2017年江蘇省高考數(shù)學(xué)試卷考點(diǎn)卡片

考點(diǎn)卡片

1.交集及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

由所有屬于集合A且屬于集合B的元素組成的集合叫做A與8的交集，記作AAB.

符號(hào)語言：AnB^[x\x￡A,且在即.

AAB實(shí)際理解為：x是A且是8中的相同的所有元素.

當(dāng)兩個(gè)集合沒有公共元素時(shí)，兩個(gè)集合的交集是空集，而不能說兩個(gè)集合沒有交集.

運(yùn)算形狀：

@ADB=Br\A.②AC0=0.③AClA=A.④ACBUA,AQB^B.(5)AnB=A<=>A￡B.?A

C2=0,兩個(gè)集合沒有相同元素.⑦AC(CuA)=0.⑧Cu(Ans)=(CuA)U(CuB).

【解題方法點(diǎn)撥】解答交集問題，需要注意交集中：“且”與“所有”的理解.不能把“或”

與“且”混用；求交集的方法是：①有限集找相同；②無限集用數(shù)軸、韋恩圖.

【命題方向】掌握交集的表示法，會(huì)求兩個(gè)集合的交集.

命題通常以選擇題、填空題為主，也可以與函數(shù)的定義域，值域，函數(shù)的單調(diào)性、復(fù)合函數(shù)

的單調(diào)性等聯(lián)合命題.

2.函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系

【函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系】

函數(shù)的零點(diǎn)表示的是函數(shù)與x軸的交點(diǎn)，方程的根表示的是方程的解，他們的含義是不一

樣的.但是，他們的解法其實(shí)質(zhì)是一樣的.

【解法】

求方程的根就是解方程，把所有的解求出來，一般要求的是二次函數(shù)或者方程組，這里不

多講了.我們重點(diǎn)來探討一下函數(shù)零點(diǎn)的求法(配方法).

例題：求函數(shù)/(x)=)+5x3_27?-101%-70的零點(diǎn).

解：,:于(x)=X4+5X3-27/-10U--70

=(%-5)?(x+7)?(x+2)?(x+l)

函數(shù)/(x)=X4+5X3-272-101x-70的零點(diǎn)是：5、-7、-2、-1.

通過這個(gè)題，我們發(fā)現(xiàn)求函數(shù)的零點(diǎn)常用的方法就是配方法，把他配成若干個(gè)一次函數(shù)的

乘積或者是二次函數(shù)的乘積，最后把它轉(zhuǎn)化為求基本函數(shù)的零點(diǎn)或者說求基本函數(shù)等于0

時(shí)的解即可.

【考查趨勢(shì)】

考的比較少，了解相關(guān)的概念和基本的求法即可.

3.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

1、導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性的關(guān)系：

⑴若f(x)>0在(a,b)上恒成立，則/(x)在(a,b)上是增函數(shù)，/(x)>0

的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；

(2)若于'(x)<0在(a,b)上恒成立，則/(%)在(a,b)上是減函數(shù)，f'(x)<0

的解集與定義域的交集的對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.

2、利用導(dǎo)數(shù)求解多項(xiàng)式函數(shù)單調(diào)性的一般步驟：

(1)確定了(x)的定義域；

(2)計(jì)算導(dǎo)數(shù)，(x)；

(3)求出/(x)=0的根；

(4)用/(%)=0的根將/(無)的定義域分成若干個(gè)區(qū)間，列表考察這若干個(gè)區(qū)間內(nèi)f

(x)的符號(hào)，進(jìn)而確定了(x)的單調(diào)區(qū)間：f(x)>0,則/(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是增函數(shù)，

對(duì)應(yīng)區(qū)間為增區(qū)間；f(x)<0,則/'(x)在對(duì)應(yīng)區(qū)間上是減函數(shù)，對(duì)應(yīng)區(qū)間為減區(qū)間.

【典型例題分析】

題型一：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系

典例1：已知函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,/(-1)=2,對(duì)任意xeR,f(x)>2,則/(x)

>2x+4的解集為()

A.(-1,1)B.(-1,+8)C.(-°°,-1)Z).(-°°,+8)

解：設(shè)g(x)=/(x)-2x-4,

則g'(無)=f(x)-2,

?.?對(duì)任意尤CR,f'(x)>2,

對(duì)任意xeR,g'(x)>0,

即函數(shù)g(X)單調(diào)遞增，

■:f(-1)=2,

.'.g(-1)=f(-1)+2-4=4-4=0,

則由g(x)>g(-1)=0得

x>-1,

即/(x)>2x+4的解集為(-1,+8),

故選：B

題型二：導(dǎo)數(shù)和函數(shù)單調(diào)性的綜合應(yīng)用

典例2：已知函數(shù)/(無)=alnx-ax-3(aGR).

(I)求函數(shù)/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(II)若函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)(2,7(2))處的切線的傾斜角為45°,對(duì)于任意的正[1,

2],函數(shù)。(燈=爐+必『(乃+為在區(qū)間G,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，求相的取值范圍；

#.、十ln2ln3ln4Inn1

(ZTITlTlX)求證：---X---X---X…X----<一(九>272eN)?

