江西省名校教研聯(lián)盟高三下學(xué)期2月開學(xué)考試數(shù)學(xué)試卷

絕密★啟用前（新高考卷）數(shù)學(xué)試卷注意事項.1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改功，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A.B.C.D.2.已知，則（）A.B.C.D.3.已知橢圓的焦距為2，且，則C的離心率為（）A.B.C.D.4.乒乓球被譽為我國的“國球”，一個標(biāo)準(zhǔn)尺寸乒乓球的直徑是，其表面積約為（）A.B.C.D.5.已知函數(shù)沒有極值點，則的取值范圍是（）A.B.C.D.6.已知，且，則（）A.B.C.D.7.已知一組樣本數(shù)據(jù)的方差為10，且.設(shè)，則樣本數(shù)據(jù)的方差為（）8.甲?乙?丙三名同學(xué)報名參加數(shù)學(xué)?物理?化學(xué)?生物興趣小組.已知每人參加兩個興趣小組，三人不能同時參加同一個興趣小組，每個興趣小組至少有一人參加，則不同的報名參加方式共有（）A.45種B.81種C.90種D.162種二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知函數(shù)，則（）A.的最小正周期是B.的值域是C.的圖像關(guān)于點對稱D.的圖像關(guān)于直線對稱10.已知點分別為雙曲線的左?右焦點，為的右支上一點，則（）A.B.C.D.11.在中，，邊在平面上的射影長分別為3，4，則邊在上的射影長可能為（）A.B.C.D.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知向量，若，則___________，___________.13.記為等差數(shù)列的前項和，若，則___________.14.已知且，函數(shù)在的最大值為，則在的最小值為___________.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.（13分）記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）若，求；（2）若，求的面積.16.（15分）如圖，在四棱錐中，底面是正方形，分別為的中點，為線段上一點，且.（1）證明：平面；（2）若平面，且，求二面角的正弦值.17.（15分）已知某客運輪渡最大載客質(zhì)量為，且乘客的體重（單位：）服從正態(tài)分布.（1）記為任意兩名乘客中體重超過的人數(shù)，求的分布列及數(shù)學(xué)期望（所有結(jié)果均精確到0.001）；（2）設(shè)隨機變量相互獨立，且服從正態(tài)分布，記，則當(dāng)時，可認(rèn)為服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.若保證該輪渡不超載的概率不低于，求最多可運載多少名乘客.附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則；若服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則；，，.18.（17分）已知拋物線的焦點為各頂點均在上，且.（1）證明：是的重心；（2）能否是等邊三角形？并說明理由；（3）若均在第一象限，且直線的斜率為，求面積.19.（17分）已知函數(shù).（1）若，求的極值；（2）若，設(shè).證明：（i）；（ii）.絕密★啟用前（新高考卷）數(shù)學(xué)參考答案1.【答案】D【解析】因為，所以.2.【答案】A【解析】，故.3.【答案】D【解析】根據(jù)題意有半焦距，故，且，故的離心率.4.【答案】C【解析】標(biāo)準(zhǔn)乒乓球的半徑，故表面積.5.【答案】B【解析】，若沒有極值點，則方程至多只有一個解，即，故的取值范圍是.6.【答案】A【解析】由，可得，由，可得，故，故當(dāng)時，.7.【答案】B【解析】設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，則，設(shè)樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，因為，所以，所以.8.