊扇形紙片AOB，圓心O恰好落在上的點C處，若AB＝，則四邊形OACB的面積為．26．如圖，正方形ABCD和正三角形AEF都內(nèi)接于⊙O，EF與BC，CD分別相交于點G，H，則的值為．27．如圖1，是某隧道的入口，它的截面如圖2所示，是由和矩形ABCD組成，且點B，?C也在所在的圓上，已知AB＝4m，M是BC的中點，此時隧道的最高點P離地面BC的距離MP＝8m，則該道路的路面寬BC＝8m；在上，離地面相同高度的兩點E，F(xiàn)裝有兩排照明燈，若點E是的中點，則這兩排照明燈離地面的高度是m．28．如圖，直線l與圓O相交于A、B兩點，AC是圓O的弦，OC∥AB，半徑OC的長為10，弦AB的長為12，動點P從點A出發(fā)以每秒1個單位的速度沿射線AB方向運動．當△APC是直角三角形時，動點P運動的時間t為秒．29．如圖所示，AB為⊙O的直徑，AB＝2，OC是⊙O的半徑，OC⊥AB，點D在上，＝2，點P是OC上一動點，則陰影部分周長的最小值為．30．如圖，⊙O的直徑AB＝10，P是OA上一點，弦MN過點P，且AP＝2，MP＝2，那么弦心距OQ為．31．如圖，用3個邊長為1的正方形組成一個對稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為．32．如圖，在⊙O中，AB、AC是互相垂直且相等的兩條弦，OD⊥AB，OE⊥AC，垂足分別為D、E．（1）求證：四邊形ADOE是正方形；（2）若AC＝2cm，求⊙O的半徑．33．如圖，AB是⊙O的直徑，E是⊙O上一點．（1）請用圓規(guī)和直尺畫BE的垂直平分線交⊙O于點C，點C位于AB上方（不寫作法，保留作圖痕跡）；（2）設EA和BC的延長線相交于點D，試說明∠BCE＝2∠BDE．34．如圖1，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝9，點P在半徑OB上，連接AP．（1）把△AOP沿AP翻折，點O的對稱點為點Q．①當點Q剛好落在弧AB上，求弧AQ的長；②如圖2，點Q落在扇形AOB外，AQ與弧AB交于點C，過點Q作QH⊥OA，垂足為H，探究OH、AH、QC之間的數(shù)量關系，并說明理由；（2）如圖3，記扇形AOB在直線AP上方的部分為圖形W，把圖形W沿著AP翻折，點B的對稱點為點E，弧AE與OA交于點F，若OF＝3，求PO的長．35．根據(jù)素材解決問題．設計貨船通過圓形拱橋的方案素材1圖1中有一座圓拱石橋，圖2是其圓形橋拱的示意圖，測得水面寬AB＝16m，拱頂離水面的距離CD＝4m．素材2如圖3，一艘貨船露出水面部分的橫截面為矩形EFGH，測得EF＝3m，EH＝10m．因水深足夠，貨船可以根據(jù)需要運載貨物．據(jù)調(diào)查，船身下降的高度y（米）與貨船增加的載重量x（噸）滿足函數(shù)關系式．問題解決任務1確定橋拱半徑求圓形橋拱的半徑任務2擬定設計方案根據(jù)圖3狀態(tài)，貨船能否通過圓形拱橋？若能，最多還能卸載多少噸貨物？若不能，至少要增加多少噸貨物才能通過？36．小明學習了垂徑定理，做了下面的探究，請根據(jù)題目要求幫小明完成探究．（1）更換定理的題設和結論可以得到許多真命題．如圖1，在⊙O中，C是劣弧AB的中點，直線CD⊥AB于點E，則