234nnZ

解：(i)r'(X)=-(x>0)(2分)

當(dāng)a>0時(shí)，f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(0,1],減區(qū)間為[1,+8)；

當(dāng)。<0時(shí)，/(x)的單調(diào)增區(qū)間為口，+8),減區(qū)間為(0,1]；

當(dāng)a=0時(shí)，f3不是單調(diào)函數(shù)(4分)

(II)/，(2)=-今=1得a=-2,f(x)=-llnx+lx-3

?*-g(x)=%3+(y+2)x2—2x,

；.g'(x)=3/+(m+4)x-2(6分)

Vg(x)在區(qū)間G,3)上總不是單調(diào)函數(shù)，且g'(0)=-2

<0

Uz(3)>0(8分)

由題意知：對(duì)于任意的花口，2],g'⑺<0恒成立,

(g'(i)vo

所以有：(g'(2)<0，----y-<m<-9(10分)

Q(3)>0

(III)令a=-1此時(shí)/(x)=-Irvc+x-3,所以/(1)=-2,

由(I)知/(x)=-Iwc^x-3在(1,+°°)上單調(diào)遞增，

???當(dāng)xE(1,+°°)時(shí)/(%)>f(1),即-加x+x-l>0,

?二Vx-1對(duì)一切xE(1,+8)成立，(12分)

,:G2,〃EN*,貝！J有0V防〃V〃-1,

.0<咽<nZl

nn

.ln2ln3ln4Inn123n-11

??-----?------?-----??------<一?一—■-------=~(n>2,n6N*)

234n234nn

【解題方法點(diǎn)撥】

若在某區(qū)間上有有限個(gè)點(diǎn)使，(x)=0,在其余的點(diǎn)恒有(x)>0,則/(無)仍為增

函數(shù)(減函數(shù)的情形完全類似).即在區(qū)間內(nèi)f(尤)>0是/(x)在此區(qū)間上為增函數(shù)的

充分條件，而不是必要條件.

4.利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

1、極值的定義：

(1)極大值：一般地，設(shè)函數(shù)/(無)在點(diǎn)X0附近有定義，如果對(duì)沖附近的所有的點(diǎn)，都有

f(x)<f(xo)>就說/(xo)是函數(shù)/(x)的一個(gè)極大值，記作y極大值=/(xo),xo是極大值

點(diǎn);

(2)極小值：一般地，設(shè)函數(shù)/(x)在切附近有定義，如果對(duì)xo附近的所有的點(diǎn)，都有了

(x)>/(xo),就說/(xo)是函數(shù)/(x)的一個(gè)極小值，記作y極小值=/(xo),xo是極小值

點(diǎn).

2、極值的性質(zhì)：

(1)極值是一個(gè)局部概念，由定義知道，極值只是某個(gè)點(diǎn)的函數(shù)值與它附近點(diǎn)的函數(shù)值比

較是最大或最小，并不意味著它在函數(shù)的整個(gè)的定義域內(nèi)最大或最??；

（2）函數(shù)的極值不是唯一的，即一個(gè)函數(shù)在某區(qū)間上或定義域內(nèi)極大值或極小值可以不止

一個(gè)；

（3）極大值與極小值之間無確定的大小關(guān)系，即一個(gè)函數(shù)的極大值未必大于極小值；

（4）函數(shù)的極值點(diǎn)一定出現(xiàn)在區(qū)間的內(nèi)部，區(qū)間的端點(diǎn)不能成為極值點(diǎn)，而使函數(shù)取得最

大值、最小值的點(diǎn)可能在區(qū)間的內(nèi)部，也可能在區(qū)間的端點(diǎn).

3、判別fU）是極大、極小值的方法：

若X0滿足/（xo）=0,且在X0的兩側(cè)/（X）的導(dǎo)數(shù)異號(hào)，則無0是/（X）的極值點(diǎn)，f（X0）

是極值，并且如果（X）在X0兩側(cè)滿足“左正右負(fù)”，則尤0是/（X）的極大值點(diǎn)，/U）

是極大值；如果f（無）在X0兩側(cè)滿足“左負(fù)右正”，則X0是/（無）的極小值點(diǎn)，/（xo）

是極小值.

4、求函數(shù)/（X）的極值的步驟：

（1）確定函數(shù)的定義區(qū)間，求導(dǎo)數(shù)，（X）；

（2）求方程/（x）=0的根；

（3）用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，順次將函數(shù)的定義區(qū)間分成若干小開區(qū)間，并列成表格，檢

查/（x）在方程根左右的值的符號(hào)，如果左正右負(fù)，那么/（x）在這個(gè)根處取得極大值；

如果左負(fù)右正，那么/（x）在這個(gè)根處取得極小值；如果左右不改變符號(hào)即都為正或都為負(fù)，

則/（x）在這個(gè)根處無極值.

【解題方法點(diǎn)撥】

在理解極值概念時(shí)要注意以下幾點(diǎn)：

（1）按定義，極值點(diǎn)X0是區(qū)間［a,切內(nèi)部的點(diǎn)，不會(huì)是端點(diǎn)a,b（因?yàn)樵诙它c(diǎn)不可導(dǎo)）.

（2）極值是一個(gè)局部性概念，只要在一個(gè)小領(lǐng)域內(nèi)成立即可.要注意極值必須在區(qū)間內(nèi)的

連續(xù)點(diǎn)取得.一個(gè)函數(shù)在定義域內(nèi)可以有許多個(gè)極小值和極大值，在某一點(diǎn)的極小值也可能

大于另一個(gè)點(diǎn)的極大值，也就是說極大值與極小值沒有必然的大小關(guān)系，即極大值不一定比

極小值大，極小值不一定比極大值小.

（3）若/（x）在（a,b）內(nèi)有極值，那么/（x）在（a,b）內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在區(qū)間

上單調(diào)的函數(shù)沒有極值.

（4）若函數(shù)/（x）在［a,切上有極值且連續(xù)，則它的極值點(diǎn)的分布是有規(guī)律的，相鄰兩個(gè)

極大值點(diǎn)之間必有一個(gè)極小值點(diǎn)，同樣相鄰兩個(gè)極小值點(diǎn)之間必有一個(gè)極大值點(diǎn)，一般地，

當(dāng)函數(shù)/（x）在［a,切上連續(xù)且有有

限個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，函數(shù)/（x）在［a,切內(nèi)的極大值點(diǎn)、極小值點(diǎn)是交替出現(xiàn)的，

（5）可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)必須是導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，但導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)，不可導(dǎo)的

點(diǎn)也可能是極值點(diǎn)，也可能不是極值點(diǎn).