【答案】C【解析】方法1：根據(jù)題意可知有2個興趣小組各有2個人報名，有2個興趣小組各有1個人報名，則共有種；若有2個同學(xué)所報名的2個興趣小組完全相同，則剩下的1個同學(xué)所報名參加的2個興趣小組都只有1個人報名，則有種；若三人中只有一人所報名的2個興趣小組各有2人報名，則另兩人每人各報名一個有2人報名的興趣小組和一個僅有1人報名的興趣小組，則有種，故一共有種.方法2：甲乙完全相同的報名參加方式有種，甲?乙只有一個興趣小組相同的報名參加方式有種，甲?乙完全不同的報名參加方式有種，所以他們不同的報名參加方式共有種.9.【答案】ABD（選對部分得3分）【解析】，故的最小正周期是，值域為正確；因為，故不關(guān)于點對稱，錯誤；因為是的極大值點，故關(guān)于直線對稱，正確.10.【答案】BCD（選對部分得3分）【解析】當(dāng)?shù)臋M坐標(biāo)為無窮大時，也為無窮大，故A錯誤；由雙曲線的定義可知，故，故B正確；，故C正確；的一條漸近線的斜率為，大于直線的斜率，所以當(dāng)在軸上方時，不可能共線，故由三角形三邊關(guān)系可知，故D正確.11.【答案】AC（選對部分得3分）【解析】不妨設(shè)點在上，因為，且邊在平面上的射影長分別為3，4，所以點到的距離分別為4，3.當(dāng)在同一側(cè)時，在上的射影長為；當(dāng)在不同側(cè)時，在上的射影長為.12.【答案】，（第一空3分，第二空2分）【解析】因為向量，所以，當(dāng)時，，即，故，所以.13.【答案】49【解析】因為，則，又因為，故，所以.14.【答案】5【解析】方法1：因為，所以的圖像關(guān)于點對稱，故若在的最大值為3，則在的最小值為5.方法2：由條件得，當(dāng)時，，且等號成立，即，，且等號成立，在的最小值為5.15.（13分）【解析】（1）因為，由正弦定理可得：，因為，所以，故.所以.（2）由余弦定理可知，即，故.又，所以.16.（15分）【解析】（1）記為的交點，連接交于點，連接，因為分別為的中點，則為的重心，故.又因為四邊形是正方形，故為的中點，且由于，故，，所以.又因為平面，且平面所以平面.（2）以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸建立坐標(biāo)系，設(shè)，則，所以，平面與平面的法向量分別為，則，不妨取，則，所以，所以二面角的正弦值為.17.（15分）【解析】（1）設(shè)乘客的體重為，則，其中，因為，即，故，所以，，，所以的分布列為：0120.7080.2670.025方法1：所以.方法2：因為，故.注：考生把寫成，不影響得分.（2）設(shè)為第位乘客的體重，則，其中，所以.因為.故有，得，即，故，所以若保證該輪渡不超載的概率不低于，最多可運載64名乘客.18.（17分）【解析】（1）設(shè)線段的中點為，由可知，設(shè)的中點為，同理可知，所以兩條中線相交于，故是的重心.（2）方法1：根據(jù)題意有.設(shè)，則，由可得，，且.又由拋物線的幾何性質(zhì)可知.若是等邊三角形，則由（1）可知.由，得，又因為不重合，故可知，所以.故，這與矛盾.綜上，不可能是等邊三角形.方法2：根據(jù)題意有.設(shè)，由拋物線的幾何性質(zhì)可知，.若是等邊三角形，則由（1）可知.所以，故，因此中至少兩個相等，中至少有兩個點重合，這與互不重合矛盾，故不可能是等邊三角形.（3）方法1：設(shè)直線的方程為，其中，且因為在第一象限，易知，與的方程聯(lián)立有，其中，可知，結(jié)合（2）中所設(shè)點坐標(biāo)可知.由（2）可知，且，代入有：，故，整理化簡有，，點到直線的距離，所以.由（1）可知，故.方法2：由條件可設(shè)的方程為.把此方程與聯(lián)立，化簡得..根據(jù)（2）有，.由解得.，直線的方程為..點到直線的距離，所以的面積為.19.（17分）【解析】（1）方法1：當(dāng)時，，所以，且.設(shè)，則，其中，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，又因為，故當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減.故是的極小值點，的極小值為，是的極大值點，的極大值為.方法2：當(dāng)時，，所以.設(shè)，則在單調(diào)遞減.由于，，故存在唯一，使得.當(dāng)時，單調(diào)遞增；當(dāng)時，單調(diào)遞減.因為，所以當(dāng)或時，單