5.二元一次不等式（組）與平面區(qū)域

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

二元一次不等式（組）與簡(jiǎn)單線性規(guī)劃問題

1、二元一次不等式表示的平面區(qū)域

一般地，直線/：ax+by+c=O把直角坐標(biāo)平面分成了三個(gè)部分：

①直線/上的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)滿足ax+by+c=O；

②直線/一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)滿足ax+6y+c>0；

③直線/另一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)（x,y）的坐標(biāo)滿足辦+6y+c<0.

所以，只需在直線/的某一側(cè)的平面區(qū)域內(nèi)，任取一特殊點(diǎn)（xo,yo）,從函+byo+c值的正

負(fù)，即可判斷不等式表示的平面區(qū)域.

2、線性規(guī)劃相關(guān)概念

名稱意義

目標(biāo)函數(shù)欲求最大值或最小值的函數(shù)

約束條件目標(biāo)函數(shù)中的變量所要滿足的不等式組

可行解滿足約束條件的解（X,y）

可行域由所有可行解組成的集合

最優(yōu)解使目標(biāo)函數(shù)取得最大值或最小值的可行解,通常在可行域

的頂點(diǎn)處取得

二元線性規(guī)如果兩個(gè)變量滿足一組一次不等式，求這兩個(gè)變量的一次

戈問題函數(shù)的最大值或最小值問題叫作二元線性規(guī)劃問題

3、線性規(guī)劃

（1）不等式組是一組對(duì)變量x、y的約束條件，由于這組約束條件都是關(guān)于x、y的一次不

等式，所以又可稱其為線性約束條件.z=Ax+By是欲達(dá)到最大值或最小值所涉及的變量尤、

y的解析式，我們把它稱為目標(biāo)函數(shù).由于2=-+出又是關(guān)于x、y的一次解析式，所以又

可叫做線性目標(biāo)函數(shù).

另外注意：線性約束條件除了用一次不等式表示外，也可用一次方程表示.

（2）一般地，求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題,統(tǒng)稱為線性規(guī)

戈U問題.

（3）那么，滿足線性約束條件的解（x,y）叫做可行解,由所有可行解組成的集合叫做可

行域.在上述問題中，可行域就是陰影部分表示的三角形區(qū)域.其中可行解（xi，J1）和（X2,

y2）分別使目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值，它們都叫做這個(gè)問題的最優(yōu)解.線性目標(biāo)函數(shù)的

最值常在可行域的頂點(diǎn)處取得；而求最優(yōu)整數(shù)解必須首先要看它們是否在可行.

4、用圖解法解決簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題的基本步驟：

①首先，要根據(jù)線性約束條件畫出可行域（即畫出不等式組所表示的公共區(qū)域）.

②設(shè)z=0,畫出直線/o.

③觀察、分析，平移直線的從而找到最優(yōu)解.

④最后求得目標(biāo)函數(shù)的最大值及最小值.

5、利用線性規(guī)劃研究實(shí)際問題的解題思路：

首先，應(yīng)準(zhǔn)確建立數(shù)學(xué)模型，即根據(jù)題意找出約束條件，確定線性目標(biāo)函數(shù).

然后，用圖解法求得數(shù)學(xué)模型的解，即畫出可行域，在可行域內(nèi)求得使目標(biāo)函數(shù)取得最值的

解.

最后,還要根據(jù)實(shí)際意義將數(shù)學(xué)模型的解轉(zhuǎn)化為實(shí)際問題的解，即結(jié)合實(shí)際情況求得最優(yōu)解.

【典型例題分析】

題型一：二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域

典例1：若不等式組所表示的平面區(qū)域被直線>=履+［分為面積相等的兩部分，則上的值是

（）

3734

分析：畫出平面區(qū)域，顯然點(diǎn)(。，?在已知的平面區(qū)域內(nèi)，直線系過定點(diǎn)(。，-)，結(jié)合

圖形尋找直線平分平面區(qū)域面積的條件即可.

解答：不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示.

由于直線>="+9過定點(diǎn)(°,因此只有直線過42中點(diǎn)時(shí),直線>=依+當(dāng)能平分平面

區(qū)域.

因?yàn)锳(1,1),B(0,4),所以AB中點(diǎn)。(-,

22

4155k47

-+所以-

「

「--=-

3222233

答案：A.

點(diǎn)評(píng)：二元一次不等式(組)表示平面區(qū)域的判斷方法：直線定界，測(cè)試點(diǎn)定域.

注意不等式中不等號(hào)有無等號(hào)，無等號(hào)時(shí)直線畫成虛線，有等號(hào)時(shí)直線畫成實(shí)線.測(cè)試點(diǎn)可

以選一個(gè)，也可以選多個(gè)，若直線不過原點(diǎn)，則測(cè)試點(diǎn)常選取原點(diǎn).

題型二：求線性目標(biāo)函數(shù)的最值

%_與忘一3

<3x+5〉W25

典例2：設(shè)x,y滿足約束條件：,求2=%+>的最大值與最小值.

分析：作可行域后，通過平移直線/o：x+y=O來尋找最優(yōu)解，求出目標(biāo)函數(shù)的最值.

解答：先作可行域，如圖所示中△ABC的區(qū)域，且求得A(5,2)、B(1,1)、C(1,),作

出直線/o：x+y=O,再將直線/o平移，當(dāng)/o的平行線4過點(diǎn)2時(shí)，可使z=x+y達(dá)到最小值;

當(dāng)I。的平行線b過點(diǎn)A時(shí)，可使Z=x+y達(dá)到最大值.故Zmin=2,Zmax=7.

'、*

/ojr+y=0

點(diǎn)評(píng)：（1）線性目標(biāo)函數(shù)的最大（?。┲狄话阍诳尚杏虻捻旤c(diǎn)處取得，也可能在邊界處取得.

（2）求線性目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解，要注意分析線性目標(biāo)函數(shù)所表示的幾何意義，明確和直線

的縱截距的關(guān)系.

題型三：實(shí)際生活中的線性規(guī)劃問題

典例3：某農(nóng)戶計(jì)劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假

設(shè)種植黃瓜和韭菜的產(chǎn)量、成本和售價(jià)如下表：

年產(chǎn)量/畝年種植成本/畝每噸售價(jià)

黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元

韭菜6噸0.9萬元0.3萬元

為使一年的種植總利潤（總利潤=總銷售收入-總種植成本）最大，那么黃瓜和韭菜的種植

面積（單位：畝）分別為（）

A.50,0B.30,20C.20,30D.0,50

分析：根據(jù)線性規(guī)劃解決實(shí)際問題，要先用字母表示變量，找出各量的關(guān)系列出約束條件，

設(shè)出目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為線性規(guī)劃問題.

‘x+yW50

解析設(shè)種植黃瓜x畝，韭菜y畝，則由題意可知）L2x+0.9y=54

&yeN+

求目標(biāo)函數(shù)z=x+0.9y的最大值，

根據(jù)題意畫可行域如圖陰影所示.

當(dāng)目標(biāo)函數(shù)線/向右平移，移至點(diǎn)A（30,20）處時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，即當(dāng)黃瓜種植

30畝，韭菜種植20畝時(shí)，種植總利潤最大.故答案為：B

點(diǎn)評(píng)：線性規(guī)劃的實(shí)際應(yīng)用問題，需要通過審題理解題意，找出各量之間的關(guān)系，最好是列

成表格，找出線性約束條件，寫出所研究的目標(biāo)函數(shù)，轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問題，再按如

下步驟完成：

（1）作圖--畫出約束條件所確定的平面區(qū)域和目標(biāo)函數(shù)所表示的平行直線系中過原點(diǎn)的

那一條Z；

（2）平移--將/平行移動(dòng)，以確定最優(yōu)解的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A的位置；

（3）求值--解方程組求出A點(diǎn)坐標(biāo)（即最優(yōu)解），代入目標(biāo)函數(shù)，即可求出最值.

題型四：求非線性目標(biāo)函數(shù)的最值

X-2^0,

<x+2j—4>0,

典例4：（1）設(shè)實(shí)數(shù)x,>滿足12y-3W0，，則的最大值為一.

%+介2,

<xWL

（2）已知。是坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A（1,0）,若點(diǎn)M（x,y）為平面區(qū)域上11'式2，的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)，則|區(qū)4+而I的最小值是.

分析：與二元一次不等式（組）表示的平面區(qū)域有關(guān)的非線性目標(biāo)函數(shù)的最值問題的求解一

般要結(jié)合給定代數(shù)式的幾何意義來完成.

解答：（1）表示點(diǎn)（尤，y）與原點(diǎn)（0,0）連線的斜率，在點(diǎn)（1,-）處取到最大值.

x2

（2）依題意得，OA+OM=（x+by）,|區(qū)4+oM=+4尸+可視為點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)

（-b0）間的距離，在坐標(biāo)平面內(nèi)畫出題中的不等式組表示的平面區(qū)域，結(jié)合圖形可知，

在該平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)中，由點(diǎn)（-1,0）向直線x+y=2引垂線的垂足位于該平面區(qū)域內(nèi)，

且與點(diǎn)（-1,0）的距離最小，因此|易+公/|的最小值是=芷.

2

故答案為：（1）-（2）——

22

點(diǎn)評(píng)：常見代數(shù)式的幾何意義有

（1）Jx。+y。表示點(diǎn)（x,y）與原點(diǎn)（0,0）的距離；

（2）J（x—a），+（y—b），表小點(diǎn)（x,y）與點(diǎn)（a,b）之間的距禺;

（3）?表示點(diǎn)（x,y）與原點(diǎn)（0,0）連線的斜率；

x

（4）~表示點(diǎn)（x,j）與點(diǎn)（a,b）連線的斜率.

x-a

【解題方法點(diǎn)撥】

1.畫出平面區(qū)域.避免失誤的重要方法就是首先使二元一次不等式標(biāo)準(zhǔn)化.

2.在通過求直線的截距三的最值間接求出z的最值時(shí)，要注意：當(dāng)6>0時(shí)，截距三取最大值

bb

時(shí)，z也取最大值；截距三取最小值時(shí)，z也取最小值；當(dāng)匕<0時(shí)，截距日取最大值時(shí)，z取

bb

最小值；截距土取最小值時(shí)，z取最大值.

b

6.基本不等式及其應(yīng)用

【概述】

基本不等式主要應(yīng)用于求某些函數(shù)的最值及證明不等式.其可表述為：兩個(gè)正實(shí)數(shù)的幾

何平均數(shù)小于或等于它們的算術(shù)平均數(shù).公式為：號(hào)二兩（?！?,b20），變形為ab

W（―）2或者強(qiáng).常常用于求最值和值域.

2

【實(shí)例解析】

例1：下列結(jié)論中，錯(cuò)用基本不等式做依據(jù)的是.

A：a,b均為負(fù)數(shù)，則一+—>2.B：,>2.C：sinxH——>4.D：

b2asmx

3

aeR+,(3-a)(l-^)<0.

解：根據(jù)均值不等式解題必須滿足三個(gè)基本條件：“一正，二定、三相等”可知A、8、。均

滿足條件.

對(duì)于C選項(xiàng)中sinxW±2,

不滿足“相等”的條件，

再者sinx可以取到負(fù)值.

故選：C.

A選項(xiàng)告訴我們正數(shù)的要求是整個(gè)式子為正數(shù)，而不是式子當(dāng)中的某一個(gè)組成元素；B分

子其實(shí)可以寫成/+1+1,然后除以分母就可換成基本不等式.這個(gè)例題告訴我們對(duì)于一個(gè)

式子也是可以用基本不等式的，而且求最值也很方便.

例2：利用基本不等式求)，=春的最值？當(dāng)時(shí)，如何求)，=器的最大值.

解：當(dāng)x=0時(shí)，y=0,

當(dāng)xWO時(shí)，y=:=—

用基本不等式

若x>0時(shí)，0<〉三斗，

若％<0時(shí)，-平=y<0,

綜上得，可以得出一或

y=J'的最值是一寧與*一-

這是基本不等式在函數(shù)中的應(yīng)用，他的解題思路是首先判斷元素是否大于0,沒有明確表

示的話就需要討論；然后把他化成基本不等式的形式，也就是化成兩個(gè)元素(函數(shù))相加，

而他們的特點(diǎn)是相乘后為常數(shù)；最后套用基本不等式定理直接求的結(jié)果.

【基本不等式的應(yīng)用】

1、求最值

例1:求下列函數(shù)的值域.

⑴y=3x在*⑵y=x+1

解：(Dy=3x2+會(huì)22y3x2?奈=紈...值域?yàn)閇比,

(2)當(dāng)x>0時(shí)，尸x+[2=2；

當(dāng)r<0時(shí)，y=x+；=-(-X-)<-2\/x=-2

XXy2k

...值域?yàn)?-00,-21UF2,-MO)

2、利用基本不等式證明不等式

例2：已知a、b、ceR-,且a+b+c=l。求證：［1-1j||-1'|A-ij>8

分析：不等式右邊數(shù)字8,使我們聯(lián)想到左邊因式分別使用基本不等式可得三個(gè)“2”連乘，又

1-1=1Z￡=^￡>2^￡,可由此變形入手。

頡..一D,,L,1.1,1-ab+c2->fbc日工由1,2y/ac12yfab

解：.ct\b\ceR5a+b+c=l。..一一1=---=----2-----。\口」于里一一12-----5——12-----°

aaaabbcc

上述三個(gè)不等式兩邊均為正，分別相乘，得

8。當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=L時(shí)取等號(hào)。

3

3、基本不等式與恒成立問題

19

例3：已知x>0j>0且一+—=1,求使不等式x+yNm恒成立的實(shí)數(shù)m的取值范圍。

xy

行人.八19,x+y9x+9y.10y9x.

:之x+"V=±x>0A：y>0：—+—=1,----+------=1.—+——+——1

xykxkykkxley

ina

>2-o.\jt>16,we(^o,16]

kk

4、均值定理在比較大小中的應(yīng)用

例4：若a>b>1：尸=Jlga-lg乩Q=g(lga+lg=lg(^^),則尸：2出的大小關(guān)系是_______

分析：a>b>1.'.lga>OJg6>0

0=((lga+lgi)>Jlga>gb=p

R—lg(>lg^[ab=—lgdb—Q.\R>Q>Po

【解題方法點(diǎn)撥】

技巧一：湊項(xiàng)

例1：已知求函數(shù)】，=4叉-2的最大值。

44x-5

解：因4x-5<0,所以苜先要，調(diào)整，符號(hào)，又(4x-2>—!—不是常數(shù)，所以對(duì)4x-2要進(jìn)行拆、湊項(xiàng),

4x-5

???x<之,二5-4x>0，二)=4x-2+---=-；5-4x+―-—|+3?-2+3=1

44x-5I5-4xJ

當(dāng)且僅當(dāng)5-4x=」一,即x=l時(shí)，上式等號(hào)成立，故當(dāng)x=l時(shí)，vffla=U

5-4x

點(diǎn)評(píng)：本題需要調(diào)整項(xiàng)的符號(hào)，又要配湊項(xiàng)的系數(shù)，使其積為定值.

技巧二：湊系數(shù)

例2：當(dāng)0cx<4時(shí)，求?=尤(8-2無)的最大值.

解析：由0<x<4知，8-2x>0,利用基本不等式求最值，必須和為定值或積為定值，此題

為兩個(gè)式子積的形式，但其和不是定值.注意到2x+(8-2x)=8為定值，故只需將>=尤

(8-2x)湊上一個(gè)系數(shù)即可.

尸x(8-2x)=1[2x'(8-2x)]<1(2X+^-2X)2=8

當(dāng)2x=8-2x,即x=2時(shí)取等號(hào)，當(dāng)x=2時(shí)，y=x(8-x2)的最大值為8.

評(píng)注：本題無法直接運(yùn)用基本不等式求解，但湊系數(shù)后可得到和為定值，從而可利用基本不

等式求最大值.

技巧三：分離

例3：求>=匚笥。(x>-1)的值域.

解：本題看似無法運(yùn)用基本不等式，不妨將分子配方湊出含有(x+1)的項(xiàng)，再將其分離.

2

x^t10=(x+l)+5(x+l)+4=(a)+45,

x+1x+1x+1

當(dāng)x>-1,即x+1>0時(shí)，J(x+1)x^j-+5=9(當(dāng)且僅當(dāng)x=l時(shí)取"=”號(hào))

技巧四：換元

對(duì)于上面例3,可先換元，令￡=冗+1,化簡(jiǎn)原式在分離求最值.

技巧五：結(jié)合函數(shù)/（九）=計(jì)三的單調(diào)性.

2

例4：求函數(shù)>，=與x二+5的值域。

VX2+4

解：令&2+4=r?N2）,川[一￡+5=.」（,>?）

y/x1+4Jx2+4t

因=但/=；解得r=±l不在區(qū)間[2+8）,故等號(hào)不成立，考慮單調(diào)性。

因?yàn)椤罚?/+；在區(qū)間口內(nèi)）單調(diào)遞增，所以在其子區(qū)間[2,+8）為單調(diào)遞增函數(shù)，故）亞^。

所以，所求函數(shù)的值域?yàn)椋?+8〉

技巧六：整體代換

1Q

例5：已知x>0?>0,且一+一=1,求x+y的最小值。

xy

故（x+）'）1ns=12。

錯(cuò)因：解法中兩次連用基本不等式，在x+122歷等號(hào)成立條件是x=y,在白+2z2區(qū)等號(hào)成立條

XV[孫

件是乙1=一9即y=9x,取等號(hào)的條件的不一致，產(chǎn)生錯(cuò)誤。因此，—在利用基本不等式處理問題時(shí)，列出等

xy

號(hào)成立條件是解題的必要步驟，而且是檢瞼轉(zhuǎn)換是否有誤的一種方法。

[9：]9\I，9JV

正解：-+—=1>二x+>=|x+j]]—+—=—+-+10±6+10=16

xy"yjxy

n?Qv19

當(dāng)且僅當(dāng)士=二時(shí)，上式等號(hào)成立，又一+—=1,可得x=4j=12時(shí)，（x+y）jnin=16o

xyxyatl

點(diǎn)評(píng)：多次連用最值定理求最值時(shí)，要注意取等號(hào)的條件的一致性，否則就會(huì)出錯(cuò).

技巧七：取平方

例6:求函數(shù)]，=四口+嶼二五&<x<|)的最大值。

解析：注意到2X-1與5-2X的和為定值。

y2=(5-1+，5-2切2=4+27(2%-1)(5-2x)<4+(2x-l)+(5-2x)=8

又y>0,所以O(shè)<yW20

當(dāng)且僅當(dāng)2X-1=5-2X,即x=：時(shí)取等號(hào)。故為紅=2&。

點(diǎn)評(píng)：本題將解析式兩邊平方構(gòu)造出“和為定值”，為利用基本不等式創(chuàng)造了條件.

總之，我們利用基本不等式求最值時(shí)，一定要注意“一正二定三相等"，同時(shí)還要注意一些

變形技巧，積極創(chuàng)造條件利用基本不等式.

7.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.等比數(shù)列的定義

如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的比值等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列

叫做等比數(shù)列，這個(gè)常數(shù)叫做等比數(shù)列的公比，通常用字母g表示(g=0).從等比數(shù)列的

定義看，等比數(shù)列的任意項(xiàng)都是非零的，公比q也是非零常數(shù).

2.等比數(shù)列的通項(xiàng)公式

設(shè)等比數(shù)列｛斯｝的首項(xiàng)為m，公比為4,則它的通項(xiàng)斯

3.等比中項(xiàng)：

如果在a與6中間插入一個(gè)數(shù)G,使a,G,b成等比數(shù)列，那么G叫做a與6的等比

中項(xiàng).G2=a,Z?(abWO)

4.等比數(shù)列的常用性質(zhì)

,1m

(1)通項(xiàng)公式的推廣：an=amq',(n,mEN*).

(2)「若｛斯｝為等比數(shù)列,Hk+l=m+n,(k,I,m,nEN*),則延?。/=加?斯

(3)若｛斯｝,｛劣｝(項(xiàng)數(shù)相同)是等比數(shù)列，貝I]｛加"｝[a],[an-bn],仍是等比數(shù)

列.

(4)單調(diào)性：卜1>°或卜1<0=｛即｝是遞增數(shù)列；卜工>°或0Pli｛斯｝是遞減數(shù)歹U；

(0<q<1(0<q<1

q=l=｛斯｝是常數(shù)列；夕<0=｛斯｝是擺動(dòng)數(shù)列.

8.數(shù)列的應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

1、數(shù)列與函數(shù)的綜合

2、等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合

3、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用

數(shù)列與銀行利率、產(chǎn)品利潤、人口增長等實(shí)際問題的結(jié)合.

9.平面向量數(shù)量積的性質(zhì)及其運(yùn)算

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

1、平面向量數(shù)量積的重要性質(zhì)：

設(shè)z,6都是非零向量，"是與3方向相同的單位向量，z與：和夾角為&則：

⑴a-e=e-a=|a|cos0；

（2）aJL?b=0;（判定兩向量垂直的充要條件）

（3）當(dāng)；,'方向相同時(shí),a-b=lallhl；當(dāng)Z，Z方向相反時(shí),a-&=-lall&l;

特別地：a?a=|aF或lal=Va,a（用于計(jì)算向量的模）

TT

（4）cose=^4（用于計(jì)算向量的夾角，以及判斷三角形的形狀）

\a\\b\

（5）|a-d|^|allW

2、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律

（1）交換律：a-b=b-a；

（2）數(shù)乘向量的結(jié)合律：（入片）?匕=入（a-ft）=a*（Ad）；

（3）分配律：（0?5）*c工Z?（b-c）

【平面向量數(shù)量積的運(yùn)算】

平面向量數(shù)量積運(yùn)算的一般定理為①（a±&）2=a2+^-b+b2.②"二）（a+&）

=/-*.③U（嬴）￥（；?h）?；,從這里可以看出它的運(yùn)算法則和數(shù)的運(yùn)算法則有些是

相同的，有些不一樣.

【例題解析】

例：由代數(shù)式的乘法法則類比推導(dǎo)向量的數(shù)量積的運(yùn)算法則：

①"mn=nm”類比得到"71=晨a"

②a（m+n）t=mt+nt”類比得到“（a4-&）*c=Q?C+b?c”；

③“/WO,mt=nt=>m=n9類比得到“cH0'a?c=b.C=Q=c”;

④“防?川=|阿?|川”類比得到喝.，尸面?山”;

⑤"（m?幾）t—m（〃”）”類比得到“（a.b）?c=a?（b?c）”；

TTT

⑥，，竺=巴，類比得到眨=1以上的式子中，類比得到的結(jié)論正確的是①②.

bebb■ca

解：..?向量的數(shù)量積滿足交換律，

:."mn=mn"類比得到￡=/Z”,

即①正確；

???向量的數(shù)量積滿足分配律，

...”（，〃+〃）t=mt+nt"類比得到“（a+b），c=a-c+b?c\

即②正確；

???向量的數(shù)量積不滿足消元律，

，“rWO,皿=加=>m=〃”不能類比得到"ZHO,a-c=b-c=>a=Z”,

即③錯(cuò)誤；

V|a

Aa\m-n\=\m\-\n\"不能類比得到“百）|=而畝”；

即④錯(cuò)誤；

???向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，

:.t=m（"?/）”不能類比得到“G））?Z=￡?（??））”，

即⑤錯(cuò)誤；

:向量的數(shù)量積不滿足消元律，

...竺=巴’不能類比得到

bebb*ca

即⑥錯(cuò)誤.

故答案為：①②.

向量的數(shù)量積滿足交換律，由“mn=nm''類比得到"71=/節(jié);向量的數(shù)量積滿足分

配律，故“（加+〃）—加+加”類比得到“（3+5）4=>？+。］'；向量的數(shù)量積不滿足

消元律，故at^0,mt=nt^>m=n"不能類比得到"ZH0,a-c=b-c=>a=7'；la'bl#

lal-lbl，故“防?川=|時(shí)間”不能類比得到“自工|=而?俞’；向量的數(shù)量積不滿足結(jié)合律，

故“（?〃）t=m不能類比得到“（Z工）4=1（羨？）”；向量的數(shù)量積不滿足消元

T——

律，故一=—"不能類比得到=-二==.

bebb?c々

【考點(diǎn)分析】

本知識(shí)點(diǎn)應(yīng)該所有考生都要掌握，這個(gè)知識(shí)點(diǎn)和三角函數(shù)聯(lián)系比較多，也是一個(gè)?？键c(diǎn),

題目相對(duì)來說也不難，所以是拿分的考點(diǎn)，希望大家都掌握.

10.復(fù)數(shù)的運(yùn)算

復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算法則

設(shè)Zi=a+bi，z2=c+b,c,R),貝U：

(1)加法：Z]+z?=(a+歷)+(c+di)=(a+c)+(6+0i；

(2)減法：Zi-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(6-</)i；

(3)乘法：Z\-Zi=(a+bi)(c+di)=(ac-5J)+(ad+bc)i；

Zi_a+歷_(a+歷)(仁一di)

(4)除法:

Z2c+di(c+di)(c-di)

(ac+bd、+(be-

(c+di#0).

c2~^d2

11.分層抽樣方法

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.定義：當(dāng)已知總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，為了使樣本更客觀地反映總體的情況，

常將總體按不同的特點(diǎn)分成層次比較分明的幾部分，然后按各部分在總體中所占的比例進(jìn)行

抽樣，這種抽樣叫做分層抽樣，其中所分的各部分叫“層”.

2.三種抽樣方法比較

類別共同點(diǎn)各自特點(diǎn)相互聯(lián)系適用范圍

簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣抽樣過程中每個(gè)從總體中逐個(gè)抽總體中的個(gè)體數(shù)

個(gè)體被抽取的概取較少

系統(tǒng)抽樣率是相同的將總體均勻分成在起始部分抽樣總體中的個(gè)體數(shù)

幾個(gè)部分，按事時(shí)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)較多

先確定的規(guī)則在抽樣

各部分抽取

分層抽樣將總體分成幾各層抽樣時(shí)采用總體由差異明顯

層，分層進(jìn)行抽簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或的幾部分組成

取系統(tǒng)抽樣

【解題方法點(diǎn)撥】

分層抽樣方法操作步驟：

（1）分層：將總體按某種特征分成若干部分；

（2）確定比例：計(jì)算各層的個(gè)體數(shù)與總體的個(gè)體數(shù)的比；

（3）確定各層應(yīng)抽取的樣本容量；

（4）在每一層進(jìn)行抽樣（各層分別按簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣或系統(tǒng)抽樣的方法抽?。?，綜合每層抽樣,

組成樣本.

【命題方向】

（1）區(qū)分分層抽樣方法

例：某交高三年級(jí)有男生500人，女生400人，為了解該年級(jí)學(xué)生的健康情況，從男生中任

意抽取25人，從女生中任意抽取20人進(jìn)行調(diào)查.這種抽樣方法是（）

A.簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣法&抽簽法C.隨機(jī)數(shù)表法D.分層抽樣法

分析：若總體由差異明顯的幾部分組成時(shí)，經(jīng)常采用分層抽樣的方法進(jìn)行抽樣

解答：總體由男生和女生組成，比例為500：400=5：4,所抽取的比例也是5：4.

故選。

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查抽樣方法，屬基本題.

（2）求抽取樣本數(shù)

例1：某校高三一班有學(xué)生54人，二班有學(xué)生42人，現(xiàn)在要用分層抽樣的方法從兩個(gè)班抽

出16人參加軍訓(xùn)表演，則一班和二班分別被抽取的人數(shù)是（）

A.8,8B.10,6C.9,70.12,4

分析：先計(jì)算每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，再用每層的個(gè)體數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，即得

到該層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù).

解答：每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于一上=三，54xJ=9,42xJ=7.

54+42666

故從一班抽出9人，從二班抽出7人，

故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查分層抽樣的定義和方法，用每層的個(gè)體數(shù)乘以每個(gè)個(gè)體被抽到的概率等于該

層應(yīng)抽取的個(gè)體數(shù).

例2：某單位有職工750人，其中青年職工350人，中年職工250人，老年職工150人，為

了解該單位職工的健康情況，用分層抽樣的方法從中抽取樣本，若樣本中的青年職工為7

人，則樣本容量為（）

A.35B.25C.15￡).7

分析：先計(jì)算青年職工所占的比例，再根據(jù)青年職工抽取的人數(shù)計(jì)算樣本容量即可.

解答：青年職工、中年職工、老年職工三層之比為7：5：3,

7

所以樣本容量為，-=15.

15

故選C.

點(diǎn)評(píng)：本題考查分層抽樣的定義和方法，求出每個(gè)個(gè)體被抽到的概率，用個(gè)體的總數(shù)乘以每

個(gè)個(gè)體被抽到的概率，就得到樣本容量〃的值.

12.幾何概型

【考點(diǎn)歸納】

1.定義：若一個(gè)試驗(yàn)具有下列特征：

（1）每次試驗(yàn)的結(jié)果有無限多個(gè)，且全體結(jié)果可用一個(gè)有度量的幾何區(qū)域來表示；

（2）每次試驗(yàn)的各種結(jié)果是等可能的.

那么這樣的試驗(yàn)稱為幾何概型.

2.幾何概率：設(shè)幾何概型的基本事件空間可表示成可度量的區(qū)域0,事件A所對(duì)應(yīng)的區(qū)域

用A表示（AUQ）,則尸（A）=譬稱為事件A的幾何概率.

13.離散型隨機(jī)變量的期望與方差

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

1、離散型隨機(jī)變量的期望

數(shù)學(xué)期望：一般地，若離散型隨機(jī)變量t的概率分布為

XI??????

X2Xn

??????

PP1P2Pn

則稱E《=Xipi+X202+……為§的數(shù)學(xué)期望，簡(jiǎn)稱期望.

數(shù)學(xué)期望的意義：數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量的一個(gè)特征數(shù)，它反映了離散型隨機(jī)變量取值的

平均水平.

平均數(shù)與均值：一般地，在有限取值離散型隨機(jī)變量，的概率分布中，令pi=p2=-=p〃，

則有m=P2=3=Q=LEf=（X1+X2+…+初）X±所以孑的數(shù)學(xué)期望又稱為平均數(shù)、均

值.

期望的一個(gè)性質(zhì):若“=俄+》,則E（或+6）=aEf,+b.

2、離散型隨機(jī)變量的方差；

方差：對(duì)于離散型隨機(jī)變量亭如果它所有可能取的值是處，X2,…，xn,且取這些值

的概率分別是pi，P2>,"，P"…，那么，

D匕=（Xi-EJ）2-Pl+（x?-砧）2PlT------卜（X.-E^y-p?+…稱

為隨機(jī)變量孑的均方差，簡(jiǎn)稱為方差，式中的段底是隨機(jī)變量孑的期望.

標(biāo)準(zhǔn)差：的算術(shù)平方根畫叫做隨機(jī)變量孑的標(biāo)準(zhǔn)差，記作匠.

方差的性質(zhì)：①;。（。5+匕）=。'。5；②。5=石，一（石幻）

方差的意義：

（1）隨機(jī)變量的方差的定義與一組數(shù)據(jù)的方差的定義式是相同的；

（2）隨機(jī)變量的方差、標(biāo)準(zhǔn)差也是隨機(jī)變量的特征數(shù)，它們都反映了隨機(jī)變量取值的穩(wěn)

定與波動(dòng)、集中與離散的程度；

（3）標(biāo)準(zhǔn)差與隨機(jī)變量本身有相同的單位，所以在實(shí)際問題中應(yīng)用更廣泛.

14.程序框圖

【知識(shí)點(diǎn)的知識(shí)】

1.程序框圖

（1）程序框圖的概念：程序框圖又稱流程圖，是一種用規(guī)定的圖形、指向線及文字說明來

準(zhǔn)確、直觀地表示算法的圖形；

（2）構(gòu)成程序框的圖形符號(hào)及其作用

程序框名稱功能

起止框表示一個(gè)算法的起始和結(jié)束，是任何算法程序框圖不

X___，可缺少的.

-輸入、輸出框表示一個(gè)算法輸入和輸出的信息，可用在算法中任何

Z7需要輸入、輸出的位置.

11處理框賦值、計(jì)算.算法中處理數(shù)據(jù)需要的算式、公式等，

它們分別寫在不同的用以處理數(shù)據(jù)的處理框內(nèi).

判斷框判斷某一條件是否成立，成立時(shí)在出口處標(biāo)明“是”

O或“丫”；不成立時(shí)在出口處標(biāo)明則標(biāo)明“否”或“N”.

流程線算法進(jìn)行的前進(jìn)方向以及先后順序

r1

O連結(jié)點(diǎn)連接另一頁或另一部分的框圖

--I1注釋框幫助編者或閱讀者理解框圖

(3)程序框圖的構(gòu)成.

一個(gè)程序框圖包括以下幾部分：實(shí)現(xiàn)不同算法功能的相對(duì)應(yīng)的程序框；帶箭頭的流程線；程

序框內(nèi)必要的說明文字.

15.三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

【知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)】

1.同角三角函數(shù)的基本關(guān)系

(1)平方關(guān)系：sin2a+cos2a=1.

(2)商數(shù)關(guān)系：-=tana.

cosa

2.誘導(dǎo)公式

公式一：sin(a+2^ii)=sina,cos(a+2E)=cosa,tan(a+2Zir)=tana,其中

公式二：sin(n+a)=-sina,cos(ir+a)=-cosa,tan(n+a)=tana.

公式三：sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-a)=-tana.

公式四：sin(TT-a)=sina,cos(n-a)=-cosa,tan(JI-a)=-tana.

公式五：sin(——a)=cosa,cos(——a)=sina,tan(——a)=cota.

222

公式六：sin(—|-a)=cosa,cos(—|-a)=-sina,tan(—ba)=-cota.

222

3.兩角和與差的正弦、余弦、正切公式

(1)C<a-P)：cos(a-p)=cosacosP+sinasinP；

(2)C(a+p)：cos(a+p)=cosacos0-sinasin0；

(3)S(a+p)：sin(a+p)=sinac